6. Transmissão Digital em Banda Passante: ASK, PSK e FSK
6. Transmissão Digital em Banda Passante: ASK, PSK e FSK
Apostila de Comunicações — Transmissão Digital em Banda Passante: ASK, PSK e FSK
Tópicos: espaço de sinais · decisão máxima-verossimilhança · M-ASK · BPSK · QPSK · M-PSK · M-FSK · BER · constelações · eficiência espectral
6.1 Antes de começar
Ao final, você deve representar modulações em espaço de sinais, construir regiões ML e comparar ASK, PSK e FSK por distância, BER, banda e complexidade. Diagnóstico: dois esquemas com a mesma energia média necessariamente têm a mesma BER? Evidência mínima: obter ao menos uma curva simulada com barras ou intervalos de incerteza e confrontá-la com a teoria.
6.2 Espaço de Sinais e Decisão Máxima-Verossimilhança
6.2.1 Representação de Karhunen-Loève
Os coeficientes $s_{ik} = \int_0^{T_s} s_i(t)\phi_k(t)\,dt$ formam o vetor de sinal $\mathbf{s}_i = (s_{i1}, \dots, s_{iN}) \in \mathbb{R}^N$.
6.2.2 Receptor Ótimo em AWGN
A densidade de probabilidade condicional do vetor recebido $\mathbf{r}$ dado que $\mathbf{s}_i$ foi transmitido é Gaussiana multivariada:
Para símbolos equiprováveis $P(i) = 1/M$, a regra de máxima-verossimilhança é $\arg\max_i p(\mathbf{r}|\mathbf{s}_i)$, equivalente a $\arg\min_i \|\mathbf{r} - \mathbf{s}_i\|^2$. Expandindo:
O termo $\|\mathbf{r}\|^2$ é comum a todos os $i$, então a decisão é $\arg\max_i (\mathbf{r} \cdot \mathbf{s}_i - \frac{1}{2}\|\mathbf{s}_i\|^2)$. $\blacksquare$
6.2.3 Implementação: Correlator ou Filtro Casado
Equivalente: filtro casado $h_k(t) = \phi_k(T_s - t)$ para cada $\phi_k$, amostra em $t = T_s$.
6.2.4 Probabilidade de Erro em Função da Distância
Para dois sinais antipodais $\pm\mathbf{s}$ ($\|\mathbf{s}\|^2 = E$), em AWGN:
O denominador contém metade da distância entre os sinais e o desvio padrão $\sqrt{N_0/2}$ do ruído projetado. Para BPSK, $E=E_b$, recuperando $P_b=Q(\sqrt{2E_b/N_0})$.
Para $M$ sinais hipercúbicos (M-PAM):
6.3 M-ASK — Teoria Completa
6.3.1 Definição do Sinal M-ASK
Os pontos da constelação estão em uma linha (dimensão $N = 1$).
6.3.2 Mapeamento de Amplitudes
Para energia normalizada (energia média por símbolo unitária), as amplitudes são igualmente espaçadas e simétricas em torno de zero:
O espaçamento é $2d$. A energia média do símbolo é:
Com $A_m = (2m - M + 1)d$:
Logo:
6.3.3 Potência e Eficiência
A potência média transmitida é $P = E_s/T_s$. A eficiência espectral é:
onde $B$ é a largura de banda do sinal modulado. Para ASK com pulso de Nyquist RC, $B = (1+\alpha)/(2T_s)$ em banda base, ou $B = (1+\alpha)/T_s$ em banda passante (duplicada).
6.3.4 Casos Particulares
OOK: é assimétrica, $\{0,s_1\}$, e não coincide com a M-ASK simétrica da Seção “Mapeamento de Amplitudes”. Se $E_1$ é a energia do símbolo ligado, $P_b=Q(\sqrt{E_1/(2N_0)})$. Para bits equiprováveis, a energia média é $\bar E_b=E_1/2$, logo:
4-ASK: Constelação $\{-3d, -d, d, 3d}$ normalizada. Transporta 2 bits/símbolo. BER aproximada:
16-ASK: 4 bits/símbolo. BER aproximada:
6.3.5 Desvantagem do M-ASK
Comparação: BPSK ($M=2$ PSK) tem $d_{\min}^2 = 4E_b$. 16-ASK tem $d_{\min}^2 \approx \frac{12E_b\cdot 4}{255} \approx 0{,}188E_b$. BPSK é ~21× melhor em distância mínima.
6.4 Dedução da Probabilidade de Erro M-ASK
6.4.1 Densidade de Probabilidade Condicionada
Considere a M-ASK simétrica e denote por $D=2d\sqrt{T_s/2}$ a distância entre pontos adjacentes no espaço de sinais. A fronteira fica no ponto médio, a $D/2$ de cada vizinho. Como a projeção do ruído tem desvio $\sigma=\sqrt{N_0/2}$, um ponto interno possui duas caudas de erro:
Cada ponto de borda possui apenas uma cauda. Fazendo a média dos dois pontos de borda e dos $M-2$ internos:
6.4.2 Conversão para BER
Usando Gray coding (aproximação boa para M grande), cada erro de símbolo troca tipicamente 1 bit:
Como $D^2=12E_s/(M^2-1)=12E_b\log_2M/(M^2-1)$:
Verificação para M = 2:
Isso é BPSK, pois a M-ASK simétrica com $M=2$ tem pontos antipodais. OOK é tratado separadamente na Seção “Casos Particulares”.
Se a energia do símbolo ligado for denotada por $E_1$, OOK possui $P_b=Q(\sqrt{E_1/(2N_0)})$; com bits equiprováveis, $E_1=2\bar E_b$ e resulta $Q(\sqrt{\bar E_b/N_0})$.
6.4.3 Interpretação
6.5 BPSK — Teoria e Optimalidade
6.5.1 Definição BPSK
No espaço de sinais, os dois pontos são $\pm\sqrt{E_b}$ em $\mathbb{R}^1$. A distância entre eles é $2\sqrt{E_b}$.
6.5.2 DEDUÇÃO da BER BPSK
O receptor correlaciona $r(t)$ com $\phi(t) = \sqrt{2/T_b}\cos(2\pi f_c t)$:
onde $n \sim \mathcal{N}(0, N_0/2)$. O limiar ótimo (equiprovável) é $0$.
Erro ocorre se $n > 0$ quando $-\sqrt{E_b}$ foi transmitido, ou se $n < 0$ quando $+\sqrt{E_b}$ foi transmitido. Por simetria:
6.5.3 Teorema da Optimalidade BPSK
6.5.4 Detecção Coerente
O detector coerente BPSK usa:
- Recuperação de portadora: PLL ou Costas loop para estimar a fase da portadora.
- Correlador: $r = \int r(t)\sqrt{2/T_b}\cos(2\pi f_c t + \hat{\phi}) dt$.
- Decisão: $\hat{b} = 1$ se $r > 0$, $\hat{b} = 0$ se $r < 0$.
6.5.5 BER BPSK em Tabela
| $E_b/N_0$ (dB) | $E_b/N_0$ (linear) | BER |
|---|---|---|
| 0 | 1 | $Q(\sqrt{2}) \approx 0{,}0787$ |
| 3 | 2 | $Q(2) \approx 0{,}0228$ |
| 6 | 4 | $Q(\sqrt{8}) \approx 0{,}000317$ |
| 9,6 | 9 | $Q(3) \approx 0{,}00135$ |
| 10 | $\sim$10 | $Q(\sqrt{20}) \approx 2{,}87\times 10^{-5}$ |
6.6 QPSK — Teoria, Eficiência e Variação π/4
6.6.1 Definição QPSK
Os sinais são:
6.6.2 Representação I/Q
QPSK é equivalente a dois BPSK ortogonais:
Para $\{\pi/4, 3\pi/4, 5\pi/4, 7\pi/4\}$: $I, Q \in \{\pm\sqrt{E_s/T_s}\} = \{\pm\sqrt{E_b/T_b}\}$.
Cada eixo é independente BPSK com energia $E_b$. Portanto:
6.6.3 DEDUÇÃO da BER QPSK
O receptor QPSK decompõe $r(t)$ em componentes I e Q ortogonais. Cada componente sofre decisão BPSK independente com energia $E_b$ e ruído $n_I, n_Q \sim \mathcal{N}(0, N_0/2)$:
A probabilidade de erro de símbolo é:
Para $P_b \ll 1$: $P_s \approx 2P_b$.
6.6.4 Eficiência Espectral QPSK
QPSK transmite dois bits por símbolo. Com pulsos de Nyquist de roll-off $\alpha$, a largura de banda passante é aproximadamente $B=(1+\alpha)R_s$; portanto:
Para $\alpha=0$, o limite ideal é $2$ bit/s/Hz; roll-off positivo reduz esse valor.
6.6.5 Gray Coding
Para QPSK com fases $\{\pi/4, 3\pi/4, 5\pi/4, 7\pi/4\}$, o mapeamento Gray é:
| Fase | Bits (Gray) |
|---|---|
| $\pi/4$ | 00 |
| $3\pi/4$ | 01 |
| $5\pi/4$ | 11 |
| $7\pi/4$ | 10 |
6.6.6 QPSK π/4
Motivação: Evita que a trajetória de fase cruze a origem (onde o envelope tende a zero), importante para amplificadores de potência não-lineares (eficiência energética).
6.6.7 DQPSK
BER DQPSK (não-coerente): aproximadamente 2–3 dB pior que QPSK coerente na BER baixa.
6.7 M-PSK Geral e DPSK
6.7.1 Sinais M-PSK
A constelação é um polígono regular inscrito em círculo de raio $\sqrt{E_s}$.
6.7.2 DEDUÇÃO da BER M-PSK
A probabilidade de erro de símbolo M-PSK é a probabilidade de sair do setor angular de meia-largura $\pi/M$. Para $M\ge4$ e SNR moderada/alta, os dois vizinhos dominam:
Convertendo para BER com Gray coding ($P_b \approx P_s/\log_2 M$):
Para $M=4$, a expressão recupera exatamente $Q(\sqrt{2E_b/N_0})$. Para $M=2$, há apenas um vizinho, não dois, e deve-se usar diretamente a fórmula BPSK $Q(\sqrt{2E_b/N_0})$; portanto, (6.2)–(6.3) não devem ser extrapoladas para $M=2$.
6.7.3 DEDUÇÃO do Limite Assintótico
Para $M = 2^k$, $\log_2 M = k$, $\pi/M = \pi/2^k$:
Para $k$ grande, o argumento decai exponencialmente:
6.7.4 DPSK (Differential PSK)
BDPSK (Binary DPSK): $\Delta\phi \in \{0, \pi\}$. Decodificação: $\hat{b}_k = 1$ se $\cos(\phi_k - \phi_{k-1}) > 0$.
BER BDPSK:
Comparação BDPSK vs BPSK: para $P_b=10^{-3}$, BPSK coerente requer aproximadamente $6{,}79$ dB e BDPSK aproximadamente $7{,}93$ dB: penalidade de $1{,}14$ dB nesse ponto. A penalidade tende a cerca de 3 dB apenas no limite de BER muito baixa.
DQPSK: usa quatro mudanças de fase, normalmente com mapeamento Gray. Sua BER depende do detector diferencial e não é obtida dividindo diretamente a expressão de BDPSK por dois; deve ser calculada a partir das regiões de decisão diferenciais ou avaliada numericamente.
6.8 M-FSK — Teoria
6.8.1 Definição M-FSK Ortogonal
6.8.2 Ortogonalidade
Os sinais são ortogonais se:
Para portadoras coerentes cujas fases são conhecidas e escolhidas de modo compatível com a janela, a separação mínima usual é:
A menor separação é:
6.8.3 Recepção M-FSK
O receptor possui $M$ correlatores (ou filtros casados), cada um sintonizado em uma frequência. A decisão é $\hat{m} = \arg\max_k r_k$, onde $r_k$ é a saída do correlator $k$.
6.8.4 Largura de Banda
A banda total ocupada é:
onde $B_p$ é a largura efetiva de um único tom após a conformação de pulso. Usar $M\Delta f$ é apenas uma estimativa de ordem de grandeza quando $B_p\approx\Delta f$.
Ou, pela regra de Carson (modulação de frequência contínua):
Para FSK digital: $B \approx M/(2T_s)$ com separação mínima.
6.8.5 Eficiência Energética do FSK
6.9 Dedução da Probabilidade de Erro M-FSK
6.9.1 M-FSK Coerente
Para M-FSK coerente ortogonal, cada correlator real produz uma variável Gaussiana. Se $m$ foi transmitido, $r_m$ tem média $\sqrt{E_s}$; os demais têm média zero; todos têm variância $N_0/2$.
A probabilidade de erro de símbolo é a probabilidade de algum correlator errado exceder o correto:
Para M grande e BER baixa, a união é dominada pelos eventos individuais:
Convertendo para BER:
Todos os tons errados estão à mesma distância do tom correto. Logo, não existe rotulagem Gray que torne todos os erros vizinhos erros de um bit. Por simetria, condicionado a um erro, o tom decidido é uniforme entre os $M-1$ incorretos; a distância de Hamming média é $kM/[2(M-1)]$, com $k=\log_2M$. Assim,
onde a última expressão é a aproximação/limitante de união em alta SNR. Para $M=2$, ela fornece exatamente $Q(\sqrt{E_b/N_0})$.
6.9.2 M-FSK Não-Coerente
No detector não-coerente, cada correlator é substituído por um detector de envelope (retificador + filtro). A saída é uma variável de Rician (símbolo correto) ou Rayleigh (símbolos errados).
Para M-FSK não-coerente:
Uma expressão exata útil é
Em alta SNR, o primeiro termo domina: $P_s\approx(M-1)e^{-E_s/(2N_0)}/2$. A BER volta a ser $M P_s/[2(M-1)]$ para qualquer rotulagem binária balanceada.
Para BFSK não-coerente ($M=2$):
Comparação BFSK:
- Coerente ortogonal: $P_b = Q(\sqrt{E_b/N_0})$.
- Não-coerente: $P_b = \frac{1}{2}e^{-E_b/(2N_0)}$.
- BPSK: $P_b = Q(\sqrt{2E_b/N_0})$.
Para BER $= 10^{-5}$: BPSK ~9,6 dB, BFSK coerente ~12,6 dB (3 dB penalidade), BFSK não-coerente ~13,8 dB (4,2 dB penalidade).
6.10 Comparação Rigorosa de Modulações Digitais
6.10.1 Tabela Comparativa
| Modulação | BER (aprox.) | Eficiência (bit/s/Hz) | Complexidade | Notas |
|---|---|---|---|---|
| BPSK | $Q(\sqrt{2\gamma})$ | 1 | Baixa | Ótimo BER, simples |
| QPSK | $Q(\sqrt{2\gamma})$ | 2 | Média | Mesmo BER; 2× mais bits por símbolo |
| 8-PSK | $\frac{2}{3}Q(\sqrt{6\gamma}\sin\frac{\pi}{8})$ | 3 | Média-Alta | $\sin(\pi/8) \approx 0{,}383$ |
| 16-PSK | $\frac{1}{2}Q(\sqrt{8\gamma}\sin\frac{\pi}{16})$ | 4 | Alta | $\sin(\pi/16) \approx 0{,}195$ |
| BFSK coer. | $Q(\sqrt{\gamma})$ | 0,5 | Baixa | 3 dB pior que BPSK |
| BFSK não-coer. | $\frac{1}{2}e^{-\gamma/2}$ | 0,5 | Muito baixa | 4,2 dB pior que BPSK |
| 4-ASK | $\frac{3}{4}Q(\sqrt{\frac{4\gamma}{5}})$ | 2 | Baixa | Sensível a ruído |
| 16-QAM | $\frac{3}{4}Q(\sqrt{\frac{4\gamma}{5}})$ | 4 | Alta | Eficiente, sensível a fase |
6.10.2 Curvas de BER
Isso não é uma implicação válida para “qualquer modulação” isoladamente: M-FSK, por exemplo, pode melhorar a eficiência energética ao gastar muito mais banda. O limite de Shannon descreve a fronteira global entre potência e banda; FEC aproxima o sistema dessa fronteira.
6.10.3 Observação sobre M-QAM
A BER 16-QAM é aproximada por:
6.11 Exercícios Resolvidos em Python
6.11.1 Protocolo computacional
Objetivo: comparar constelações, distância mínima, eficiência e BER de ASK, PSK e FSK. Normalização: fixe $E_b$ ou $E_s$ explicitamente e converta $E_s/N_0=\log_2(M)E_b/N_0$. Monte Carlo: use semente fixa e ao menos 100 erros por ponto, ou reporte intervalo de confiança/limite superior.
6.11.2 Exercício 1: BER de BPSK vs QPSK vs 8-PSK — Plot Comparativo
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import erfc
Q = lambda x: 0.5 * erfc(x / np.sqrt(2))
ebn0_db = np.linspace(0, 12, 200)
gamma = 10**(ebn0_db / 10)
# BER teórica
ber_bpsk = Q(np.sqrt(2 * gamma))
ber_qpsk = Q(np.sqrt(2 * gamma)) # mesmo BER que BPSK
ber_8psk = (2 / np.log2(8)) * Q(np.sqrt(2 * gamma * np.log2(8)) * np.sin(np.pi / 8))
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax.semilogy(ebn0_db, ber_bpsk, 'b-', linewidth=2, label='BPSK teoria')
ax.semilogy(ebn0_db, ber_qpsk, 'r--', linewidth=2, label='QPSK teoria (mesmo BPSK)')
ax.semilogy(ebn0_db, ber_8psk, 'g-', linewidth=2, label='8-PSK teoria')
ax.set(xlabel='$E_b/N_0$ (dB)', ylabel='BER',
title='BER Teórica: BPSK vs QPSK vs 8-PSK')
ax.grid(True, which='both')
ax.legend(fontsize=11)
ax.set_ylim(1e-7, 1)
plt.tight_layout()
plt.show()
6.11.3 Exercício 2: Constelações M-PSK para M = 4, 8, 16
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def plot_constellation(M, title="", marker='o', color='b'):
angles = 2 * np.pi * np.arange(M) / M
# normalizar a energia média a 1
points = np.exp(1j * angles)
points = points / np.sqrt(np.mean(np.abs(points)**2))
plt.plot(points.real, points.imag, marker, markersize=10,
markerfacecolor='none', markeredgecolor=color, markeredgewidth=1.5)
for i, angle in enumerate(angles):
plt.annotate(f'{i:0{int(np.ceil(np.log2(M)))}b}',
(points.real[i]*1.15, points.imag[i]*1.15),
fontsize=8, ha='center', va='center')
plt.plot(0, 0, 'k.', markersize=8)
plt.xlabel('I (in-phase)')
plt.ylabel('Q (quadrature)')
plt.title(title)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.axis('equal')
plt.xlim(-1.5, 1.5)
plt.ylim(-1.5, 1.5)
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 5))
for ax, M in zip(axes, [4, 8, 16]):
angles = 2 * np.pi * np.arange(M) / M
points = np.exp(1j * angles)
points = points / np.sqrt(np.mean(np.abs(points)**2))
ax.plot(points.real, points.imag, 'o', markersize=10,
markerfacecolor='none', markeredgecolor='b', markeredgewidth=1.5)
for i, angle in enumerate(angles):
ax.annotate(f'{i:0{int(np.ceil(np.log2(M)))}b}',
(points.real[i]*1.15, points.imag[i]*1.15),
fontsize=9, ha='center', va='center')
ax.plot(0, 0, 'k.', markersize=8)
ax.set(xlabel='I', ylabel='Q', title=f'{M}-PSK (M={M})',
xlim=(-1.5, 1.5), ylim=(-1.5, 1.5), aspect='equal')
ax.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
6.11.4 Exercício 3: BER de BFSK vs BPSK
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import erfc
Q = lambda x: 0.5 * erfc(x / np.sqrt(2))
ebn0_db = np.linspace(0, 14, 300)
gamma = 10**(ebn0_db / 10)
ber_bpsk = Q(np.sqrt(2 * gamma))
ber_bfsk_coh = Q(np.sqrt(gamma))
ber_bfsk_ncoh = 0.5 * np.exp(-gamma / 2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax.semilogy(ebn0_db, ber_bpsk, 'b-', linewidth=2, label='BPSK')
ax.semilogy(ebn0_db, ber_bfsk_coh, 'r--', linewidth=2, label='BFSK coerente')
ax.semilogy(ebn0_db, ber_bfsk_ncoh, 'g-.', linewidth=2, label='BFSK não-coerente')
ax.set(xlabel='$E_b/N_0$ (dB)', ylabel='BER',
title='BFSK vs BPSK: Coerente e Não-Coerente')
ax.grid(True, which='both')
ax.legend(fontsize=11)
ax.set_ylim(1e-7, 1)
plt.tight_layout()
plt.show()
6.11.5 Exercício 4: Eficiência Espectral vs Ordem de Modulação
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Eficiência espectral e BER necessária para 1e-5
from scipy.special import erfc
Qinv = lambda p: np.sqrt(2) * erfc(2 * p)
modulations = {
'BPSK': {'M': 2, 'type': 'psk', 'eta': 1.0},
'QPSK': {'M': 4, 'type': 'psk', 'eta': 2.0},
'8-PSK': {'M': 8, 'type': 'psk', 'eta': 3.0},
'16-PSK': {'M': 16, 'type': 'psk', 'eta': 4.0},
'BFSK': {'M': 2, 'type': 'fsk_coh', 'eta': 0.5},
'4-FSK': {'M': 4, 'type': 'fsk_coh', 'eta': 1.0},
'4-ASK': {'M': 4, 'type': 'ask', 'eta': 2.0},
}
target_ber = 1e-5
results = []
for name, info in modulations.items():
M = info['M']
eta = info['eta']
if info['type'] == 'psk':
# Inverter BER para encontrar Eb/N0
# P_b = (2/log2(M)) * Q(sqrt(2*Eb/N0 * log2(M)) * sin(pi/M))
sin_pi_M = np.sin(np.pi / M)
if M == 2:
arg = Qinv(target_ber)
ebn0 = arg**2 / 2
else:
# resolver numericamente
from scipy.optimize import brentq
def eq(g):
return (2/np.log2(M)) * 0.5*erfc(np.sqrt(2*g*np.log2(M))*sin_pi_M/np.sqrt(2)) - target_ber
try:
ebn0 = brentq(eq, 0.1, 30)
except:
ebn0 = np.nan
elif info['type'] == 'fsk_coh':
# P_b ≈ (M-1)/(M*log2(M)) * Q(sqrt(Eb*log2(M)/N0))
if M == 2:
arg = Qinv(target_ber * 2) # (M-1)/M = 0.5 for M=2
ebn0 = arg**2
else:
from scipy.optimize import brentq
def eq(g):
return (M-1)/(M*np.log2(M)) * 0.5*erfc(np.sqrt(g*np.log2(M)/2)) - target_ber
try:
ebn0 = brentq(eq, 0.1, 30)
except:
ebn0 = np.nan
elif info['type'] == 'ask':
# P_b ≈ 2(M-1)/(M*k) * Q(sqrt(6*k*Eb/((M^2-1)N0)))
coeff = 2*(M-1)/(M*np.log2(M))
inner = 6*np.log2(M)/(M**2-1)
arg = Qinv(target_ber / coeff)
ebn0 = arg**2 / inner
results.append((name, eta, 10*np.log10(ebn0) if not np.isinf(ebn0) else 999))
results.sort(key=lambda x: x[1])
names = [r[0] for r in results]
etas = [r[1] for r in results]
db_vals = [r[2] for r in results]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 6))
bars = ax.barh(names, etas, color=['blue','teal','green','orange','red','purple','brown'])
for i, (bar, db) in enumerate(zip(bars, db_vals)):
ax.text(bar.get_width() + 0.05, bar.get_y() + bar.get_height()/2,
f'{db:.1f} dB', va='center', fontsize=9)
ax.set(xlabel='Eficiência Espectral (bit/s/Hz)',
ylabel='Modulação',
title='Eficiência Espectral vs Eb/N0 para BER=1e-5',
xlim=(0, max(etas)+0.5))
ax.grid(axis='x', alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
6.12 Lista de Exercícios Propostos
E1. Para M-ASK, distinga o espaçamento entre amplitudes físicas, $2d$, da distância $D_{\min}$ após projeção na base ortonormal. Derive ambos em função de $E_b$, $M$ e $T_s$.
E2. Calcule a BER aproximada de 16-ASK a $E_b/N_0 = 12$ dB.
E3. Prove que a BER do BPSK é $Q(\sqrt{2E_b/N_0})$ a partir da densidade Gaussiana.
E4. Mostre que QPSK com Gray coding tem o mesmo BER de BPSK para o mesmo $E_b/N_0$.
E5. Para QPSK, calcule a probabilidade de erro de símbolo $P_s$ e demonstre que $P_s \approx 2P_b$ para $P_b \ll 1$.
E6. Derive a BER de M-PSK para $M = 8$ e compare numericamente com $M = 4$ (QPSK) a $E_b/N_0 = 8$ dB.
E7. Mostre que para M-FSK coerente, a probabilidade de erro de símbolo é $P_s \approx (M-1)Q(\sqrt{E_s/N_0})$.
E8. Para BDPSK, calcule o $E_b/N_0$ necessário para BER $= 10^{-3}$ e compare com BPSK.
E9. Para BFSK e 4-FSK coerentes com $T_s=1\,\mu$s, calcule a separação mínima entre tons. Depois estime a extensão entre o primeiro e o último tom e explique por que a banda ocupada total ainda depende da conformação de pulso.
E10. Trace o espaço de sinais para 8-PSK e identifique a distância mínima entre pontos adjacentes.
E11. Demonstre que a eficiência espectral do 16-QAM é 4 bit/s/Hz e calcule sua BER aproximada a $E_b/N_0 = 14$ dB.
E12. Explique por que o FSK é preferível em canais com amplificadores de potência não-lineais (efeito amplitude-to-phase).
6.13 Gabarito
E1. Da Seção “M-ASK — Teoria Completa”, $d=\sqrt{6E_b\log_2M/[T_s(M^2-1)]}$; portanto, o espaçamento de amplitude é $2d$. Após projeção, cada amplitude é multiplicada por $\sqrt{T_s/2}$, logo $D_{\min}=2d\sqrt{T_s/2}=\sqrt{12E_b\log_2M/(M^2-1)}$. A dependência em $T_s$ desaparece da distância energética.
E2. Para $M=16$ e $\gamma_b=10^{1{,}2}\approx15{,}85$, $x=\sqrt{6(4)\gamma_b/255}\approx1{,}221$. Assim, $P_b\approx(15/32)Q(x)\approx(0{,}46875)(0{,}111)\approx\boxed{5{,}2\times10^{-2}}$. A aproximação de vizinho mais próximo já é menos precisa nessa BER alta, mas evidencia a fragilidade da 16-ASK.
E3. $P_b = \int_{\sqrt{E_b}}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-x^2/N_0}dx = Q(\sqrt{E_b/(N_0/2)}) = Q(\sqrt{2E_b/N_0})$. ✓
E4. QPSK: dois eixos ortogonais, cada um BPSK com energia $E_b$. $P_b = Q(\sqrt{2E_b/N_0})$. ✓
E5. $P_s = 1-(1-P_b)^2 = 2P_b-P_b^2 \approx 2P_b$ para $P_b \ll 1$. ✓
E6. Para 8-PSK, $k=3$, $\gamma_b=6{,}31$ e $x=\sqrt{2k\gamma_b}\sin(\pi/8)\approx2{,}355$. Logo, $P_b\approx(2/3)Q(x)\approx(2/3)(0{,}0093)\approx6{,}2\times10^{-3}$. Para QPSK, $Q(\sqrt{2\gamma_b})\approx1{,}9\times10^{-4}$. A 8-PSK é cerca de 32 vezes pior nesse ponto.
E7. $P_s = P(\exists j \ne m: r_j > r_m) \approx (M-1)P(r_j > r_m) = (M-1)Q(\sqrt{E_s/N_0})$. ✓
E8. DBPSK: $10^{-3} = \frac{1}{2}e^{-\gamma} \Rightarrow \gamma = -\ln(2\times 10^{-3}) \approx 6{,}215$, ou $7{,}93$ dB. BPSK coerente: $Q(\sqrt{2\gamma}) = 10^{-3} \Rightarrow \gamma \approx 4{,}775$, ou $6{,}79$ dB. Portanto, nesse ponto, a penalidade da detecção diferencial é $\boxed{1{,}14\text{ dB}}$.
E9. A separação coerente mínima é $\Delta f=1/(2T_s)=500$ kHz. A extensão entre tons extremos é $(M-1)\Delta f$: 500 kHz para BFSK e 1,5 MHz para 4-FSK. A banda total é essa extensão mais a largura $B_p$ de um tom conformado; sem especificar o pulso e o critério de ocupação, não há um único valor de banda.
E10. 8-PSK: constelação em círculo raio $\sqrt{E_s}$. $d_{\min} = 2\sqrt{E_s}\sin(\pi/8) \approx 0{,}765\sqrt{E_s}$.
E11. 16-QAM transporta 4 bits/símbolo. Com pulso Nyquist ideal e a convenção de banda passante nula-a-nula, $B\approx R_s$, logo $\eta\approx4$ bit/s/Hz. Para mapeamento Gray em AWGN,
$P_b\approx\frac{4}{\log_2M}(1-1/\sqrt M)Q\!\left(\sqrt{\frac{3\log_2M}{M-1}\gamma_b}\right)$. Para $M=16$ e $\gamma_b=10^{14/10}=25{,}12$: $P_b\approx0{,}75Q(\sqrt{0{,}8\gamma_b})=0{,}75Q(4{,}48)\approx\boxed{2{,}8\times10^{-6}}$.
E12. Amplificadores não-lineares (classe C) convertem variações de amplitude em variações de fase (AM-PM). FSK tem envelope constante, evitando este efeito.