1. Sinais, Transformada de Fourier, Processos Aleatórios e Ruído

Sistemas de Comunicações — Apostila de Curso · UFSC · Prof. Laio Oriel Seman · Carga horária: 80h
Tópicos: Sinais Determinísticos e Aleatórios · Série e Transformada de Fourier · Densidade Espectral de Potência · Convolução e Filtragem · Processos Estocásticos · Ruído Térmico e AWGN · Função Q e Probabilidade de Erro

1.1 Antes de começar

Ao final, você deve conseguir escolher entre espectro de energia e PSD, prever o efeito de um filtro LIT e relacionar variância de ruído a uma probabilidade de erro. Diagnóstico: você sabe explicar por que uma senoide tem energia infinita, mas potência finita? Evidência mínima: reproduzir o laboratório e justificar, sem olhar o código, os gráficos de Fourier, Parseval, AWGN e BER.

1.2 Sinais e Energia/Potência

1.2.1 Classificação

Um sinal $x(t)$ é dito de energia se $0<E_x<\infty$, com:

E_x \equiv \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt

e de potência se $0<P_x<\infty$ (tipicamente sinais periódicos ou aleatórios estacionários, que têm energia infinita):

P_x \equiv \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2\,dt

Um sinal de energia finita tem necessariamente potência média nula (a energia se "dilui" ao longo do tempo infinito); um sinal de potência finita e não nula tem energia infinita. Essa dicotomia motiva duas ferramentas espectrais distintas: a Transformada de Fourier (sinais de energia) e a Densidade Espectral de Potência via autocorrelação (sinais de potência, Seção “Densidade Espectral de Potência de Processos Aleatórios”).

1.2.2 Sinais em comunicações

Em sistemas de comunicações, praticamente todo sinal de interesse é de potência (portadoras, ruído, sinais moduladas continuamente) — a Transformada de Fourier ainda é aplicada, mas de forma generalizada (via funções generalizadas/deltas de Dirac no domínio da frequência para sinais periódicos, Seção “Transformada de sinais periódicos (via trem de deltas espectrais)”) ou substituída pela densidade espectral de potência para processos aleatórios.

1.3 Série de Fourier

1.3.1 Dedução via ortogonalidade das exponenciais complexas

Um sinal periódico $x(t)=x(t+T_0)$, com $f_0=1/T_0$, pode ser expandido em uma base ortogonal de exponenciais complexas $\{e^{j2\pi nf_0t}\}_{n=-\infty}^{\infty}$. A ortogonalidade decorre de:

\int_{T_0}e^{j2\pi nf_0t}e^{-j2\pi mf_0t}\,dt = \int_{T_0}e^{j2\pi(n-m)f_0t}\,dt = \begin{cases}T_0 & n=m\\0 & n\neq m\end{cases}

(para $n\neq m$, a integral de uma exponencial complexa completa sobre um número inteiro de períodos se anula — soma vetorial de fasores uniformemente distribuídos no círculo unitário). Postulando $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{j2\pi nf_0t}$ e multiplicando ambos os lados por $e^{-j2\pi mf_0t}$, integrando sobre um período e usando a ortogonalidade:

\boxed{c_n = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)\,e^{-j2\pi nf_0t}\,dt}

1.3.2 Espectro de linhas e simetria hermitiana

Os coeficientes $c_n$ formam um espectro de linhas discreto em múltiplos de $f_0$. Para $x(t)$ real, $c_{-n}=c_n^*$ (simetria hermitiana) — consequência direta de $x(t)=x^*(t)$ aplicado à definição de $c_n$. Isso garante que a soma de pares $c_ne^{j2\pi nf_0t}+c_{-n}e^{-j2\pi nf_0t}=2|c_n|\cos(2\pi nf_0t+\angle c_n)$ seja sempre real.

1.3.3 Potência média e Teorema de Parseval para séries

P_x = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2\,dt = \sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2

Dedução: substitua $x(t)=\sum_nc_ne^{j2\pi nf_0t}$ em $|x(t)|^2=x(t)x^*(t)$, integre termo a termo sobre $T_0$; pela ortogonalidade (Seção “Dedução via ortogonalidade das exponenciais complexas”), só sobrevivem os termos com índices iguais, resultando em $\sum_n|c_n|^2$. Este resultado — a potência total é a soma das potências de cada harmônica — é a base para calcular a potência de sinais modulados AM/FM compostos por múltiplas componentes espectrais (arquivos 2 e 3).

1.4 Transformada de Fourier

1.4.1 Definição e transformada inversa

Para um sinal de energia $x(t)$ (não necessariamente periódico):

\boxed{X(f) \equiv \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,e^{-j2\pi ft}\,dt}\ ,\qquad \boxed{x(t) = \int_{-\infty}^{\infty}X(f)\,e^{j2\pi ft}\,df}

A Transformada de Fourier pode ser vista como o limite da Série de Fourier quando $T_0\to\infty$: o espaçamento entre linhas espectrais $f_0=1/T_0\to0$, o espectro discreto vira contínuo, e $c_n\cdot T_0 \to X(f)$.

1.4.2 Propriedades fundamentais (com dedução breve)

Linearidade: $ax_1(t)+bx_2(t) \leftrightarrow aX_1(f)+bX_2(f)$ — direto da linearidade da integral.

Deslocamento no tempo: $x(t-t_0)\leftrightarrow X(f)e^{-j2\pi ft_0}$. Prova: substituição $u=t-t_0$ na integral de definição.

Deslocamento em frequência (modulação): $x(t)e^{j2\pi f_0t}\leftrightarrow X(f-f_0)$. Prova: substitua diretamente na definição, agrupe os expoentes. Esta propriedade é o coração matemático de toda a modulação (arquivos 2, 3, 5, 6): multiplicar um sinal por uma portadora $\cos(2\pi f_ct)$ desloca seu espectro para $\pm f_c$.

\boxed{x(t)\cos(2\pi f_ct) \leftrightarrow \frac{1}{2}\left[X(f-f_c)+X(f+f_c)\right]}

(decorrência direta de $\cos(2\pi f_ct)=\tfrac12(e^{j2\pi f_ct}+e^{-j2\pi f_ct})$ e da propriedade de deslocamento em frequência aplicada a cada termo).

Escalamento no tempo: $x(at)\leftrightarrow \dfrac{1}{|a|}X(f/a)$ — comprimir no tempo expande no espectro (relação de incerteza tempo-frequência).

Dualidade: se $x(t)\leftrightarrow X(f)$, então $X(t)\leftrightarrow x(-f)$ — consequência da simetria quase perfeita entre as fórmulas direta e inversa.

1.4.3 Pares de transformadas fundamentais

$x(t)$	$X(f)$	Uso
$\text{rect}(t/T)$ (pulso retangular)	$T\,\text{sinc}(fT)$	Formatação de pulso banda base (arquivo 4)
$\text{sinc}(2Wt)$	$\dfrac{1}{2W}\text{rect}(f/2W)$	Filtro ideal passa-baixas (dual do anterior)
$\delta(t)$	$1$	Resposta ao impulso
$1$	$\delta(f)$	Nível DC
$e^{-at}u(t)$, $a>0$	$\dfrac{1}{a+j2\pi f}$	Filtros RC
$e^{-\pi t^2}$ (gaussiana)	$e^{-\pi f^2}$ (autotransformada)	Pulsos gaussianos
$\cos(2\pi f_ct)$	$\tfrac12[\delta(f-f_c)+\delta(f+f_c)]$	Portadora

onde $\text{sinc}(x)\equiv\dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x}$.

1.4.4 Dedução do par retangular ↔ sinc

X(f) = \int_{-T/2}^{T/2}e^{-j2\pi ft}\,dt = \left[\frac{e^{-j2\pi ft}}{-j2\pi f}\right]_{-T/2}^{T/2} = \frac{e^{-j\pi fT}-e^{j\pi fT}}{-j2\pi f} = \frac{2\sin(\pi fT)}{2\pi f} = T\,\frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} = T\,\text{sinc}(fT)

Este resultado é central para o arquivo 4 (banda base): todo pulso retangular no tempo (bit digital "cru") tem espectro infinito em largura de banda (o sinc decai apenas como $1/f$), motivando a necessidade de pulsos formatados (raised cosine) para limitar a banda ocupada.

1.4.5 Transformada de sinais periódicos (via trem de deltas espectrais)

Um sinal periódico não é de energia finita, mas admite Transformada de Fourier generalizada como um trem de impulsos espectrais, ponderados pelos coeficientes de Fourier:

\boxed{x(t)=\sum_nc_ne^{j2\pi nf_0t} \quad\longleftrightarrow\quad X(f)=\sum_nc_n\,\delta(f-nf_0)}

Esta identidade unifica o tratamento espectral de sinais periódicos e não periódicos sob o mesmo formalismo de Fourier, essencial para tratar portadoras (sinais periódicos) moduladas por sinais de informação (tipicamente de banda finita, mas não necessariamente periódicos).

1.5 Convolução, Filtragem e o Teorema de Parseval

1.5.1 Convolução no tempo ↔ Produto em frequência

y(t) = x(t)*h(t) \equiv \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau \quad\longleftrightarrow\quad Y(f)=X(f)H(f)

Dedução: aplique a Transformada de Fourier à definição de convolução, troque a ordem de integração (justificável para sinais absolutamente integráveis), e reconheça a integral interna como uma Transformada de Fourier deslocada:

Y(f) = \int\!\!\int x(\tau)h(t-\tau)e^{-j2\pi ft}\,d\tau\,dt = \int x(\tau)\left[\int h(t-\tau)e^{-j2\pi ft}\,dt\right]d\tau = \int x(\tau)H(f)e^{-j2\pi f\tau}\,d\tau = X(f)H(f)

Este resultado é a base de toda a teoria de filtragem linear em comunicações: um sistema LIT (linear invariante no tempo) com resposta ao impulso $h(t)$ processa um sinal de entrada multiplicando seu espectro por $H(f)$ — a resposta em frequência do sistema. Filtros passa-baixas, passa-faixa, e o próprio canal de comunicação são modelados dessa forma.

1.5.2 Produto no tempo ↔ Convolução em frequência (dual)

x(t)y(t) \longleftrightarrow X(f)*Y(f)

Por dualidade da Seção “Propriedades fundamentais (com dedução breve)”. Esta é a propriedade usada para derivar o espectro de um sinal modulado como convolução do espectro da informação com o espectro (impulsivo) da portadora — resultando no deslocamento espectral já visto na Seção “Propriedades fundamentais (com dedução breve)” aplicado agora de forma geral a portadoras moduladas em amplitude por um sinal arbitrário $m(t)$ (arquivo 2).

1.5.3 Teorema de Parseval/Rayleigh (energia no tempo = energia na frequência)

\boxed{E_x = \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt = \int_{-\infty}^{\infty}|X(f)|^2\,df}

Dedução: escreva $E_x=\int x(t)x^*(t)\,dt$ e substitua $x^*(t)=\int X^*(f)e^{-j2\pi ft}\,df$ (conjugado da transformada inversa); troque a ordem de integração:

E_x = \int X^*(f)\left[\int x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt\right]df = \int X^*(f)X(f)\,df = \int|X(f)|^2\,df

$|X(f)|^2$ é a densidade espectral de energia — mede como a energia do sinal se distribui em frequência, conceito que se generaliza para a densidade espectral de potência de processos aleatórios (Seção “Densidade Espectral de Potência de Processos Aleatórios”), central para calcular a potência de ruído que passa por um filtro receptor.

1.6 Sinais Passa-Faixa e Envelope Complexo

1.6.1 Motivação

Sinais de comunicação (moduladas AM/FM/PSK etc.) são tipicamente sinais passa-faixa: seu espectro está concentrado em torno de uma frequência de portadora $f_c$ alta, com largura de banda $B\ll f_c$. Simular tais sinais diretamente exigiria amostrar a $f_c$ (GHz em rádio), desperdiçando recursos computacionais. A representação de envelope complexo (ou banda base equivalente) resolve isso.

1.6.2 Dedução da representação em envelope complexo

Todo sinal passa-faixa real $s(t)$ pode ser escrito como:

s(t) = A(t)\cos\big(2\pi f_ct+\phi(t)\big) = \text{Re}\left\{\underbrace{A(t)e^{j\phi(t)}}_{\tilde{s}(t)}\,e^{j2\pi f_ct}\right\} = \text{Re}\{\tilde{s}(t)e^{j2\pi f_ct}\}

onde $\tilde s(t)=A(t)e^{j\phi(t)}$ é o envelope complexo (ou sinal banda base equivalente), variando lentamente. Se o sinal RF real ocupa uma banda positiva de largura $B$ centrada em $f_c$, o envelope pode ser escolhido com suporte em $[-B/2,B/2]$. Assim, ele pode ser amostrado como sinal complexo a $F_s\ge B$, em vez de amostrar a portadora em GHz. Escrevendo $\tilde s(t)=s_I(t)+js_Q(t)$:

\boxed{s(t) = s_I(t)\cos(2\pi f_ct) - s_Q(t)\sin(2\pi f_ct)}

Dedução da forma I/Q: expandindo $\cos(2\pi f_ct+\phi)=\cos\phi\cos(2\pi f_ct)-\sin\phi\sin(2\pi f_ct)$ e identificando $s_I=A\cos\phi$, $s_Q=A\sin\phi$.

Esta decomposição é a base de todos os moduladores/demoduladores digitais em quadratura (QAM, PSK — arquivo 6): a informação é codificada em $(s_I,s_Q)$, e a portadora serve apenas de "veículo" de transporte para a faixa de RF.

1.6.3 Relação espectral entre passa-faixa e banda base

Se $\tilde S(f)$ é a transformada de $\tilde s(t)$, então (usando $s(t)=\tfrac12[\tilde s(t)e^{j2\pi f_ct}+\tilde s^*(t)e^{-j2\pi f_ct}]$, decorrente de $\text{Re}\{z\}=\tfrac12(z+z^*)$):

S(f) = \frac{1}{2}\left[\tilde S(f-f_c) + \tilde S^*(-f-f_c)\right]

O espectro do sinal passa-faixa é o espectro banda base deslocado para $\pm f_c$ — simulações numéricas trabalham com $\tilde s(t)$ a uma taxa complexa determinada por sua largura de banda, reconstruindo $s(t)$ apenas quando necessário.

1.7 Processos Aleatórios

1.7.1 Definição

Um processo aleatório (ou estocástico) $X(t)$ é uma função cujo valor em cada instante $t$ é uma variável aleatória. Uma realização (ou amostra) $x(t)$ é uma função determinística específica, obtida de um experimento. Em comunicações, o ruído térmico, a informação transmitida (antes de ser conhecida) e o próprio canal (desvanecimento) são modelados como processos aleatórios.

1.7.2 Estacionariedade em sentido amplo (WSS)

Um processo é WSS (wide-sense stationary) se:

A média é constante no tempo: $E[X(t)]=\mu_X$ (não depende de $t$).
A autocorrelação depende apenas da diferença de tempos: $R_X(t_1,t_2) = E[X(t_1)X(t_2)] = R_X(t_1-t_2) \equiv R_X(\tau)$.

A maioria dos sinais de comunicação (ruído térmico, sinais digitais aleatórios de longo prazo) são modelados como WSS — hipótese que simplifica drasticamente a análise espectral (Seção “Densidade Espectral de Potência de Processos Aleatórios”).

1.7.3 Autocorrelação: propriedades e interpretação

R_X(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]

Propriedades fundamentais (demonstráveis diretamente da definição):

$R_X(0) = E[X^2(t)] = $ potência média do processo (sempre real e não-negativa).
$R_X(\tau) = R_X(-\tau)$ (simetria par, para processos reais — troque $t\to t-\tau$ na definição).
$|R_X(\tau)| \le R_X(0)$ (consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada a $X(t)$ e $X(t+\tau)$).
$R_X(\tau)\to \mu_X^2$ quando $\tau\to\infty$, se o processo "esquece" sua correlação com o passado distante (ergodicidade em correlação).

1.8 Densidade Espectral de Potência de Processos Aleatórios

1.8.1 Teorema de Wiener-Khinchin

\boxed{S_X(f) \equiv \int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau)\,e^{-j2\pi f\tau}\,d\tau}

Ideia da prova: considere uma janela truncada $X_T(t)=X(t)$ para $|t|<T/2$ e zero fora. Sua Transformada de Fourier é $X_T(f)$, e pelo Teorema de Parseval (Seção “Teorema de Parseval/Rayleigh (energia no tempo = energia na frequência)”), $\int|X_T(t)|^2dt=\int|X_T(f)|^2df$. Dividindo por $T$ e tomando $T\to\infty$ (com valor esperado), o lado esquerdo tende à potência média $P_X=R_X(0)$; mostra-se (via manipulação envolvendo a definição de $R_X$ e mudança de variáveis) que o lado direito, no limite, é exatamente $\int S_X(f)\,df$ com $S_X(f)$ definida como acima — a PSD é, portanto, "quanta potência por unidade de frequência" o processo carrega, generalizando $|X(f)|^2$ (válida só para sinais de energia) para sinais de potência.

1.8.2 Propriedades da PSD

$S_X(f)\ge0$ para todo $f$ (é uma densidade de potência, não pode ser negativa).
$S_X(f)=S_X(-f)$ para processos reais (pois $R_X(\tau)$ é real e par).
$P_X = R_X(0) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}S_X(f)\,df$ (potência total = área sob a PSD).

1.8.3 PSD na saída de um filtro LIT

Se $X(t)$ (WSS, PSD $S_X(f)$) passa por um filtro LIT com resposta em frequência $H(f)$, a PSD da saída $Y(t)=X(t)*h(t)$ é:

\boxed{S_Y(f) = |H(f)|^2\,S_X(f)}

Dedução (esboço): a autocorrelação da saída se relaciona com a de entrada por $R_Y(\tau)=R_X(\tau)*h(\tau)*h^*(-\tau)$ (resultado da definição $Y(t)=\int h(\alpha)X(t-\alpha)d\alpha$ substituída em $E[Y(t)Y(t+\tau)]$); aplicando Fourier a ambos os lados e usando a propriedade de convolução (Seção “Convolução no tempo ↔ Produto em frequência”) mais o fato de que a transformada de $h^*(-\tau)$ é $H^*(f)$: $S_Y(f)=S_X(f)H(f)H^*(f)=|H(f)|^2S_X(f)$. Este resultado é usado extensivamente para calcular a potência de ruído na saída de filtros receptores (Seção “Ruído Térmico e Ruído Branco Gaussiano (AWGN)”, e ao longo de toda a apostila).

1.9 Ruído Térmico e Ruído Branco Gaussiano (AWGN)

1.9.1 Origem física do ruído térmico

O movimento térmico aleatório dos elétrons em qualquer condutor com resistência $R$ a temperatura $T$ (Kelvin) produz uma tensão de ruído — o ruído de Johnson-Nyquist. A potência máxima disponível em uma carga casada, numa banda positiva de largura $B$, é $k_BTB$. Assim, sua densidade disponível unilateral é $k_BT$; na representação bilateral de um processo real, essa potência é dividida entre frequências positivas e negativas. Para frequências até a região de micro-ondas (aproximação clássica de Rayleigh-Jeans, válida quando $hf\ll k_BT$):

S_N(f) = \frac{k_BT}{2}\qquad\text{(W/Hz, bilateral)}

onde $k_B=1{,}380649\times10^{-23}\,\text{J/K}$ é a constante de Boltzmann. A PSD é constante em frequência até frequências extremamente altas (ordem de THz à temperatura ambiente) — daí o nome ruído branco (por analogia com a luz branca, que contém todas as frequências visíveis com intensidade comparável).

1.9.2 Modelo AWGN (Additive White Gaussian Noise)

O modelo padrão de canal em comunicações digitais é:

\boxed{r(t) = s(t) + n(t)}

onde $s(t)$ é o sinal transmitido e $n(t)$ é ruído branco Gaussiano aditivo, com:

Branco: $S_N(f) = N_0/2$ (constante em toda frequência de interesse). Aqui, $N_0$ é o parâmetro unilateral de densidade de ruído; portanto, a PSD bilateral do processo real é $N_0/2$. Para uma fonte térmica equivalente, $N_0=k_BT_{eq}$. A temperatura $T_{eq}$ representa o ruído acrescentado pelo receptor e não deve ser confundida, sem justificativa, com sua temperatura física.
Gaussiano: em cada instante $t$, $N(t)$ é uma variável aleatória Gaussiana de média zero (justificado pelo Teorema Central do Limite: o ruído é a soma de contribuições de um número enorme de elétrons e fontes microscópicas independentes).
Aditivo: soma-se ao sinal, não o multiplica nem distorce.

1.9.3 Potência de ruído após filtragem de banda $B$

Um filtro receptor ideal de largura de banda $B$ (passa-baixas ou passa-faixa) limita o ruído branco (infinito em potência total) a uma potência finita. Pela Seção “PSD na saída de um filtro LIT”, com $|H(f)|^2=1$ dentro da banda e $0$ fora:

\boxed{P_N = \int_{-B}^{B}\frac{N_0}{2}\,df = N_0B}

(para um passa-baixas cujo corte positivo é $B$, isto é, que ocupa $-B\le f\le B$). Em um passa-faixa real, se $B$ denota a largura da banda em frequências positivas, existe também sua imagem simétrica em frequências negativas; a integral bilateral volta a fornecer $P_N=N_0B$. Esta convenção de $B$ é usada em todo o restante da apostila para calcular a relação sinal-ruído (SNR) na entrada do demodulador.

1.9.4 Densidade de probabilidade Gaussiana

f_N(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{n^2}{2\sigma^2}\right),\qquad \sigma^2 = P_N = N_0B

$\sigma^2$ é a variância (= potência média do ruído filtrado). Após um passa-baixas retangular, o ruído Gaussiano já não é independente em instantes arbitrários: sua autocorrelação tem forma sinc. Amostras Gaussianas são independentes quando sua correlação é nula; no filtro ideal acima, isso ocorre em separações inteiras de $1/(2B)$. No receptor digital, o filtro casado e a amostragem nos instantes de símbolo produzem as variáveis de decisão modeladas como i.i.d. quando os pulsos são ortogonais e o canal não introduz memória. Essa é a base do canal AWGN discreto usado nas simulações de BER (arquivos 5 e 6): cada símbolo recebido é o símbolo transmitido mais uma amostra de $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$, independente das demais sob essas hipóteses.

1.10 Função Q e Probabilidade de Erro

1.10.1 Definição da função Q

A função Q é a probabilidade de cauda de uma Gaussiana padrão $\mathcal N(0,1)$:

\boxed{Q(x) \equiv \int_x^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du = P(Z>x),\quad Z\sim\mathcal N(0,1)}

Propriedades: $Q(0)=1/2$; $Q(-x)=1-Q(x)$; $Q(x)$ é monotonicamente decrescente; não tem forma fechada elementar (relacionada à função erro complementar, $Q(x)=\tfrac12\text{erfc}(x/\sqrt2)$).

1.10.2 Dedução da probabilidade de erro para detecção binária em AWGN

Considere a detecção de um bit binário: transmite-se $+A$ (bit 1) ou $-A$ (bit 0), o receptor observa $r=s+n$ com $n\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$, e decide "1" se $r>0$, "0" caso contrário (detector de limiar ótimo para sinais antipodais equiprováveis, resultado que será justificado formalmente no arquivo 5 via detecção de máxima verossimilhança). Dado que "0" foi transmitido ($s=-A$), o erro ocorre se $r>0$, isto é, se $n>A$:

P(\text{erro}\,|\,s=-A) = P(n>A) = \int_A^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-n^2/(2\sigma^2)}\,dn

Substituindo $u=n/\sigma$ ($du=dn/\sigma$), os limites tornam-se $A/\sigma$ a $\infty$:

P(\text{erro}\,|\,s=-A) = \int_{A/\sigma}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du = Q\!\left(\frac{A}{\sigma}\right)

Por simetria (mesmo argumento para $s=+A$, erro se $n<-A$), a probabilidade de erro é a mesma condicionada a cada símbolo, logo:

\boxed{P_e = Q\!\left(\frac{A}{\sigma}\right)}

Esta é a fórmula-mãe de onde todas as expressões de BER (Bit Error Rate) do restante da apostila são derivadas (ASK, PSK, FSK, QAM — arquivos 5 e 6), trocando $A/\sigma$ pela distância euclidiana relevante entre símbolos da constelação, normalizada pelo desvio padrão do ruído.

1.10.3 Relação com $E_b/N_0$

Definindo a energia por bit $E_b = A^2T_b$ (para um pulso retangular de amplitude $A$ e duração $T_b$) e usando $\sigma^2=N_0B$ com $B\approx1/(2T_b)$ (banda de um filtro casado, resultado justificado no arquivo 5):

\frac{A}{\sigma} = \sqrt{\frac{2E_b}{N_0}} \quad\Rightarrow\quad \boxed{P_e = Q\!\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)}

Esta é a forma em que a probabilidade de erro é universalmente reportada na literatura de comunicações digitais — em função da razão energia por bit sobre densidade espectral de ruído, $E_b/N_0$, permitindo comparar esquemas de modulação diferentes em bases equivalentes (mesma energia gasta por bit de informação).

1.11 Exercícios Resolvidos em Python

1.11.1 Protocolo computacional

Objetivo: verificar Fourier, Parseval, PSD de AWGN e a função $Q$. Reprodutibilidade: use np.random.default_rng(42), declare frequência de amostragem e convenção de FFT/PSD. Validação: compare energia nos dois domínios e BER simulada com a expressão analítica, informando a contagem de erros.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal
from scipy.special import erfc

# === Série de Fourier de uma onda quadrada ===
def coef_fourier_onda_quadrada(n, A=1.0):
    """Coeficientes c_n de uma onda quadrada ímpar de amplitude A (só harmônicos ímpares)."""
    if n == 0:
        return 0.0
    if n % 2 == 0:
        return 0.0
    return (2*A)/(1j*np.pi*n)

N_harm = 15
ns = np.arange(-N_harm, N_harm+1)
cs = np.array([coef_fourier_onda_quadrada(n) for n in ns])
t = np.linspace(-1, 1, 2000)
f0 = 1.0
x_reconstruida = np.real(sum(cs[i]*np.exp(1j*2*np.pi*ns[i]*f0*t) for i in range(len(ns))))
print(f"Reconstrução com {N_harm} harmônicos ímpares: max={x_reconstruida.max():.3f} (ideal=1.0, fenômeno de Gibbs)")

# === Transformada de Fourier numérica: pulso retangular -> sinc ===
def pulso_retangular(t, T):
    return np.where(np.abs(t) <= T/2, 1.0, 0.0)

Fs = 1000
t_vec = np.arange(-5, 5, 1/Fs)
T_pulso = 1.0
x = pulso_retangular(t_vec, T_pulso)
X = np.fft.fftshift(np.fft.fft(x)) / Fs
f_vec = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(len(t_vec), 1/Fs))

X_teorico = T_pulso * np.sinc(f_vec*T_pulso)
erro_max = np.max(np.abs(np.abs(X) - np.abs(X_teorico)))
print(f"\nErro máximo FFT numérica vs. T*sinc(fT) teórico: {erro_max:.4f}")

# === Verificação de Parseval ===
E_tempo = np.sum(np.abs(x)**2) / Fs
E_freq = np.sum(np.abs(X)**2) * (f_vec[1]-f_vec[0])
print(f"\nEnergia no tempo:      {E_tempo:.4f}")
print(f"Energia na frequência: {E_freq:.4f}  (Parseval)")

# === Ruído AWGN: geração e verificação de PSD ===
def gerar_awgn(N, N0_sobre_2, Fs):
    """Gera N amostras de ruído branco com PSD bilateral N0/2 (variância = N0/2 * Fs)."""
    sigma = np.sqrt(N0_sobre_2 * Fs)
    return np.random.normal(0, sigma, N)

N0_2 = 1e-3
Fs_ruido = 10000
n_amostras = 100000
ruido = gerar_awgn(n_amostras, N0_2, Fs_ruido)
print(f"\nRuído AWGN gerado: variância medida={np.var(ruido):.6e}, esperada={N0_2*Fs_ruido:.6e}")

f_psd, Pxx = signal.welch(ruido, Fs_ruido, nperseg=1024)
print(f"PSD média medida: {np.mean(Pxx):.6e} (esperado ~{N0_2:.6e}, unilateral = 2x bilateral)")

# === Função Q e probabilidade de erro binária ===
def Q(x):
    return 0.5*erfc(x/np.sqrt(2))

A, sigma_ruido = 1.0, 0.3
Pe = Q(A/sigma_ruido)
print(f"\nP_e (detecção binária, A/sigma={A/sigma_ruido:.2f}): {Pe:.6e}")

# Verificação por simulação Monte Carlo
n_bits = 200000
bits = np.random.randint(0, 2, n_bits)
s = np.where(bits==1, A, -A)
r = s + np.random.normal(0, sigma_ruido, n_bits)
bits_detectados = (r > 0).astype(int)
Pe_simulado = np.mean(bits_detectados != bits)
print(f"P_e simulado (Monte Carlo, {n_bits} bits): {Pe_simulado:.6e}")

# === Curva de P_e vs Eb/N0 ===
EbN0_dB = np.arange(0, 13, 1)
EbN0_lin = 10**(EbN0_dB/10)
Pe_teorico = Q(np.sqrt(2*EbN0_lin))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,5))
ax.semilogy(EbN0_dB, Pe_teorico, 'b-o', label='$P_e=Q(\\sqrt{2E_b/N_0})$')
ax.set_xlabel('$E_b/N_0$ (dB)')
ax.set_ylabel('Probabilidade de erro de bit')
ax.set_title('Curva de BER teórica — detecção binária antipodal em AWGN')
ax.grid(True, which='both', alpha=0.3)
ax.legend()
plt.tight_layout()

Output:

Reconstrução com 15 harmônicos ímpares: max=1.180 (ideal=1.0, fenômeno de Gibbs)

Erro máximo FFT numérica vs. T*sinc(fT) teórico: 0.0004

Energia no tempo:      1.0000
Energia na frequência: 1.0000  (Parseval)

Ruído AWGN gerado: variância medida=9.973365e+00, esperada=1.000000e+01
PSD média medida: 1.991730e-03 (esperado ~1.000000e-03, unilateral = 2x bilateral)

P_e (detecção binária, A/sigma=3.33): 4.290603e-04
P_e simulado (Monte Carlo, 200000 bits): 3.650000e-04

Reconstrução de Fourier: overshoot de ~9% acima da amplitude ideal (fenômeno de Gibbs), típico de truncar uma série de Fourier de um sinal descontínuo.
FFT numérica vs. sinc teórico: erro pequeno (efeitos de janelamento/discretização).
Parseval: energia no tempo e na frequência coincidem.
Ruído AWGN: variância medida ≈ variância teórica.
$P_e$ teórico (fórmula Q) e $P_e$ simulado (Monte Carlo) devem coincidir dentro da incerteza estatística de $\sqrt{P_e(1-P_e)/n_{bits}}$.
Curva BER: decaimento exponencial característico, ~1 década a cada ~2 dB de $E_b/N_0$ adicional nessa região.

1.12 Lista de Exercícios Propostos

E1. Calcule a Série de Fourier (coeficientes $c_n$) de um trem de pulsos retangulares periódico, com período $T_0=1\,\text{ms}$, largura de pulso $\tau=0{,}2\,\text{ms}$ e amplitude $A=5\,\text{V}$.

E2. Usando a propriedade de deslocamento em frequência, determine o espectro $X(f)$ de $x(t)=\text{sinc}(2Wt)\cos(2\pi f_ct)$, com $f_c\gg W$. Esboce o resultado.

E3. Demonstre a propriedade de escalamento no tempo $x(at)\leftrightarrow\frac{1}{|a|}X(f/a)$ a partir da definição da Transformada de Fourier (faça a substituição de variável explicitamente, tratando os casos $a>0$ e $a<0$).

E4. Um filtro passa-baixas ideal tem $H(f)=\text{rect}(f/2B)$. Um sinal de entrada tem PSD $S_X(f)=S_0$ (constante, ruído branco) para todo $f$. Calcule a potência do sinal na saída do filtro.

E5. Mostre que a autocorrelação de um processo WSS satisfaz $R_X(\tau)=R_X(-\tau)$ partindo da definição $R_X(\tau)=E[X(t)X(t+\tau)]$ e da propriedade de estacionariedade.

E6. Um resistor de $R=50\,\Omega$ está a temperatura ambiente $T=290\,\text{K}$. Calcule a potência de ruído térmico disponível em uma banda $B=10\,\text{MHz}$ (use $P_N=k_BTB$, forma equivalente à da Seção “Potência de ruído após filtragem de banda $B$” para ruído unilateral).

E7. Calcule $Q(0)$, $Q(1)$, $Q(2)$, $Q(3)$ numericamente (ou usando tabela) e verifique a relação $Q(-x)=1-Q(x)$ calculando também $Q(-1)$.

E8. Para um sistema de detecção binária antipodal com $A=2\,\text{V}$ e ruído com $\sigma=0{,}5\,\text{V}$, calcule $P_e$. Se a amplitude for dobrada para $A=4\,\text{V}$ (mantendo $\sigma$), por qual fator aproximado $P_e$ diminui (expresse em ordens de grandeza, usando a natureza exponencial da cauda de $Q(x)$ para $x$ grande)?

E9. Escreva o sinal passa-faixa $s(t)=3\cos(2\pi f_ct)-4\sin(2\pi f_ct)$ na forma envelope-fase $A(t)\cos(2\pi f_ct+\phi(t))$, determinando $A$ e $\phi$ (constantes, neste caso).

E10 (desafio). Um sinal aleatório binário NRZ (Não-Retorno-a-Zero) transmite $+A$ ou $-A$ com igual probabilidade a cada intervalo de bit $T_b$, de forma independente entre intervalos. Mostre que sua autocorrelação é $R_X(\tau) = A^2\left(1-\dfrac{|\tau|}{T_b}\right)$ para $|\tau|<T_b$ e $R_X(\tau)=0$ para $|\tau|\ge T_b$ (dica: para $|\tau|<T_b$, considere a probabilidade de que $\tau$ "caia" dentro do mesmo intervalo de bit vs. em um intervalo adjacente). Em seguida, aplique o Teorema de Wiener-Khinchin para obter $S_X(f)=A^2T_b\,\text{sinc}^2(fT_b)$.

E11 (desafio). Um sinal passa-faixa real ocupa a faixa positiva de $f_c-B/2$ a $f_c+B/2$, com $f_c=1\,\text{GHz}$ e $B=1\,\text{MHz}$. Compare a taxa mínima para amostrar diretamente o sinal real RF e para amostrar o envelope complexo cujo suporte é $[-B/2,B/2]$. Quantas amostras complexas por segundo são poupadas?

E12. Verifique a identidade $\cos(2\pi f_ct+\phi) = \cos\phi\cos(2\pi f_ct)-\sin\phi\sin(2\pi f_ct)$ usando a fórmula de adição de ângulos, e identifique $s_I$ e $s_Q$ para $A=5$, $\phi=60°$.

1.13 Gabarito

E1. $c_n = \dfrac{1}{T_0}\displaystyle\int_{-\tau/2}^{\tau/2}A\,e^{-j2\pi nf_0t}\,dt = \dfrac{A}{T_0}\left[\dfrac{e^{-j2\pi nf_0t}}{-j2\pi nf_0}\right]_{-\tau/2}^{\tau/2} = \dfrac{A}{n\pi}\sin(\pi nf_0\tau)$ para $n\neq0$, e $c_0=A\tau/T_0$ (valor médio, = duty cycle × amplitude). Reescrevendo com a função sinc: $c_n = \dfrac{A\tau}{T_0}\,\text{sinc}(nf_0\tau)$. Numericamente, $f_0=1/T_0=1000\,\text{Hz}$, $f_0\tau=0{,}2$:

\boxed{c_n = \frac{(5)(0{,}2\times10^{-3})}{10^{-3}}\,\text{sinc}(0{,}2n) = 1{,}0\cdot\text{sinc}(0{,}2n)\,\text{V},\qquad c_0=1{,}0\,\text{V}}

E2. $\text{sinc}(2Wt)\leftrightarrow\frac{1}{2W}\text{rect}(f/2W)$ (par da Seção “Pares de transformadas fundamentais”). Pela propriedade de modulação (Seção “Propriedades fundamentais (com dedução breve)”), multiplicar por $\cos(2\pi f_ct)$ desloca o espectro para $\pm f_c$ com fator $1/2$:

\boxed{X(f) = \frac{1}{4W}\left[\text{rect}\!\left(\frac{f-f_c}{2W}\right)+\text{rect}\!\left(\frac{f+f_c}{2W}\right)\right]}

Esboço: dois retângulos de largura $2W$ e altura $1/(4W)$, centrados em $f=\pm f_c$ — não se sobrepõem pois $f_c\gg W$.

E3. Caso $a>0$: substituindo $u=at$ ($du=a\,dt$) em $X_a(f)=\int x(at)e^{-j2\pi ft}dt$: $X_a(f)=\int x(u)e^{-j2\pi f(u/a)}\frac{du}{a} = \frac{1}{a}\int x(u)e^{-j2\pi(f/a)u}du = \frac{1}{a}X(f/a)$. Caso $a<0$: com $a=-|a|$, a substituição $u=at$ inverte os limites de integração ($t:-\infty\to\infty$ corresponde a $u:\infty\to-\infty$), introduzindo um sinal negativo extra que cancela com o $1/a$ negativo, resultando em $\frac{1}{|a|}X(f/a)$. Combinando os dois casos: $\boxed{x(at)\leftrightarrow\frac{1}{|a|}X(f/a)}$.

E4. Pela Seção “PSD na saída de um filtro LIT”, $S_Y(f)=|H(f)|^2S_X(f) = S_0$ para $|f|<B$ e $0$ fora. Potência de saída:

P_Y = \int_{-B}^{B}S_0\,df = \boxed{2S_0B}

E5. Por definição, $R_X(-\tau)=E[X(t)X(t-\tau)]$. Fazendo a mudança de variável $t'=t-\tau$ (ou seja, $t=t'+\tau$): $R_X(-\tau)=E[X(t'+\tau)X(t')]=E[X(t')X(t'+\tau)]$. Como o processo é WSS, esta expectativa não depende de qual instante $t'$ se escolhe, e por definição é exatamente $R_X(\tau)$. Logo $\boxed{R_X(-\tau)=R_X(\tau)}$ — simetria par.

E6. $P_N = k_BTB = (1{,}380649\times10^{-23})(290)(10\times10^6)$:

\boxed{P_N \approx 4{,}00\times10^{-14}\,\text{W} = 40{,}0\,\text{fW}}

(Nota: esta é a forma unilateral $k_BTB$, equivalente a integrar a PSD bilateral $N_0/2=k_BT/2$ de $-B$ a $B$, que dá exatamente $k_BTB$ — consistente com a Seção “Potência de ruído após filtragem de banda $B$”.)

E7. Valores numéricos (via tabela ou scipy.special.erfc): $Q(0)=0{,}5$; $Q(1)\approx0{,}1587$; $Q(2)\approx0{,}0228$; $Q(3)\approx0{,}00135$. Verificação: $Q(-1) = 1-Q(1) = 1-0{,}1587 = 0{,}8413$ — consistente com a definição, pois $Q(-1)=P(Z>-1)=P(Z<1)=1-P(Z>1)=1-Q(1)$.

\boxed{Q(0)=0{,}5;\ Q(1)\approx0{,}1587;\ Q(2)\approx0{,}0228;\ Q(3)\approx0{,}00135;\ Q(-1)\approx0{,}8413}

E8. $P_e = Q(A/\sigma) = Q(2/0{,}5) = Q(4) \approx 3{,}17\times10^{-5}$. Dobrando $A$: $P_e' = Q(4/0{,}5)=Q(8)\approx6{,}22\times10^{-16}$.

\boxed{P_e\approx3{,}17\times10^{-5}\ \to\ P_e'\approx6{,}22\times10^{-16}\qquad\text{(redução de aproximadamente 11 ordens de grandeza)}}

Isso ilustra a natureza extremamente não-linear (decaimento tipo $e^{-x^2/2}$) da função $Q$: dobrar a distância entre símbolos (ou, equivalentemente, quadruplicar a energia) reduz $P_e$ de forma dramática — motivo pelo qual pequenos aumentos de $E_b/N_0$ produzem grandes ganhos de confiabilidade (visível no "joelho" das curvas de BER, arquivos 5 e 6).

E9. Comparando com $s(t)=s_I\cos(2\pi f_ct)-s_Q\sin(2\pi f_ct)$: $s_I=3$, $s_Q=4$. Logo:

A = \sqrt{s_I^2+s_Q^2} = \sqrt{9+16}=5,\qquad \phi = \arctan\!\left(\frac{s_Q}{s_I}\right) = \arctan(4/3)\approx53{,}13°

\boxed{s(t) = 5\cos(2\pi f_ct+53{,}13°)}

Verificação: $5\cos(53{,}13°)\approx3{,}0=s_I$ ✓, $5\sin(53{,}13°)\approx4{,}0=s_Q$ ✓.

E10 (desafio). Para $|\tau|<T_b$: com probabilidade $1-|\tau|/T_b$, os instantes $t$ e $t+\tau$ caem no mesmo intervalo de bit (mesmo valor $\pm A$, produto $=A^2$); com probabilidade $|\tau|/T_b$, caem em intervalos adjacentes distintos e independentes (valores independentes $\pm A$ cada, produto médio $=E[\pm A]\cdot E[\pm A]=0\cdot0=0$, pois cada bit tem média zero). Logo:

R_X(\tau) = \left(1-\frac{|\tau|}{T_b}\right)A^2 + \frac{|\tau|}{T_b}\cdot0 = A^2\left(1-\frac{|\tau|}{T_b}\right),\qquad |\tau|<T_b

Para $|\tau|\ge T_b$, os dois instantes estão sempre em intervalos de bit diferentes (e, assumindo bits i.i.d., não-correlacionados), logo $R_X(\tau)=0$. Isso confirma a forma triangular enunciada. Aplicando Wiener-Khinchin (Seção “Teorema de Wiener-Khinchin”), a transformada de uma função triangular de base $2T_b$ e altura $A^2$ é (resultado padrão, obtido por integração direta ou reconhecendo o triângulo como a autoconvolução de um retângulo de largura $T_b$):

\boxed{S_X(f) = A^2T_b\,\text{sinc}^2(fT_b)}

Este é o espectro padrão de um sinal digital NRZ aleatório — um lóbulo principal de largura $2/T_b$ com lóbulos laterais decaindo como $1/f^2$, resultado usado extensivamente no arquivo 4 (banda base).

E11 (desafio). Amostragem direta do sinal real: a maior frequência é $f_{\max}=f_c+B/2=1{,}0005$ GHz, logo a taxa mínima uniforme é

F_{s,\rm RF}\ge2f_{\max}=2{,}001\ \text{GHz}.

O envelope complexo ocupa $[-B/2,B/2]$; como suas amostras são complexas, a taxa mínima é

F_{s,\rm bb}\ge B=1\ \text{MHz}.

\boxed{\text{Razão}=\frac{2(f_c+B/2)}{B}=2001.}

A simulação via envelope complexo exige cerca de 2000 vezes menos amostras. Técnicas especializadas de subamostragem passa-faixa podem reduzir a taxa de uma representação RF sob condições estritas de filtragem e sincronismo, mas o envelope complexo é a representação robusta e usual em simulações de comunicação.

E12. Pela fórmula de adição, $\cos(2\pi f_ct+\phi)=\cos(2\pi f_ct)\cos\phi-\sin(2\pi f_ct)\sin\phi$, que reescrita na forma-padrão $s_I\cos(2\pi f_ct)-s_Q\sin(2\pi f_ct)$ identifica $s_I=A\cos\phi$ e $s_Q=A\sin\phi$ (com $A$ a amplitude, aqui implicitamente $1$ na identidade trigonométrica pura). Para $A=5$, $\phi=60°$:

s_I = 5\cos(60°) = 5(0{,}5) = 2{,}5,\qquad s_Q = 5\sin(60°) = 5(0{,}8660) \approx4{,}33

\boxed{s_I=2{,}5,\quad s_Q\approx4{,}33}

Verificação: $\sqrt{s_I^2+s_Q^2}=\sqrt{6{,}25+18{,}75}=\sqrt{25}=5=A$ ✓.