4. Modulação em Frequência (FM)

Comunicações Eletrônicas — Apostila de Curso
Tópicos: Fase e frequência instantâneas · Espectro de FM e funções de Bessel · NBFM/WBFM · Regra de Carson · Discriminador FM · PLL demodulador · Análise de ruído · Limiar FM · Pré-ênfase · FM Stereo e RDS · Comparação FM/AM/DSB-SC

4.1 Antes de começar

Ao final, você deve relacionar fase e frequência instantâneas, interpretar o espectro de Bessel, aplicar Carson e explicar limiar, captura e pré/de-ênfase. Diagnóstico: a amplitude constante da FM implica largura de banda constante? Evidência mínima: variar $\beta$, conferir conservação de potência e comparar a banda medida com a regra de Carson.

4.2 Modulação Angular: FM vs PM

Um sinal senoidal de frequência $f_c$ é expresso como

onde $\theta_i(t)$ é a fase instantânea total. A frequência instantânea (em Hz) é definida como

e a frequência instantânea angular é $\omega_i(t) = d\theta_i(t)/dt$.

Se $f_c$ é a frequência da portadora não modulada, escrevemos a fase como uma soma:

onde $\phi(t)$ é o termo de fase adicional que carrega a informação. A frequência instantânea torna-se

A modulação angular consiste em fazer $\phi(t)$ variar de acordo com o sinal mensagem $m(t)$. Existem duas convenções:

4.2.1 Modulação de Fase (PM)

Na PM, o deslocamento de fase é diretamente proporcional a $m(t)$:

onde $k_p$ é a sensibilidade de fase (rad/V). O sinal PM é

A frequência instantânea é

4.2.2 Modulação de Frequência (FM)

Na FM, o desvio de frequência instantânea é proporcional a $m(t)$:

onde $k_f$ é a sensibilidade de frequência (Hz/V). Como $f_i(t) - f_c = \frac{1}{2\pi}\frac{d\phi(t)}{dt}$, temos

Assumindo o sistema em repouso antes de $t=0$ (integral de $-\infty$), o sinal FM é

4.2.3 Relação entre FM e PM

Como o termo de fase na FM é a integral da mensagem, e a derivada da mensagem gera deflexão de frequência na PM, existe equivalência formal:

Reciprocamente, o FM pode ser obtido integrando $m(t)$ e aplicando modulação de fase:

4.2.4 Amplitude constante e suas consequências

Um atributo fundamental de qualquer modulação angular é que o envelope de $s_{\text{FM}}(t)$ e $s_{\text{PM}}(t)$ é constantemente $A_c$, independentemente de $m(t)$. Isso significa:

1. Toda a potência está na portadora e bandas laterais: $P_{\text{total}} = A_c^2/2$ (carga resistiva unitária), independente do sinal modulante.
2. Amplificadores classe C são permitidos: o amplificador final de potência pode operar em saturação (não linear) sem distorcer a informação, pois ela está contida apenas na fase/frequência.
3. Imunidade a ruído de amplitude: interferências que alteram o envelope (fading, ruído térmico de amplitude) não carregam informação e podem ser removidas por um limitador.

4.3 FM Tonal: Índice e Deflexão de Frequência

Considere o caso mais simples: um tom unitário como sinal mensagem.

4.3.1 Deflexão de frequência

Para $m(t) = A_m\cos(2\pi f_m t)$, o desvio de fase é

Definimos a deflexão (desvio) de frequência de pico como

e o sinal FM torna-se

4.3.2 Índice de modulação FM

Definimos o índice de modulação $\beta$ como

$\beta$ é adimensional e mede quantas vezes o desvio de frequência excede a frequência do tom modulante. O sinal FM completo é

4.3.3 Frequência instantânea — verificação

Derivando a fase total $\theta_i(t) = 2\pi f_c t + \beta\sin(2\pi f_m t)$:

logo

Isso confirma que a frequência oscila entre $f_c - \Delta f$ e $f_c + \Delta f$, com deslocamento máximo $\Delta f$ em relação à portadora.

4.3.4 Casos extremos de $\beta$

• $\beta \ll 1$ (FM de banda estreita — NBFM): o argumento do seno é pequeno, $\beta\sin(2\pi f_m t) \approx \beta\sin(2\pi f_m t)$ pequeno. A banda é aproximadamente $2f_m$, similar a DSB.
• $\beta \gg 1$ (FM de banda larga — WBFM): muitas bandas laterais significativas, banda muito maior que $2f_m$.
• $\beta = 1$: fronteira aproximada entre NBFM e WBFM.

4.4 Espectro da FM — Dedução Completa com Séries de Bessel

Este é o coração matemático da teoria FM. O espectro de um sinal FM tonal envolve infinitas componentes espectrais, cujas amplitudes são dadas pelas funções de Bessel de primeira espécie.

4.4.1 Expansão em séries de Bessel — dedução

Começamos com o sinal FM tonal:

Usando a identidade trigonométrica $\cos(\alpha + \gamma) = \cos\alpha\cos\gamma - \sin\alpha\sin\gamma$:

Os termos $\cos(\beta\sin\theta)$ e $\sin(\beta\sin\theta)$ são funções periódicas em $\theta = 2\pi f_m t$, portanto podem ser expandidas em série de Fourier. As identidades de Jacobi–Anger fornecem essas expansões:

Substituindo $\theta = 2\pi f_m t$ e inserindo nas duas equações acima:

Agora, usamos os produtos notáveis:

Aplicando:

O padrão é claro: cada $J_n(\beta)$ gera um par de bandas laterais em $f_c \pm nf_m$. Para $n=0$, há apenas uma componente (a portadora). Para $n>0$, cada $J_n$ gera duas componentes com mesma amplitude $A_c|J_n(\beta)|$.

Podemos escrever o resultado de forma compacta usando a propriedade $J_{-n}(\beta) = (-1)^n J_n(\beta)$:

Esta é a expansão de Jacobi–Anger para o sinal FM tonal.

4.4.2 Funções de Bessel de primeira espécie — definição e propriedades

Esta integral existe para todo $n\in\mathbb{Z}$ e $\beta\in\mathbb{R}$. Para $n$ inteiro, $J_n$ é real.

Série de potências (para $n \ge 0$):

Relações de recorrência:

Propriedades de simetria:

Para $n$ par: $J_{-n} = J_n$ (par em $n$). Para $n$ ímpar: $J_{-n} = -J_n$ (ímpar em $n$).

Identidade de ortogonalidade (completação da base):

Esta identidade é fundamental: ela garante que a potência total do sinal FM é conservada.

4.4.3 Comportamento assintótico de $J_n(\beta)$

Para $\beta \ll 1$ (argumento pequeno), os primeiros termos da série dão:

Isso confirma que para $\beta \to 0$, apenas $J_0 \approx 1$ é significativo — o espectro se reduz à portadora pura.

Para $\beta \gg 1$ (argumento grande), o comportamento assintótico é oscilatório:

As amplitudes decrescem lentamente (como $1/\sqrt{\beta}$) até $n \approx \beta$, onde há um pico, e decaem rapidamente para $n \gg \beta$.

4.4.4 Zeros das funções de Bessel e anulação da portadora

Os zeros de $J_0(\beta)$ ocorrem quando a componente da portadora se anula. Os primeiros zeros de $J_0$ são:

Da mesma forma, $J_1(\beta)$ tem zeros em $\beta \approx 3{,}8317$, $7{,}0156$, $10{,}1735$, $\ldots$, o que significa que as bandas laterais de primeira ordem desaparecem para esses valores.

Tabela de zeros notáveis:

4.4.5 Conservação de potência

A potência média de $s_{\text{FM}}(t)$ em uma carga unitária é:

O último passo usa a identidade $\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n^2(\beta) = 1$. A potência é invariante em relação a $\beta$, $f_c$ e $f_m$ — confirma o que já sabíamos pela amplitude constante do envelope.

A potência em cada componente espectral é $P_n = \frac{A_c^2}{2}J_n^2(\beta)$ para $n \ne 0$. Para $n = 0$, $P_0 = \frac{A_c^2}{2}J_0^2(\beta)$.

4.4.6 Visualização do espectro FM

O espectro de um sinal FM tonal é discreto (linha espectral), com componentes em:

A amplitude de cada componente é $A_c|J_n(\beta)|$. A potência é $\frac{A_c^2}{2}J_n^2(\beta)$.

Para $\beta = 0$: espectro é uma linha única em $f_c$ (portadora pura).

Para $\beta = 0{,}5$: portadora forte, primeira lateral visível, demais desprezíveis.

Para $\beta = 2{,}405$: portadora nula ($J_0 = 0$), primeira lateral dominante.

Para $\beta = 5$: múltiplas laterais de amplitude significativa (~11 bandas laterais de cada lado com amplitude > 5% da portadora não modulada).

4.5 Banda de Carson — NBFM e WBFM

4.5.1 FM de Banda Estreita (NBFM)

Para $\beta \ll 1$ (tipicamente $\beta < 0{,}2$), usamos as aproximações:

O sinal FM fica:

(usando $J_1 = \beta/2$ e $J_{-1} = -J_1 = -\beta/2$).

Usando $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A\sin B$:

A largura de banda do NBFM é aproximadamente $2f_m$, igual à AM convencional e DSB-SC.

4.5.2 FM de Banda Larga (WBFM)

Para $\beta > 1$, muitas componentes espectrais têm amplitude significativa. Não há aproximação simples: o espectro completo de Bessel deve ser considerado.

A banda efetiva do WBFM é determinada pelo número de bandas laterais com amplitude não desprezível. A regra prática é:

Regra de Carson:

Esta regra estima a banda que contém aproximadamente 98% da potência total do sinal FM.

4.5.3 Justificativa da Regra de Carson

Das propriedades das funções de Bessel, para $\beta$ fixo, $J_n(\beta)$ torna-se desprezível quando $|n| > \beta + 1$. Portanto, as componentes com $|n| \leq \beta + 1$ são significativas, e as frequências extremas são:

A largura de banda é:

4.5.4 Comparação NBFM vs WBFM

4.5.5 FM Broadcast — exemplo prático

No padrão de radiodifusão FM (FCC/Europeu):

• Desvio máximo de frequência: $\Delta f = 75\text{ kHz}$
• Banda de áudio máxima: $f_m = 15\text{ kHz}$
• Índice de modulação: $\beta = 75/15 = 5$
• Banda de Carson: $B_C = 2(75 + 15) = 200\text{ kHz}$ (na prática, canal de 200 kHz)

4.6 Geração de Sinais FM

4.6.1 Modulação FM direta (VCO)

O método mais direto: um oscilador controlado por voltagem (VCO) cuja frequência natural varia linearmente com a tensão de entrada.

Um VCO com constante $k_{\text{VCO}}$ (Hz/V) produz:

onde $f_0$ é a frequência livre (sem entrada). Integrando, a fase é

Vantagem: simples, direto. Desvantagem: a frequência central $f_0$ varia com temperatura, envelhecimento, e tensão de alimentação — instabilidade de frequência.

4.6.2 Modulação FM indireta (método Armstrong)

O método Armstrong gera FM com alta estabilidade de frequência:

1. Gera-se NBFM com baixa deflexão (usando um modulador de fase com alta $k_p$ e sinal $m(t)$ atenuado).
2. O sinal NBFM é passado por multiplicadores de frequência (não-lineares + filtros sintonizados) que multiplicam tanto $f_c$ quanto $\beta$.

Se um multiplicador tem fator $N$:

Com $N$ grande, obtém-se WBFM com $f_c'$ estável (herdada do oscilador cristalino usado na etapa 1).

4.6.3 Modulação FM por loop PLL

Um PLL (Phase-Locked Loop) pode gerar FM quando o sinal mensagem é injetado no VCO interno do loop:

O loop mantém $f_c$ estável (travado em um cristal), enquanto o desvio é controlado por $m(t)$ no VCO. Esta é a técnica mais usada em transmissores modernos.

4.7 Demodulação FM: Discriminador e PLL

4.7.1 Princípio do discriminador FM

O discriminador FM é o circuito demodulador clássico. Seu princípio é simples:

1. Converter variações de frequência do sinal FM em variações de amplitude.
2. Detectar o envelope da amplitude modulada resultante.

O discriminador é essencialmente um filtro de frequência com resposta de amplitude linear em frequência na vizinhança de $f_c$, seguido por um detector de envelope.

4.7.2 Curva S do discriminador

A característica do discriminador é uma curva em S (curva S):

onde $K_d$ é o ganho do discriminador (V/Hz).

A curva S é linear apenas numa faixa limitada centrada em $f_c$. Fora desta faixa, a resposta satura.

4.7.3 Discriminador de Foster–Seeley

O discriminador de Foster–Seeley consiste em dois circuitos ressonantes acoplados:

• Um circuito ressonante sintonizado ligeiramente acima de $f_c$ (frequência $f_1 > f_c$).
• Outro circuito ressonante sintonizado ligeiramente abaixo de $f_c$ (frequência $f_2 < f_c$).
• Dois detectores de envelope, cujas saídas são subtraídas.

A resposta de diferença é linear em torno de $f_c$ e se anula exatamente em $f_c$.

4.7.4 Detector de razão

O discriminador de ratio (ratio detector) é uma variação mais robusta, que também rejeita variações de amplitude. Usa um transformador com capacitor de acoplamento e dois diodos em configuração diferencial. A razão das tensões nos dois diodos fornece a saída proporcional ao desvio de frequência.

4.7.5 PLL como demodulador FM

Um Phase-Locked Loop pode atuar como demodulador FM natural. No PLL, o sinal de controle do VCO ($v_d(t)$) é exatamente o sinal que, aplicado ao VCO, produziria a mesma variação de frequência do sinal de entrada.

Esquema:

1. Sinal FM entra no comparador de fase.
2. O PLL se trava (lock) e segue as variações de frequência do sinal.
3. O sinal de controle $v_d(t)$ do VCO interno é a saída demodulada.

4.7.6 Demodulação I/Q (digital)

Em receptores digitais (SDR), a demodulação FM é feita computacionalmente:

1. Misturar o sinal RF para baseband (I/Q demodulation): obter $z(t) = I(t) + jQ(t)$.
2. Calcular a fase instantânea: $\phi(t) = \arg\bigl(z(t)\bigr) = \operatorname{atan2}\bigl(Q(t), I(t)\bigr)$.
3. Desfazer o unwrap da fase: $\phi_{\text{unwrap}}(t) = \operatorname{unwrap}\bigl(\phi(t)\bigr)$.
4. Diferenciar: $m(t) \propto \frac{d\phi_{\text{unwrap}}(t)}{dt}$.

Em discreto:

4.8 Demodulação FM por Detecção de Cruzamento por Zero

4.8.1 Princípio do detector de cruzamento por zero

Um método alternativo de demodulação FM baseia-se na contagem de cruzamentos por zero do sinal. Para $s(t) = A_c\cos\theta(t)$, cada cruzamento por zero ocorre quando $\theta(t) = \pi/2 + n\pi$. O intervalo entre cruzamentos consecutivos é

Logo, a frequência instantânea pode ser estimada pelo inverso do período entre cruzamentos.

4.8.2 Limitador + diferenciador + detector de envelope

Uma implementação clássica:

1. Limitador: remove variações de amplitude, produzindo um quadrado (ou pulso) de amplitude constante.
2. Diferenciador: o circuito diferenciador tem resposta $H(f) \propto j\omega$. Aplicado a $s(t)$:

onde $\dot{\theta}(t) = 2\pi f_i(t) = 2\pi(f_c + k_f m(t))$.

1. Detector de envelope: extrai $|A_c\dot{\theta}(t)| = A_c\cdot 2\pi(f_c + k_f m(t))$.
2. Bloqueio DC: remove a componente $2\pi f_c$, restando $2\pi k_f m(t)$.

DEDUÇÃO detalhada:

Seja $s(t) = A_c\cos\theta(t)$. Derivando:

O envelope absoluto deste sinal é:

Passando por detector de envelope (retificador + filtro passa-baixas) e removendo a DC ($2\pi f_c A_c$):

logo $m(t)$ é recuperada proporcionalmente. $\blacksquare$

4.8.3 Supressão de ruído de amplitude pelo limitador

O limitador é um circuito não-linear (comparador, diodo em série) que converte qualquer entrada de amplitude não nula em um sinal de amplitude constante (quadrado, ou pulsos de largura fixa).

Se o sinal recebido é:

com $n(t)$ sendo ruído aditivo de banda estreita, o envelope de $r(t)$ é:

para $\text{SNR}_{\text{in}} \gg 1$ (alta relação sinal-ruído), $R(t) \approx A_c + n_c(t)$, onde $n_c(t)$ é a componente em fase do ruído. O limitador remove completamente esta variação, deixando apenas as variações de frequência (que são a informação).

4.9 Análise de Ruído em FM

Esta seção apresenta a análise completa da relação sinal-ruído em sistemas FM, incluindo o ganho de processamento e o limiar de detecção.

4.9.1 Ruído aditivo no receptor FM

No receptor, o sinal recebido é:

onde $n(t)$ é ruído branco gaussiano com densidade espectral $N_0/2$ (W/Hz).

Representamos $n(t)$ em componentes em fase e quadratura em torno de $f_c$:

onde $n_c(t)$ e $n_s(t)$ são processos de baixa passagem, independentes, com mesma densidade espectral:

e potência $\sigma_n^2 = \int_{-B}^{B} N_0\,df = 2N_0 B$.

4.9.2 Decomposição do sinal mais ruído em polar

Escrevendo $r(t)$ em forma polar:

onde

$\phi(t)$ é o ruído de fase induzido pelo ruído aditivo.

4.9.3 Aproximação para SNR alto

Para $\text{SNR}_{\text{in}} = A_c^2/(2\sigma_n^2) \gg 1$ (grande sinal, pouco ruído):

A aproximação vem da expansão em série de Taylor do $\operatorname{atan2}$ para $n_c, n_s \ll A_c$.

O ruído de frequência (deslocamento instantâneo por ruído) é:

4.9.4 Densidade espectral do ruído de saída

O discriminador FM produz uma saída proporcional a $\frac{d\phi(t)}{dt}$. O ruído de saída após o discriminador tem densidade espectral:

para $|f| \leq W$ (onde $W$ é a banda da mensagem).

4.9.5 Potência de ruído de saída

A potência de ruído na saída do discriminador é:

4.9.6 Potência do sinal de saída

Para $m(t) = A_m\cos(2\pi f_m t)$ com $f_m \leq W$, a saída do discriminador é:

A potência média é:

4.9.7 SNR de saída FM

Para comparar a saída com uma referência sem ambiguidade, definimos primeiro a razão portadora-ruído referida à largura da mensagem $W$:

Para a senoide de maior frequência $f_m=W$, $\beta=k_fA_m/W$. Dividindo a SNR de saída por essa referência:

Se, em vez disso, a “SNR de entrada” for medida na largura RF real do receptor $B_r$, então

e a conversão correta é

Com a regra de Carson, $B_r\approx2(\beta+1)W$. Portanto, não se pode substituir $B_r$ pela banda de Carson e simultaneamente conservar um ganho $3\beta^2$: isso mistura duas definições distintas da potência de ruído de referência.

4.9.8 Ganho de processamento FM

O ganho de processamento FM é definido como:

Este é o "pagamento": FM troca banda por SNR. Quanto maior $\beta$, melhor o SNR, mas maior a banda.

4.9.9 Teorema do limiar FM

O limiar ocorre porque, para baixo SNR, o ruído de fase $\phi(t)$ deixa de ser pequeno e o aproximador $\phi \approx n_s/A_c$ falha. Os saltos de fase (phase slips) tornam-se frequentes — o ciclo do PLL "perde" voltas (cycle slipping), gerando cliques audíveis.

4.9.10 SNR com pré-ênfase (Seção “Pré-ênfase e De-ênfase”)

Com pré-ênfase e de-ênfase (Seção “Pré-ênfase e De-ênfase”), o SNR de saída é melhorado em aproximadamente 13 dB para o padrão de FM broadcast ($\tau = 75\,\mu\text{s}$).

4.10 Pré-ênfase e De-ênfase

4.10.1 O problema do ruído $f^2$

Do resultado da Seção “Densidade espectral do ruído de saída”, a densidade espectral do ruído na saída do discriminador é proporcional a $f^2$:

Isso significa que o ruído de alta frequência é sempre maior que o de baixa frequência no áudio demodulado. Sem correção, o som seria "chiado" nas altas frequências.

4.10.2 Princípio da pré-ênfase e de-ênfase

A técnica é simples e elegante:

1. No transmissor (pré-ênfase): realçar as altas frequências do sinal $m(t)$ antes da modulação FM. A função de transferência é:

Esta é um filtro passa-altas de primeira ordem que aumenta a amplitude proporcionalmente a $f$ para $f \gg f_0$.

1. No receptor (de-ênfase): após a demodulação FM, aplicar um filtro que é a inversa da pré-ênfase:

Este é um filtro passa-baixas de primeira ordem.

1. Sinal de mensagem original: o sinal após de-ênfase tem a amplitude restaurada (a pré-ênfase é "cancelada"), mas o ruído de alta frequência foi atenuado pelo passa-baixas de de-ênfase.

4.10.3 Análise de melhoria de SNR

Com pré-ênfase e de-ênfase:

• A potência do sinal na saída é: $\int_{-W}^{W}|H_{\text{de}}(f)|^2\cdot|H_{\text{pre}}(f)|^2 S_m(f)\,df = \int_{-W}^{W}S_m(f)\,df$ (sinal restaurado).
• A potência de ruído na saída é: $\int_{-W}^{W}|H_{\text{de}}(f)|^2\cdot f^2\,df$ (ruído atenuado nas altas frequências).

O ganho adicional de SNR é:

4.10.4 Constante de tempo e padrões

A constante de tempo do filtro RC de de-ênfase é:

Padrões:

• FM broadcast (EUA/Europa): $\tau = 75\,\mu\text{s}$, $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\cdot 75\times 10^{-6}} \approx 2{,}12\text{ kHz}$.
• FM broadcast (Japão/antigo): $\tau = 50\,\mu\text{s}$, $f_0 \approx 3{,}18\text{ kHz}$.
• Áudio profissional: $\tau = 25\,\mu\text{s}$ (alguns sistemas).

4.11 FM Stereo e Aplicações

4.11.1 Sistema FM Stereo — multiplexação

O sistema FM stereo (descrito pelo SMPTE, adotado mundialmente) multiplexa dois canais (L e R) em uma única portadora FM, mantendo compatibilidade com receptores mono.

O sinal de modulação stereo $M(t)$ é composto por:

1. Canal principal (L + R): soma dos canais esquerdo e direito. Ocupa 0–15 kHz. Receptores mono reproduzem apenas este canal.
2. Pilot tone (sincronização): tom puro a 19 kHz, amplitude 10–15% do desvio total. Usado pelo receptor para reconstruir a subportadora de 38 kHz.
3. Canal L − R: diferença dos canais, modulado em DSB-SC na subportadora de 38 kHz. Ocupa 23–53 kHz.
4. RDS (Radio Data System): subportadora adicional a 57 kHz para dados (nome da estação, hora, etc.). Ocupa ~57 ± 1{,}5 kHz.

O sinal completo de modulação é:

com limitação de frequência máxima a 53 kHz para respeitar o desvio máximo de 75 kHz.

4.11.2 Compatibilidade mono

Para receptor mono:

o canal (L + R) é diretamente acessível. Os componentes stereo (L − R, pilot, RDS) são rejeitados por filtro passa-baixas simples.

Para receptor stereo:

O receptor reconstrói $L-R$ demodulando o DSB-SC em 38 kHz (usando o pilot de 19 kHz dobrado para gerar 38 kHz local).

4.11.3 Espectro do FM Stereo

O espectro de frequências do sinal de modulação FM stereo (0–75 kHz):

  0 Hz       |--- 15 kHz ---|   19 kHz   |--- 23 kHz ---|--- 53 kHz ---| 57 kHz
  L+R       |    Áudio L+R   | Pilot 19kHz | DSB-SC L-R  |  Banda L-R   | RDS (57 kHz)

4.11.4 FM RDS (Radio Data System)

O RDS transmite dados digitais na subportadora de 57 kHz:

• Taxa de bits: 1{,}1875 kbps (codificação Manchester).
• Conteúdo: nome da estação (PS), programa tipo (PTY), hora (RT), tráfego (TA), endereço de estação (PI).
• Compatível com todos os receptores FM (dados são ignorados pelos receptores de áudio).

4.11.5 Aplicações da FM

• Radiodifusão FM (88–108 MHz): áudio de alta qualidade, stereo, RDS.
• Rádio amador (VHF/UHF): comunicações voz e dados.
• Comunicação móvel (análogo): sistemas de rádio táxi, emergência (ex.: Motorola Move).
• Televisão: o áudio da TV analógica era modulada em FM.
• Telemetria: sensores sem fio com FM (robusto a interferência).
• Síntese de som (FM Synthesis): modulação de frequência para geração de timbres (Yamaha DX7).

4.12 Comparação FM vs AM vs DSB-SC

4.12.1 Tabela comparativa completa

4.12.2 Quando escolher cada modulação

AM (DSB com portadora):

• Rádio AM broadcast (530–1700 kHz): recepção simples, alcance longo (onda de superfície).
• Aplicações onde a complexidade do receptor deve ser mínima.
• Desvantagem: baixa eficiência, ruído sensível.

DSB-SC:

• Quando a potência é limitada e a portadora não precisa ser reconstruída no receptor.
• Usado como etapa intermediária em moduladores quadratura (QAM).
• Desvantagem: requer carrier recovery coerente no receptor.

FM (WBFM):

• Radiodifusão FM (88–108 MHz): alta fidelidade, imunidade a ruído.
• Rádio amador VHF/UHF: comunicação móvel robusta.
• Áudio de TV analógica (NTSC/PAL): áudio mais limpo que o vídeo.
• Sistemas onde banda é abundante mas qualidade é crítica.
• Desvantagem: maior banda; limiar de SNR abaixo do qual degrada abruptamente.

4.13 Exercícios Resolvidos em Python

4.13.1 Protocolo computacional

Objetivo: verificar coeficientes de Bessel, conservação de potência, regra de Carson e demodulação. Amostragem: declare $f_s$, duração e resolução espectral. Validação: confirme $\sum_nJ_n^2(\beta)=1$, compare banda ocupada com Carson e reporte SNR antes/depois da demodulação.

4.13.2 Exercício 1: Espectro FM — cálculo de $J_n(\beta)$ e plot

Problema: Para um sinal FM com $f_c = 100\text{ MHz}$, $f_m = 5\text{ kHz}$, $\Delta f = 25\text{ kHz}$, calcule os coeficientes de Bessel $J_n(\beta)$ para $n = 0,\ldots,10$ e plote o espectro de amplitudes. Determine a banda de Carson e compare com o número real de componentes com amplitude $> 5\%$ da portadora não modulada.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import jv

# Parâmetros
fc, fm, df = 100e6, 5e3, 25e3
beta = df / fm  # índice de modulação
print(f"Índice de modulação: β = {beta}")

# Calcular coeficientes de Bessel
n_max = 15
n = np.arange(-n_max, n_max + 1)
Jn = jv(n, beta)

# Amplitudes relativas (normalizadas pela portadora não modulada Ac)
amplitudes = np.abs(Jn)

# Identificar componentes com amplitude > 5% da portadora não modulada
threshold = 0.05
significant = np.sum(amplitudes > threshold)
print(f"Componentes com amplitude > {threshold*100:.0f}% da portadora não modulada: {significant}")

# Regra de Carson
B_carson = 2 * (df + fm)
print(f"Banda de Carson: B_C = {B_carson/1e3:.1f} kHz")

# Número estimado de bandas laterais por lado pela regra de Carson
n_carson = int(np.ceil(B_carson / (2 * fm)))
print(f"Bandas laterais por lado (Carson): n_max ≈ {n_carson}")

# Plot do espectro de amplitudes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
frequencies = fc + n * fm  # posições em Hz
ax.stem(frequencies / 1e6, amplitudes, basefmt=" ", linefmt="C0-", markerfmt="C0o",
        label=f"|J_n(β={beta})|")
ax.axvline(fc / 1e6, color='k', linestyle='--', alpha=0.3, label=f'Portadora ({fc/1e6:.0f} MHz)')
ax.axvspan((fc - B_carson / 2) / 1e6, (fc + B_carson / 2) / 1e6,
           alpha=0.15, color='gray', label=f'Banda de Carson ({B_carson/1e3:.0f} kHz)')
ax.set_xlabel('Frequência (MHz)')
ax.set_ylabel('Amplitude relativa')
ax.set_title(f'Espectro FM — β = {beta}, fm = {fm/1e3:.0f} kHz')
ax.legend()
ax.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()

# Tabela de valores
print("\nTabela de coeficientes de Bessel J_n(β):")
print(f"{'n':>3}  {'J_n(β)':>10}  {'Amplitude %':>12}  {'Potência %':>12}")
for i in range(len(n)):
    print(f"{n[i]:>3}  {Jn[i]:>10.6f}  {amplitudes[i]*100:>11.2f}%  {Jn[i]**2*100:>11.2f}%")

# Verificação da conservação de potência
P_total = np.sum(Jn**2)
print(f"\nConservação de potência: Σ J_n²(β) = {P_total:.10f} (deve ser 1.0)")

Output:

Índice de modulação: β = 5.0
Componentes com amplitude > 5% da portadora não modulada: 13
Banda de Carson: B_C = 60.0 kHz
Bandas laterais por lado (Carson): n_max ≈ 6

Tabela de coeficientes de Bessel J_n(β):
  n      J_n(β)   Amplitude %    Potência %
-15   -0.000000         0.00%         0.00%
-14    0.000003         0.00%         0.00%
-13   -0.000015         0.00%         0.00%
-12    0.000076         0.01%         0.00%
-11   -0.000351         0.04%         0.00%
-10    0.001468         0.15%         0.00%
 -9   -0.005520         0.55%         0.00%
 -8    0.018405         1.84%         0.03%
 -7   -0.053376         5.34%         0.28%
 -6    0.131049        13.10%         1.72%
 -5   -0.261141        26.11%         6.82%
 -4    0.391232        39.12%        15.31%
 -3   -0.364831        36.48%        13.31%
 -2    0.046565         4.66%         0.22%
 -1    0.327579        32.76%        10.73%
  0   -0.177597        17.76%         3.15%
  1   -0.327579        32.76%        10.73%
  2    0.046565         4.66%         0.22%
  3    0.364831        36.48%        13.31%
  4    0.391232        39.12%        15.31%
  5    0.261141        26.11%         6.82%
  6    0.131049        13.10%         1.72%
  7    0.053376         5.34%         0.28%
  8    0.018405         1.84%         0.03%
  9    0.005520         0.55%         0.00%
 10    0.001468         0.15%         0.00%
 11    0.000351         0.04%         0.00%
 12    0.000076         0.01%         0.00%
 13    0.000015         0.00%         0.00%
 14    0.000003         0.00%         0.00%
 15    0.000000         0.00%         0.00%

Conservação de potência: Σ J_n²(β) = 1.0000000000 (deve ser 1.0)

• $\beta = 5$.
• Componentes significativas: ~13 (até $n \approx 6$ de cada lado).
• Banda de Carson: $B_C = 60\text{ kHz}$.
• $\sum J_n^2(5) \approx 1{,}0000$.

4.13.3 Exercício 2: Banda de Carson vs número de bandas significativas

Problema: Para diferentes valores de $\beta \in \{0{,}1, 0{,}5, 1, 2, 5, 10\}$, comparar a banda de Carson com o número real de bandas laterais necessárias para capturar 99% da potência total.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import jv

betas = [0.1, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0]
n_max_search = 50

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))

results = []
for beta in betas:
    n_vals = np.arange(-n_max_search, n_max_search + 1)
    Jn_vals = jv(n_vals, beta)
    Jn_sq = Jn_vals ** 2
    total_power = np.sum(Jn_sq)

    # Somar do centro para as laterais até 99%
    cumulative = Jn_sq[n_max_search]  # portadora n=0
    k_found = 0
    for k in range(1, n_max_search + 1):
        cumulative += Jn_sq[n_max_search + k] + Jn_sq[n_max_search - k]
        if cumulative / total_power >= 0.99:
            k_found = k
            break

    n_components = 2 * k_found + 1  # portadora + k pares
    B_carson_kHz = 2 * (beta + 1)
    B_99_kHz = 2 * k_found

    results.append((beta, n_components, B_carson_kHz, B_99_kHz))
    ax.plot(beta, B_carson_kHz, 'o', label=f'β={beta}, Carson={B_carson_kHz:.1f}', markersize=8)
    ax.plot(beta, B_99_kHz, 's', fillstyle='none', markersize=6)

ax.set_xlabel('Índice de modulação β')
ax.set_ylabel('Largura de banda (× fm)')
ax.set_title('Banda de Carson vs banda para 99% da potência')
ax.legend()
ax.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()

for beta, nc, bc, b99 in results:
    print(f"β = {beta:.1f}: {nc} componentes para 99%, Carson ≈ {bc:.1f} (99% ≈ {b99:.1f})")

Output:

β = 0.1: 3 componentes para 99%, Carson ≈ 2.2 (99% ≈ 2.0)
β = 0.5: 3 componentes para 99%, Carson ≈ 3.0 (99% ≈ 2.0)
β = 1.0: 5 componentes para 99%, Carson ≈ 4.0 (99% ≈ 4.0)
β = 2.0: 7 componentes para 99%, Carson ≈ 6.0 (99% ≈ 6.0)
β = 5.0: 13 componentes para 99%, Carson ≈ 12.0 (99% ≈ 12.0)
β = 10.0: 25 componentes para 99%, Carson ≈ 22.0 (99% ≈ 24.0)

Insight: a regra de Carson é conservadora para $\beta < 3$ e mais precisa para $\beta > 5$. Para $\beta = 5$, Carson dá $12\times f_m$ e 99% da potência requerem ~12–13 $\times f_m$.

4.13.4 Exercício 3: Simulação FM com pré-ênfase e de-ênfase

Problema: Simular a demodulação FM de um sinal com pré-ênphasis/de-ênphasis ($\tau = 75\,\mu\text{s}$) e quantificar a melhoria de SNR. Comparar com o caso sem pré/de-ênfase.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import hilbert

# Parâmetros
fs = 500e3        # taxa de amostragem
fc = 10e3         # frequência portadora (simulação em baseband)
fm = 1e3          # frequência da mensagem
df = 5e3          # desvio de frequência
beta = df / fm
tau = 75e-6       # constante de tempo de de-ênfase
f0 = 1 / (2 * np.pi * tau)  # frequência de corte de pré-ênfase

# Tempo
T = 0.02
t = np.arange(0, T, 1/fs)

# Sinal mensagem (tom + ruído)
m_tone = np.cos(2 * np.pi * fm * t)
np.random.seed(42)
noise = np.random.randn(len(t)) * 0.3
m = m_tone + noise

# Pré-ênfase: filtro passa-altas de 1ª ordem
alpha = np.exp(-1.0 / (fs * tau))
m_pre = np.zeros_like(m)
m_pre[0] = m[0]
for i in range(1, len(m)):
    m_pre[i] = (m[i] - m[i-1]) + alpha * m_pre[i-1]

# Gerar sinal FM
phase = 2 * np.pi * fc * t + 2 * np.pi * df * np.cumsum(m_pre) / fs
s_fm = np.cos(phase)

# Adicionar ruído ao canal
snr_db = 20
snr_linear = 10 ** (snr_db / 10)
signal_power = np.mean(s_fm ** 2)
noise_power = signal_power / snr_linear
n_awgn = np.random.randn(len(t)) * np.sqrt(noise_power)
r = s_fm + n_awgn

# Demodulação FM por Hilbert (detecção não-coerente)
z = hilbert(r)
phase_inst = np.unwrap(np.angle(z))
f_inst = np.diff(phase_inst) * fs / (2 * np.pi)
f_inst_dc = f_inst - np.mean(f_inst)
m_demod = f_inst_dc / df

# De-ênfase: filtro passa-baixas de 1ª ordem
m_de = np.zeros_like(m_demod)
m_de[0] = m_demod[0] * (1 - alpha)
for i in range(1, len(m_demod)):
    m_de[i] = (m_demod[i] - m_demod[i-1]) * (1 - alpha) + alpha * m_de[i-1]

# Calcular SNR de saída. A diferenciação reduz o vetor em uma amostra;
# portanto, a referência correspondente começa em t[1].
m_clean = m_tone[1:1 + len(m_de)]
noise_est = m_de - m_clean
snr_out = 10 * np.log10(np.var(m_clean) / np.var(noise_est))

print(f"SNR de entrada: {snr_db} dB")
print(f"SNR de saída (com pré/de-ênfase): {snr_out:.1f} dB")
print(f"Melhoria de SNR: {snr_out - snr_db:.1f} dB")

# Plot comparativo
fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(10, 8))
axes[0].plot(t * 1e3, m, label='m(t) com ruído')
axes[0].set_ylabel('Amplitude')
axes[0].set_title('Sinal mensagem com ruído')
axes[0].legend()
axes[1].plot(t[:500] * 1e3, m_demod[:500], label='Demodulado (sem de-ênfase)')
axes[1].set_ylabel('Amplitude')
axes[1].set_title('Sinal demodulado (pré-de-ênfase)')
axes[1].legend()
axes[1].grid(alpha=0.3)
axes[2].plot(t[:500] * 1e3, m_de[:500], label='Demodulado (com de-ênfase)')
axes[2].set_xlabel('Tempo (ms)')
axes[2].set_ylabel('Amplitude')
axes[2].set_title('Sinal após de-ênfase')
axes[2].legend()
axes[2].grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()

Output:

SNR de entrada: 20 dB
SNR de saída (com pré/de-ênfase): -0.0 dB
Melhoria de SNR: -20.0 dB

4.13.5 Exercício 4: Curva de limiar FM — SNR vs $\beta$

Problema: Simular a relação SNR de saída vs SNR de entrada para diferentes valores de $\beta$, mostrando o limiar FM.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import hilbert

# Parâmetros
fs = 200e3
fm = 1e3
t = np.arange(0, 0.01, 1/fs)

betas_plot = [1.0, 2.5, 5.0]
snr_range_db = np.arange(0, 30, 0.5)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))

for beta in betas_plot:
    df = beta * fm
    fc = 10 * fm  # fc >> fm para evitar aliasing

    m = np.cos(2 * np.pi * fm * t)
    phase = 2 * np.pi * fc * t + 2 * np.pi * df * np.cumsum(m) / fs
    s_fm = np.cos(phase)

    snr_out_list = []
    for snr_db in snr_range_db:
        snr_lin = 10 ** (snr_db / 10)
        sig_power = np.mean(s_fm ** 2)
        noise_power = sig_power / snr_lin
        r = s_fm + np.random.randn(len(t)) * np.sqrt(noise_power)

        # Demodulação I/Q
        z = hilbert(r)
        phi = np.unwrap(np.angle(z))
        fi = np.diff(phi) * fs / (2 * np.pi)
        fi_dc = fi - np.mean(fi)
        m_hat = fi_dc / df

        # SNR de saída (desprezar bordas)
        edge = min(100, len(m_hat) // 10)
        m_clean = m[1:1 + len(m_hat)]
        error = m_hat[edge:-edge] - m_clean[edge:-edge]
        snr_out = 10 * np.log10(
            np.var(m_clean[edge:-edge]) / max(np.var(error), np.finfo(float).tiny)
        )
        snr_out_list.append(snr_out)

    ax.plot(snr_range_db, snr_out_list, 'o-', label=f'β = {beta}')

    # O SNR imposto mede ruído em toda a banda discreta fs/2.
    # Converta-o para C/N na largura da mensagem W=fm.
    cn_w_db = snr_range_db + 10 * np.log10(fs / (2 * fm))
    theoretical = 10 * np.log10(1.5 * beta**2) + cn_w_db
    ax.plot(snr_range_db, theoretical, '--', alpha=0.3)

ax.set_xlabel('SNR de entrada (dB)')
ax.set_ylabel('SNR de saída (dB)')
ax.set_title('Curva de limiar FM: SNR de saída vs SNR de entrada')
ax.legend()
ax.grid(alpha=0.3)
ax.set_xlim(0, 25)
plt.tight_layout()

print("Nota: o limiar FM aparece como desvio da linha teórica "
      "quando SNR_in < ~10 dB (depende de β).")

Output:

Nota: o limiar FM aparece como desvio da linha teórica quando SNR_in < ~10 dB (depende de β).

• Para cada $\beta$, a curva se aproxima de $\text{SNR}_{\text{out,dB}}=(C/N)_{W,\text{dB}}+10\log_{10}(3\beta^2/2)$ acima do limiar. No código, $(C/N)_W$ é obtido do SNR imposto corrigindo a razão entre a banda de Nyquist $f_s/2$ e $W=f_m$.
• Abaixo de $\approx 10\text{ dB}$ de SNR de entrada, as curvas "caem" abruptamente.
• Quanto maior $\beta$, mais o limiar se desloca para SNR de entrada menores (maior margem de SNR).

4.14 Lista de Exercícios Propostos

E1. Para $f_m = 2\text{ kHz}$ e $\Delta f = 10\text{ kHz}$, determine $\beta$ e a banda de Carson. Calcule $J_0(\beta)$ e $J_1(\beta)$ e identifique as duas primeiras componentes espectrais em amplitude.

E2. Um sinal FM com $\beta = 3$ tem portadora em $100\text{ MHz}$. Qual a frequência da 5ª banda lateral superior? Qual a amplitude relativa desta componente? E da 5ª inferior?

E3. Mostre que para $\beta \to 0$, o espectro FM converge para $A_c\cos(2\pi f_c t) + \dfrac{A_c\beta}{2}\cos[2\pi(f_c-f_m)t] - \dfrac{A_c\beta}{2}\cos[2\pi(f_c+f_m)t]$, e interprete este resultado como NBFM.

E4. Prove, usando a identidade de recorrência $J_{n-1}(\beta) + J_{n+1}(\beta) = \dfrac{2n}{\beta}J_n(\beta)$, que $J_2(\beta) = \dfrac{2}{\beta}J_1(\beta) - J_0(\beta)$ (para $n=1$).

E5. Para $\beta = 2{,}4048$ (primeiro zero de $J_0$), qual é a fração de potência na portadora? E nas primeiras bandas laterais ($n=\pm1$)? Calcule numericamente.

E6. Em um sistema FM broadcast com $\Delta f = 75\text{ kHz}$, $f_m = 15\text{ kHz}$: (a) qual o $\beta$? (b) quantas bandas laterais têm amplitude $\geq 5\%$ de $A_c$? (c) qual a potência total em dBm numa carga de 50 Ω com $A_c = 10\text{ V}$?

E7. Um sistema FM usa $f_c = 450\text{ MHz}$, $\Delta f = 5\text{ kHz}$, $f_m = 3\text{ kHz}$. Classifique como NBFM ou WBFM. Calcule a banda de Carson e determine quantas componentes de Bessel são necessárias para capturar 99% da potência.

E8. Um multiplicador de frequência com fator $N = 64$ é aplicado a um sinal NBFM com $\beta_0 = 0{,}2$ e $f_{c0} = 200\text{ kHz}$. Quais são os novos $\beta'$ e $f_c'$? Qual a nova banda de Carson (para $f_m = 3\text{ kHz}$)?

E9. Explique, usando a relação $\phi \approx n_s/A_c$, por que o ruído de saída do discriminador FM cresce como $f^2$. Deduza $S_{n_{\text{out}}}(f) = K_d^2(2\pi f)^2 N_0/A_c^2$ a partir de $S_{n_s}(f) = N_0$.

E10. Demonstre que $\displaystyle\int_{-W}^{W} f^2\,df = \dfrac{2W^3}{3}$ e use este resultado para obter a potência de ruído de saída $P_{n_{\text{out}}} = \dfrac{8\pi^2 K_d^2 N_0 W^3}{3A_c^2}$.

E11. Para $\tau = 75\,\mu\text{s}$, calcule $f_0$. Qual a atenuação (em dB) do filtro de de-ênfase a 10 kHz? E a 15 kHz? Compare o ruído de saída nestas duas frequências.

E12. No sistema FM stereo, explique por que o pilot tone deve estar exatamente em 19 kHz (múltiplo inteiro de $f_m$). O que aconteceria se o pilot estivesse em 19{,}1 kHz? Qual a função do filtro de 53 kHz?

E13. (Desafio) Mostre que $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n^2(\beta) = 1$ usando a identidade de Jacobi–Anger: $e^{j\beta\sin\theta} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(\beta)e^{jn\theta}$. (Dica: aplique o teorema de Parseval à série de Fourier de $e^{j\beta\sin\theta}$.)

E14. (Desafio) Derive a expressão da SNR de saída FM para uma mensagem de banda limitada genérica $m(t)$ com potência $P_m = \langle m^2(t)\rangle$ e largura de banda $W$. Mostre que $\text{SNR}_{\text{out}} = \dfrac{3k_f^2P_mA_c^2}{2N_0W^3}$.

E15. Um receptor FM opera com $A_c = 1\text{ V}$, $N_0 = 10^{-9}\text{ W/Hz}$, $W = 15\text{ kHz}$, $\beta = 5$. Calcule: (a) $\text{SNR}_{\text{in}}$ com $B_r = 200\text{ kHz}$. (b) $\text{SNR}_{\text{out}}$ teórico. (c) SNR de saída em dB.

4.15 Gabarito

E1. $\beta = \Delta f/f_m = 10/2 = 5$. $B_C = 2(10+2) = 24\text{ kHz}$. $J_0(5) \approx -0{,}1776$, $J_1(5) \approx -0{,}3276$. Amplitude da portadora: $A_c|J_0| \approx 0{,}178 A_c$. Amplitude da 1ª lateral: $A_c|J_1| \approx 0{,}328 A_c$. A 1ª lateral é mais forte que a portadora!

E2. 5ª lateral superior: $f_c + 5f_m = 100\text{ MHz} + 5f_m$. 5ª lateral inferior: $f_c - 5f_m = 100\text{ MHz} - 5f_m$. Amplitude relativa: $A_c|J_5(3)|$. Numericamente, $J_5(3) \approx 0{,}0862$ e $J_{-5}(3) = (-1)^5 J_5(3) = -0{,}0862$. Ambas têm amplitude $0{,}0862\,A_c$ (8{,}62% da portadora não modulada).

E3. Para $\beta \to 0$: $J_0(\beta) \to 1$, $J_{\pm 1}(\beta) \to \pm\beta/2$, $J_n(\beta) \to 0$ para $|n|\geq 2$. Substituindo na expansão $s_{\text{FM}}(t) = A_c\sum J_n(\beta)\cos[2\pi(f_c+nf_m)t]$:

Usando $\cos(A-B)-\cos(A+B) = 2\sin A\sin B$, obtemos $A_c\cos(2\pi f_c t) - A_c\beta\sin(2\pi f_c t)\sin(2\pi f_m t)$, que é a forma padrão de NBFM. Interpretação: como AM com portadora forte e fase de 90° nas laterais.

E4. Para $n=1$: $J_0(\beta) + J_2(\beta) = \dfrac{2}{\beta}J_1(\beta)$. Rearranjando: $\boxed{J_2(\beta) = \dfrac{2}{\beta}J_1(\beta) - J_0(\beta)}$.

E5. Para $\beta = 2{,}4048$ (zero de $J_0$): $J_0(\beta) = 0$, portanto potência na portadora $P_0 = \dfrac{A_c^2}{2}\cdot 0 = 0$ — 100% da potência da portadora é transferida para as laterais. $J_1(2{,}4048) \approx 0{,}5191$, então $P_1 = \dfrac{A_c^2}{2}(0{,}5191)^2 \approx 0{,}135\dfrac{A_c^2}{2}$ por lado, total $0{,}270\,A_c^2/2$ para $n=\pm 1$.

E6. (a) $\beta = 75/15 = 5$. (b) A contagem deve ser feita numericamente com $|J_n(5)|\geq0{,}05$; incluem-se a portadora e os pares laterais que satisfazem o limiar. (c) Interpretando $A_c=10\text{ V}$ como amplitude de pico sobre $R=50\,\Omega$, $V_{\mathrm{rms}}=A_c/\sqrt2$ e $P=V_{\mathrm{rms}}^2/R=A_c^2/(2R)=1\text{ W}=\boxed{30\text{ dBm}}$. A potência total de FM é constante e independe de $\beta$.

E7. $\beta = \Delta f/f_m = 5/3 \approx 1{,}67 > 1$, logo WBFM. $B_C = 2(5+3) = 16\text{ kHz}$. Para $\beta = 1{,}67$, $J_n$ é significativo até $n \approx 3$–4. Necessário ~9–11 componentes para 99% da potência.

E8. $\beta' = 64 \times 0{,}2 = 12{,}8$. $f_c' = 64 \times 200\text{ kHz} = 12{,}8\text{ MHz}$. $B_C' = 2(\beta'+1)f_m = 2(13{,}8)(3) = 82{,}8\text{ kHz}$.

E9. $\phi \approx n_s/A_c$. O discriminador diferencia: $d\phi/dt = \dfrac{1}{A_c} \dfrac{dn_s}{dt}$. No domínio da frequência: $\mathcal{F}\{d\phi/dt\} = j2\pi f\,\Phi(f) = j2\pi f\,\dfrac{N_s(f)}{A_c}$. $S_{n_{\text{out}}}(f) = |K_d|^2\cdot (2\pi f)^2 \cdot \dfrac{N_0}{A_c^2}$. $\blacksquare$

E10. $\displaystyle\int_{-W}^{W} f^2\,df = \left[\dfrac{f^3}{3}\right]_{-W}^{W} = \dfrac{W^3 - (-W^3)}{3} = \dfrac{2W^3}{3}$. $P_{n_{\text{out}}} = \displaystyle\int_{-W}^{W} K_d^2(2\pi f)^2\dfrac{N_0}{A_c^2}\,df = \dfrac{K_d^2 4\pi^2 N_0}{A_c^2}\cdot \dfrac{2W^3}{3} = \dfrac{8\pi^2 K_d^2 N_0 W^3}{3A_c^2}$. $\blacksquare$

E11. $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\cdot 75\times 10^{-6}} \approx 2122\text{ Hz}$. Atenuação: $|H_{\text{de}}(f)| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(f/f_0)^2}}$. Para $f = 10\text{ kHz}$: $|H| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(10000/2122)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{23{,}22}} \approx 0{,}2075 = -13{,}7\text{ dB}$. Para $f = 15\text{ kHz}$: $|H| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(15000/2122)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{50{,}13}} \approx 0{,}1413 = -17{,}0\text{ dB}$. Razão de atenuação entre 15 kHz e 10 kHz: $3{,}3\text{ dB}$ adicional.

E12. O pilot em 19 kHz é um submúltiplo exato da subportadora de 38 kHz ($2\times 19 = 38$). O receptor usa um dobrador de frequência ($2f$) no pilot para gerar 38 kHz localmente para demodulação do DSB-SC. Se o pilot estivesse em 19{,}1 kHz, o dobrador geraria 38{,}2 kHz, causando erro de fase no demodulador e distorção do sinal L−R. O filtro de 53 kHz rejeita todas as componentes acima da banda L−R, incluindo o RDS em 57 kHz (que é rejeitado pelo filtro de áudio).

E13. Pela identidade de Jacobi–Anger: $e^{j\beta\sin\theta} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(\beta)e^{jn\theta}$. Esta é a série de Fourier de $e^{j\beta\sin\theta}$ com coeficientes $c_n = J_n(\beta)$. Pelo teorema de Parseval:

Como $|e^{j\beta\sin\theta}| = 1$, o lado esquerdo é 1. Logo $\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n^2(\beta) = 1$. $\blacksquare$

E14. A saída de sinal é $y(t)=2\pi K_dk_fm(t)$. Como $P_m=\langle m^2(t)\rangle$, sua potência é $P_{\text{sinal,out}}=(2\pi K_dk_f)^2P_m=4\pi^2K_d^2k_f^2P_m$. Dividindo por $P_{n_{\text{out}}}=8\pi^2K_d^2N_0W^3/(3A_c^2)$, obtém-se $\text{SNR}_{\text{out}}=3k_f^2P_mA_c^2/(2N_0W^3)$. Para uma senoide, $P_m=A_m^2/2$, recuperando a Seção “SNR de saída FM”. $\blacksquare$

E15. (a) $P_{\text{sin,in}}=A_c^2/2=0{,}5\text{ W}$ e $P_{n,\text{in}}=N_0B_r=10^{-9}(200\times10^3)=2\times10^{-4}\text{ W}$. Logo, $\text{SNR}_{\text{in},B_r}=2500\approx33{,}98\text{ dB}$. (b) Pela conversão da Seção “SNR de saída FM”, $\text{SNR}_{\text{out}}=(3/2)\beta^2(B_r/W)\text{SNR}_{\text{in},B_r}=(3/2)(25)(200/15)(2500)=1{,}25\times10^6$. (c) $\text{SNR}_{\text{out}}\approx60{,}97\text{ dB}$. Observe que o fator $B_r/W$ é indispensável porque a SNR de entrada foi medida na banda RF, não na banda da mensagem.