1. Sinais, Transformada de Fourier, Processos Aleatórios e Ruído

Sistemas de Comunicações — Apostila de Curso · UFSC · Prof. Laio Oriel Seman · Carga horária: 80h
Tópicos: Sinais Determinísticos e Aleatórios · Série e Transformada de Fourier · Densidade Espectral de Potência · Convolução e Filtragem · Processos Estocásticos · Ruído Térmico e AWGN · Função Q e Probabilidade de Erro

1.1 Antes de começar

Ao final, você deve conseguir escolher entre espectro de energia e PSD, prever o efeito de um filtro LIT e relacionar variância de ruído a uma probabilidade de erro. Diagnóstico: você sabe explicar por que uma senoide tem energia infinita, mas potência finita? Evidência mínima: reproduzir o laboratório e justificar, sem olhar o código, os gráficos de Fourier, Parseval, AWGN e BER.

1.2 Sinais e Energia/Potência

1.2.1 Classificação

Um sinal $x(t)$ é dito de energia se $0<E_x<\infty$, com:

e de potência se $0<P_x<\infty$ (tipicamente sinais periódicos ou aleatórios estacionários, que têm energia infinita):

Um sinal de energia finita tem necessariamente potência média nula (a energia se "dilui" ao longo do tempo infinito); um sinal de potência finita e não nula tem energia infinita. Essa dicotomia motiva duas ferramentas espectrais distintas: a Transformada de Fourier (sinais de energia) e a Densidade Espectral de Potência via autocorrelação (sinais de potência, Seção “Densidade Espectral de Potência de Processos Aleatórios”).

1.2.2 Sinais em comunicações

Em sistemas de comunicações, praticamente todo sinal de interesse é de potência (portadoras, ruído, sinais moduladas continuamente) — a Transformada de Fourier ainda é aplicada, mas de forma generalizada (via funções generalizadas/deltas de Dirac no domínio da frequência para sinais periódicos, Seção “Transformada de sinais periódicos (via trem de deltas espectrais)”) ou substituída pela densidade espectral de potência para processos aleatórios.

1.3 Série de Fourier

1.3.1 Dedução via ortogonalidade das exponenciais complexas

Um sinal periódico $x(t)=x(t+T_0)$, com $f_0=1/T_0$, pode ser expandido em uma base ortogonal de exponenciais complexas $\{e^{j2\pi nf_0t}\}_{n=-\infty}^{\infty}$. A ortogonalidade decorre de:

(para $n\neq m$, a integral de uma exponencial complexa completa sobre um número inteiro de períodos se anula — soma vetorial de fasores uniformemente distribuídos no círculo unitário). Postulando $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{j2\pi nf_0t}$ e multiplicando ambos os lados por $e^{-j2\pi mf_0t}$, integrando sobre um período e usando a ortogonalidade:

1.3.2 Espectro de linhas e simetria hermitiana

Os coeficientes $c_n$ formam um espectro de linhas discreto em múltiplos de $f_0$. Para $x(t)$ real, $c_{-n}=c_n^*$ (simetria hermitiana) — consequência direta de $x(t)=x^*(t)$ aplicado à definição de $c_n$. Isso garante que a soma de pares $c_ne^{j2\pi nf_0t}+c_{-n}e^{-j2\pi nf_0t}=2|c_n|\cos(2\pi nf_0t+\angle c_n)$ seja sempre real.

1.3.3 Potência média e Teorema de Parseval para séries

Dedução: substitua $x(t)=\sum_nc_ne^{j2\pi nf_0t}$ em $|x(t)|^2=x(t)x^*(t)$, integre termo a termo sobre $T_0$; pela ortogonalidade (Seção “Dedução via ortogonalidade das exponenciais complexas”), só sobrevivem os termos com índices iguais, resultando em $\sum_n|c_n|^2$. Este resultado — a potência total é a soma das potências de cada harmônica — é a base para calcular a potência de sinais modulados AM/FM compostos por múltiplas componentes espectrais (arquivos 2 e 3).

1.4 Transformada de Fourier

1.4.1 Definição e transformada inversa

Para um sinal de energia $x(t)$ (não necessariamente periódico):

A Transformada de Fourier pode ser vista como o limite da Série de Fourier quando $T_0\to\infty$: o espaçamento entre linhas espectrais $f_0=1/T_0\to0$, o espectro discreto vira contínuo, e $c_n\cdot T_0 \to X(f)$.

1.4.2 Propriedades fundamentais (com dedução breve)

Linearidade: $ax_1(t)+bx_2(t) \leftrightarrow aX_1(f)+bX_2(f)$ — direto da linearidade da integral.

Deslocamento no tempo: $x(t-t_0)\leftrightarrow X(f)e^{-j2\pi ft_0}$. Prova: substituição $u=t-t_0$ na integral de definição.

Deslocamento em frequência (modulação): $x(t)e^{j2\pi f_0t}\leftrightarrow X(f-f_0)$. Prova: substitua diretamente na definição, agrupe os expoentes. Esta propriedade é o coração matemático de toda a modulação (arquivos 2, 3, 5, 6): multiplicar um sinal por uma portadora $\cos(2\pi f_ct)$ desloca seu espectro para $\pm f_c$.

(decorrência direta de $\cos(2\pi f_ct)=\tfrac12(e^{j2\pi f_ct}+e^{-j2\pi f_ct})$ e da propriedade de deslocamento em frequência aplicada a cada termo).

Escalamento no tempo: $x(at)\leftrightarrow \dfrac{1}{|a|}X(f/a)$ — comprimir no tempo expande no espectro (relação de incerteza tempo-frequência).

Dualidade: se $x(t)\leftrightarrow X(f)$, então $X(t)\leftrightarrow x(-f)$ — consequência da simetria quase perfeita entre as fórmulas direta e inversa.

1.4.3 Pares de transformadas fundamentais

onde $\text{sinc}(x)\equiv\dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x}$.

1.4.4 Dedução do par retangular ↔ sinc

Este resultado é central para o arquivo 4 (banda base): todo pulso retangular no tempo (bit digital "cru") tem espectro infinito em largura de banda (o sinc decai apenas como $1/f$), motivando a necessidade de pulsos formatados (raised cosine) para limitar a banda ocupada.

1.4.5 Transformada de sinais periódicos (via trem de deltas espectrais)

Um sinal periódico não é de energia finita, mas admite Transformada de Fourier generalizada como um trem de impulsos espectrais, ponderados pelos coeficientes de Fourier:

Esta identidade unifica o tratamento espectral de sinais periódicos e não periódicos sob o mesmo formalismo de Fourier, essencial para tratar portadoras (sinais periódicos) moduladas por sinais de informação (tipicamente de banda finita, mas não necessariamente periódicos).

1.5 Convolução, Filtragem e o Teorema de Parseval

1.5.1 Convolução no tempo ↔ Produto em frequência

Dedução: aplique a Transformada de Fourier à definição de convolução, troque a ordem de integração (justificável para sinais absolutamente integráveis), e reconheça a integral interna como uma Transformada de Fourier deslocada:

Este resultado é a base de toda a teoria de filtragem linear em comunicações: um sistema LIT (linear invariante no tempo) com resposta ao impulso $h(t)$ processa um sinal de entrada multiplicando seu espectro por $H(f)$ — a resposta em frequência do sistema. Filtros passa-baixas, passa-faixa, e o próprio canal de comunicação são modelados dessa forma.

1.5.2 Produto no tempo ↔ Convolução em frequência (dual)

Por dualidade da Seção “Propriedades fundamentais (com dedução breve)”. Esta é a propriedade usada para derivar o espectro de um sinal modulado como convolução do espectro da informação com o espectro (impulsivo) da portadora — resultando no deslocamento espectral já visto na Seção “Propriedades fundamentais (com dedução breve)” aplicado agora de forma geral a portadoras moduladas em amplitude por um sinal arbitrário $m(t)$ (arquivo 2).

1.5.3 Teorema de Parseval/Rayleigh (energia no tempo = energia na frequência)

Dedução: escreva $E_x=\int x(t)x^*(t)\,dt$ e substitua $x^*(t)=\int X^*(f)e^{-j2\pi ft}\,df$ (conjugado da transformada inversa); troque a ordem de integração:

$|X(f)|^2$ é a densidade espectral de energia — mede como a energia do sinal se distribui em frequência, conceito que se generaliza para a densidade espectral de potência de processos aleatórios (Seção “Densidade Espectral de Potência de Processos Aleatórios”), central para calcular a potência de ruído que passa por um filtro receptor.

1.6 Sinais Passa-Faixa e Envelope Complexo

1.6.1 Motivação

Sinais de comunicação (moduladas AM/FM/PSK etc.) são tipicamente sinais passa-faixa: seu espectro está concentrado em torno de uma frequência de portadora $f_c$ alta, com largura de banda $B\ll f_c$. Simular tais sinais diretamente exigiria amostrar a $f_c$ (GHz em rádio), desperdiçando recursos computacionais. A representação de envelope complexo (ou banda base equivalente) resolve isso.

1.6.2 Dedução da representação em envelope complexo

Todo sinal passa-faixa real $s(t)$ pode ser escrito como:

onde $\tilde s(t)=A(t)e^{j\phi(t)}$ é o envelope complexo (ou sinal banda base equivalente), variando lentamente. Se o sinal RF real ocupa uma banda positiva de largura $B$ centrada em $f_c$, o envelope pode ser escolhido com suporte em $[-B/2,B/2]$. Assim, ele pode ser amostrado como sinal complexo a $F_s\ge B$, em vez de amostrar a portadora em GHz. Escrevendo $\tilde s(t)=s_I(t)+js_Q(t)$:

Dedução da forma I/Q: expandindo $\cos(2\pi f_ct+\phi)=\cos\phi\cos(2\pi f_ct)-\sin\phi\sin(2\pi f_ct)$ e identificando $s_I=A\cos\phi$, $s_Q=A\sin\phi$.

Esta decomposição é a base de todos os moduladores/demoduladores digitais em quadratura (QAM, PSK — arquivo 6): a informação é codificada em $(s_I,s_Q)$, e a portadora serve apenas de "veículo" de transporte para a faixa de RF.

1.6.3 Relação espectral entre passa-faixa e banda base

Se $\tilde S(f)$ é a transformada de $\tilde s(t)$, então (usando $s(t)=\tfrac12[\tilde s(t)e^{j2\pi f_ct}+\tilde s^*(t)e^{-j2\pi f_ct}]$, decorrente de $\text{Re}\{z\}=\tfrac12(z+z^*)$):

O espectro do sinal passa-faixa é o espectro banda base deslocado para $\pm f_c$ — simulações numéricas trabalham com $\tilde s(t)$ a uma taxa complexa determinada por sua largura de banda, reconstruindo $s(t)$ apenas quando necessário.

1.7 Processos Aleatórios

1.7.1 Definição

Um processo aleatório (ou estocástico) $X(t)$ é uma função cujo valor em cada instante $t$ é uma variável aleatória. Uma realização (ou amostra) $x(t)$ é uma função determinística específica, obtida de um experimento. Em comunicações, o ruído térmico, a informação transmitida (antes de ser conhecida) e o próprio canal (desvanecimento) são modelados como processos aleatórios.

1.7.2 Estacionariedade em sentido amplo (WSS)

Um processo é WSS (wide-sense stationary) se:

1. A média é constante no tempo: $E[X(t)]=\mu_X$ (não depende de $t$).
2. A autocorrelação depende apenas da diferença de tempos: $R_X(t_1,t_2) = E[X(t_1)X(t_2)] = R_X(t_1-t_2) \equiv R_X(\tau)$.

A maioria dos sinais de comunicação (ruído térmico, sinais digitais aleatórios de longo prazo) são modelados como WSS — hipótese que simplifica drasticamente a análise espectral (Seção “Densidade Espectral de Potência de Processos Aleatórios”).

1.7.3 Autocorrelação: propriedades e interpretação

Propriedades fundamentais (demonstráveis diretamente da definição):

• $R_X(0) = E[X^2(t)] = $ potência média do processo (sempre real e não-negativa).
• $R_X(\tau) = R_X(-\tau)$ (simetria par, para processos reais — troque $t\to t-\tau$ na definição).
• $|R_X(\tau)| \le R_X(0)$ (consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada a $X(t)$ e $X(t+\tau)$).
• $R_X(\tau)\to \mu_X^2$ quando $\tau\to\infty$, se o processo "esquece" sua correlação com o passado distante (ergodicidade em correlação).

1.8 Densidade Espectral de Potência de Processos Aleatórios

1.8.1 Teorema de Wiener-Khinchin

Ideia da prova: considere uma janela truncada $X_T(t)=X(t)$ para $|t|<T/2$ e zero fora. Sua Transformada de Fourier é $X_T(f)$, e pelo Teorema de Parseval (Seção “Teorema de Parseval/Rayleigh (energia no tempo = energia na frequência)”), $\int|X_T(t)|^2dt=\int|X_T(f)|^2df$. Dividindo por $T$ e tomando $T\to\infty$ (com valor esperado), o lado esquerdo tende à potência média $P_X=R_X(0)$; mostra-se (via manipulação envolvendo a definição de $R_X$ e mudança de variáveis) que o lado direito, no limite, é exatamente $\int S_X(f)\,df$ com $S_X(f)$ definida como acima — a PSD é, portanto, "quanta potência por unidade de frequência" o processo carrega, generalizando $|X(f)|^2$ (válida só para sinais de energia) para sinais de potência.

1.8.2 Propriedades da PSD

• $S_X(f)\ge0$ para todo $f$ (é uma densidade de potência, não pode ser negativa).
• $S_X(f)=S_X(-f)$ para processos reais (pois $R_X(\tau)$ é real e par).
• $P_X = R_X(0) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}S_X(f)\,df$ (potência total = área sob a PSD).

1.8.3 PSD na saída de um filtro LIT

Se $X(t)$ (WSS, PSD $S_X(f)$) passa por um filtro LIT com resposta em frequência $H(f)$, a PSD da saída $Y(t)=X(t)*h(t)$ é:

Dedução (esboço): a autocorrelação da saída se relaciona com a de entrada por $R_Y(\tau)=R_X(\tau)*h(\tau)*h^*(-\tau)$ (resultado da definição $Y(t)=\int h(\alpha)X(t-\alpha)d\alpha$ substituída em $E[Y(t)Y(t+\tau)]$); aplicando Fourier a ambos os lados e usando a propriedade de convolução (Seção “Convolução no tempo ↔ Produto em frequência”) mais o fato de que a transformada de $h^*(-\tau)$ é $H^*(f)$: $S_Y(f)=S_X(f)H(f)H^*(f)=|H(f)|^2S_X(f)$. Este resultado é usado extensivamente para calcular a potência de ruído na saída de filtros receptores (Seção “Ruído Térmico e Ruído Branco Gaussiano (AWGN)”, e ao longo de toda a apostila).

1.9 Ruído Térmico e Ruído Branco Gaussiano (AWGN)

1.9.1 Origem física do ruído térmico

O movimento térmico aleatório dos elétrons em qualquer condutor com resistência $R$ a temperatura $T$ (Kelvin) produz uma tensão de ruído — o ruído de Johnson-Nyquist. A potência máxima disponível em uma carga casada, numa banda positiva de largura $B$, é $k_BTB$. Assim, sua densidade disponível unilateral é $k_BT$; na representação bilateral de um processo real, essa potência é dividida entre frequências positivas e negativas. Para frequências até a região de micro-ondas (aproximação clássica de Rayleigh-Jeans, válida quando $hf\ll k_BT$):

onde $k_B=1{,}380649\times10^{-23}\,\text{J/K}$ é a constante de Boltzmann. A PSD é constante em frequência até frequências extremamente altas (ordem de THz à temperatura ambiente) — daí o nome ruído branco (por analogia com a luz branca, que contém todas as frequências visíveis com intensidade comparável).

1.9.2 Modelo AWGN (Additive White Gaussian Noise)

O modelo padrão de canal em comunicações digitais é:

onde $s(t)$ é o sinal transmitido e $n(t)$ é ruído branco Gaussiano aditivo, com:

1. Branco: $S_N(f) = N_0/2$ (constante em toda frequência de interesse). Aqui, $N_0$ é o parâmetro unilateral de densidade de ruído; portanto, a PSD bilateral do processo real é $N_0/2$. Para uma fonte térmica equivalente, $N_0=k_BT_{eq}$. A temperatura $T_{eq}$ representa o ruído acrescentado pelo receptor e não deve ser confundida, sem justificativa, com sua temperatura física.
2. Gaussiano: em cada instante $t$, $N(t)$ é uma variável aleatória Gaussiana de média zero (justificado pelo Teorema Central do Limite: o ruído é a soma de contribuições de um número enorme de elétrons e fontes microscópicas independentes).
3. Aditivo: soma-se ao sinal, não o multiplica nem distorce.

1.9.3 Potência de ruído após filtragem de banda $B$

Um filtro receptor ideal de largura de banda $B$ (passa-baixas ou passa-faixa) limita o ruído branco (infinito em potência total) a uma potência finita. Pela Seção “PSD na saída de um filtro LIT”, com $|H(f)|^2=1$ dentro da banda e $0$ fora:

(para um passa-baixas cujo corte positivo é $B$, isto é, que ocupa $-B\le f\le B$). Em um passa-faixa real, se $B$ denota a largura da banda em frequências positivas, existe também sua imagem simétrica em frequências negativas; a integral bilateral volta a fornecer $P_N=N_0B$. Esta convenção de $B$ é usada em todo o restante da apostila para calcular a relação sinal-ruído (SNR) na entrada do demodulador.

1.9.4 Densidade de probabilidade Gaussiana

$\sigma^2$ é a variância (= potência média do ruído filtrado). Após um passa-baixas retangular, o ruído Gaussiano já não é independente em instantes arbitrários: sua autocorrelação tem forma sinc. Amostras Gaussianas são independentes quando sua correlação é nula; no filtro ideal acima, isso ocorre em separações inteiras de $1/(2B)$. No receptor digital, o filtro casado e a amostragem nos instantes de símbolo produzem as variáveis de decisão modeladas como i.i.d. quando os pulsos são ortogonais e o canal não introduz memória. Essa é a base do canal AWGN discreto usado nas simulações de BER (arquivos 5 e 6): cada símbolo recebido é o símbolo transmitido mais uma amostra de $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$, independente das demais sob essas hipóteses.

1.10 Função Q e Probabilidade de Erro

1.10.1 Definição da função Q

A função Q é a probabilidade de cauda de uma Gaussiana padrão $\mathcal N(0,1)$:

Propriedades: $Q(0)=1/2$; $Q(-x)=1-Q(x)$; $Q(x)$ é monotonicamente decrescente; não tem forma fechada elementar (relacionada à função erro complementar, $Q(x)=\tfrac12\text{erfc}(x/\sqrt2)$).

1.10.2 Dedução da probabilidade de erro para detecção binária em AWGN

Considere a detecção de um bit binário: transmite-se $+A$ (bit 1) ou $-A$ (bit 0), o receptor observa $r=s+n$ com $n\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$, e decide "1" se $r>0$, "0" caso contrário (detector de limiar ótimo para sinais antipodais equiprováveis, resultado que será justificado formalmente no arquivo 5 via detecção de máxima verossimilhança). Dado que "0" foi transmitido ($s=-A$), o erro ocorre se $r>0$, isto é, se $n>A$:

Substituindo $u=n/\sigma$ ($du=dn/\sigma$), os limites tornam-se $A/\sigma$ a $\infty$:

Por simetria (mesmo argumento para $s=+A$, erro se $n<-A$), a probabilidade de erro é a mesma condicionada a cada símbolo, logo:

Esta é a fórmula-mãe de onde todas as expressões de BER (Bit Error Rate) do restante da apostila são derivadas (ASK, PSK, FSK, QAM — arquivos 5 e 6), trocando $A/\sigma$ pela distância euclidiana relevante entre símbolos da constelação, normalizada pelo desvio padrão do ruído.

1.10.3 Relação com $E_b/N_0$

Definindo a energia por bit $E_b = A^2T_b$ (para um pulso retangular de amplitude $A$ e duração $T_b$) e usando $\sigma^2=N_0B$ com $B\approx1/(2T_b)$ (banda de um filtro casado, resultado justificado no arquivo 5):

Esta é a forma em que a probabilidade de erro é universalmente reportada na literatura de comunicações digitais — em função da razão energia por bit sobre densidade espectral de ruído, $E_b/N_0$, permitindo comparar esquemas de modulação diferentes em bases equivalentes (mesma energia gasta por bit de informação).

1.11 Exercícios Resolvidos em Python

1.11.1 Protocolo computacional

Objetivo: verificar Fourier, Parseval, PSD de AWGN e a função $Q$. Reprodutibilidade: use np.random.default_rng(42), declare frequência de amostragem e convenção de FFT/PSD. Validação: compare energia nos dois domínios e BER simulada com a expressão analítica, informando a contagem de erros.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal
from scipy.special import erfc

# === Série de Fourier de uma onda quadrada ===
def coef_fourier_onda_quadrada(n, A=1.0):
    """Coeficientes c_n de uma onda quadrada ímpar de amplitude A (só harmônicos ímpares)."""
    if n == 0:
        return 0.0
    if n % 2 == 0:
        return 0.0
    return (2*A)/(1j*np.pi*n)

N_harm = 15
ns = np.arange(-N_harm, N_harm+1)
cs = np.array([coef_fourier_onda_quadrada(n) for n in ns])
t = np.linspace(-1, 1, 2000)
f0 = 1.0
x_reconstruida = np.real(sum(cs[i]*np.exp(1j*2*np.pi*ns[i]*f0*t) for i in range(len(ns))))
print(f"Reconstrução com {N_harm} harmônicos ímpares: max={x_reconstruida.max():.3f} (ideal=1.0, fenômeno de Gibbs)")

# === Transformada de Fourier numérica: pulso retangular -> sinc ===
def pulso_retangular(t, T):
    return np.where(np.abs(t) <= T/2, 1.0, 0.0)

Fs = 1000
t_vec = np.arange(-5, 5, 1/Fs)
T_pulso = 1.0
x = pulso_retangular(t_vec, T_pulso)
X = np.fft.fftshift(np.fft.fft(x)) / Fs
f_vec = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(len(t_vec), 1/Fs))

X_teorico = T_pulso * np.sinc(f_vec*T_pulso)
erro_max = np.max(np.abs(np.abs(X) - np.abs(X_teorico)))
print(f"\nErro máximo FFT numérica vs. T*sinc(fT) teórico: {erro_max:.4f}")

# === Verificação de Parseval ===
E_tempo = np.sum(np.abs(x)**2) / Fs
E_freq = np.sum(np.abs(X)**2) * (f_vec[1]-f_vec[0])
print(f"\nEnergia no tempo:      {E_tempo:.4f}")
print(f"Energia na frequência: {E_freq:.4f}  (Parseval)")

# === Ruído AWGN: geração e verificação de PSD ===
def gerar_awgn(N, N0_sobre_2, Fs):
    """Gera N amostras de ruído branco com PSD bilateral N0/2 (variância = N0/2 * Fs)."""
    sigma = np.sqrt(N0_sobre_2 * Fs)
    return np.random.normal(0, sigma, N)

N0_2 = 1e-3
Fs_ruido = 10000
n_amostras = 100000
ruido = gerar_awgn(n_amostras, N0_2, Fs_ruido)
print(f"\nRuído AWGN gerado: variância medida={np.var(ruido):.6e}, esperada={N0_2*Fs_ruido:.6e}")

f_psd, Pxx = signal.welch(ruido, Fs_ruido, nperseg=1024)
print(f"PSD média medida: {np.mean(Pxx):.6e} (esperado ~{N0_2:.6e}, unilateral = 2x bilateral)")

# === Função Q e probabilidade de erro binária ===
def Q(x):
    return 0.5*erfc(x/np.sqrt(2))

A, sigma_ruido = 1.0, 0.3
Pe = Q(A/sigma_ruido)
print(f"\nP_e (detecção binária, A/sigma={A/sigma_ruido:.2f}): {Pe:.6e}")

# Verificação por simulação Monte Carlo
n_bits = 200000
bits = np.random.randint(0, 2, n_bits)
s = np.where(bits==1, A, -A)
r = s + np.random.normal(0, sigma_ruido, n_bits)
bits_detectados = (r > 0).astype(int)
Pe_simulado = np.mean(bits_detectados != bits)
print(f"P_e simulado (Monte Carlo, {n_bits} bits): {Pe_simulado:.6e}")

# === Curva de P_e vs Eb/N0 ===
EbN0_dB = np.arange(0, 13, 1)
EbN0_lin = 10**(EbN0_dB/10)
Pe_teorico = Q(np.sqrt(2*EbN0_lin))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,5))
ax.semilogy(EbN0_dB, Pe_teorico, 'b-o', label='$P_e=Q(\\sqrt{2E_b/N_0})$')
ax.set_xlabel('$E_b/N_0$ (dB)')
ax.set_ylabel('Probabilidade de erro de bit')
ax.set_title('Curva de BER teórica — detecção binária antipodal em AWGN')
ax.grid(True, which='both', alpha=0.3)
ax.legend()
plt.tight_layout()

Output:

Reconstrução com 15 harmônicos ímpares: max=1.180 (ideal=1.0, fenômeno de Gibbs)

Erro máximo FFT numérica vs. T*sinc(fT) teórico: 0.0004

Energia no tempo:      1.0000
Energia na frequência: 1.0000  (Parseval)

Ruído AWGN gerado: variância medida=9.973365e+00, esperada=1.000000e+01
PSD média medida: 1.991730e-03 (esperado ~1.000000e-03, unilateral = 2x bilateral)

P_e (detecção binária, A/sigma=3.33): 4.290603e-04
P_e simulado (Monte Carlo, 200000 bits): 3.650000e-04

• Reconstrução de Fourier: overshoot de ~9% acima da amplitude ideal (fenômeno de Gibbs), típico de truncar uma série de Fourier de um sinal descontínuo.
• FFT numérica vs. sinc teórico: erro pequeno (efeitos de janelamento/discretização).
• Parseval: energia no tempo e na frequência coincidem.
• Ruído AWGN: variância medida ≈ variância teórica.
• $P_e$ teórico (fórmula Q) e $P_e$ simulado (Monte Carlo) devem coincidir dentro da incerteza estatística de $\sqrt{P_e(1-P_e)/n_{bits}}$.
• Curva BER: decaimento exponencial característico, ~1 década a cada ~2 dB de $E_b/N_0$ adicional nessa região.

1.12 Lista de Exercícios Propostos

E1. Calcule a Série de Fourier (coeficientes $c_n$) de um trem de pulsos retangulares periódico, com período $T_0=1\,\text{ms}$, largura de pulso $\tau=0{,}2\,\text{ms}$ e amplitude $A=5\,\text{V}$.

E2. Usando a propriedade de deslocamento em frequência, determine o espectro $X(f)$ de $x(t)=\text{sinc}(2Wt)\cos(2\pi f_ct)$, com $f_c\gg W$. Esboce o resultado.

E3. Demonstre a propriedade de escalamento no tempo $x(at)\leftrightarrow\frac{1}{|a|}X(f/a)$ a partir da definição da Transformada de Fourier (faça a substituição de variável explicitamente, tratando os casos $a>0$ e $a<0$).

E4. Um filtro passa-baixas ideal tem $H(f)=\text{rect}(f/2B)$. Um sinal de entrada tem PSD $S_X(f)=S_0$ (constante, ruído branco) para todo $f$. Calcule a potência do sinal na saída do filtro.

E5. Mostre que a autocorrelação de um processo WSS satisfaz $R_X(\tau)=R_X(-\tau)$ partindo da definição $R_X(\tau)=E[X(t)X(t+\tau)]$ e da propriedade de estacionariedade.

E6. Um resistor de $R=50\,\Omega$ está a temperatura ambiente $T=290\,\text{K}$. Calcule a potência de ruído térmico disponível em uma banda $B=10\,\text{MHz}$ (use $P_N=k_BTB$, forma equivalente à da Seção “Potência de ruído após filtragem de banda $B$” para ruído unilateral).

E7. Calcule $Q(0)$, $Q(1)$, $Q(2)$, $Q(3)$ numericamente (ou usando tabela) e verifique a relação $Q(-x)=1-Q(x)$ calculando também $Q(-1)$.

E8. Para um sistema de detecção binária antipodal com $A=2\,\text{V}$ e ruído com $\sigma=0{,}5\,\text{V}$, calcule $P_e$. Se a amplitude for dobrada para $A=4\,\text{V}$ (mantendo $\sigma$), por qual fator aproximado $P_e$ diminui (expresse em ordens de grandeza, usando a natureza exponencial da cauda de $Q(x)$ para $x$ grande)?

E9. Escreva o sinal passa-faixa $s(t)=3\cos(2\pi f_ct)-4\sin(2\pi f_ct)$ na forma envelope-fase $A(t)\cos(2\pi f_ct+\phi(t))$, determinando $A$ e $\phi$ (constantes, neste caso).

E10 (desafio). Um sinal aleatório binário NRZ (Não-Retorno-a-Zero) transmite $+A$ ou $-A$ com igual probabilidade a cada intervalo de bit $T_b$, de forma independente entre intervalos. Mostre que sua autocorrelação é $R_X(\tau) = A^2\left(1-\dfrac{|\tau|}{T_b}\right)$ para $|\tau|<T_b$ e $R_X(\tau)=0$ para $|\tau|\ge T_b$ (dica: para $|\tau|<T_b$, considere a probabilidade de que $\tau$ "caia" dentro do mesmo intervalo de bit vs. em um intervalo adjacente). Em seguida, aplique o Teorema de Wiener-Khinchin para obter $S_X(f)=A^2T_b\,\text{sinc}^2(fT_b)$.

E11 (desafio). Um sinal passa-faixa real ocupa a faixa positiva de $f_c-B/2$ a $f_c+B/2$, com $f_c=1\,\text{GHz}$ e $B=1\,\text{MHz}$. Compare a taxa mínima para amostrar diretamente o sinal real RF e para amostrar o envelope complexo cujo suporte é $[-B/2,B/2]$. Quantas amostras complexas por segundo são poupadas?

E12. Verifique a identidade $\cos(2\pi f_ct+\phi) = \cos\phi\cos(2\pi f_ct)-\sin\phi\sin(2\pi f_ct)$ usando a fórmula de adição de ângulos, e identifique $s_I$ e $s_Q$ para $A=5$, $\phi=60°$.

1.13 Gabarito

E1. $c_n = \dfrac{1}{T_0}\displaystyle\int_{-\tau/2}^{\tau/2}A\,e^{-j2\pi nf_0t}\,dt = \dfrac{A}{T_0}\left[\dfrac{e^{-j2\pi nf_0t}}{-j2\pi nf_0}\right]_{-\tau/2}^{\tau/2} = \dfrac{A}{n\pi}\sin(\pi nf_0\tau)$ para $n\neq0$, e $c_0=A\tau/T_0$ (valor médio, = duty cycle × amplitude). Reescrevendo com a função sinc: $c_n = \dfrac{A\tau}{T_0}\,\text{sinc}(nf_0\tau)$. Numericamente, $f_0=1/T_0=1000\,\text{Hz}$, $f_0\tau=0{,}2$:

E2. $\text{sinc}(2Wt)\leftrightarrow\frac{1}{2W}\text{rect}(f/2W)$ (par da Seção “Pares de transformadas fundamentais”). Pela propriedade de modulação (Seção “Propriedades fundamentais (com dedução breve)”), multiplicar por $\cos(2\pi f_ct)$ desloca o espectro para $\pm f_c$ com fator $1/2$:

Esboço: dois retângulos de largura $2W$ e altura $1/(4W)$, centrados em $f=\pm f_c$ — não se sobrepõem pois $f_c\gg W$.

E3. Caso $a>0$: substituindo $u=at$ ($du=a\,dt$) em $X_a(f)=\int x(at)e^{-j2\pi ft}dt$: $X_a(f)=\int x(u)e^{-j2\pi f(u/a)}\frac{du}{a} = \frac{1}{a}\int x(u)e^{-j2\pi(f/a)u}du = \frac{1}{a}X(f/a)$. Caso $a<0$: com $a=-|a|$, a substituição $u=at$ inverte os limites de integração ($t:-\infty\to\infty$ corresponde a $u:\infty\to-\infty$), introduzindo um sinal negativo extra que cancela com o $1/a$ negativo, resultando em $\frac{1}{|a|}X(f/a)$. Combinando os dois casos: $\boxed{x(at)\leftrightarrow\frac{1}{|a|}X(f/a)}$.

E4. Pela Seção “PSD na saída de um filtro LIT”, $S_Y(f)=|H(f)|^2S_X(f) = S_0$ para $|f|<B$ e $0$ fora. Potência de saída:

E5. Por definição, $R_X(-\tau)=E[X(t)X(t-\tau)]$. Fazendo a mudança de variável $t'=t-\tau$ (ou seja, $t=t'+\tau$): $R_X(-\tau)=E[X(t'+\tau)X(t')]=E[X(t')X(t'+\tau)]$. Como o processo é WSS, esta expectativa não depende de qual instante $t'$ se escolhe, e por definição é exatamente $R_X(\tau)$. Logo $\boxed{R_X(-\tau)=R_X(\tau)}$ — simetria par.

E6. $P_N = k_BTB = (1{,}380649\times10^{-23})(290)(10\times10^6)$:

(Nota: esta é a forma unilateral $k_BTB$, equivalente a integrar a PSD bilateral $N_0/2=k_BT/2$ de $-B$ a $B$, que dá exatamente $k_BTB$ — consistente com a Seção “Potência de ruído após filtragem de banda $B$”.)

E7. Valores numéricos (via tabela ou scipy.special.erfc): $Q(0)=0{,}5$; $Q(1)\approx0{,}1587$; $Q(2)\approx0{,}0228$; $Q(3)\approx0{,}00135$. Verificação: $Q(-1) = 1-Q(1) = 1-0{,}1587 = 0{,}8413$ — consistente com a definição, pois $Q(-1)=P(Z>-1)=P(Z<1)=1-P(Z>1)=1-Q(1)$.

E8. $P_e = Q(A/\sigma) = Q(2/0{,}5) = Q(4) \approx 3{,}17\times10^{-5}$. Dobrando $A$: $P_e' = Q(4/0{,}5)=Q(8)\approx6{,}22\times10^{-16}$.

Isso ilustra a natureza extremamente não-linear (decaimento tipo $e^{-x^2/2}$) da função $Q$: dobrar a distância entre símbolos (ou, equivalentemente, quadruplicar a energia) reduz $P_e$ de forma dramática — motivo pelo qual pequenos aumentos de $E_b/N_0$ produzem grandes ganhos de confiabilidade (visível no "joelho" das curvas de BER, arquivos 5 e 6).

E9. Comparando com $s(t)=s_I\cos(2\pi f_ct)-s_Q\sin(2\pi f_ct)$: $s_I=3$, $s_Q=4$. Logo:

Verificação: $5\cos(53{,}13°)\approx3{,}0=s_I$ ✓, $5\sin(53{,}13°)\approx4{,}0=s_Q$ ✓.

E10 (desafio). Para $|\tau|<T_b$: com probabilidade $1-|\tau|/T_b$, os instantes $t$ e $t+\tau$ caem no mesmo intervalo de bit (mesmo valor $\pm A$, produto $=A^2$); com probabilidade $|\tau|/T_b$, caem em intervalos adjacentes distintos e independentes (valores independentes $\pm A$ cada, produto médio $=E[\pm A]\cdot E[\pm A]=0\cdot0=0$, pois cada bit tem média zero). Logo:

Para $|\tau|\ge T_b$, os dois instantes estão sempre em intervalos de bit diferentes (e, assumindo bits i.i.d., não-correlacionados), logo $R_X(\tau)=0$. Isso confirma a forma triangular enunciada. Aplicando Wiener-Khinchin (Seção “Teorema de Wiener-Khinchin”), a transformada de uma função triangular de base $2T_b$ e altura $A^2$ é (resultado padrão, obtido por integração direta ou reconhecendo o triângulo como a autoconvolução de um retângulo de largura $T_b$):

Este é o espectro padrão de um sinal digital NRZ aleatório — um lóbulo principal de largura $2/T_b$ com lóbulos laterais decaindo como $1/f^2$, resultado usado extensivamente no arquivo 4 (banda base).

E11 (desafio). Amostragem direta do sinal real: a maior frequência é $f_{\max}=f_c+B/2=1{,}0005$ GHz, logo a taxa mínima uniforme é

O envelope complexo ocupa $[-B/2,B/2]$; como suas amostras são complexas, a taxa mínima é

A simulação via envelope complexo exige cerca de 2000 vezes menos amostras. Técnicas especializadas de subamostragem passa-faixa podem reduzir a taxa de uma representação RF sob condições estritas de filtragem e sincronismo, mas o envelope complexo é a representação robusta e usual em simulações de comunicação.

E12. Pela fórmula de adição, $\cos(2\pi f_ct+\phi)=\cos(2\pi f_ct)\cos\phi-\sin(2\pi f_ct)\sin\phi$, que reescrita na forma-padrão $s_I\cos(2\pi f_ct)-s_Q\sin(2\pi f_ct)$ identifica $s_I=A\cos\phi$ e $s_Q=A\sin\phi$ (com $A$ a amplitude, aqui implicitamente $1$ na identidade trigonométrica pura). Para $A=5$, $\phi=60°$:

Verificação: $\sqrt{s_I^2+s_Q^2}=\sqrt{6{,}25+18{,}75}=\sqrt{25}=5=A$ ✓.

2. Introdução a Sistemas de Comunicações

Sistemas de Comunicações — Apostila de Curso
Tópicos: Modelo Completo do Sistema · Recursos e Métricas Fundamentais · Decibéis e Orçamento de Enlace · Ruído e Cascata de Estágios · Capacidade de Shannon · Modulações Analógicas vs. Digitais · Exercícios em Python

2.1 Antes de começar

Ao final, você deve conseguir seguir informação, potência e ruído por toda a cadeia, fechar um orçamento de enlace e distinguir taxa, banda, SNR e $E_b/N_0$. Diagnóstico: adicionar 3 dB sempre dobra alguma grandeza? Diga quando isso vale para potência e amplitude. Evidência mínima: justificar cada termo de um orçamento de enlace e identificar qual bloco limita a margem.

2.2 Modelo Completo de um Sistema de Comunicações

Um sistema de comunicação transfere informação de uma fonte a um destino por meio de um meio físico imperfeito. O modelo completo envolve uma cadeia de etapas:

2.2.1 Entropia de Shannon

A entropia mede a incerteza de uma fonte:

Propriedades: $H \ge 0$; $H_{\max} = \log_2 M$ (distribuição uniforme); $H$ contínua em $p_i$.

Para $p=1/2$, $H=1$ bit/símbolo (máximo). Para $p=0{,}01$, $H\approx0{,}0808$ bits/símbolo.

Para blocos longos de uma fonte discreta sem memória, nenhuma codificação sem perdas univocamente decodificável pode ter comprimento médio abaixo de $H(X)$, e existem códigos cujo comprimento médio por símbolo se aproxima arbitrariamente de $H(X)$:

Assim, $H(X)$ é um ínfimo assintótico, não necessariamente uma taxa exatamente atingível por um código finito.

2.2.2 Codificação de fonte

PCM (Pulse Code Modulation): Amostragem $\to$ Quantização $\to$ Codificação binária. Para $n$ bits: $R_b = f_s \cdot n$.

DPCM (Differential PCM): Codifica a diferença entre amostra real e prevista — menor variância = menos bits.

Huffman: $\bar{L} = \sum p_i \ell_i \ge H(X)$, com $\bar{L} < H(X)+1$.

2.2.3 Codificação de canal

Código bloqueio $(n,k)$: Mapeia $k$ bits $\to$ $n$ bits. Taxa $R = k/n$.

Distância mínima e capacidade de correção:

Síndrome: $\vec{s} = H\vec{c}^T$.

2.2.4 Modulador e demodulador

2.2.5 Canal físico

AWGN: $h(t) = a\,\delta(t-\tau)$, ruído gaussiano branco PSD $N_0/2$.

Modelos: AWGN, fading (Rayleigh, Rician, Nakagami), interferência.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(42)
fs, T, fc, snr_dB = 1000, 1.0, 50, 10
t = np.linspace(0, T, int(fs*T), endpoint=False)
s = np.cos(2*np.pi*fc*t)
Ps = np.mean(s**2)
sigma = np.sqrt(Ps / 10**(snr_dB/10))
n = np.random.normal(0, sigma, len(t))
r = s + n

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
ax.plot(t, s, alpha=0.7, label='$s(t)$', color='#2563eb')
ax.plot(t, r, alpha=0.5, label='$r(t)$', color='#dc2626')
ax.set_xlabel('Tempo (s)'); ax.set_ylabel('Amplitude')
ax.set_title(f'Canal AWGN (SNR = {snr_dB} dB, $\\sigma={sigma:.4f}$)')
ax.legend(); ax.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
print(f"Ps={Ps:.4f}, Pn={Ps/10**(snr_dB/10):.6f}, sigma={sigma:.4f}")

Output:

Ps=0.5000, Pn=0.050000, sigma=0.2236

2.3 Recursos e Métricas Fundamentais

2.3.1 Taxa de símbolo e bits

2.3.2 Eficiência espectral

Com raised-cosine $\alpha$: $B = (1+\alpha)R_s \Rightarrow \eta_{\max} = \dfrac{\log_2 M}{1+\alpha}$.

2.3.3 $E_b/N_0$ universal

2.3.4 Teorema de Nyquist-Shannon

Reconstrução por interpolador sinc: $x(t) = \sum x(nT_s)\operatorname{sinc}\!\left(\frac{t-nT_s}{T_s}\right)$.

2.3.5 SNR de quantização PCM

Cada bit $\approx$ 6 dB.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n_vals = np.arange(1, 17)
snr_dB = 6.02*n_vals + 1.76

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
ax.plot(n_vals, snr_dB, 'o-', color='#2563eb', lw=2, markersize=6,
        label='$\\text{SNR}_q \\approx 6{,}02n + 1{,}76$ dB')
ax.axhline(60, color='#dc2626', ls='--', alpha=0.6, label='60 dB (CD)')
ax.axhline(48, color='#047857', ls='--', alpha=0.6, label='48 dB (voz)')
ax.set_xlabel('Bits $n$'); ax.set_ylabel('SNR (dB)')
ax.set_title('SNR de Quantização PCM vs. Bits'); ax.set_xticks(n_vals)
ax.grid(alpha=0.3); ax.legend(); plt.tight_layout()

print("n | SNR_q (dB)")
for n in [8, 12, 14, 16]:
    print(f"{n} | {6.02*n+1.76:.2f}")

Output:

n | SNR_q (dB)
8 | 49.92
12 | 74.00
14 | 86.04
16 | 98.08

2.4 Decibéis e Orçamento de Enlace — Deduções Completas

2.4.1 Conversão dB, dBm, dBW

Exemplos: $2\,\text{W} = 33{,}01\,\text{dBm}$; $43\,\text{dBm} = 19{,}95\,\text{W}$; $-85\,\text{dBm} = 3{,}162\,\text{pW}$.

2.4.2 Friis — Dedução completa

Passo 1: Densidade de potência isotrópica: $S = P_t/(4\pi d^2)$.

Passo 2: Com ganho: $S = P_t G_t/(4\pi d^2)$.

Passo 3: Potência recebida: $P_r = S\cdot A_{e,r}$.

Passo 4: Relação ganho-área:

Passo 5: Friis:

Forma em dB:

2.4.3 Orçamento de enlace geral

A margem requerida $M_{\text{req}}$ é um critério de projeto para acomodar desvanecimento e incertezas; não é uma perda física que também deva ser embutida em $P_r$. O enlace atende ao projeto quando $M_{\text{res}}\ge0$.

Perda de polarização: $L_{\text{pol}} = -20\log_{10}|\cos\theta|$.

2.4.4 Exemplo numérico

$f=2{,}4\,\text{GHz}$, $d=10\,\text{km}$, $P_t=20\,\text{dBm}$, $G_t=G_r=15\,\text{dBi}$, perdas totais $3\,\text{dB}$ e margem requerida $10\,\text{dB}$. Suponha $P_{\text{sens}}=-100\,\text{dBm}$.

$L_{fs}=120{,}05\,\text{dB}$ e $\text{EIRP}=35\,\text{dBm}$ se as perdas forem todas contabilizadas depois da antena transmissora. Logo $P_r=35+15-120{,}05-3=-73{,}05\,\text{dBm}$. A margem disponível é $26{,}95\,\text{dB}$ e a residual após reservar 10 dB é $16{,}95\,\text{dB}$. Se parte dos 3 dB estiver antes da antena, deve-se retirá-la da EIRP e não subtraí-la novamente.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

c, f = 3e8, 2.4e9
wavelength = c/f
Pt, Gt, Gr, Lc, margin, Psens = 20, 15, 15, 3, 10, -100

dist_km = np.logspace(-1, 3, 500)
dist_m = dist_km * 1e3
Lfs = 20*np.log10(4*np.pi*dist_m/wavelength)
Pr = Pt + Gt + Gr - Lfs - Lc
margin_available = Pr - Psens
margin_residual = margin_available - margin

fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 8))
axes[0].loglog(dist_km, 10**(Pr/10)*1e3, color='#2563eb', lw=2, label='$P_r(d)$')
axes[0].axhline(10**(Psens/10)*1e3, color='#dc2626', ls='--', lw=1.5, label=f'Sens ({Psens} dBm)')
axes[0].set_xlabel('Distância $d$ (km)'); axes[0].set_ylabel('Potência (mW)')
axes[0].set_title('Orçamento de Enlace: $P_r$ vs. Distância'); axes[0].grid(which='both', alpha=0.3)
axes[0].legend()

axes[1].semilogx(dist_km, margin_residual, color='#047857', lw=2)
axes[1].axhline(0, color='#dc2626', ls='--', lw=1.5, label='Margem zero')
axes[1].set_xlabel('Distância $d$ (km)'); axes[1].set_ylabel('Margem (dB)')
axes[1].set_title('Margem residual após reservar 10 dB'); axes[1].grid(which='both', alpha=0.3)
axes[1].legend(); axes[1].axhspan(-2, 2, alpha=0.15, color='yellow')

plt.tight_layout()
d_max = dist_km[np.where(margin_residual > 0)[0][-1]]
print(f"Distância máxima: {d_max:.1f} km")

Output:

Distância máxima: 70.1 km

2.5 Ruído — Fundamentos Físicos Completos

2.5.1 Ruído térmico — Dedução de Johnson-Nyquist

Movimento térmico aleatório de portadores. Pela teoria de Nyquist (1928):

Potência disponível: $P_{\text{disponível}} = \dfrac{V_n^2}{4R} = k_BTB$ (não depende de $R$).

A $T_0 = 290\,\text{K}$: $N_0 = 4{,}004\times10^{-21}\,\text{W/Hz}$, $N_0[\text{dBm/Hz}] = -174\,\text{dBm/Hz}$.

2.5.2 Figura de ruído

Temperatura equivalente: $\boxed{T_e = T_0(F-1)}$. LNA com $NF=1\,\text{dB} \Rightarrow T_e = 75{,}1\,\text{K}$.

2.5.3 Cascata — Dedução Friis para ruído

Passo 1: $N_{\text{in}} = k_B T_0 B$. Passo 2: $\text{SNR}_{\text{in}} = S_{\text{in}}/(k_B T_0 B)$.

Passo 3: Ruído próprio estágio 1: $N_{a1} = k_B T_0 B(F_1-1)$.

Passo 4: Saída estágio 1: $N_1 = k_B T_0 B\,G_1 F_1$.

Passo 5: Estágio 2: $N_2 = G_2 N_1 + k_B T_0 B(F_2-1)$.

Passo 6–7: Generalizando:

2.5.4 Sensibilidade do receptor

Exemplo: $B=1\,\text{MHz}$, $NF=5\,\text{dB}$, $\text{SNR}_{\text{req}}=10\,\text{dB} \Rightarrow P_{\text{sens}} = -99\,\text{dBm}$.

2.5.5 SNR em modulações analógicas

DSB-SC: um detector coerente ideal preserva a SNR quando entrada e saída são comparadas usando bandas de ruído equivalentes. Um aparente fator 2 surge se a entrada contabiliza duas bandas laterais de ruído e a saída apenas uma banda-base; é uma mudança de banda de referência, não criação de SNR.

FM: para mensagem senoidal e a convenção de $N_0$ desta apostila,

Se a entrada for medida na banda RF $B_r$, use $\text{SNR}_{out}=(3/2)\beta^2(B_r/W)\text{SNR}_{in,B_r}$. FM troca banda por SNR, mas a comparação só é válida depois de declarar a banda de referência.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Cascata de ruído
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
stages = ['LNA', 'Mixer', 'RF Amp', 'IF Amp', 'Demod.']
F_lin = np.array([1.259, 5.012, 6.310, 3.162, 10.000])
G_lin = np.array([15.85, 0.5, 3.162, 10.0, 1.0])

F_cum = np.zeros(5)
F_cum[0] = F_lin[0]
for i in range(1, 5):
    F_cum[i] = F_cum[i-1] + (F_lin[i]-1)/np.prod(G_lin[:i])

NF_cum = 10*np.log10(F_cum)
NF_dB = 10*np.log10(F_lin)
G_dB = 10*np.log10(G_lin)

x = np.arange(5)
width = 0.6
ax.bar(x, NF_cum, width, color='#2563eb', edgecolor='white', lw=1.2)
ax.set_xlabel('Estágio'); ax.set_ylabel('NF acumulada (dB)')
ax.set_title('Figura de Ruído em Cascata'); ax.set_xticks(x); ax.set_xticklabels(stages)
ax.grid(axis='y', alpha=0.3)
for i, nf in enumerate(NF_cum):
    ax.annotate(f'{nf:.1f} dB', (i, nf), textcoords='offset points', xytext=(0,10), ha='center',
                fontsize=9, color='#dc2626', weight='bold')
plt.tight_layout()

print("Estágio | NF(dB) | G(dB) | NF_acum(dB)")
for i in range(5):
    print(f"{stages[i]:7s} | {NF_dB[i]:6.1f} | {G_dB[i]:6.1f} | {NF_cum[i]:11.1f}")

Output:

Estágio | NF(dB) | G(dB) | NF_acum(dB)
LNA     |    1.0 |   12.0 |         1.0
Mixer   |    7.0 |   -3.0 |         1.8
RF Amp  |    8.0 |    5.0 |         3.4
IF Amp  |    5.0 |   10.0 |         3.6
Demod.  |   10.0 |    0.0 |         3.6

2.6 Capacidade de Shannon — Derivação Detalhada

2.6.1 Teorema de Shannon-Hartley

Dedução: Discretização de Nyquist ($2B$ canais/seg), cada um $Y_i=X_i+Z_i$, $Z\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$. Capacidade maximizada com entrada gaussiana:

2.6.2 Relação com $E_b/N_0$

Substituindo $\text{SNR} = \frac{E_b}{N_0}\cdot\frac{R_b}{B} = \eta\frac{E_b}{N_0}$:

2.6.3 Limite fundamental: $E_b/N_0 \ge \ln 2 = -1{,}59\,\text{dB}$

L'Hôpital: $\lim_{\eta\to0}\dfrac{2^{\eta}-1}{\eta} = \ln 2 \approx 0{,}6931$.

Via $B\to\infty$: $C \to \dfrac{P}{N_0\ln 2} \Rightarrow E_b \to N_0\ln 2$.

2.6.4 Trade-off banda/energia

$\eta=1\to0\,\text{dB}$, $\eta=3\to3{,}68\,\text{dB}$, $\eta=6\to10{,}21\,\text{dB}$.

2.6.5 Códigos de correção de erro

2.6.6 Gráfico $E_b/N_0$ vs $\eta$

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

eta = np.linspace(0.01, 10, 500)
EbN0_dB = 10*np.log10((2**eta - 1)/eta)
EbN0_min = 10*np.log10(np.log(2))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
ax.plot(eta, EbN0_dB, color='#2563eb', lw=2.5, label='Limite de Shannon')
ax.axhline(EbN0_min, color='#dc2626', ls='--', lw=1.5, label=f'Limite inf: {EbN0_min:.2f} dB')
ax.axvline(1, color='#64748b', ls='--', alpha=0.5, label='$\\eta=1$')
ax.set_xlabel('Eficiência $\\eta$ (bit/s/Hz)'); ax.set_ylabel('$E_b/N_0$ mín. (dB)')
ax.set_title('Limite de Shannon: $E_b/N_0$ vs Eficiência Espectral'); ax.set_xlim(0,10); ax.set_ylim(-2,16)
ax.grid(alpha=0.3); ax.legend()
ax.annotate('BPSK ($\\eta=1$)', xy=(1,0), xytext=(2.5,3), arrowprops=dict(arrowstyle='->'), fontsize=9, color='#dc2626')
plt.tight_layout()

2.6.7 Limitações práticas

Códigos infinitos $\Rightarrow$ latência infinita. Cada $0{,}5$ dB de aproximação custa $\sim 10\times$ em complexidade.

2.7 Modulações Analógicas vs. Digitais — Comparação Rigorosa

2.7.1 AM

$P_c$ não carrega informação (desperdício). $\text{SNR}_{\text{out}} \le \text{SNR}_{\text{in}}$. Sem ganho de processamento.

2.7.2 FM

Acima do limiar. Abaixo de $\sim10\,\text{dB}$, colapso catastrófico (threshold effect).

2.7.3 PCM vs. PAM vs. DM

2.7.4 Vantagens digitais

1. Regeneração — sem acúmulo de ruído
2. Criptografia — dados nativamente cifráveis
3. Multiplexação — TDM natural
4. Correção de erros — BER arbitrariamente baixo
5. Flexibilidade — mesma infraestrutura para voz/dados/vídeo

2.7.5 Desvantagens digitais

1. Banda — geralmente maior
2. Complexidade — A/D, codificação, sincronismo
3. Latência — codificação/decodificação
4. SNR mínimo — limiar de demodulação

2.7.6 Tabela comparativa

2.8 Exercícios Resolvidos em Python

2.8.1 Protocolo computacional

Objetivo: fechar orçamentos de enlace, quantização, cascatas de ruído e limites de Shannon. Unidades: faça conversões dB/dBm apenas nas fronteiras do cálculo e mantenha grandezas lineares internamente. Validação: confira casos-limite, margem do enlace e o limite $E_b/N_0\ge\ln2$.

2.8.2 Exercício 1: Orçamento de enlace com fade margins

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

c, f = 3e8, 5.8e9
wavelength = c/f
EIRP = 30 + 12 - 1  # Pt=30 dBm, Gt=12 dBi, Lcable=1 dB
Gr, Lcr, NF = 20, 1, 3
Psens = -174 + 10*np.log10(1e6) + NF + 10  # B=1 MHz, SNR_req=10 dB

dist_km = np.logspace(0, 2, 500)
Lfs = 20*np.log10(4*np.pi*dist_km*1e3/wavelength)

fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 9))
margins = [0, 5, 10, 15]
colors = ['#2563eb','#047857','#dc2626','#9333ea']
for i, mf in enumerate(margins):
    Pr = EIRP + Gr - Lfs - Lcr - mf
    ax = axes[i//2, i%2]
    ax.semilogx(dist_km, Pr, 'o-', label=f'$P_r$ (M={mf} dB)', color=colors[i])
    ax.axhline(Psens, color='k', ls='--', alpha=0.6, label='Sens.')
    ax.set_xlabel('Distância $d$ (km)'); ax.set_ylabel('$P_r$ (dBm)')
    ax.set_title(f'Margem Fade = {mf} dB'); ax.grid(alpha=0.3); ax.legend(fontsize=8)

axes[1,1].semilogx(dist_km, EIRP+Gr-Lfs-Lcr-Psens, 'o-', color='#2563eb')
axes[1,1].axhline(0, color='r', ls='--')
axes[1,1].set_xlabel('Distância $d$ (km)'); axes[1,1].set_ylabel('Margem (dB)')
axes[1,1].set_title('Margem de Enlace'); axes[1,1].grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()

print("M(fade)| Dist. máx (km)")
for mf in margins:
    Pr_tmp = EIRP + Gr - Lfs - Lcr - mf
    mask = Pr_tmp > Psens
    print(f"  {mf:2d} dB   |  {dist_km[mask][-1]:7.1f} km" if np.any(mask) else f"  {mf:2d} dB   |  --")

Output:

M(fade)| Dist. máx (km)
   0 dB   |    100.0 km
   5 dB   |    100.0 km
  10 dB   |    100.0 km
  15 dB   |     81.6 km

2.8.3 Exercício 2: SNR de quantização PCM — Teórico vs. Simulado

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n_theo = np.arange(2, 17)
snr_theo = 6.02*n_theo + 1.76

np.random.seed(42)
n_sim = [4, 6, 8, 10, 12, 14]
snr_sim = []
for nb in n_sim:
    sig = np.random.uniform(-0.5, 0.5, 10**6)
    step = 1.0 / (2**nb)
    quant = np.round(sig / step) * step
    err = sig - quant
    snr_sim.append(10*np.log10(np.mean(sig**2) / np.mean(err**2)))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
ax.plot(n_theo, snr_theo, '-', color='#2563eb', lw=2.5, label='$6{,}02n+1{,}76$ dB')
ax.scatter(n_sim, snr_sim, color='#dc2626', s=80, zorder=3, label='Monte Carlo', edgecolors='white')
ax.set_xlabel('Bits $n$'); ax.set_ylabel('SNR (dB)')
ax.set_title('SNR de Quantização PCM: Teórico vs. Simulado')
ax.legend(); ax.grid(alpha=0.3)
for ni, si in zip(n_sim, snr_sim):
    ax.annotate(f'  {si:.1f} dB', (ni, si), textcoords='offset points', xytext=(-25,8),
                fontsize=9, color='#dc2626', weight='bold')
plt.tight_layout()

2.8.4 Exercício 3: Cascata de ruído — LNA/mixer/RF amp

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

stages = ['LNA', 'Mixer', 'RF Amp', 'IF Amp', 'Demod.']
F = np.array([1.259, 5.012, 6.310, 3.162, 10.000])  # 1,7,8,5,10 dB
G = np.array([15.85, 0.5, 3.162, 10.0, 1.0])         # 12,-3,5,10,0 dB

F_cum = np.zeros(5)
F_cum[0] = F[0]
for i in range(1, 5):
    F_cum[i] = F_cum[i-1] + (F[i]-1)/np.prod(G[:i])

NF_cum = 10*np.log10(F_cum)
B = 1e6
Psens = -174 + 10*np.log10(B) + NF_cum[-1] + 10

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
x = np.arange(5)
ax.bar(x, NF_cum, 0.6, color='#2563eb', edgecolor='white', lw=1.2)
ax.axhline(-174+10*np.log10(B), color='#dc2626', ls='--', alpha=0.6, label='Piso ruído')
ax.set_xlabel('Estágio'); ax.set_ylabel('NF acumulada (dB)')
ax.set_title('Figura de Ruído em Cascata'); ax.set_xticks(x); ax.set_xticklabels(stages)
ax.grid(axis='y', alpha=0.3)
ax.legend()
for i, nf in enumerate(NF_cum):
    ax.annotate(f'{nf:.1f}', (i, nf), textcoords='offset points', xytext=(0,10), ha='center',
                fontsize=9, color='#dc2626', weight='bold')
plt.tight_layout()

print(f"Sensibilidade do receptor: {Psens:.1f} dBm")

Output:

Sensibilidade do receptor: -100.4 dBm

2.8.5 Exercício 4: Capacidade de Shannon vs. Eb/N0

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

eta = np.linspace(0.01, 10, 500)
EbN0_Shannon = (2**eta - 1) / eta
EbN0_Shannon_dB = 10*np.log10(EbN0_Shannon)

# BER para BPSK, QPSK, 16-QAM (aproximações)
from scipy.stats import norm
EbN0_linear_BPSK = np.linspace(0.01, 20, 500)
EbN0_dB_BPSK = 10*np.log10(EbN0_linear_BPSK)
from scipy.special import erf
BER_BPSK = 0.5 * (1 - erf(np.sqrt(EbN0_linear_BPSK)))

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# Esquerda: Eb/N0 vs eta
axes[0].plot(eta, EbN0_Shannon_dB, color='#2563eb', lw=2.5, label='Limite Shannon')
axes[0].axhline(-1.59, color='#dc2626', ls='--', label='-1.59 dB')
axes[0].axvline(1, color='#64748b', ls='--', alpha=0.5, label='$\\eta=1$')
axes[0].set_xlabel('Eficiência $\\eta$ (bit/s/Hz)'); axes[0].set_ylabel('$E_b/N_0$ (dB)')
axes[0].set_title('Limite de Shannon'); axes[0].set_xlim(0,10); axes[0].set_ylim(-2,16)
axes[0].grid(alpha=0.3); axes[0].legend(); axes[0].axhline(0, ls=':', alpha=0.3)

# Direita: BER vs Eb/N0 para BPSK
axes[1].semilogy(EbN0_dB_BPSK, BER_BPSK, color='#2563eb', lw=2.5, label='BPSK (coerente)')
axes[1].axhline(1e-3, color='#dc2626', ls='--', alpha=0.6, label='BER = 10⁻³')
axes[1].axhline(1e-6, color='#047857', ls='--', alpha=0.6, label='BER = 10⁻⁶')
axes[1].set_xlabel('$E_b/N_0$ (dB)'); axes[1].set_ylabel('BER')
axes[1].set_title('BER de BPSK vs. $E_b/N_0$'); axes[1].grid(alpha=0.3, which='both')
axes[1].legend()

# Encontrar Eb/N0 para BER=10^-5 em BPSK
idx_1e5 = np.argmin(np.abs(BER_BPSK - 1e-5))
print(f"BPSK: BER=10^-5 em Eb/N0 = {EbN0_dB_BPSK[idx_1e5]:.1f} dB")
print(f"Shannon para eta=1: Eb/N0 = 0 dB")
print(f"Gap: {EbN0_dB_BPSK[idx_1e5]:.1f} dB")

plt.tight_layout()

Output:

BPSK: BER=10^-5 em Eb/N0 = 9.6 dB
Shannon para eta=1: Eb/N0 = 0 dB
Gap: 9.6 dB

2.9 Lista de Exercícios Propostos

E1. (Numérico) Converta as seguintes potências:
a) $15\,\text{W}$ em dBm.
b) $-50\,\text{dBm}$ em watts.
c) $100\,\text{mW}$ em dBW.

E2. (Numérico) Um enlace de micro-ondas opera a $6\,\text{GHz}$ com $d=40\,\text{km}$. $P_t=23\,\text{dBm}$, $G_t=G_r=32\,\text{dBi}$ e há $2{,}5\,\text{dB}$ de perda em cada cabo terminal. A margem de fade requerida é 12 dB. Calcule $P_r$, a margem disponível e a margem residual se $P_{\text{sens}}=-90\,\text{dBm}$.

E3. (Teórico) Derive a equação de Friis do espaço livre partindo do conceito de densidade de potência e da relação $G = \frac{4\pi}{\lambda^2}A_e$. Mostre cada passo explicitamente.

E4. (Numérico) Para o código Hamming $(7,4)$, codifique a palavra $1011$ e determine os 3 bits de paridade. Suponha erro no 3º bit do codeword; calcule a síndrome e verifique que o erro é corrigido.

E5. (Numérico) Três estágios em cascata: LNA ($G=20\,\text{dB}$, $NF=1{,}5\,\text{dB}$), Mixer ($G=-5\,\text{dB}$, $NF=8\,\text{dB}$), RF Amplifier ($G=15\,\text{dB}$, $NF=4\,\text{dB}$). Calcule a figura de ruído total e a temperatura equivalente.

E6. (Teórico) Demonstre que, para o limite de Shannon, $\lim_{B\to\infty} C = \dfrac{P}{N_0\ln 2}$ e que isso implica $E_b/N_0 > \ln 2 = -1{,}59\,\text{dB}$.

E7. (Numérico) Um sistema FM com $\Delta f=50\,\text{kHz}$ e tom $f_m=W=5\,\text{kHz}$ opera com $(C/N)_W=20\,\text{dB}$. Calcule $\beta$, a banda de Carson e a SNR de saída acima do limiar. Compare sua banda com AM de mesma $W$.

E8. (Conceitual) Explique por que o LNA deve vir sempre primeiro no receptor, usando a fórmula de Friis para cascata. Dê um exemplo numérico comparando duas configurações: (a) LNA primeiro, (b) Mixer primeiro.

E9. (Numérico) Calcule a capacidade de Shannon para $B=10\,\text{MHz}$ e $\text{SNR}=30\,\text{dB}$. Qual seria a $E_b/N_0$ necessária? Compare com o limite fundamental.

E10. (Conceitual) Compare as modulações FM e BPSK em termos de: eficiência espectral, imunidade a ruído, complexidade, regenerabilidade, e aplicação típica. Justifique por que FM foi substituída por QPSK/16-QAM em sistemas modernos de banda larga.

E11. (Numérico) Para PCM com $f_s=8\,\text{kHz}$ (voz), determine o número mínimo de bits $n$ para atingir $\text{SNR}_q \ge 42\,\text{dB}$. Calcule a taxa de bits resultante e a largura de banda mínima Nyquist.

E12. (Desafio) Mostre que, para uma fonte de entropia $H(X)$, o código de Huffman atinge $\bar{L} < H(X)+1$. Construa o código de Huffman para uma fonte com distribuição $\{0{,}40, 0{,}25, 0{,}15, 0{,}10, 0{,}05\}$ e verifique o limite.

2.10 Gabarito

E1.
a) $10\log_{10}(15000) = 41{,}76\,\text{dBm}$.
b) $10^{-50/10}\,\text{mW} = 10^{-5}\,\text{mW} = 10^{-8}\,\text{W} = 10\,\text{nW}$.
c) $10\log_{10}(0{,}1) = -10\,\text{dBW}$.

E2. $f=6\,\text{GHz}$, $d=40\,\text{km}$:

$\text{EIRP} = 23 + 32 - 2{,}5 = 52{,}5\,\text{dBm}$.

A margem disponível é $-58{,}05-(-90)=31{,}95$ dB. Depois de reservar 12 dB para fade, a margem residual é $31{,}95-12=\boxed{19{,}95\,\text{dB}}$. A margem requerida não é subtraída de $P_r$.

E3. Ver Seção “Friis — Dedução completa”. Dedução passo a passo a partir de $S = P_tG_t/(4\pi d^2)$ e $P_r = S\cdot A_e$, com $A_e = \frac{\lambda^2}{4\pi}G_r$, resulta em $P_r = P_tG_tG_r\left(\frac{\lambda}{4\pi d}\right)^2$.

E4. Dados: $d_1=1,d_2=0,d_3=1,d_4=1$. Paridades (Hamming (7,4)):

$p_1 = d_1\oplus d_2\oplus d_4 = 1\oplus0\oplus1 = 0$
$p_2 = d_1\oplus d_3\oplus d_4 = 1\oplus1\oplus1 = 1$
$p_3 = d_2\oplus d_3\oplus d_4 = 0\oplus1\oplus1 = 0$

Codeword: $1011\,010$. Com erro no 3º bit: $1001010$. Síndrome: $s = H\vec{c}'^T$. A terceira coluna de $H$ é $(0,1,1)^T = 3$, indicando erro no bit 3. Corrigindo: volta a $1011010$.

E5. Convertendo para linear: $G_1=100$, $F_1=1{,}413$; $G_2=0{,}316$, $F_2=6{,}310$; $G_3=31{,}62$, $F_3=2{,}512$.

$NF_{\text{tot}} = 10\log_{10}(1{,}546) = 1{,}89\,\text{dB}$.

$T_e = 290(1{,}546-1) = 158{,}3\,\text{K}$.

E6. Via L'Hôpital: $\lim_{\eta\to0}\dfrac{2^{\eta}-1}{\eta} = \ln 2$. Via $B\to\infty$: $C = B\ln\!\left(1+\frac{P}{N_0B}\right) \approx B\cdot\dfrac{P}{N_0B}\cdot\dfrac{1}{\ln 2} \to \dfrac{P}{N_0\ln 2}$. Logo $E_b = P/C \to N_0\ln 2$, $E_b/N_0 \to \ln 2$.

E7. $\beta = 50/5 = 10$. $B_{\text{FM}} = 2\cdot5(1+10) = 110\,\text{kHz}$.

Como $(C/N)_W=10^{20/10}=100$, $\text{SNR}_{out}=(3/2)\beta^2(C/N)_W=1{,}5(100)(100)=15000$, ou $41{,}76\,\text{dB}$. O ganho referido a $(C/N)_W$ é $21{,}76$ dB. AM ocupa $2W=10$ kHz; FM ocupa 110 kHz, portanto a razão de bandas é 11.

E8. Por Friis: $F_{\text{tot}} \approx F_1 + (F_2-1)/G_1$. Se LNA primeiro com $G_1=100$, $(F_2-1)/100 \approx 0{,}053$. Se mixer primeiro com $G_1=0{,}316$, $(F_2-1)/0{,}316 \approx 19$. A diferença é enorme.

E9. $C = 10^7\log_2(1+1000) = 10^7\log_2(1001) \approx 99{,}7\,\text{Mbit/s}$.

$\text{SNR}=1000$ e, operando em $R_b=C$, $\eta=C/B\approx9{,}967$. Assim, $E_b/N_0=\text{SNR}/\eta\approx100{,}33$, ou $20{,}01$ dB. Pela fronteira de Shannon, $(2^\eta-1)/\eta=1000/9{,}967\approx100{,}33$: os valores coincidem porque escolhemos exatamente $R_b=C$. Uma implementação prática opera abaixo da capacidade.

E10. FM: alta imunidade, baixa eficiência espectral. BPSK/QPSK: boa imunidade, alta eficiência, regenerável, criptografável. FM é analógica (não regenerável), ocupa banda proporcional a $\beta$, não é digital (não há correção de erros). Sistemas de banda larga exigem $\eta$ alto (QPSK, 16-QAM, etc.) e tolerância a erro via código — impossível com FM.

E11. $6{,}02n+1{,}76 \ge 42 \Rightarrow n \ge 6{,}69 \Rightarrow n=7$ bits. $R_b = 8000\times7 = 56\,\text{kbit/s}$. $B_{\min} = 28\,\text{kHz}$ (Nyquist).

E12. Huffman: $\{0{,}40\to0,\; 0{,}25\to10,\; 0{,}15\to110,\; 0{,}10\to1110,\; 0{,}05\to1111\}$.

$\bar{L} = 0{,}40(1)+0{,}25(2)+0{,}15(3)+0{,}10(4)+0{,}05(4) = 0{,}40+0{,}50+0{,}45+0{,}40+0{,}20 = 1{,}95$ bits/símbolo.

$H = -\sum p_i\log_2 p_i = 0{,}40(1{,}322)+0{,}25(2)+0{,}15(2{,}737)+0{,}10(3{,}322)+0{,}05(4{,}322) = 0{,}529+0{,}500+0{,}411+0{,}332+0{,}216 = 1{,}988$ bits/símbolo.

$\bar{L} = 1{,}95 < 1{,}988+1 = 2{,}988$. Verificado.

3. Modulação em Amplitude — Teoria Completa

Comunicações Eletrônicas — Apostila de Curso
Tópicos: Modulação AM · DSB-SC · detecção coerente e de envelope · Geração de portadora sincronizada · SSB · VSB · análise de ruído

3.1 Antes de começar

Ao final, você deve conseguir derivar os espectros de DSB-SC, AM, SSB e VSB; calcular banda e potência; escolher um detector coerente ou de envelope; e entender os métodos de recuperação de portadora (Costas Loop, PLL, pilot carrier). Diagnóstico: qual parte da potência da AM convencional transporta informação? Evidência mínima: prever e depois simular sobremodulação, erro de fase, escolha da constante $RC$ e convergência do Costas Loop.

3.2 Por que modular? Fundamentos da Modulação Analógica

3.2.1 A necessidade fundamental da modulação

A modulação é o processo de variar um ou mais parâmetros de uma onda portadora (senoidal de alta frequência) em função de um sinal de mensagem (banda base, de frequência mais baixa). Este é o pilar de todas as comunicações sem fio — de rádio AM/FM a enlaces de micro-ondas, satélites e sistemas celulares.

Existem três razões físicas e práticas fundamentais:

1. Antenas de tamanho prático: O comprimento de onda $\lambda = c/f$ deve ser comparável às dimensões da antena (tipicamente $\lambda/4$ ou $\lambda/2$). Para um sinal de áudio com $f_{\text{áudio}} = 1\,\text{kHz}$, teríamos $\lambda \approx 300\,\text{km}$ — uma antena de $75\,\text{km}$ é impraticável. Modulado para $f_c = 100\,\text{MHz}$ (banda FM), $\lambda = 3\,\text{m}$ e a antena cabe na palma da mão.

2. Multiplexação por divisão em frequência (FDM): Vários sinais podem coexistir no mesmo meio físico (espaço livre, cabo coaxial, fibra) se cada um for modulado em uma faixa de frequência diferente. Sem modulação, todos os sinais ocupariam a mesma banda base e se sobreporiam destrutivamente.

3. Adaptação ao canal: Diferentes canais têm diferentes características de transmissão (atenuação seletiva, interferências, largura de banda disponível). Modular permite "encaixar" o sinal na janela de frequência onde o canal tem melhor resposta.

3.2.2 Representação analítica

Para qualquer sinal real $s(t)$ de banda estreita, definimos o sinal analítico:

onde $\hat{s}(t)$ é a transformada de Hilbert:

No domínio da frequência, $\hat{S}(f) = -j\,\text{sgn}(f)\,S(f)$, e $\tilde{S}(f) = 2\,U(f)\,S(f)$ (apenas frequências positivas, duplicadas).

O sinal complexo envolvente (baseband equivalente):

Recupera-se $s(t)$ por:

3.2.3 Representação quadratura (I/Q)

Escrevendo $\tilde{s}_L(t) = I(t) + j\,Q(t)$:

• $I(t)$: componente em fase (in-phase);
• $Q(t)$: componente em quadratura (quadrature);
• $A(t) = \sqrt{I^2(t) + Q^2(t)}$: envelope instantâneo;
• $\phi(t) = \arctan(Q/I)$: fase instantânea.

Toda modulação em amplitude usa $Q(t) = 0$; modulações de fase/frequência manipulam $Q$ e $\phi$.

3.2.4 Espectro de modulação e bandas laterais

Para um sinal de mensagem $m(t)$, real, limitado a $|f| \leq W$, com transformada de Fourier $M(f)$, a modulação em amplitude traduz o espectro $M(f)$ para as vizinhanças de $\pm f_c$. Este é o efeito da modulação por multiplicação:

Para $m(t)$ real, $M(f)$ possui simetria conjugada: $M(-f) = M^*(f)$. As duas bandas laterais (BSL) são, portanto, espelhos complexos conjugados e contêm informação redundante — esta redundância é o que permite a simplificação SSB.

3.2.5 Eficiência espectral e energética como critérios de escolha

Ao comparar esquemas de modulação, dois critérios são essenciais:

• Eficiência espectral ($\eta_f$): quantos bits/s (ou quanta informação) por hertz de banda ocupada. Quanto menor a banda, melhor.
• Eficiência energética ($\eta_P$): fração da potência total do sinal modulado que transporta informação (não é desperdiçada em portadora ou bandas redundantes).

Esta tabela orienta a escolha do esquema: AM para emissão broadcasting (simplicidade do receptor), DSB-SC para enlace ponto-a-ponto eficiente, SSB para comunicações de longa distância (HF), VSB para vídeo (compromisso prático).

3.3 Modulação DSB-SC — Teoria Completa

3.3.1 Definição e modelo

Na modulação DSB-SC (Double Sideband — Suppressed Carrier, ou "bandas laterais duplas com portadora suprimida"), o sinal modulado é simplesmente o produto do sinal de mensagem pela portadora:

onde:

• $A_c$ é a amplitude da portadora (parâmetro de ganho do modulador);
• $m(t)$ é o sinal de mensagem, com $\max|m(t)| \leq 1$ (normalizado);
• $f_c \gg W$ é a frequência da portadora.

3.3.2 Dedução completa do espectro

Aplicamos a transformada de Fourier a $s_{\text{DSB-SC}}(t) = A_c\,m(t)\,\cos(2\pi f_c t)$. Usamos a propriedade da multiplicação:

Sabemos que $\cos(2\pi f_c t) \;\xrightarrow{\mathcal{F}}\; \dfrac{1}{2}\bigl[\delta(f-f_c)+\delta(f+f_c)\bigr]$. Logo:

Largura de banda: a banda ocupada em cada lado é $W$, mas a banda total (do mínimo ao máximo frequência positiva) é:

3.3.3 Potência do sinal DSB-SC

A potência média de um sinal real $s(t)$ com carga de referência $1\,\Omega$ é:

Para $s_{\text{DSB-SC}}(t) = A_c\,m(t)\,\cos(2\pi f_c t)$:

O segundo termo se anula por média temporal (o termo em $2f_c$ oscila muito mais rápido que $m^2(t)$, e sua média tende a zero para $f_c \gg W$). Definindo $P_m = \langle m^2(t)\rangle$ como a potência do sinal de mensagem:

3.3.4 Representação no plano I/Q

Para DSB-SC, comparando com a forma quadratura $s(t) = I(t)\cos(2\pi f_c t) - Q(t)\sin(2\pi f_c t)$:

• Componente I: $\boxed{I(t) = A_c\,m(t)}$
• Componente Q: $\boxed{Q(t) = 0}$

O sinal complexo envolvente é puramente real:

e o envelope instantâneo é $|\tilde{s}_L(t)| = A_c|m(t)|$. Em DSB-SC, o envelope cruza zero sempre que $m(t)$ cruza zero — isso significa que o sinal inverte de fase a cada zero, e um detector de envelope simples não funciona (explicado na Seção “Detecção de Envelope de AM”).

3.3.5 Transformada de Hilbert de um sinal DSB-SC

No domínio da frequência: $\hat{S}(f) = -j\,\text{sgn}(f)\,S(f)$. Para DSB-SC concentrado em $\pm f_c$:

• $f > 0$: $\hat{S}(f) = -j\,S(f)$
• $f < 0$: $\hat{S}(f) = +j\,S(f)$

Invertendo:

Sinal analítico: $\tilde{s}(t) = A_c\,m(t)\,e^{j2\pi f_c t}$, envelope complexo $\tilde{s}_L(t) = A_c\,m(t)$ — confirmando Seção “Representação no plano I/Q”.

3.3.6 Exemplo numérico

Usando a identidade trigonométrica $\cos A\cos B = \tfrac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$:

Espectro: duas linhas em $\pm 99\,\text{kHz}$ e $\pm 101\,\text{kHz}$, cada uma com amplitude $1/2$.

Potência: $P_m = \langle\cos^2(2\pi\cdot 10^3\,t)\rangle = 1/2$, logo $P_s = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}$. Cada banda lateral contribui com $1/8$.

3.4 Detecção Coerente de DSB-SC

3.4.1 Princípio da detecção coerente (síncrona)

Para recuperar $m(t)$ de $s_{\text{DSB-SC}}(t) = A_c\,m(t)\,\cos(2\pi f_c t)$, o método mais direto é multiplicar pelo mesmo coseno que foi usado na modulação e filtrar:

O fator $2$ é introduzido para simplificar a recuperação (compensar o fator $1/2$ da multiplicação trigonométrica).

3.4.2 Dedução completa da recuperação

Desenvolvendo:

Usando $\cos^2\theta = \frac{1}{2}\bigl[1+\cos(2\theta)\bigr]$:

O segundo termo é um sinal centrado em $2f_c$. Passando por um filtro passa-baixas $H_{\text{LP}}(f)$ com largura de corte $B_{\text{LP}} \geq W$:

A mensagem é recuperada com ganho $A_c$. Um amplificador com ganho $1/A_c$ a seguir fornece a saída final $m(t)$.

3.4.3 Efeito do erro de fase $\phi$

Na prática, o oscilador local do receptor pode não estar perfeitamente sincronizado em fase com a portadora. Suponha que o oscilador local seja $\cos(2\pi f_c t + \phi)$, com erro de fase $\phi$:

Usando $2\cos A\cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$:

Após o filtro passa-baixas:

Análise de perda:

• $\phi = 0$: recuperação perfeita $y(t) = A_c\,m(t)$.
• $\phi = 90° = \pi/2$: $y(t) = 0$ — perda total do sinal.
• $\phi = 180° = \pi$: $y(t) = -A_c\,m(t)$ — recuperação com inversão de polaridade (geralmente tolerável).

A perda de potência devido ao erro de fase é:

Ou seja, a potência do sinal recuperado é $\cos^2\phi$ vezes a potência original. Para $\phi = 30°$, por exemplo: $\cos^2 30° = 3/4 = 75\%$ da potência é mantida.

3.4.4 Efeito do erro de frequência $\Delta f$

Suponha agora que o oscilador local tenha frequência $f_c + \Delta f$, com $\Delta f \neq 0$:

Após o filtro passa-baixas:

Análise: o sinal recuperado é multiplicado por um batimento $\cos(2\pi\Delta f\,t)$. Se $\Delta f$ é pequeno (da ordem de $W$), o batimento se manifesta como uma flutuação audível na voz (em áudio) ou como cintilação na imagem (em vídeo). Se $\Delta f$ é grande, o batimento está fora da banda de interesse e pode ser filtrado.

3.4.5 Prova da perda de potência por erro de fase

Sem erro de fase ($\phi = 0$):

A fração de potência mantida é:

A fração de potência perdida é:

$\blacksquare$

3.5 Geração de Portadora Sincronizada

3.5.1 O problema fundamental

Em qualquer sistema DSB-SC (e, de modo geral, em qualquer modulação que não transmita a portadora), o receptor precisa reconstruir uma portadora local sincronizada em frequência e fase com a portadora original do transmissor. Sem essa sincronização, a detecção coerente falha:

• Erro de fase $\phi \neq 0$ causa atenuação por $\cos\phi$.
• Erro de frequência $\Delta f \neq 0$ causa batimento na saída.
• Para $\phi = 90°$, há perda total do sinal.

Existem quatro abordagens principais para recuperar a portadora no receptor:

3.5.2 Método 1 — Pilot Carrier (portadora piloto)

3.5.2.1 Princípio

Transmite-se a mensagem DSB-SC mais uma pequena componente de portadora em uma frequência ligeiramente deslocada ou com fase conhecida:

onde $A_p \ll A_c$ (a piloto é tipicamente 1%–10% da amplitude da portadora original). A potência da piloto é mínima, mas suficiente para servir de referência de fase.

No receptor, um filtro passa-banda estreito centrado em $f_c$ extrai a piloto:

Um PLL ou Costas Loop usa este sinal como referência para bloquear a fase do VCO.

3.5.2.2 Análise de potência

Se a potência total da piloto é $P_p = A_p^2/2$ e a potência do sinal DSB-SC é $P_s = A_c^2 P_m/2$, a razão piloto-sinal é:

Para $A_p = 0{,}05\,A_c$ e $P_m = 1/2$:

A piloto consome menos de 1% da potência — um custo mínimo pela simplicidade de implementação.

3.5.2.3 Vantagens e desvantagens

Vantagens:

• Simples de implementar no receptor (filtro + PLL).
• Funciona bem mesmo para $m(t)$ com baixa profundidade de modulação.
• Sinal de erro estável mesmo quando $m(t) = 0$.

Desvantagens:

• Desperdício de potência na piloto (ainda que pequeno).
• Requer que a piloto seja extraída por filtro — sensível a desvanecimento seletivo em $f_c$.
• Não é adequado para aplicações militares ou criptografadas (a piloto revela a frequência exata).

3.5.2.4 Aplicação: TV analógica

Na TV analógica (NTSC/PAL), a portadora de vídeo é transmitida com nível suficiente (tipicamente $\mu \approx 0{,}7$) para ser extraída por um PLL no receptor. Esta é uma forma de pilot carrier implícito.

3.5.3 Método 2 — PLL Genérico (Phase-Locked Loop)

3.5.3.1 Estrutura do PLL

Um Phase-Locked Loop é um sistema de realimentação que ajusta a fase de um oscilador local (VCO) para rastreá-la de um sinal de referência. A estrutura básica possui três blocos:

        e(t) ──► [Filtro LP] ──► v_ctrl(t) ──► [VCO] ──► φ(t)
         ▲                                              │
         │                                              │
         └────────────── [Detector de Fase] ◄───────────┘

1. Detector de fase (PD): gera um sinal $e(t)$ proporcional ao erro de fase $\phi_e$ entre o sinal de entrada e o VCO.
2. Filtro de loop: filtra $e(t)$ para remover componentes de alta frequência e determinar a estabilidade do PLL.
3. VCO (Voltage-Controlled Oscillator): gera $\cos(\omega_c t + \phi(t))$, onde a frequência instantânea é controlada por $v_{\text{ctrl}}(t)$.

3.5.3.2 Modelagem matemática

Seja $\theta_{\text{in}}(t)$ a fase do sinal de entrada e $\theta_{\text{VCO}}(t)$ a fase do VCO. O erro de fase é:

O detector de fase (multiplicador) produz:

onde $K_d$ é o ganho do detector de fase (V/rad).

O VCO tem a seguinte relação entre controle e fase:

onde $K_o$ é o ganho do VCO (rad/s/V).

O filtro de loop $F(s)$ no domínio $s$ (Laplace) relaciona $V_{\text{ctrl}}(s)$ com $E(s)$:

3.5.3.3 Função de transferência de malha fechada

No domínio $s$, a equação do PLL é:

Substituindo $V_{\text{ctrl}}(s) = F(s)\,K_d\,\Phi_e(s)$:

A função de transferência de malha fechada para o erro de fase é:

A função de transferência de rastreamento (saída → entrada) é:

3.5.3.4 PLL de primeira ordem

Para um PLL com filtro direto ($F(s) = 1$, ganho de malha $K = K_o K_d$):

A constante de tempo de rastreamento é $\tau = 1/K$. A largura de banda de malha é:

3.5.3.5 PLL de segunda ordem (filtro proporcional-integral)

O filtro mais comum é o proporcional-integral (PI), também chamado de filtro de propagação lenta (proportional-plus-integral):

Com $\tau_1$ e $\tau_2$ selecionados para obter um amortecimento desejado. A função de transferência se torna:

Definindo a frequência natural de malha e o coeficiente de amortecimento:

A função de transferência assume a forma padrão de segundo ordem:

Para $\zeta = 1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ (resposta de Butterworth, sem overshoot excessivo):

3.5.3.6 Condições de lock, capture e tracking

• Lock (bloqueio): o PLL está sincronizado ($\phi_e \approx 0$) e mantido. O erro de fase em lock é tipicamente $\phi_e < 10°$.
• Capture: o processo de entrar em lock a partir de uma condição inicial. A largura de banda de captura é a faixa de frequência inicial dentro da qual o PLL pode adquirir lock.
• Tracking (rastreamento): o PLL já está em lock e segue pequenas variações de fase/frequência da entrada.

Para PLL de segunda ordem, a largura de banda de capture é aproximadamente:

3.5.4 Método 3 — Costas Loop

3.5.4.1 Topologia do Costas Loop

O Costas Loop (inventado por Andrew Costas em 1956) é um PLL self-coherent — não precisa de sinal piloto nem de processamento de sinal de entrada antes da detecção. Sua topologia usa duas ramificações paralelas (I e Q) do VCO:

                s_in(t) ──►┬──► [×2] ──► [LPF] ──► y_I(t)
                           │        ↑
                           │     VCO: cos(ωct + φ)
                           │
                           ├─► [×2] ──► [LPF] ──► y_Q(t)
                           │        ↑
                           │     VCO: -sin(ωct + φ)
                           │
                     [×2]  │
                       ↑   │
                    y_I·y_Q ──► [Filtro de Loop] ──► v_ctrl ──► VCO

O Costas Loop possui quatro multiplicadores (ou dois, se reutilizar o VCO):

1. Multiplicador I: $s_{\text{in}}(t) \times 2\cos(\omega_c t + \hat{\phi})$
2. Multiplicador Q: $s_{\text{in}}(t) \times 2\sin(\omega_c t + \hat{\phi})$ (com sinal negativo)
3. Multiplicador de erro: $y_I(t) \times y_Q(t)$ → sinal de erro $v_e(t)$

3.5.4.2 Dedução do sinal de erro

Seja o sinal recebido:

O VCO gera $\cos(2\pi f_c t + \hat{\phi})$ e $-\sin(2\pi f_c t + \hat{\phi})$. A ramificação I após o LPF:

onde $\phi_e(t) = \phi - \hat{\phi}$ é o erro de fase (assumindo $f_c$ sincronizado).

A ramificação Q após o LPF:

O sinal de erro do Costas Loop é o produto:

Usando $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$:

Em média, sobre as variações de $m(t)$ (assumindo $\langle m^2(t) \rangle = P_m$):

3.5.4.3 Análise do potencial de fase (phase potential)

O sinal de erro $\langle v_e \rangle(\phi_e)$ tem a forma de $-\sin(2\phi_e)$, que pode ser derivada de um potencial de fase:

Os pontos de equilíbrio ocorrem quando $\langle v_e \rangle = 0$, isto é:

• $\phi_e = 0$ → lock estável (mínimo do potencial, $\cos(0) = 1$).
• $\phi_e = \pi$ → lock estável (mínimo, $\cos(2\pi) = 1$, lock com inversão de fase — inofensivo para DSB-SC pois $y = A_c m \cos\pi = -A_c m$).
• $\phi_e = \pi/2$ → lock instável (máximo, $\cos(\pi) = -1$).

O potencial atrativo em torno de $\phi_e = 0$ é forte e simétrico: o loop converge tanto para fase 0 quanto para $\pi$ (ambos produzem recuperação válida). Esta é uma vantagem única do Costas Loop.

3.5.4.4 Ganho do Costas Loop

Comparando com um PLL genérico onde o sinal de erro é $K_d \sin\phi_e$, o Costas Loop tem:

O ganho efetivo do Costas Loop é quadrático em $A_c$ — mais sensível que o PLL genérico (que é linear em $A_c$).

3.5.4.5 Resposta do Costas Loop a ruído

A presença de ruído aditivo $n(t)$ no canal altera o sinal de erro. Seja $s_{\text{in}}(t) = A_c m(t)\cos(\omega_c t) + n(t)$, onde $n(t)$ é ruído AWGN de banda $2W$.

O ruído contribui para $v_e(t)$ através de produtos cruzados entre sinal e ruído, e ruído-ruído. O resultado é que o erro de fase em lock possui uma variância aproximada:

onde $B_L$ é a largura de banda de malha do filtro do Costas Loop e $\text{SNR}_{\text{in}}$ é a SNR de entrada (portadora-ruído) na banda $2W$.

Esta fórmula mostra que:

• Maior SNR → menor erro de fase.
• Menor $B_L$ → menor erro, mas resposta mais lenta a variações de fase.
• Há um compromisso dinâmico: $B_L$ deve ser grande o suficiente para seguir variações de fase (drift do oscilador, ~1–10 Hz), mas pequeno o suficiente para minimizar ruído.

3.5.4.6 Cycle slip no Costas Loop

Quando o erro de fase excede $\pm \pi/2$, o Costas Loop pode sofrer um cycle slip — o VCO "salta" $2\pi$ para recuperar lock. Cada cycle slip causa um glitch na saída demodulada. A probabilidade de cycle slip é:

Para $\text{SNR}_{\text{in}} > 10\,\text{dB}$, $P_{\text{slip}}$ é negligenciável. Abaixo de ~7 dB, o Costas Loop começa a perder lock frequentemente.

3.5.4.7 Limitações do Costas Loop

1. Ambiguidade de fase $\pi$: o lock pode ocorrer em $\phi_e = 0$ ou $\phi_e = \pi$. Para DSB-SC isso é inofensivo, mas para PSK (onde a informação está na fase) causa bit-flip de 180°.
2. Limiar de ruído: abaixo de ~7 dB, o Costas Loop perde lock. O squaring loop (Método 4) opera em ~3 dB.
3. Dependência de $m(t)$: o sinal de erro é proporcional a $m^2(t)$. Se $m(t)$ permanece próximo de zero por muito tempo (ex: silêncio em áudio), o loop perde rastreamento.

3.5.5 Método 4 — Squaring Loop (Fourth-Power Extractor)

3.5.5.1 Princípio

Quando não é possível usar Costas Loop (ex: em modulações PSK onde o Costas Loop sofre ambiguidade de fase), utiliza-se um extrator de potência (power extractor) para reconstruir a portadora.

O sinal recebido $s_{\text{in}}(t) = A_c\,m(t)\,\cos(2\pi f_c t)$ é elevado ao quadrado:

Um filtro passa-banda estreito centrado em $2f_c$ extrai o termo em $2f_c$:

Se $m(t)$ tiver uma componente DC (como em sinais digitais PSK, onde $m(t) = \pm 1$), então $m^2(t) = 1$ e:

Um divisor de frequência por 2 produz a portadora recuperada:

onde $\theta$ é uma fase constante de $0°$ ou $90°$ (ambiguidade de $\pi/2$ do divisor).

3.5.5.2 Squaring Loop para PSK

Para QPSK, onde $m(t) = I(t)\cos(\pi/4) - Q(t)\sin(\pi/4)$ com $I,Q \in \{\pm 1\}$:

Logo, após o quadrado, a componente em $2f_c$ é pura — sem modulação de envelope. O divisor por 2 recupera a portadora sem ambiguidade de fase.

3.5.5.3 Comparação: Costas Loop vs Squaring Loop

3.5.6 Tabela comparativa: métodos de recuperação de portadora

3.5.7 Limitações práticas da detecção coerente

Apesar dos avanços em PLL e Costas Loop, a detecção coerente apresenta desafios:

1. Drift de temperatura: o VCO varia de frequência com a temperatura (~10–100 ppm). Requer recalibração periódica ou reference de cristal.
2. Jitter de relógio: em sistemas digitais, o jitter do oscilador de relógio se acopla ao VCO e degrada a SNR.
3. Desvanecimento seletivo: se o canal atenua seletivamente em $f_c$, a recuperação da portadora falha mesmo que o sinal esteja presente nas bandas laterais.
4. Tempo de aquisição: o PLL pode levar dezenas a centenas de ciclos para adquirir lock. Em sistemas de transmissão packetizada, isso representa uma sobrecarga significativa.

Estas limitações motivam o uso de AM convencional (DSB-LC) em aplicações de broadcasting, onde a portadora é transmitida em alta potência e pode ser usada diretamente pelo detector de envelope — sem necessidade de PLL.

Usando $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$:

Em média, sobre as variações de $m(t)$ (assumindo $\langle m^2(t) \rangle = P_m$):

3.5.7.1 Análise do potencial de fase (phase potential)

O sinal de erro $\langle v_e \rangle(\phi_e)$ tem a forma de $-\sin(2\phi_e)$, que pode ser derivada de um potencial de fase:

Os pontos de equilíbrio ocorrem quando $\langle v_e \rangle = 0$, isto é:

• $\phi_e = 0$ → lock estável (mínimo do potencial, $\cos(0) = 1$).
• $\phi_e = \pi$ → lock estável (mínimo, $\cos(2\pi) = 1$, lock com inversão de fase — inofensivo para DSB-SC pois $y = A_c m \cos\pi = -A_c m$).
• $\phi_e = \pi/2$ → lock instável (máximo, $\cos(\pi) = -1$).

O potencial atrativo em torno de $\phi_e = 0$ é forte e simétrico: o loop convergente tanto para fase 0 quanto para $\pi$ (ambos produzem recuperação válida). Esta é uma vantagem única do Costas Loop.

3.5.7.2 Ganho do Costas Loop

Comparando com um PLL genérico onde o sinal de erro é $K_d \sin\phi_e$, o Costas Loop tem:

O ganho efetivo do Costas Loop é quadrático em $A_c$ — mais sensível que o PLL genérico (que é linear em $A_c$).

3.5.7.3 Resposta do Costas Loop a ruído

A presença de ruído aditivo $n(t)$ no canal altera o sinal de erro. Seja $s_{\text{in}}(t) = A_c m(t)\cos(\omega_c t) + n(t)$, onde $n(t)$ é ruído AWGN de banda $2W$.

O ruído contribui para $v_e(t)$ através de produtos cruzados entre sinal e ruído, e ruído-ruído. O resultado é que o erro de fase em lock possui uma variância aproximada:

onde $B_L$ é a largura de banda de malha do filtro do Costas Loop e $\text{SNR}_{\text{in}}$ é a SNR de entrada (portadora-ruído) na banda $2W$.

Esta fórmula mostra que:

• Maior SNR → menor erro de fase.
• Menor $B_L$ → menor erro, mas resposta mais lenta a variações de fase.
• Há um compromisso dinâmico: $B_L$ deve ser grande o suficiente para seguir variações de fase (drift do oscilador, ~1–10 Hz), mas pequeno o suficiente para minimizar ruído.

3.5.7.4 Cycle slip no Costas Loop

Quando o erro de fase excede $\pm \pi/2$, o Costas Loop pode sofrer um cycle slip — o VCO

3.6 Modulação AM Convencional (DSB-LC)

3.6.1 Definição e modelo

Na modulação AM convencional (Double Sideband — Large Carrier, ou "bandas laterais duplas com portadora forte"), adicionamos uma componente DC à mensagem antes de modular:

onde:

• $A_c$ é a amplitude da portadora;
• $\mu$ é o índice de modulação (ou profundidade de modulação);
• $m_n(t)$ é o sinal de mensagem normalizado: $\max|m_n(t)| = 1$.

O termo $1 + \mu\,m_n(t)$ deve ser sempre não-negativo para que o envelope seja não-negativo. Isso implica:

Quando $\mu > 1$, ocorre sobremodulação: $1 + \mu\,m_n(t)$ cruza zero, o envelope se inverte e o detector de envelope produz distorção severa.

3.6.2 Espectro da AM

Expandindo $s_{\text{AM}}(t)$:

O primeiro termo é a portadora pura; o segundo termo é um sinal DSB-SC modulando a portadora com amplitude $\mu A_c$.

Aplicando a transformada de Fourier:

O espectro AM contém três componentes:

1. Portadora: duas deltas em $\pm f_c$, cada uma com peso $A_c/2$.
2. BSL superior (USB): $M_n(f)$ copiada para $+f_c$, com peso $\mu A_c/2$.
3. BSL inferior (LSB): $M_n(f)$ copiada para $-f_c$, com peso $\mu A_c/2$.

A banda total ocupada é $B_{\text{AM}} = 2W$ (mesma do DSB-SC).

3.6.3 Análise de potências

Considere carga de $1\,\Omega$. A potência de cada componente:

Portadora:

Bandas laterais (DSB-SC com amplitude $\mu A_c$):

onde $P_{m_n} = \langle m_n^2(t)\rangle$ é a potência do sinal normalizado. Para $m_n(t) = \cos(2\pi f_m t)$, $P_{m_n} = 1/2$.

Potência total:

3.6.4 Eficiência de potência

A eficiência de potência é a fração da potência total que está nas bandas laterais (portando informação):

Para o caso de tom único ($m_n(t) = \cos(2\pi f_m t)$), $P_{m_n} = 1/2$:

3.6.5 Análise de potências por componente (tom único)

Para $m_n(t) = \cos(2\pi f_m t)$, $\mu = 1$:

Usando $\cos A\cos B = \tfrac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$:

Potências (carga $1\,\Omega$):

• Portadora: $P_c = A_c^2/2$
• BSL inferior (LSB): $P_{\text{LSB}} = \bigl(\tfrac{A_c}{2}\bigr)^2\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{A_c^2}{8}$
• BSL superior (USB): $P_{\text{USB}} = \tfrac{A_c^2}{8}$

Total: $P_T = \dfrac{A_c^2}{2} + \dfrac{A_c^2}{8} + \dfrac{A_c^2}{8} = \dfrac{3A_c^2}{4}$

Eficiência: $\eta_P = \dfrac{A_c^2/4}{3A_c^2/4} = \dfrac{1}{3}$ — confirmado.

3.6.6 Sobremodulação: distorção e problemas

Quando $\mu > 1$, o envelope $1+\mu\,m_n(t)$ torna-se negativo em alguns pontos. Como o detector de envelope (diodo+RC) não pode seguir valores negativos, o envelope detectado é o módulo $|1+\mu\,m_n(t)|$, produzindo distorção severa:

• Cruzamento de zero: o envelope passa por zero, invertendo a fase do sinal modulado em $180°$.
• Distorção não-linear: o detector recupera $|1+\mu\,m_n(t)| \neq 1+\mu\,m_n(t)$, introduzindo harmônicos que não estavam na mensagem original.
• Interferência entre canais: a distorção gera conteúdo espectral que se espalha além da banda $2W$, interferindo em canais adjacentes.

3.7 Detecção de Envelope de AM

3.7.1 Princípio do detector de envelope

O detector de envelope (ou detector de pico) é o receptor mais simples para modulação AM. Consiste basicamente de:

1. Um diodo (retificador de meia onda ou onda completa);
2. Um circuito RC passa-baixas (filtro de descarga).

O diodo retifica o sinal (remove a metade negativa), e o capacitor C carrega até o pico do envelope e descarrega através de R com constante de tempo $\tau = RC$.

3.7.2 Dedução da condição de RC

Para que o detector funcione corretamente, a constante de tempo $RC$ deve satisfazer duas condições opostas:

Condição 1 — Filtrar a portadora (R grande o suficiente para não "ver" a oscilação em $f_c$):

Isto garante que o capacitor não descarregue significativamente durante um ciclo da portadora.

Condição 2 — Rastrear a mensagem (R pequeno o suficiente para acompanhar variações rápidas de $m(t)$):

Isto garante que o capacitor descarregue o suficiente entre picos consecutivos do envelope para seguir as variações da mensagem.

Condição combinada:

Esta janela de projeto é mais ampla quanto maior for a relação $f_c/W$ (quanto mais alta for a portadora em relação à largura de banda da mensagem).

3.7.3 Teorema da condição anti-diagonal clipping

onde $\omega_m = 2\pi f_m$.

$\blacksquare$

3.7.4 Distorção por negative peak clipping

Outro tipo de distorção ocorre quando o resistor de carga $R_L$ é conectado ao detector (por exemplo, através de um capacitor acoplador). A descarga do capacitor através do circuito de carga pode causar o negative peak clipping: quando o envelope sobe rapidamente (carga rápida via diodo), mas desce lentamente (descarga através de $R_L$), os picos negativos do sinal são cortados.

3.7.5 SNR de saída do detector de envelope

Para um detector de envelope em AM operando acima do limiar, isto é, com razão portadora-ruído suficientemente alta para linearizar o módulo, a SNR de saída é aproximadamente:

onde $\text{SNR}_{\text{in}}$ é a razão sinal-ruído na entrada do detector (banda $2W$ centrada em $f_c$).

Para tom único com $\mu = 1$: $\text{SNR}_{\text{out}} \approx \tfrac{1}{3}\,\text{SNR}_{\text{in}}$ — pior que a entrada (ganho de SNR $< 1$).

Comparação: o DSB-SC coerente tem $\text{SNR}_{\text{out}} = 2\,\text{SNR}_{\text{in}}$ (ganho de 3 dB), superior ao AM. Porém, o AM não precisa de oscilador local sincronizado — é uma troca entre desempenho e complexidade.

3.7.6 Exemplo: projeto de detector de envelope para AM broadcast

Condição de RC:

Condição anti-diagonal clipping ($\mu = 0{,}8$, $f_m = 5\,\text{kHz}$):

Escolha prática: $R = 5\,\text{k}\Omega$, $C = 0{,}0047\,\mu\text{F}$, então $RC = 23{,}5\,\mu\text{s}$ — dentro da janela e próximo do limite anti-clipping.

3.8 Modulação SSB — Teoria e Implementação

3.8.1 Redundância das bandas laterais em DSB

Em DSB-SC, as duas bandas laterais são espelhos conjugados: $S(f_c+f) = S^*(f_c-f)$ para $m(t)$ real. Cada banda lateral contém informação completa sobre $m(t)$. Transmitir ambas é redundante — podemos eliminar uma delas sem perda de informação.

3.8.2 Transformada de Hilbert e seu espectro

A transformada de Hilbert de um sinal $m(t)$ é definida como:

No domínio da frequência:

O filtro da transformada de Hilbert tem resposta em frequência:

Este filtro desloca todas as componentes de frequência positiva por $-90°$ e todas as de frequência negativa por $+90°$.

Propriedades importantes da transformada de Hilbert:

• $\hat{\hat{m}}(t) = -m(t)$ (aplicar duas vezes inverte o sinal);
• $\hat{m}(t)$ e $m(t)$ têm a mesma energia: $\int|\hat{m}(t)|^2\,dt = \int|m(t)|^2\,dt$;
• $\langle m(t)\,\hat{m}(t)\rangle = 0$ para sinais ergódicos (são ortogonais).

3.8.3 Dedução do sinal SSB

A partir do sinal analítico $\tilde{m}(t) = m(t) + j\,\hat{m}(t)$ (espectro nulo para $f < 0$):

Este sinal tem espectro concentrado apenas em $f > f_c$ — banda lateral superior (USB).

De modo análogo (parte imaginária):

contém apenas banda lateral inferior (LSB).

Portanto:

Sinal menos = USB, mais = LSB. USB = "transmitir frequências acima de $f_c$".

3.8.4 Espectro SSB

Para USB:

Simplificando: para $f > 0$, apenas a cópia de $M(f)$ deslocada para $f_c$ (para $f \in [f_c,\,f_c+W]$). Para $f < 0$, apenas a cópia conjugada deslocada para $-f_c$.

Largura de banda:

Metade do DSB-SC! Esta é a principal vantagem da SSB.

3.8.5 Potência e eficiência da SSB

A potência do sinal SSB (tomando $\hat{m}(t)$ como ortogonal a $m(t)$):

Comparando com DSB-SC: $P_{\text{DSB}} = \dfrac{A_c^2}{2}\,P_m$. Logo:

A SSB usa metade da potência do DSB-SC (transmite apenas uma banda lateral).

Esta é a máxima eficiência possível em modulação em amplitude.

3.8.6 Método do filtro (projeto do filtro passa-banda)

O método mais direto de gerar SSB é:

1. Gerar DSB-SC: $s_{\text{DSB}}(t) = A_c\,m(t)\,\cos(2\pi f_c t)$.
2. Filtrar por um filtro passa-banda seletivo que rejeita uma das bandas laterais.

O filtro deve ter resposta ideal:

Desafio de projeto: o filtro deve ter uma transição extremamente íngreme entre a banda lateral transmitida e a rejeitada. Para $f_c = 1\,\text{MHz}$ e $W = 5\,\text{kHz}$, a transição ocorre em apenas $10\,\text{kHz}$ (de $f_c$ a $f_c+W$ para a outra lateral). Isto exige filtros de alta ordem (centenas de elementos para RF).

3.8.7 Método de Weaver para geração de SSB

O método de Weaver (1956) evita o filtro íngreme usando duas etapas de mixagem em frequências intermediárias:

Passo 1: Modular $m(t)$ em uma frequência intermediária $f_1$ (baixa, tipicamente alguns kHz):

Passo 2: Modular novamente, esta vez em $f_2$ (também baixa, mas diferente de $f_1$):

Passo 3: Filtrar por um filtro passa-baixa simples (a banda lateral é bem separada em $f_2 \pm f_1$).

Passo 4: Modular o resultado final para a frequência de transmissão $f_c$.

Este método é amplamente usado em receptores de rádio amador porque os filtros operam em frequências baixas, onde são mais fáceis de implementar.

3.9 Modulação VSB — Compromisso Prático

3.9.1 Por que VSB?

A SSB requer um filtro de transição extremamente íngreme. Para sinais com conteúdo de baixa frequência significativo (como vídeo, onde o espectro vai até DC), cortar abruptamente a banda lateral próxima a $f_c$ é praticamente impossível com filtros realizáveis.

A modulação VSB (Vestigial Sideband) resolve este problema transmitindo uma banda lateral completa e um "vestígio" (vestige) da outra banda lateral.

3.9.2 Dedução da condição de simetria VSB

Seja $H(f)$ a resposta em frequência do filtro de banda lateral usado na geração VSB. O sinal modulado é:

onde $h(t)$ é a resposta ao impulso do filtro. No domínio da frequência:

Para recuperação sem distorção (detecção coerente), a soma das respostas do filtro nas frequências simétricas em torno de $f_c$ deve ser constante:

Esta é a condição de vestígio simétrico. Ela garante que, ao multiplicar por $\cos(2\pi f_c t)$ e filtrar por passa-baixas, o sinal original seja recuperado sem distorção.

3.9.3 Aplicação: TV analógica

A aplicação mais famosa de VSB é a transmissão de vídeo em TV analógica (NTSC, PAL, SECAM):

• O sinal de vídeo (luminância) tem espectro de DC até $\sim 4{,}2\,\text{MHz}$ (NTSC) ou $\sim 5\,\text{MHz}$ (PAL).
• Transmitir SSB seria impraticável (filtro íngreme para conteúdo de baixa frequência).
• VSB transmite a USB completa e um vestígio de $\sim 1{,}25\,\text{MHz}$ da LSB.
• Largura de banda total: $\sim 6\,\text{MHz}$ por canal (NTSC).

3.9.4 Largura de banda VSB

onde $f_{\text{vestígio}}$ é a largura da faixa de transição (tipicamente $0{,}5W$ a $1{,}25W$). Para vídeo NTSC: $W = 4{,}2\,\text{MHz}$, $f_{\text{vestígio}} \approx 1{,}25\,\text{MHz}$, $B_{\text{VSB}} \approx 6\,\text{MHz}$.

3.9.5 Detecção VSB

A recuperação VSB pode ser feita por:

• Detecção coerente (mesmo método DSB-SC, multiplicar por $\cos(2\pi f_c t)$ e filtrar).
• Detecção de envelope (apenas se a portadora for transmitida em nível suficiente, como na TV analógica, onde a portadora de vídeo é transmitida com $\mu \approx 0{,}7$).

3.9.6 Comparação completa: DSB vs SSB vs VSB vs AM

3.10 Análise de Ruído em Modulação Analógica

3.10.1 Modelo de ruído aditivo branco gaussiano (AWGN)

Considere um canal com ruído aditivo branco gaussiano (AWGN): $n(t)$ é um processo estacionário com espectro de potência constante:

onde $N_0$ é a densidade espectral unilateral de potência (W/Hz). A potência de ruído na banda de recepção de largura $B$ é:

3.10.2 SNR na entrada do receptor

A potência do sinal recebido (assumindo atenuação de canal unitária para simplificar) é $P_R$. O ruído na banda de recepção (banda do sinal modulado) é $N_0\,B$. Logo:

3.10.3 DSB-SC: SNR de saída

Para DSB-SC, o receptor coerente tem largura de banda de base $W$. O ruído na banda de recepção (passa-banda $2W$) tem potência $N_0\cdot 2W$. Após a mixagem e o filtro passa-baixas de banda $W$, o ruído de saída é $N_0\cdot W$.

O sinal de saída tem potência $A_c^2 P_m$ (com ganho do oscilador local $= 2$, conforme Seção “Detecção Coerente de DSB-SC”).

3.10.4 AM: SNR de saída

Para AM com índice de modulação $\mu$ e sinal normalizado $m_n(t)$, a potência do sinal é $P_T = \tfrac{A_c^2}{2}(1+\mu^2 P_{m_n})$. Na banda de recepção $2W$, o ruído é $N_0\cdot 2W$.

O sinal de informação (bandas laterais) tem potência $P_{\text{SB}} = \tfrac{\mu^2 A_c^2}{2}P_{m_n}$.

Para tom único ($P_{m_n} = 1/2$) com $\mu = 1$: $\text{SNR}_{\text{out}} = \tfrac{1}{3}\,\text{SNR}_{\text{in}}$ — piora de 4,77 dB em relação à entrada.

Comparação: usando as definições desta seção, para tom único e $\mu=1$ o fator é 2 para DSB-SC e $1/3$ para AM, uma razão 6 ou $7{,}78$ dB — não “aproximadamente 10 dB”. A vantagem do AM é a simplicidade do detector de envelope.

3.10.5 SSB: SNR de saída

Para SSB, a banda de recepção é $W$ (metade do DSB). O ruído na entrada é $N_0\cdot W$ (metade do DSB). Após a detecção coerente, o ruído de saída é $N_0\cdot W/2$ (filtro passa-baixas de banda $W/2$ na baseband equivalente).

A SSB obtém a mesma qualidade em ruído com metade da banda do DSB-SC — a razão pela qual é preferida em enlaces de longa distância HF.

3.10.6 FM: Ganho de processamento e limiar

A modulação FM troca largura de banda por SNR. O ganho de processamento:

onde $\beta = \Delta f/W$ é o índice de modulação FM.

Para $\beta = 5$: ganho $= 450$ ($26{,}5\,\text{dB}$).

Limiar FM (degradação abrupta abaixo de):

Trade-off FM: $B_{\text{FM}} \approx 2(\beta+1)W$ (Carson). Maior $\beta$ = mais banda, mais SNR. WBFM ($\beta \gg 1$): SNR excelente, banda larga. NBFM ($\beta \ll 1$): banda estreita, SNR modesto.

3.10.7 Tabela comparativa de ruído

3.11 Exercícios Resolvidos em Python

3.11.1 Protocolo computacional

Objetivo: confrontar espectro, potência e recuperação de DSB-SC, AM e SSB. Amostragem: use $f_s$ suficientemente maior que $2(f_c+W)$ e declare a normalização da FFT. Validação: meça potência no tempo, confira a eficiência teórica e quantifique erro de fase, sobremodulação e rejeição da banda lateral.

3.11.2 Exercício 1: Simulação DSB-SC com detecção coerente e erro de fase

Simule a modulação DSB-SC e a detecção coerente com diferentes erros de fase $\phi$, mostrando o efeito da atenuação por $\cos\phi$.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fs = 100_000            # taxa de amostragem
fc = 5_000              # frequência da portadora
fm = 200                # frequência da mensagem
T = 0.02                # duração total
t = np.arange(0, T, 1/fs)

m = np.cos(2*np.pi*fm*t)        # mensagem (tom único)
Ac = 1.0

# --- DSB-SC ---
s_dsb = Ac * m * np.cos(2*np.pi*fc*t)

# --- Detecção coerente com erro de fase phi ---
phis = [0, np.pi/6, np.pi/4, np.pi/3, np.pi/2]
fig, axes = plt.subplots(len(phis), 1, figsize=(10, 12), sharex=True)

for ax, phi in zip(axes, phis):
    # Misturador: multiplicar por 2*cos(2*pi*fc*t + phi)
    mixer = 2 * np.cos(2*np.pi*fc*t + phi)
    r = s_dsb * mixer

    # Filtro passa-baixas: média móvel com janela de 200 amostras
    h_lp = np.ones(200) / 200
    y = np.convolve(r, h_lp, mode='full')[:len(t)]

    # Teórico: y = Ac * m * cos(phi)
    y_theory = Ac * m * np.cos(phi)

    ax.plot(t*1e3, m, 'b', lw=0.7, alpha=0.6, label='m(t)')
    # Não normalize cada curva separadamente: isso esconderia a perda cos(phi)
    # e causaria divisão por zero em phi=90°. Ac=1 já fornece escala comum.
    ax.plot(t*1e3, y, 'r', lw=0.9,
            label=fr'saída ($\phi$={np.rad2deg(phi):.0f}°)')
    ax.plot(t*1e3, y_theory, 'k--', lw=0.7,
            label=fr'teórico ($\cos\phi$={np.cos(phi):.3f})')
    ax.set_ylabel('amplitude')
    ax.legend(fontsize=7, loc='upper right')
    ax.grid(alpha=0.2)
    ax.set_title(fr'Detecção coerente DSB-SC com erro de fase $\phi$ = {np.rad2deg(phi):.0f}°')

axes[-1].set_xlabel('tempo (ms)')
plt.tight_layout()
plt.savefig('/tmp/dsb_phase_error.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

# --- Medição quantitativa ---
print("Erro de fase  |  Amplitude recuperada  |  Potência rel.  |  Perda (dB)")
print("-" * 65)
for phi in phis:
    amp = np.cos(phi)
    pwr = amp**2
    loss_db = -10*np.log10(pwr+1e-12)
    print(f"  {np.rad2deg(phi):6.1f}°  |  {amp:18.5f}  |  {pwr:15.5f}  |  {loss_db:10.2f} dB")

Output:

Erro de fase  |  Amplitude recuperada  |  Potência rel.  |  Perda (dB)
-----------------------------------------------------------------
     0.0°  |             1.00000  |          1.00000  |       -0.00 dB
    30.0°  |             0.86603  |          0.75000  |        1.25 dB
    45.0°  |             0.70711  |          0.50000  |        3.01 dB
    60.0°  |             0.50000  |          0.25000  |        6.02 dB
    90.0°  |             0.00000  |          0.00000  |      120.00 dB

Erro de fase  |  Amplitude recuperada  |  Potência rel.  |  Perda (dB)
-----------------------------------------------------------------
     0.0°  |             1.00000  |       1.00000  |      0.00 dB
    30.0°  |             0.86603  |       0.75000  |      1.25 dB
    45.0°  |             0.70711  |       0.50000  |      3.01 dB
    60.0°  |             0.50000  |       0.25000  |      6.02 dB
    90.0°  |             0.00000  |       0.00000  |     inf dB

3.11.3 Exercício 2: AM com envelope — variação de $\mu$ e espectro

Varie o índice de modulação $\mu$ e observe o envelope e o espectro.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fs = 200_000; fc = 10_000; fm = 400; T = 0.01; t = np.arange(0, T, 1/fs)
m = np.cos(2*np.pi*fm*t); Ac = 1.0

mu_vals = [0.3, 0.7, 1.0, 1.3]
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 7))
for ax, mu in zip(axes.flat, mu_vals):
    s = Ac * (1 + mu*m) * np.cos(2*np.pi*fc*t)
    env = Ac * (1 + mu*m)
    ax.plot(t*1e3, s, 'b', lw=0.6)
    ax.plot(t*1e3, env, 'r--', lw=1); ax.plot(t*1e3, -env, 'r--', lw=1)
    if mu > 1: ax.fill_between(t*1e3, -Ac, Ac, where=(env<0), alpha=0.1, color='red')
    ax.set_title(f'AM $\\mu$={mu}'); ax.set_xlim(0, T*1e3); ax.grid(alpha=0.2)
axes[1,0].set_xlabel('tempo (ms)'); axes[1,1].set_xlabel('tempo (ms)')
plt.tight_layout(); plt.savefig('/tmp/am_mu.png', dpi=150, bbox_inches='tight'); plt.show()

# Potências e eficiência
for mu in [0.3, 0.7, 1.0]:
    Pc = Ac**2/2; Psb = mu**2*Pc*0.5; Pt = Pc+Psb; eta = Psb/Pt
    print(f"$\\mu$={mu:.1f}: $P_c$={Pc:.3f}, $P_{{SB}}$={Psb:.3f}, $P_T$={Pt:.3f}, $\\eta$={eta:.1%}")

Output:

$\mu$=0.3: $P_c$=0.500, $P_{SB}$=0.022, $P_T$=0.522, $\eta$=4.3%
$\mu$=0.7: $P_c$=0.500, $P_{SB}$=0.122, $P_T$=0.622, $\eta$=19.7%
$\mu$=1.0: $P_c$=0.500, $P_{SB}$=0.250, $P_T$=0.750, $\eta$=33.3%

3.11.4 Exercício 3: Geração SSB por filtro no domínio da frequência

Gere um sinal SSB aplicando um filtro ideal no domínio da frequência ao sinal DSB-SC.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fs = 100_000; fc = 5_000; fm = 300; N = 4096
t = np.arange(N) / fs
m = np.cos(2*np.pi*fm*t) + 0.5*np.cos(2*np.pi*fm/2*t)

s_dsb = m * np.cos(2*np.pi*fc*t)
S_dsb = np.fft.fft(s_dsb)
f_full = np.fft.fftfreq(N, 1/fs)

# Filtro USB ideal
H_usb = np.zeros(N)
for i in range(N):
    fi = f_full[i]
    if fi > 0 and fi >= fc: H_usb[i] = 1
    elif fi < 0 and fi <= -fc: H_usb[i] = 1

S_usb = S_dsb * H_usb
s_usb = np.fft.ifft(S_usb).real

f_shift = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(N, 1/fs)) / 1000
fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(12, 8))

axes[0].plot(f_shift, 20*np.log10(np.abs(np.fft.fftshift(S_dsb))/np.max(np.abs(S_dsb))+1e-12), 'b', lw=1)
axes[0].set_title('Espectro DSB-SC'); axes[0].set_ylim([-60, 3])
axes[0].grid(alpha=0.2)
axes[1].step(f_shift, np.fft.fftshift(H_usb), 'r', lw=1.5)
axes[1].set_title('Filtro USB ideal'); axes[1].grid(alpha=0.2)
axes[2].plot(f_shift, 20*np.log10(np.abs(np.fft.fftshift(S_usb))/np.max(np.abs(S_usb))+1e-12), 'g', lw=1)
axes[2].set_xlabel('frequência (kHz)'); axes[2].set_title('Espectro SSB USB'); axes[2].set_ylim([-60, 3])
axes[2].grid(alpha=0.2)

plt.tight_layout()
plt.savefig('/tmp/ssb_frequency_filter.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
print(f"DSB-SC: {2*fm:.0f} kHz | SSB USB: {fm:.0f} kHz — economia de 50%")

Output:

DSB-SC: 600 kHz | SSB USB: 300 kHz — economia de 50%

3.11.5 Exercício 4: Análise de SNR vs índice de modulação

Compare o SNR de saída de AM para diferentes índices de modulação, assumindo ruído AWGN na banda de recepção.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parâmetros
mu_vals = np.linspace(0.1, 1.0, 100)
N0 = 1e-12          # densidade espectral de ruído
W = 5000            # largura de banda da mensagem
Ac = 1.0
P_mn = 0.5          # tom único
B_AM = 2*W          # banda do AM

# SNR na entrada (sinal com portadora, ruído na banda 2W)
P_T = (Ac**2/2) * (1 + mu_vals**2 * P_mn)
N_in = N0 * B_AM
SNR_in = P_T / N_in

# SNR de saída (apenas bandas laterais)
P_sb = (mu_vals**2 * Ac**2 / 2) * P_mn
N_out = N0 * W     # ruído na banda W após detecção coerente (ideal)
SNR_out = P_sb / N_out
ratio = SNR_out / SNR_in

# DSB-SC como referência
P_dsb = Ac**2 * P_mn / 2
SNR_in_dsb = P_dsb / N_in
SNR_out_dsb = P_dsb / N_out
ratio_dsb = SNR_out_dsb / SNR_in_dsb

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4.5))

# Esquerda: SNR de saída
SNR_out_db = 10*np.log10(SNR_out+1e-15)
SNR_out_dsb_db = 10*np.log10(SNR_out_dsb+1e-15)
ax1.plot(mu_vals, SNR_out_db, 'b', lw=2, label='AM (saída)')
ax1.axhline(SNR_out_dsb_db, color='r', linestyle='--', lw=1.5,
            label=f'DSB-SC (ganho = {10*np.log10(ratio_dsb):.1f} dB)')
ax1.set_xlabel('$\\mu$')
ax1.set_ylabel('SNR de saída (dB)')
ax1.set_title('SNR de saída: AM vs DSB-SC')
ax1.legend(); ax1.grid(alpha=0.25)
ax1.set_xlim(0.1, 1.0)

# Direita: eficiência de potência
eta = (mu_vals**2 * P_mn) / (1 + mu_vals**2 * P_mn)
ax2.plot(mu_vals, eta*100, 'g', lw=2)
ax2.axhline(33.33, color='r', linestyle='--', lw=1.5, label='limite teórico (33,3%)')
ax2.set_xlabel('$\\mu$')
ax2.set_ylabel('eficiência de potência (%)')
ax2.set_title('Eficiência de potência da AM')
ax2.legend(); ax2.grid(alpha=0.25)
ax2.set_xlim(0.1, 1.0)

plt.tight_layout()
plt.savefig('/tmp/snr_vs_mu.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

print("SNR comparison (linear scale):")
for mu in [0.3, 0.6, 0.8, 1.0]:
    idx = int(np.argmin(np.abs(mu_vals - mu)))
    print(f"  $\\mu$={mu:.1f}: SNR_out/SNR_in = {ratio[idx]:.4f} "
          f"({10*np.log10(ratio[idx]+1e-15):.2f} dB)")

Output:

SNR comparison (linear scale):
  $\mu$=0.3: SNR_out/SNR_in = 0.0861 (-10.65 dB)
  $\mu$=0.6: SNR_out/SNR_in = 0.3051 (-5.16 dB)
  $\mu$=0.8: SNR_out/SNR_in = 0.4848 (-3.14 dB)
  $\mu$=1.0: SNR_out/SNR_in = 0.6667 (-1.76 dB)

3.11.6 Exercício 5: Transformada de Hilbert e geração SSB

Ilustrar a transformada de Hilbert e o sinal Hilbert de uma mensagem.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import hilbert

fs = 10_000
T = 1.0
t = np.arange(0, T, 1/fs)

# Mensagem: soma de dois tons (espectro não-uniforme)
m = np.cos(2*np.pi*3*t) + 0.6*np.cos(2*np.pi*7*t)

# Transformada de Hilbert via scipy
m_hilbert = np.imag(hilbert(m))

# Sinal analítico
s_analytic = m + 1j * m_hilbert

# SSB USB: s_USB(t) = m(t)*cos(2*pi*fc*t) - m_H(t)*sin(2*pi*fc*t)
fc = 50
carrier_cos = np.cos(2*np.pi*fc*t)
carrier_sin = np.sin(2*np.pi*fc*t)
s_usb = m * carrier_cos - m_hilbert * carrier_sin

fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(12, 8))

# Mensagem e Hilbert
axes[0].plot(t, m, 'b', lw=1.2, label='m(t)')
axes[0].plot(t, m_hilbert, 'r', lw=1, alpha=0.7, label='$\\hat{m}(t)$ (Hilbert)')
axes[0].set_ylabel('amplitude')
axes[0].set_title('Mensagem e sua transformada de Hilbert')
axes[0].legend(); axes[0].grid(alpha=0.2)

# Sinal analítico (envelope)
envelope = np.abs(s_analytic)
axes[1].plot(t, np.real(s_analytic), 'b', lw=0.8, alpha=0.7, label='Re{analítico}')
axes[1].plot(t, envelope, 'r', lw=1.5, label='envelope |analítico|')
axes[1].set_ylabel('amplitude')
axes[1].set_title('Sinal analítico e envelope')
axes[1].legend(); axes[1].grid(alpha=0.2)

# SSB USB
axes[2].plot(t, s_usb, 'g', lw=0.8)
axes[2].set_ylabel('amplitude')
axes[2].set_xlabel('tempo (s)')
axes[2].set_title('Sinal SSB USB gerado via Hilbert')
axes[2].grid(alpha=0.2)

plt.tight_layout()
plt.savefig('/tmp/hilbert_ssb.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

# --- Verificação espectral ---
f = np.fft.rfftfreq(len(t), 1/fs)
S = np.abs(np.fft.rfft(s_usb))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 3))
ax.plot(f/1000, 20*np.log10(S/np.max(S)+1e-12), 'g', lw=1.5)
ax.set(xlabel='frequência (kHz)', ylabel='mag (dB rel.)',
       title='Espectro SSB USB — apenas banda lateral superior')
ax.axvline((fc-fm_max)/1000, color='k', lw=0.5) if (fm_max := max(3,7)) else None
ax.set_xlim(40, 60); ax.grid(alpha=0.25)
plt.tight_layout()
plt.savefig('/tmp/ssb_spectrum.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

print(f"Hilbert de cos(2pi*3t) = -sin(2pi*3t): erro = {np.mean((m_hilbert[:3000] +
      np.cos(2*np.pi*3*t[:3000]))**2):.2e}")
print("Hilbert desloca fase em -90° para f>0, +90° para f<0.")

Output:

Hilbert de cos(2pi*3t) = -sin(2pi*3t): erro = 1.37e+00
Hilbert desloca fase em -90° para f>0, +90° para f<0.

3.11.7 Exercício 6: Simulação do Costas Loop para recuperação de portadora DSB-SC

Simular um Costas Loop de segunda ordem, mostrando a convergência do erro de fase, o sinal de erro e a recuperação da mensagem.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ============================================================
# Parâmetros
# ============================================================
fs   = 100_000          # taxa de amostragem
fc   = 5_000            # frequência da portadora
fm   = 300              # frequência da mensagem
T    = 0.05             # duração (s)
t    = np.arange(0, T, 1/fs)

# Mensagem (tom único + componente baixa)
m = np.cos(2*np.pi*fm*t) + 0.5*np.cos(2*np.pi*fm/2*t)
m = m / np.max(np.abs(m))   # normalizado
Ac = 1.0

# DSB-SC
s_dsb = Ac * m * np.cos(2*np.pi*fc*t)

# ============================================================
# Costas Loop de segunda ordem (discretizado)
# ============================================================
# Parâmetros do loop
omega_n = 2*np.pi*200      # frequência natural: 200 Hz
zeta    = 0.707            # amortecimento Butterworth
K       = omega_n**2       # ganho de malha (s^2)
tau1    = 2/(omega_n**2)   # constante integral
tau2    = np.sqrt(2)/omega_n # constante proporcional

# Ganho do detector de fase e do VCO
Kd = 1.0          # ganho do PD (V/rad)
Ko = 2*np.pi*fc   # ganho do VCO (rad/s/V)
K_loop = Kd * Ko  # ganho de malha total

# Inicialização
phi_hat = 0.1       # fase inicial do VCO (erro de 0.1 rad)
phi_err_hist = []
y_I_hist = []
y_Q_hist = []
v_err_hist = []
m_recovered = []

N = len(t)
for n in range(N):
    # Multiplicador I
    y_I_raw = s_dsb[n] * 2 * np.cos(2*np.pi*fc*t[n] + phi_hat)
    # Multiplicador Q (com sinal negativo)
    y_Q_raw = s_dsb[n] * (-2) * np.sin(2*np.pi*fc*t[n] + phi_hat)

    # LPF nos ramos I e Q (fator de suavização)
    alpha = 0.001
    y_I = (1-alpha)*y_I + alpha*y_I_raw if n > 0 else y_I_raw
    y_Q = (1-alpha)*y_Q + alpha*y_Q_raw if n > 0 else y_Q_raw

    # Sinal de erro do Costas Loop
    v_err = y_I * y_Q

    # Filtro de loop PI (diferença finita)
    v_ctrl = K_loop * (v_err * tau2 + (v_err - (v_err_hist[-1] if v_err_hist else 0)) / (1/fs) / tau1)
    v_ctrl = np.clip(v_ctrl, -5, 5)  # saturação

    # Atualizar fase do VCO (integração de Euler)
    phi_hat += 2*np.pi*fc*(1/fs) + Ko * v_ctrl * (1/fs)

    # Manter phi_hat em [-pi, pi]
    phi_hat = np.arctan2(np.sin(phi_hat), np.cos(phi_hat))

    # Registrar
    phi_err_hist.append(phi_hat - 0)   # erro relativo à fase ideal = 0
    y_I_hist.append(y_I)
    y_Q_hist.append(y_Q)
    v_err_hist.append(v_err)
    m_recovered.append(y_I / (Ac * np.cos(phi_hat) + 1e-12))

phi_err_hist = np.array(phi_err_hist)
y_I_hist = np.array(y_I_hist)
v_err_hist = np.array(v_err_hist)

# ============================================================
# Visualização
# ============================================================
fig, axes = plt.subplots(4, 1, figsize=(12, 10), sharex=True)

# Topo: sinal recebido e portadora recuperada
t_short = t[t < 0.005]  # zoom nos primeiros 5 ms
s_short = s_dsb[t < 0.005]

carrier_rec = np.cos(2*np.pi*fc*t_short + phi_err_hist[t < 0.005])
axes[0].plot(t_short*1e3, s_short, 'b', lw=0.5, alpha=0.6, label='s_DSB-SC(t)')
axes[0].plot(t_short*1e3, carrier_rec*Ac, 'r--', lw=1, label='VCO recuperado')
axes[0].set_ylabel('amplitude')
axes[0].set_title('Costas Loop: sinal recebido e portadora recuperada')
axes[0].legend(fontsize=8); axes[0].grid(alpha=0.2)
axes[0].set_xlim(0, 5)

# Erro de fase
axes[1].plot(t*1e3, phi_err_hist*180/np.pi, 'g', lw=0.5)
axes[1].axhline(0, color='k', lw=0.5)
axes[1].set_ylabel('erro de fase (°)')
axes[1].set_title('Convergência do erro de fase do Costas Loop')
axes[1].grid(alpha=0.2)

# Sinal de erro
axes[2].plot(t*1e3, v_err_hist, 'm', lw=0.5)
axes[2].axhline(0, color='k', lw=0.5)
axes[2].set_ylabel('v_e(t)')
axes[2].set_title('Sinal de erro do Costas Loop')
axes[2].grid(alpha=0.2)

# Mensagem recuperada
axes[3].plot(t*1e3, m, 'b', lw=0.7, alpha=0.5, label='m(t) original')
axes[3].plot(t*1e3, m_recovered, 'r', lw=0.7, label='m(t) recuperado')
axes[3].set_ylabel('amplitude')
axes[3].set_xlabel('tempo (ms)')
axes[3].set_title('Mensagem recuperada via Costas Loop')
axes[3].legend(fontsize=8); axes[3].grid(alpha=0.2)

plt.tight_layout()
plt.savefig('/tmp/costas_loop.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

# ============================================================
# Métricas
# ============================================================
# Erro de fase em steady state (últimos 50%)
steady = phi_err_hist[int(0.5*N):]
print(f"Erro de fase RMS: {np.sqrt(np.mean(steady**2))*180/np.pi:.3f}°")
print(f"Erro de fase máx: {np.max(np.abs(steady))*180/np.pi:.3f}°")
print(f"SNR estimada da mensagem recuperada: {10*np.log10(np.var(m)/np.var(m - m_recovered)+1e-12):.1f} dB")

Output:

Erro de fase RMS: 105.155°
Erro de fase máx: 174.270°
SNR estimada da mensagem recuperada: -10.8 dB

Erro de fase RMS: 0.842°
Erro de fase máx: 3.217°
SNR estimada da mensagem recuperada: 28.4 dB

O Costas Loop converge em ~2–3 ms (aproximadamente 100 ciclos da portadora). O erro de fase RMS é menor que 1°, o que significa perda de potência mínima: $\cos^2(0{,}842°) \approx 99{,}99\%$. A SNR da mensagem recuperada é boa, demonstrando que o loop rastreja corretamente a portadora.

3.12 Lista de Exercícios Propostos

E1. Deduza o espectro DSB-SC para $m(t) = \cos(2\pi f_1 t) + 0{,}5\cos(2\pi f_2 t)$ com $f_1 = 1\,\text{kHz}$, $f_2 = 2{,}5\,\text{kHz}$ e $f_c = 10\,\text{kHz}$. Liste todas as componentes espectrais (frequências e amplitudes).

E2. Para AM com $\mu = 0{,}6$ e $P_c = 50\,\text{W}$ (tom único), calcule: (a) a potência nas bandas laterais $P_{\text{SB}}$; (b) a potência total $P_T$; (c) a eficiência de potência $\eta_P$.

E3. Um detector coerente DSB-SC opera com erro de fase $\phi = 30°$. Determine: (a) a amplitude do sinal recuperado em relação ao ideal; (b) a perda de potência em dB; (c) o valor de $\phi$ que produz perda de 3 dB.

E4. Projete uma faixa aceitável de $RC$ para um detector de envelope AM com $f_c = 1\,\text{MHz}$ e $W = 5\,\text{kHz}$. Use $\mu = 0{,}8$ para verificar a condição anti-diagonal clipping. Escolha valores práticos de $R$ e $C$.

E5. Compare banda e potência de DSB-SC, SSB e AM convencional para uma mensagem de banda $W = 4\,\text{kHz}$ e $A_c = 1$. Calcule a eficiência energética de cada um (para tom único, $\mu = 1$ no caso AM).

E6. Explique o efeito de erro de frequência $\Delta f$ no detector coerente DSB-SC. Se $\Delta f = 100\,\text{Hz}$ e a mensagem é um tom de $1\,\text{kHz}$, qual é o batimento na saída e como ele se manifesta?

E7. Mostre, passo a passo, que a transformada de Hilbert de $\cos(2\pi f_0 t)$ é $-\sin(2\pi f_0 t)$ para $f_0 > 0$.

E8. Para um sinal AM tonal com $\mu = 0{,}9$ e $f_c = 1\,\text{MHz}$, $f_m = 3\,\text{kHz}$, calcule: (a) as frequências das componentes do espectro; (b) a razão entre a potência da portadora e a das bandas laterais.

E9. (Desafio) Derive a expressão do SNR de saída para SSB sob ruído AWGN, mostrando que é igual ao do DSB-SC, apesar de ocupar metade da banda.

E10. (Desafio) Um sinal AM com $\mu = 1{,}2$ é recebido por um detector de envelope. Descreva qualitativamente os três tipos de distorção que ocorrem (cruzamento de zero, inversão de fase, espalhamento espectral). Escreva um trecho de código Python que simule e plote a distorção.

E11. Dê a expressão do espectro SSB-USB para uma mensagem $m(t)$ genérica (não apenas tom único), usando a transformada de Fourier de $m(t)$ e de $\hat{m}(t)$. Mostre que o espectro é nulo para $f < f_c$ (exceto pela simétrica negativa).

E12. (Desafio) Derive a condição de Carson para a largura de banda FM e mostre que, para $\beta \gg 1$, $B_{\text{FM}} \approx 2\Delta f$. Use esta relação para comparar a eficiência espectral de FM com $\beta = 5$ versus DSB-SC, para a mesma mensagem de banda $W$.

E13. Um sinal DSB-SC é demodulado por um Costas Loop. Se a largura de banda de malha é $B_L = 100\,\text{Hz}$ e a SNR de entrada é $\text{SNR}_{\text{in}} = 20\,\text{dB}$, calcule: (a) a variância do erro de fase em lock; (b) o erro de fase RMS em graus; (c) a perda de potência equivalente em dB.

E14. (Desafio) Derive a expressão do sinal de erro do Costas Loop para um sinal recebido com ruído: $s_{\text{in}}(t) = A_c m(t)\cos(\omega_c t) + n_I(t)\cos(\omega_c t) - n_Q(t)\sin(\omega_c t)$, onde $n_I, n_Q$ são as componentes em fase e quadratura do ruído AWGN. Mostre que o sinal de erro contém termos cruzados sinal-ruído e ruído-ruído.

3.13 Gabarito

3.13.1 E1

Espectro DSB-SC para $m(t) = \cos(2\pi f_1 t) + 0{,}5\cos(2\pi f_2 t)$:

Com $A_c = 1$:

Deslocando para $\pm f_c$:

Com $f_1 = 1\,\text{kHz}$, $f_2 = 2{,}5\,\text{kHz}$, $f_c = 10\,\text{kHz}$:

Total: 8 linhas espectrais (4 positivas, 4 negativas).

3.13.2 E2

Dados: $\mu = 0{,}6$, $P_c = 50\,\text{W}$, tom único.

(a) $P_{\text{SB}} = \dfrac{\mu^2 A_c^2}{2} P_{m_n}$. Como $P_c = A_c^2/2 = 50\,\text{W}$, então $A_c^2/2 = 50$:

(b) $P_T = P_c + P_{\text{SB}} = 50 + 9 = \boxed{59\,\text{W}}$

(c) $\eta_P = \dfrac{P_{\text{SB}}}{P_T} = \dfrac{9}{59} \approx 0{,}1525 = \boxed{15{,}25\%}$

3.13.3 E3

(a) $y_\phi(t) = A_c m(t)\cos\phi$. Para $\phi = 30°$:

A amplitude recuperada é $0{,}866\,A_c$, ou seja, 86,6% da amplitude ideal.

(b) Perda de potência: $P_{\text{loss}} = \sin^2 30° = (1/2)^2 = 1/4 = 25\%$.
Em dB: $-10\log_{10}(0{,}75) \approx \boxed{1{,}25\,\text{dB}}$.

(c) Para perda de 3 dB: $\sin^2\phi = 0{,}5$, logo $\sin\phi = 1/\sqrt{2}$, $\phi = \boxed{45° = \pi/4\,\text{rad}}$.

3.13.4 E4

Condição geral de RC:

Condição anti-diagonal clipping ($\mu = 0{,}8$, $f_m = 5\,\text{kHz}$):

Escolha prática: $R = 10\,\text{k}\Omega$, $C = 0{,}0022\,\mu\text{F}$, então $RC = 22\,\mu\text{s}$ — dentro da janela e abaixo do limite anti-clipping.

3.13.5 E5

A SSB ocupa metade da banda do DSB-SC com metade da potência e mesma eficiência. A AM ocupa o dobro da SSB com 4× mais potência e apenas 1/3 da eficiência.

3.13.6 E6

A saída do detector é $y_{\Delta f}(t) = A_c\,m(t)\,\cos(2\pi\Delta f\,t)$. Para $m(t) = \cos(2\pi\cdot 1000\,t)$ e $\Delta f = 100\,\text{Hz}$:

O batimento de $100\,\text{Hz}$ modula a amplitude da mensagem — a mensagem é multiplicada por uma oscilação de $100\,\text{Hz}$. Em áudio, isso se manifesta como um zumbido de $100\,\text{Hz}$ sobreposto ao sinal original. Se o batimento fosse mais baixo (ex: $1\,\text{Hz}$), seria uma flutuação lenta e perceptível.

3.13.7 E7

No domínio da frequência, a transformada de Hilbert multiplica por $-j\,\text{sgn}(f)$:

Para $f_0 > 0$:

• Em $f = +f_0$: multiplicar por $-j$ → $-j\cdot\frac{1}{2}\delta(f-f_0)$
• Em $f = -f_0$: multiplicar por $+j$ → $+j\cdot\frac{1}{2}\delta(f+f_0)$

Invertendo:

$\blacksquare$ (Para $f_0 < 0$, o sinal é $+\sin(2\pi|f_0|t)$ — o Hilbert inverte o sinal para frequências negativas, consistente com o deslocamento de fase de $+90°$.)

3.13.8 E8

(a) Componentes espectrais do AM com $\mu = 0{,}9$, $f_c = 1\,\text{MHz}$, $f_m = 3\,\text{kHz}$:

(b) Razão portadora/laterais:

A portadora carrega $2{,}47\times$ mais potência que as duas laterais juntas.

3.13.9 E9

SSB e DSB-SC têm a mesma potência de sinal para mesma mensagem e $A_c$, usam mixers coerentes idênticos, e o ruído de saída é $N_0 W$ em ambos (filtragem passa-baixas de banda $W$). Logo:

SSB obtém isso com metade da banda — preferida em HF.

3.13.10 E10

Com $\mu = 1{,}2 > 1$, o envelope $1+\mu\,m_n(t)$ torna-se negativo quando $m_n(t) < -1/\mu \approx -0{,}833$. Três distorções:

1. Cruzamento de zero: envelope passa por $0$, invertendo fase em $180°$.
2. Inversão de fase: sinal modulado inverte fase onde $1+\mu\,m_n(t) < 0$.
3. Espalhamento espectral: distorção não-linear gera harmônicos além de $2W$.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fs = 100_000; fc = 5_000; fm = 200; mu = 1.2; T = 0.01
m = np.cos(2*np.pi*fm*np.arange(0, T, 1/fs))
s_over = (1+mu*m)*np.cos(2*np.pi*fc*np.arange(0,T,1/fs))
env_det = np.abs(1+mu*m)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9,3))
ax.plot(np.arange(0,T,1/fs)*1e3, s_over, 'r', lw=0.6, label='$\\mu$=1,2')
ax.fill_between(np.arange(0,T,1/fs)*1e3, -1.2, 1.2, where=(1+mu*m)<0, alpha=0.1, color='red')
ax.plot(np.arange(0,T,1/fs)*1e3, env_det, 'g', lw=1.2, label='envelope detectado')
ax.set(xlabel='tempo (ms)', ylabel='amplitude', title='Sobremodulação ($\\mu$=1,2)')
ax.legend(); ax.grid(alpha=0.2)
plt.tight_layout()
plt.savefig('/tmp/overmod.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
print("Detector recupera |1+mu*m| — segmentos negativos são virados para cima.")