1. Cálculo Vetorial para Eletromagnetismo

Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Campos Escalares e Vetoriais · Gradiente · Divergente · Rotacional · Laplaciano · Sistemas de Coordenadas Curvilíneas · Identidades Vetoriais · Teorema de Helmholtz · Teorema da Unicidade

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1.1 Objetivos de Aprendizagem

Ao final deste capítulo, você será capaz de:

• [ ] Interpretar fisicamente os operadores gradiente, divergente e rotacional.
• [ ] Calcular esses operadores em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
• [ ] Aplicar o Teorema do Divergente e o Teorema de Stokes a campos vetoriais.
• [ ] Verificar identidades vetoriais fundamentais usando cálculo simbólico e numérico.
• [ ] Decompor campos vetoriais usando o Teorema de Helmholtz.

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1.2 Antes de começar

Ao final, você deve interpretar gradiente, divergente e rotacional, trocar corretamente entre coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas e aplicar Gauss, Stokes, Helmholtz e Unicidade. Diagnóstico: um campo com divergente e rotacional nulos precisa ser nulo? Evidência mínima: calcular os operadores em campos de teste e verificar uma identidade vetorial e um teorema integral.

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1.3 Intuição Física: Por que Cálculo Vetorial?

Antes de mergulhar nas fórmulas, é essencial entender por que o cálculo vetorial é a linguagem natural do eletromagnetismo:

• Campos escalares (como temperatura ou potencial elétrico) descrevem "o que" existe em cada ponto do espaço.
• Campos vetoriais (como campo elétrico ou magnético) descrevem "como" uma carga de teste seria afetada em cada ponto.
• O gradiente nos diz "para onde e quão rápido" um escalar muda.
• O divergente nos diz "onde há fontes ou sorvedouros" de um campo.
• O rotacional nos diz "onde o campo gira" ou circula.

Esses três operadores, combinados com os teoremas de Gauss e Stokes, formam a base matemática para todas as quatro equações de Maxwell.

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1.4 Aplicações no Mundo Real

Conceito	Aplicação Prática
Gradiente	Projeto de antenas e otimização de cobertura de sinal
Divergente	Análise de fluxo de corrente em circuitos e redes elétricas
Rotacional	Projeto de motores elétricos e geradores
Teorema de Gauss	Cálculo de campos em capacitores e blindagem eletrostática
Teorema de Stokes	Análise de indução eletromagnética em transformadores

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1.5 Campos Escalares e Vetoriais

Um campo escalar $f(\vec r)$ associa um número a cada ponto do espaço (ex.: temperatura, potencial elétrico $V$). Um campo vetorial $\vec F(\vec r)$ associa um vetor a cada ponto (ex.: campo elétrico $\vec E$, campo magnético $\vec B$).

Todo o eletromagnetismo desta apostila é escrito em termos de três operadores diferenciais atuando sobre esses campos — gradiente, divergente e rotacional — e de dois teoremas integrais que os conectam a integrais de superfície/linha — o Teorema do Divergente e o Teorema de Stokes. Este arquivo define esses objetos com cuidado antes de usá-los livremente no restante do curso.

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1.6 Álgebra Vetorial Básica

Por que o eletromagnetismo precisa de vetores, e não apenas de números? Porque toda grandeza física relevante aqui — força sobre uma carga, campo elétrico, densidade de corrente — tem uma direção que importa fisicamente: uma carga sente uma força elétrica em uma direção específica, não apenas com uma "intensidade". Esta seção constrói, a partir de propriedades físicas simples (projeção e área), as duas operações que usaremos o tempo todo: o produto escalar e o produto vetorial.

1.6.1 Vetores e Escalares

Um escalar é uma grandeza que possui apenas magnitude (ex.: massa, temperatura, potencial elétrico). Um vetor possui magnitude, direção e sentido (ex.: deslocamento, velocidade, campo elétrico). Em coordenadas cartesianas, $\vec A = A_x\hat x+A_y\hat y+A_z\hat z$, onde $A_x,A_y,A_z$ são as componentes (escalares) e $\hat x,\hat y,\hat z$ carregam a informação de direção.

1.6.2 Vetor Unitário

Um vetor unitário (ou versor) é um vetor de magnitude igual a 1 — ele carrega pura informação de direção, sem escala. Os versores cartesianos padrão são $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ (ou $\hat{u}_x, \hat{u}_y, \hat{u}_z$), que apontam nas direções positivas dos eixos coordenados.

Para qualquer vetor $\vec A \neq \vec 0$, o vetor unitário na direção de $\vec A$ é obtido "descartando" o comprimento e mantendo só a direção:

Essa operação — normalizar um vetor — aparecerá repetidamente: campos como $\vec E=\frac{kq}{r^2}\hat r$ separam explicitamente "quanto" ($kq/r^2$, escalar) de "em que direção" ($\hat r$, versor).

1.6.3 Adição e Subtração de Vetores

A soma de dois vetores $\vec A$ e $\vec B$ é dada, componente a componente, por:

Geometricamente, isso corresponde à regra do paralelogramo ou da poligonal (colocar a cauda de $\vec B$ na ponta de $\vec A$). Fisicamente, esta é a operação por trás do Princípio da Superposição: o campo elétrico total de várias cargas é a soma vetorial dos campos individuais — cada carga "não sabe" da presença das outras, e os efeitos se somam vetorialmente.

1.6.4 Produto Escalar (Dot Product) — dedução a partir da projeção

A pergunta física: quanto de um vetor $\vec B$ "aponta na mesma direção" de outro vetor $\vec A$? Essa pergunta aparece toda vez que calculamos trabalho ($\vec F\cdot d\vec\ell$) ou fluxo ($\vec F\cdot d\vec A$) — só a componente de um vetor paralela ao outro contribui.

Passo 1 — projeção geométrica. A projeção escalar de $\vec B$ sobre a direção de $\vec A$ é, por definição de cosseno em um triângulo retângulo, $|\vec B|\cos\theta$, onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores. Definimos o produto escalar como essa projeção multiplicada pela magnitude de $\vec A$:

Passo 2 — forma em componentes. Usando a lei dos cossenos no triângulo formado por $\vec A$, $\vec B$ e $\vec A-\vec B$: $|\vec A-\vec B|^2 = |\vec A|^2+|\vec B|^2-2|\vec A||\vec B|\cos\theta$. Expandindo o lado esquerdo em componentes cartesianas, $|\vec A-\vec B|^2=(A_x-B_x)^2+(A_y-B_y)^2+(A_z-B_z)^2 = |\vec A|^2+|\vec B|^2-2(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)$. Comparando os dois termos que multiplicam $-2$:

Resultado: um escalar. Casos-limite que ajudam a fixar a intuição: $\vec A\cdot\vec B=0$ quando $\theta=90°$ (vetores perpendiculares — nenhuma "sobreposição" de direção); $\vec A\cdot\vec B=|\vec A||\vec B|$ quando $\theta=0°$ (vetores paralelos — sobreposição total); $\vec A\cdot\vec A=|\vec A|^2$ (a "projeção de um vetor sobre si mesmo" é seu próprio comprimento ao quadrado).

1.6.5 Produto Vetorial (Cross Product) — dedução a partir da área e do torque

A pergunta física: dado um plano definido por $\vec A$ e $\vec B$, existe uma direção naturalmente perpendicular a ambos, com magnitude ligada à área "varrida" pelos dois vetores? Essa construção aparece no torque ($\vec\tau=\vec r\times\vec F$), na força magnética ($\vec F=q\vec v\times\vec B$) e na definição do rotacional (via a regra da mão direita).

Passo 1 — a magnitude é uma área. A área do paralelogramo formado por $\vec A$ e $\vec B$ é base $\times$ altura $=|\vec A|\,(|\vec B|\sin\theta)$, onde $|\vec B|\sin\theta$ é a componente de $\vec B$ perpendicular a $\vec A$ (a "altura" do paralelogramo). Definimos essa área como a magnitude do produto vetorial:

Passo 2 — a direção é normal ao plano. Como um plano tem duas normais possíveis ($+\hat n$ e $-\hat n$), a convenção física (consistente com torque e força magnética observados no laboratório) escolhe o sentido pela regra da mão direita: aponte os dedos na direção de $\vec A$, curve-os até $\vec B$; o polegar aponta na direção de $\vec A\times\vec B$.

Resultado: um vetor, perpendicular tanto a $\vec A$ quanto a $\vec B$. Casos-limite: $|\vec A\times\vec B|=0$ quando $\theta=0°$ ou $180°$ (vetores paralelos/antiparalelos não definem um plano, logo não há normal única); $|\vec A\times\vec B|=|\vec A||\vec B|$ quando $\theta=90°$ (área máxima).

Passo 3 — forma em componentes (via o determinante mnemônico, útil para cálculo direto):

Consequência imediata: $\vec A\times\vec B=-\vec B\times\vec A$ (trocar as duas primeiras linhas do determinante inverte o sinal) — o produto vetorial não comuta, ao contrário do produto escalar.

1.6.6 Visualização Python — projeção, área e regra da mão direita

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1.7 O Operador Nabla e o Gradiente

1.7.1 O sentimento físico: "para onde eu deveria andar?"

Imagine-se em pé sobre uma colina cuja altitude é dada por um campo escalar $f(x,y)$ (poderia ser temperatura, potencial elétrico, concentração — qualquer número que muda de ponto a ponto). Uma pergunta natural: em que direção devo dar um passo para subir o mais rápido possível? E, uma vez escolhida essa direção, quão íngreme é a subida?

O gradiente é a resposta matemática precisa a essas duas perguntas simultaneamente: ele é um vetor que aponta na direção de subida mais rápida, e seu módulo é a inclinação nessa direção. Antes de definir a fórmula, vamos construir essa ideia a partir de algo mais simples — a derivada direcional.

1.7.2 Passo 1: taxa de variação em uma direção arbitrária

Suponha que você dá um pequeno passo $d\vec\ell$ a partir do ponto $(x,y,z)$. Quanto $f$ varia? Pela regra da cadeia (derivada total de uma função de várias variáveis):

Repare que essa expressão tem a forma de um produto escalar (Seção "Produto Escalar (Dot Product) — dedução a partir da projeção"): é a soma de produtos componente a componente entre o vetor $\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$ e o deslocamento $d\vec\ell=(dx,dy,dz)$. Isso motiva definir esse vetor de derivadas parciais como um objeto único:

de modo que a variação de $f$ ao longo de qualquer deslocamento infinitesimal $d\vec\ell = dx\,\hat x+dy\,\hat y+dz\,\hat z$ se escreve, de forma compacta e independente de coordenadas, como:

1.7.3 Passo 2: em que direção a subida é mais rápida?

Agora respondemos à pergunta da colina. Escreva $d\vec\ell = d\ell\,\hat u$, onde $\hat u$ é um versor (a direção do passo, escolhida por você) e $d\ell>0$ o tamanho do passo. A taxa de variação de $f$ por unidade de comprimento percorrido, nessa direção, é a derivada direcional:

onde $\theta$ é o ângulo entre $\nabla f$ (fixo no ponto considerado) e $\hat u$ (a direção que você escolhe). Como $|\nabla f|$ não depende de $\hat u$, a única coisa que você controla é $\cos\theta$ — e $\cos\theta$ é máximo (igual a 1) quando $\theta=0$, isto é, quando você escolhe caminhar exatamente na direção de $\nabla f$. Conclusão:

Note também o caso $\theta=180°$: caminhar na direção $-\nabla f$ dá a descida mais rápida (o "caminho de menor esforço para descer a colina"); e $\theta=90°$: caminhar perpendicular a $\nabla f$ não muda $f$ — você está andando ao longo de uma curva de nível.

1.7.4 Visualização Python — a colina, a bússola do gradiente e a subida mais rápida

O código a seguir simula literalmente a "colina": para um conjunto de direções $\hat u(\theta)$, calcula a derivada direcional $\nabla f\cdot\hat u$ e mostra que ela é máxima exatamente quando $\hat u$ aponta junto com $\nabla f$ — verificando numericamente o Passo 2.

1.7.5 Passo 3: por que empacotar tudo em um único símbolo $\nabla$?

Reparar na Definição 1: o gradiente é construído aplicando o mesmo padrão — "derivada parcial na direção $i$, multiplicada pelo versor $\hat u_i$" — três vezes e somando. Esse padrão se repete tantas vezes no eletromagnetismo (a seguir, no divergente e no rotacional) que vale a pena dar-lhe um nome e tratá-lo como um objeto algébrico à parte:

$\nabla$ não é um vetor no sentido usual (suas "componentes" são instruções de derivação, não números) — é um operador: sozinho, não significa nada; só produz um resultado quando aplicado a um campo. Mas ele se comporta como se fosse um vetor sob as operações de álgebra vetorial já deduzidas nesta seção, o que é extremamente útil:

• Gradiente $\nabla f$: $\nabla$ "multiplicando" um escalar $f$ (analogia com $\vec A$ escalado por um número) $\to$ produz um vetor.
• Divergente $\nabla\cdot\vec F$: $\nabla$ em produto escalar com um campo vetorial $\to$ produz um escalar (mede projeção/expansão — Seção "Divergente").
• Rotacional $\nabla\times\vec F$: $\nabla$ em produto vetorial com um campo vetorial $\to$ produz um vetor perpendicular ao "plano de circulação" (Seção "Rotacional").

Ou seja: as três operações fundamentais do cálculo vetorial em eletromagnetismo não são três ideias independentes — são as três formas de combinar $\nabla$ com um campo, herdadas diretamente das três operações vetoriais já vistas (escalar × vetor, produto escalar, produto vetorial).

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1.8 Elementos Diferenciais e Integrais

As três integrais desta seção — de linha, de superfície e de volume — não são fórmulas isoladas para decorar: são todas a mesma ideia (dividir, aproximar, somar, refinar) aplicada a três geometrias diferentes: um caminho 1D, uma superfície 2D e uma região 3D. Cada uma responde a uma pergunta física concreta: quanto trabalho uma força realiza ao longo de um percurso? Quanto fluido atravessa uma tela? Quanta carga há dentro de uma região? Esta seção deduz as três a partir do mesmo processo de soma de Riemann, com um exemplo numérico para cada uma.

1.8.1 Elementos Diferenciais de Comprimento, Área e Volume

Em coordenadas cartesianas, os elementos diferenciais são:

• Comprimento infinitesimal: $d\vec\ell = dx\,\hat x + dy\,\hat y + dz\,\hat z$
• Elemento de área: $d\vec A = dy\,dz\,\hat x + dx\,dz\,\hat y + dx\,dy\,\hat z$ (vetor: magnitude = área, direção = normal à face)
• Elemento de volume: $dV = dx\,dy\,dz$

1.8.2 Integral de Linha — dedução a partir do trabalho

A pergunta física: uma partícula percorre uma trajetória $C$ sob a ação de uma força $\vec F(\vec r)$, que pode variar de ponto a ponto e nem sempre aponta na direção do movimento. Qual o trabalho total realizado?

Passo 1 — discretizar o caminho. Divida $C$ em $N$ segmentos pequenos, cada um aproximadamente reto, com vetor deslocamento $\Delta\vec\ell_i$ (ligando o início ao fim do segmento $i$). Se $N$ é grande, $\vec F$ é aproximadamente constante dentro de cada segmento — avalie-a em um ponto $\vec r_i$ do segmento.

Passo 2 — trabalho em cada segmento. Pela definição de produto escalar (Seção "Produto Escalar (Dot Product) — dedução a partir da projeção"), o trabalho no segmento $i$ é $\Delta W_i \approx \vec F(\vec r_i)\cdot\Delta\vec\ell_i$ — só a componente de $\vec F$ ao longo do deslocamento contribui.

A figura mostra o segmento $i$ da discretização: a força $\vec F$ (cinza) no ponto $\vec r_i$ é decomposta em $\vec F_\parallel$ (vermelho, paralela a $\Delta\vec\ell_i$) e $\vec F_\perp$ (azul, perpendicular). Apenas $\vec F_\parallel = |\vec F|\cos\theta$ contribui para $\Delta W_i$ — geometricamente, $\vec F_\perp$ apenas tenta curvar a trajetória, sem acelerar nem desacelerar a partícula ao longo de $C$.

Passo 3 — somar e refinar. O trabalho total é a soma sobre todos os segmentos; tomando o limite $N\to\infty$ (cada $\Delta\vec\ell_i\to d\vec\ell$), a soma vira uma integral:

Esta é a integral de linha, e mede a circulação do campo ao longo de $C$ (soma acumulada da componente tangencial de $\vec F$). Se $\vec F$ é sempre perpendicular a $C$, a integral se anula — nenhum trabalho é realizado, exatamente como no Exemplo 0a.

1.8.3 Integral de Superfície — dedução a partir do fluxo

A pergunta física: quanto de um campo vetorial $\vec F(\vec r)$ (pense em velocidade de um fluido, ou densidade de linhas de campo elétrico) "atravessa" uma superfície $S$ por unidade de tempo?

Passo 1 — discretizar a superfície. Divida $S$ em $N$ pequenos retalhos, cada um aproximadamente plano, com vetor de área $\Delta\vec A_i = \Delta A_i\,\hat n_i$ (magnitude = área do retalho, direção = normal local, escolhida por convenção — para superfícies fechadas, apontando para fora).

Passo 2 — fluxo por retalho. Apenas a componente de $\vec F$ perpendicular ao retalho ("atravessando" a tela) contribui ao fluxo; a componente tangencial desliza ao longo da superfície sem atravessá-la. Pela mesma lógica do produto escalar: $\Delta\Phi_i \approx \vec F(\vec r_i)\cdot\Delta\vec A_i$.

A figura mostra o retalho $i$ da discretização: o vetor de área $\Delta\vec A_i$ (verde) aponta ao longo da normal ao retalho. A força $\vec F$ (cinza) em $\vec r_i$ é decomposta em $\vec F_\perp$ (vermelho, paralela à normal) e $\vec F_\parallel$ (azul, tangencial ao retalho). Apenas $\vec F_\perp = |\vec F|\cos\theta$ contribui para $\Delta\Phi_i$ — a componente tangencial desliza sobre a superfície sem atravessá-la, exatamente o papel inverso do que acontecia na integral de linha.

Passo 3 — somar e refinar:

Esta é a integral de superfície (ou fluxo) de $\vec F$ através de $S$. É exatamente esta grandeza que aparece na Lei de Gauss ($\oint_S\vec E\cdot d\vec A=Q_{env}/\varepsilon_0$) e no Teorema do Divergente (Seção "Divergente").

1.8.4 Integral de Volume — dedução a partir da acumulação

A pergunta física: dada uma densidade $f(\vec r)$ (ex.: densidade de carga $\rho$), qual a quantidade total contida em uma região $V$?

Passo 1 — discretizar o volume. Divida $V$ em $N$ pequenas células, cada uma com volume $\Delta V_i$. Se $N$ é grande, $f$ é aproximadamente constante em cada célula.

Passo 2 — quantidade por célula. A contribuição da célula $i$ é (densidade) × (volume): $\Delta Q_i \approx f(\vec r_i)\,\Delta V_i$.

A figura mostra a região $V$ dividida em uma grade de células; a célula $i$ em destaque (vermelho) tem volume $\Delta V_i$ e densidade $f(\vec r_i)$ avaliada em seu centro. Diferente das duas integrais anteriores, aqui não há decomposição vetorial — $f$ é um escalar, então toda a densidade da célula contribui integralmente para $\Delta Q_i$, sem componente "desperdiçada".

Passo 3 — somar e refinar:

Esta é a integral de volume: soma uma grandeza escalar sobre uma região $V$ — por exemplo, $Q=\int_V\rho\,dV$ é a carga total contida em $V$ dada sua densidade volumétrica $\rho(\vec r)$.

1.8.5 Visualização Python — as três integrais como somas de Riemann que convergem

O código refina progressivamente $N$ (número de segmentos/retalhos/células) para as três integrais e mostra a soma discreta convergindo para o valor exato conhecido — a mesma lógica de "dividir, aproximar, somar, refinar" dos três Passos acima, mas agora executada numericamente.

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1.9 Divergente

1.9.1 Definição

um campo escalar.

1.9.2 Dedução da interpretação física (fluxo por unidade de volume)

Considere um cubo infinitesimal de lados $dx,dy,dz$, centrado em $(x,y,z)$. O fluxo de $\vec F$ saindo pela face direita ($x+dx/2$) menos o que entra pela face esquerda ($x-dx/2$):

1.9.3 Visualização Python — o cubo infinitesimal e o balanço de fluxo

O painel esquerdo mostra o cubo no espaço 3D, com as faces $x-dx/2$ (azul, por onde o campo entra) e $x+dx/2$ (vermelha, por onde sai) destacadas. O painel direito é um corte na direção $x$: as setas têm comprimentos proporcionais a $F_x$ em cada face — a seta vermelha (saída) é desenhada maior que a azul (entrada) propositalmente, ilustrando o caso $\partial F_x/\partial x>0$ (divergente positivo nessa direção). É exatamente essa diferença de comprimento — "o que sai menos o que entra" — que a Eq. do $d\Phi_x$ abaixo quantifica.

(expandindo em série de Taylor e mantendo o termo linear). Somando as contribuições análogas nas direções $y$ e $z$, o fluxo líquido saindo do cubo é:

Logo:

O divergente mede a densidade volumétrica de fontes do campo: positivo onde o campo "emana" (fonte), negativo onde "converge" (sorvedouro), nulo onde o que entra é igual ao que sai.

1.9.4 Visualização Python — fontes e sorvedouros

1.9.5 Teorema do Divergente (Gauss–Ostrogradsky) — prova completa

Para o lado esquerdo, note que cada face interna (compartilhada por dois cubos vizinhos) é percorrida duas vezes com normais opostas ($+\hat n$ para um cubo, $-\hat n$ para o vizinho) — essas contribuições se cancelam exatamente. Sobrevivem apenas as faces na fronteira externa de $V$, que juntas compõem $S$:

O painel esquerdo mostra $V$ dividido em um bloco de cubos adjacentes: as arestas internas (cinza) ilustram a malha de subdivisão, enquanto o contorno externo em preto é exatamente $S$. As duas setas (vermelha/azul) mostram uma face interna típica com normais opostas — o mesmo fluxo é contado duas vezes, com sinais opostos. O painel direito reduz o argumento a um corte 1D: em cada face interna, o que "sai" de um cubo é exatamente o que "entra" no vizinho, cancelando; só as faces nas pontas (fronteira de $V$) sobrevivem.

Igualando as duas expressões, obtém-se o teorema. $\blacksquare$

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1.10 Rotacional

1.10.1 Definição

Forma mnemônica como determinante:

1.10.2 Dedução da interpretação física (circulação por unidade de área)

Considere um laço retangular infinitesimal no plano $xy$, de lados $dx,dy$, centrado em $(x,y)$, percorrido no sentido anti-horário. A circulação de $\vec F$ ao longo desse laço:

A figura mostra as quatro arestas do laço com o campo avaliado em cada uma; o sentido anti-horário (regra da mão direita para $\hat n=\hat z$) determina os sinais na soma abaixo. As arestas horizontais (vermelho/azul) contribuem com $F_x$, as verticais (verde/roxo) com $F_y$ — a diferença entre lados opostos, dividida pela área, é exatamente o rotacional.

Agrupando e expandindo em Taylor (termo linear apenas):

Logo, para uma área infinitesimal de normal $\hat n$:

O rotacional mede a densidade de circulação (tendência do campo a "girar") ao redor de um ponto, no plano perpendicular a $\hat n$. Um campo com $\nabla\times\vec F=0$ em toda parte é dito irrotacional ou conservativo.

1.10.3 Visualização Python — circulação e rotacional

1.10.4 Teorema de Stokes — prova completa

No lado esquerdo, cada aresta interna (compartilhada por duas células vizinhas) é percorrida duas vezes em sentidos opostos (uma vez em cada célula adjacente, ambas percorridas anti-horário do ponto de vista de sua própria normal) — cancelando-se exatamente. Sobrevivem apenas as arestas na fronteira externa de $S$, que compõem $C$:

O painel esquerdo mostra $S$ (aqui, um mosaico não-retangular, para deixar claro que a forma de $S$ é arbitrária) dividida em células; as arestas internas (cinza fino) nunca aparecem na soma final porque cada uma é percorrida duas vezes em sentidos opostos por suas duas células vizinhas — só as arestas de fronteira (preto) sobrevivem, formando exatamente $C$. O painel direito faz o zoom nesse cancelamento em duas células adjacentes.

Igualando, obtém-se o teorema. $\blacksquare$ (O argumento vale para $S$ curva ao aproximá-la por um mosaico de células planas infinitesimais, cada uma tangente à superfície local.)

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1.11 Laplaciano

1.11.1 A pergunta física: este ponto é "igual" à sua vizinhança?

Já vimos que o gradiente responde "para onde $f$ cresce mais rápido" e o divergente responde "há fontes de $\vec F$ aqui". O laplaciano responde a uma terceira pergunta, também muito natural: o valor de $f$ neste ponto é maior, menor, ou igual à média de seus vizinhos imediatos? Essa pergunta aparece o tempo todo em física de equilíbrio — temperatura em regime estacionário, potencial eletrostático no vácuo — porque a resposta "igual à média" caracteriza exatamente os estados de equilíbrio (sem fontes locais, cada ponto "se acomoda" no valor médio ao redor).

1.11.2 Passo 1: dedução em 1D via série de Taylor

Comece com o caso mais simples: $f(x)$, uma função de uma variável. Expanda $f$ em Taylor ao redor de um ponto $x$, para um passo pequeno $h$, para a frente e para trás:

Some as duas expansões — os termos ímpares em $h$ (incluindo $f'(x)h$) se cancelam:

Isolando $f''(x)$:

1.11.3 Passo 2: generalização para 3D — de onde vem a soma de segundas derivadas

O mesmo argumento, repetido independentemente em cada uma das três direções cartesianas (some Taylor em $\pm h\hat x$, depois $\pm h\hat y$, depois $\pm h\hat z$, cada par cancelando os termos ímpares), dá:

Definindo o operador que soma as três segundas derivadas parciais como o laplaciano:

O resultado do Passo 2 mostra precisamente que:

Ou seja: $\nabla^2f$ mede — com sinal e escala — a diferença entre o valor de $f$ no ponto e a média de $f$ em sua vizinhança infinitesimal. $\nabla^2f>0$: o ponto está "abaixo" da média (concavidade positiva, um "vale" local); $\nabla^2f<0$: o ponto está "acima" da média (um "pico" local); $\nabla^2f=0$: o valor no ponto é a média de seus vizinhos — nem pico, nem vale, um equilíbrio local.

1.11.4 Visualização Python — curvatura local, harmonicidade e verificação numérica da regra da média

O código plota as duas superfícies do Exemplo 7 e, adicionalmente, verifica numericamente a regra da média do Passo 2: calcula a diferença entre o valor em um ponto e a média de seus 4 vizinhos em uma grade 2D, e compara com $\nabla^2f\cdot h^2/4$ previsto pela fórmula.

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1.12 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas

A simetria de um problema (esférica, cilíndrica) frequentemente torna cartesianas inconvenientes: um campo que depende de $x,y,z$ de forma acoplada pode depender de uma única coordenada curvilínea (ex.: $V(r)=k/r$). Esta seção deduz, passo a passo, a conversão entre sistemas de coordenadas, os versores locais, os fatores de escala e — a partir deles — as fórmulas de $\nabla f$, $\nabla\cdot\vec F$, $\nabla\times\vec F$ e $\nabla^2f$ em cilíndricas e esféricas.

1.12.1 Passo 1: de cartesianas para curvilíneas — a ideia

Um sistema de coordenadas curvilíneas ortogonais $(u_1,u_2,u_3)$ é definido por uma transformação invertível

O vetor posição $\vec r=x\hat x+y\hat y+z\hat z$ torna-se, portanto, uma função $\vec r(u_1,u_2,u_3)$. A ideia central: os versores locais $\hat u_i$ não são fixos como $\hat x,\hat y,\hat z$ — eles mudam de direção de ponto a ponto, e são definidos a partir de como $\vec r$ varia quando apenas $u_i$ varia.

Um sistema é ortogonal quando $\hat u_1,\hat u_2,\hat u_3$ são mutuamente perpendiculares em todo ponto — cilíndricas e esféricas são ambas ortogonais, o que simplifica enormemente as fórmulas seguintes (deslocamentos nas três direções não se misturam).

1.12.2 Passo 2: coordenadas cilíndricas $(s,\phi,z)$ — dedução completa

2.1 — Relação com cartesianas. Um ponto é descrito pela distância radial ao eixo $z$, pelo ângulo azimutal e pela altura:

Geometricamente: projete o ponto no plano $xy$; $s$ é a distância desse projeção à origem e $\phi$ o ângulo que ela faz com o eixo $x$ (regra usual da trigonometria: cateto adjacente $x=s\cos\phi$, cateto oposto $y=s\sin\phi$).

Conversão inversa (necessária para expressar $s,\phi,z$ dado um ponto cartesiano):

(usa-se $\operatorname{atan2}$, e não $\arctan(y/x)$, para resolver corretamente o quadrante de $\phi$ a partir dos sinais de $x$ e $y$.)

2.2 — Vetor posição e derivadas parciais. Escrevendo $\vec r = s\cos\phi\,\hat x+s\sin\phi\,\hat y+z\,\hat z$:

2.3 — Fatores de escala (módulo de cada derivada parcial):

2.4 — Versores (dividindo cada derivada parcial pelo seu módulo):

Verificação de ortogonalidade: $\hat s\cdot\hat\phi=-\cos\phi\sin\phi+\sin\phi\cos\phi=0$ ✓; e $\hat s\times\hat\phi=\hat z$ (verifique por componentes), confirmando a orientação destra $(\hat s,\hat\phi,\hat z)$.

2.5 — Elementos diferenciais. Como o sistema é ortogonal, um deslocamento infinitesimal geral é a soma direta dos três deslocamentos ao longo de cada eixo local:

($dV$ é o volume da caixa curvilínea de arestas $h_s\,ds,\ h_\phi\,d\phi,\ h_z\,dz$ — ortogonais entre si, logo o volume é simplesmente o produto das três arestas.)

2.6 — Gradiente, divergente, rotacional e laplaciano. Para coordenadas ortogonais com fatores de escala $h_1,h_2,h_3$, os operadores tomam a forma geral (justificada no Passo 4 abaixo):

Substituindo $u_1,u_2,u_3=s,\phi,z$ e $h_s=1,\ h_\phi=s,\ h_z=1$ diretamente nessas fórmulas gerais:

Por exemplo, o termo em $\hat\phi$ é $\frac{1}{h_\phi}\frac{\partial f}{\partial\phi}=\frac{1}{s}\frac{\partial f}{\partial\phi}$ — o fator $1/s$ aparece porque um mesmo $d\phi$ corresponde a um deslocamento físico $s\,d\phi$ (Passo 2.3): dividir por $h_\phi=s$ converte a taxa de variação "por radiano" em taxa de variação "por unidade de comprimento", que é o que o gradiente exige.

(aqui $h_2h_3=h_\phi h_z=s$ no termo $\partial_s$; $h_1h_3=h_sh_z=1$ no termo $\partial_\phi$; $h_1h_2=h_sh_\phi=s$ no termo $\partial_z$; e o prefator global é $1/(h_sh_\phi h_z)=1/s$.)

(o laplaciano segue de $\nabla^2f=\nabla\cdot(\nabla f)$: aplique a fórmula do divergente acima ao campo $\vec F=\nabla f=(\partial_sf,\ \tfrac1s\partial_\phi f,\ \partial_zf)$ e simplifique.)

1.12.3 Passo 3: coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ — dedução completa

3.1 — Relação com cartesianas. Um ponto é descrito pela distância à origem, pelo ângulo polar (a partir de $+\hat z$) e pelo ângulo azimutal:

Dedução geométrica: a projeção de $\vec r$ no eixo $z$ tem comprimento $r\cos\theta$ (definição de $\theta$ como ângulo com $+\hat z$); a projeção no plano $xy$ tem comprimento $r\sin\theta$, e dentro desse plano os componentes $x,y$ seguem a mesma relação de $\phi$ das cilíndricas — daí $x=(r\sin\theta)\cos\phi$ e $y=(r\sin\theta)\sin\phi$. Em outras palavras, esféricas e cilíndricas se relacionam por $s=r\sin\theta$ (raio cilíndrico igual à projeção de $r$).

Conversão inversa:

3.2 — Vetor posição e derivadas parciais. Com $\vec r = r\sin\theta\cos\phi\,\hat x+r\sin\theta\sin\phi\,\hat y+r\cos\theta\,\hat z$:

3.3 — Fatores de escala:

3.4 — Versores (dividindo cada derivada parcial por seu módulo):

(ortogonalidade $\hat r\cdot\hat\theta=\hat r\cdot\hat\phi=\hat\theta\cdot\hat\phi=0$ e orientação destra $\hat r\times\hat\theta=\hat\phi$ podem ser verificadas por substituição direta.)

3.5 — Elementos diferenciais:

3.6 — Gradiente, divergente e laplaciano. Substituindo $u_1,u_2,u_3=r,\theta,\phi$ e $h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\phi=r\sin\theta$ nas fórmulas gerais do Passo 2.6:

Confira o termo radial: $h_\theta h_\phi = r\cdot r\sin\theta=r^2\sin\theta$; dividido pelo prefator global $1/(h_rh_\theta h_\phi)=1/(r^2\sin\theta)$, sobra exatamente $\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2F_r)}{\partial r}$.

(a fórmula do rotacional em esféricas segue o mesmo padrão do determinante generalizado do Passo 4 e é usada raramente nesta apostila; quando necessária, use a forma geral com $h_r=1,h_\theta=r,h_\phi=r\sin\theta$.)

1.12.4 Visualização e verificação numérica — versores e fatores de escala

O código abaixo reproduz o Passo 2 e o Passo 3 numericamente: calcula $\partial\vec r/\partial u_i$ por diferenças finitas em um ponto arbitrário, extrai $h_i=|\partial\vec r/\partial u_i|$ e $\hat u_i$, e compara com as fórmulas fechadas deduzidas acima.

1.12.5 Verificação de consistência: campo radial $1/r^2$

confirmando que o campo de uma carga puntiforme tem divergente nulo em todo ponto exceto na origem — consistente com a Lei de Gauss pontual $\nabla\cdot\vec E=\rho/\varepsilon_0$, já que $\rho=0$ fora da carga, e toda a "fonte" está concentrada no ponto singular $r=0$ (formalmente, $\nabla\cdot(\hat r/r^2)=4\pi\delta^3(\vec r)$, uma identidade envolvendo a função delta de Dirac tridimensional).

1.12.6 Passo 4: de onde vêm as fórmulas gerais (fatores de Lamé)

As caixas do Passo 2.6 não são um "truque de substituição" — elas seguem do mesmo argumento físico já usado para o divergente e o rotacional cartesianos (Seções "Dedução da interpretação física (fluxo por unidade de volume)" e "Dedução da interpretação física (circulação por unidade de área)"), aplicado a uma caixa cujas arestas têm comprimento físico $h_1du_1,\ h_2du_2,\ h_3du_3$ em vez de $dx,dy,dz$.

Gradiente. Por definição, $df=\nabla f\cdot d\vec\ell$ para qualquer deslocamento (Seção "Passo 1: taxa de variação em uma direção arbitrária"). Por outro lado, pela regra da cadeia,

Escrevendo $\nabla f = A_1\hat u_1+A_2\hat u_2+A_3\hat u_3$ e usando $d\vec\ell=h_1du_1\hat u_1+h_2du_2\hat u_2+h_3du_3\hat u_3$ (ortogonalidade elimina os produtos cruzados $\hat u_i\cdot\hat u_j$, $i\neq j$):

Comparando termo a termo com a expansão da regra da cadeia, $A_ih_i=\partial f/\partial u_i$, ou seja $A_i=\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial u_i}$ — exatamente a fórmula geral do gradiente usada acima.

Divergente. Repita o argumento da caixa infinitesimal cartesiana (cubo $dx\,dy\,dz$), mas agora com uma caixa curvilínea de arestas $h_1du_1,h_2du_2,h_3du_3$. O fluxo líquido saindo pelas duas faces perpendiculares a $\hat u_1$ (áreas $h_2h_3\,du_2du_3$, uma vez que $h_2,h_3$ também variam com $u_1$, ao contrário do caso cartesiano) é:

(o produto $F_1h_2h_3$ — e não apenas $F_1$ — é o que se expande em Taylor, pois é essa combinação que dá a vazão através da face de área $h_2h_3\,du_2du_3$). Somando as três direções e dividindo pelo volume da caixa $dV=h_1h_2h_3\,du_1du_2du_3$:

que é a fórmula geral usada acima. O termo cartesiano ($h_1=h_2=h_3=1$) é o caso particular em que os $h_i$ saem da derivada, recuperando $\partial_xF_x+\partial_yF_y+\partial_zF_z$.

Rotacional. O mesmo argumento aplicado à circulação em torno de um laço retangular curvilíneo (arestas $h_idu_i$) — análogo ao laço cartesiano da Seção "Dedução da interpretação física (circulação por unidade de área)", mas com os comprimentos físicos das arestas dependendo de onde elas estão — produz o determinante generalizado:

Expandir esse determinante com $h_s=1,h_\phi=s,h_z=1$ (cilíndricas) reproduz exatamente a fórmula do rotacional cilíndrico do Passo 2.6.

Laplaciano. Não precisa de nova dedução: por definição $\nabla^2f=\nabla\cdot(\nabla f)$ (Definição 5), então basta substituir $F_i=A_i=\frac{1}{h_i}\partial f/\partial u_i$ (fórmula do gradiente) na fórmula geral do divergente — o que gera diretamente a fórmula geral do laplaciano usada no Passo 2.6.

Cilíndricas e esféricas são casos particulares dessas quatro fórmulas gerais com $h_s=1,h_\phi=s,h_z=1$ e $h_r=1,h_\theta=r,h_\phi=r\sin\theta$, respectivamente (Passos 2 e 3).

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1.13 Identidades Vetoriais Fundamentais

Por que memorizar (ou melhor, saber deduzir) estas identidades? Porque, no resto da apostila, $\nabla$ vai aparecer aplicado a produtos e composições de campos ($f\vec F$, $\vec F\times\vec G$, $\nabla\times(\nabla\times\vec F)$) — e sem estas "regras de álgebra" seríamos forçados a expandir tudo em componentes cartesianas toda vez. Cada identidade abaixo é usada repetidamente ao longo da apostila (seção onde é empregada, indicada entre parênteses); as duas primeiras dizem algo estrutural (certas composições são sempre zero, um fato puramente geométrico e não uma coincidência do campo); as demais são regras do produto, adaptadas de cálculo escalar para o caso vetorial.

1.13.1 Prova da regra do produto: $\nabla\cdot(f\vec F)$

Somando as três componentes análogas ($y$ e $z$):

que é exatamente a fórmula acima. $\blacksquare$ Note a analogia direta com a regra do produto escalar, $\frac{d}{dx}(fg)=fg'+f'g$ — aqui um dos "fatores" é vetorial, e o segundo termo vira um produto escalar porque $\nabla f$ precisa ser "contraído" com $\vec F$ para dar um escalar (compatível com o lado esquerdo, que também é escalar).

1.13.2 Prova da identidade BAC-CAB: $\nabla\times(\nabla\times\vec F)$

Some e subtraia $\partial_x^2F_x$ (o termo que "falta" para completar um laplaciano em $F_x$) — o truque central desta prova:

que é exatamente a componente $x$ de $\nabla(\nabla\cdot\vec F)-\nabla^2\vec F$. $\blacksquare$

1.13.3 Verificação simbólica com SymPy — todas as identidades de uma vez

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1.14 Teorema de Helmholtz

1.14.1 Enunciado

1.14.2 Por que isso justifica $\vec E=-\nabla V$ e $\vec B=\nabla\times\vec A$

Este teorema é a justificativa formal de duas construções centrais da apostila:

• Em eletrostática, sob as hipóteses topológicas e de contorno do teorema, $\vec E$ é longitudinal e pode ser escrito como $-\nabla V$. O potencial é definido até uma constante.
• Em magnetostática, $\vec B$ é solenoidal e pode ser escrito como $\nabla\times\vec A$. O campo $\vec B$ é único dadas fontes e fronteiras, mas $\vec A$ não é: $\vec A+\nabla\chi$ produz o mesmo rotacional (liberdade de calibre).

1.14.3 Visualização Python — decomposição de Helmholtz

1.14.4 Esboço da prova de unicidade

Suponha dois campos $\vec F_1,\vec F_2$ com o mesmo divergente $s$ e o mesmo rotacional $\vec c$ em todo o espaço, ambos se anulando no infinito. A diferença $\vec D=\vec F_1-\vec F_2$ satisfaz $\nabla\cdot\vec D=0$ e $\nabla\times\vec D=0$ em toda parte, e $\vec D\to0$ no infinito. Como $\nabla\times\vec D=0$, $\vec D=-\nabla\psi$ para algum escalar $\psi$ (Seção “Elementos Diferenciais e Integrais”.4, região simplesmente conexa = todo o espaço). Substituindo em $\nabla\cdot\vec D=0$: $\nabla^2\psi=0$ (Laplace) em todo o espaço, com $\psi\to$ const. no infinito. Pelo Teorema da Unicidade (Seção “Identidades Vetoriais Fundamentais”, aplicado à região "todo o espaço" com condição de contorno no infinito), a única solução é $\psi=$ const., logo $\vec D=-\nabla\psi=0$ — ou seja, $\vec F_1=\vec F_2$. $\blacksquare$

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1.15 Teorema da Unicidade (prova completa)

1.15.1 Enunciado

e, quando ela vale, a solução é única apenas até uma constante. Dados simultâneos independentes de Dirichlet e Neumann na mesma porção geralmente tornam o problema sobredeterminado.

1.15.2 Prova (por contradição, usando o Teorema do Divergente)

Suponha, por absurdo, que existam duas soluções distintas $\phi_1,\phi_2$ satisfazendo a mesma equação de Poisson e as mesmas condições de contorno em $S$. Defina $\phi_3\equiv\phi_1-\phi_2$. Então:

e, em cada ponto de $S$, ou $\phi_3=0$ (se ambas satisfazem Dirichlet com o mesmo valor) ou $\partial\phi_3/\partial n=0$ (se ambas satisfazem Neumann com o mesmo valor).

Aplique a identidade de Green (consequência do Teorema do Divergente aplicado a $\vec F=\phi_3\nabla\phi_3$, usando $\nabla\cdot(\phi_3\nabla\phi_3)=\phi_3\nabla^2\phi_3+|\nabla\phi_3|^2 = |\nabla\phi_3|^2$ pois $\nabla^2\phi_3=0$):

O lado esquerdo é identicamente nulo em qualquer um dos dois casos de contorno: se $\phi_3=0$ em $S$ (Dirichlet), o integrando se anula; se $\partial\phi_3/\partial n=\nabla\phi_3\cdot\hat n=0$ em $S$ (Neumann), o integrando também se anula. Logo:

Como $|\nabla\phi_3|^2\ge0$ em todo ponto, a única forma da integral se anular é $\nabla\phi_3=0$ em todo ponto de $V$ — isto é, $\phi_3=$ constante em $V$. Se a condição for de Dirichlet em qualquer parte de $S$, essa constante deve ser zero ali, logo $\phi_3\equiv0$ em todo $V$: $\phi_1=\phi_2$, contradizendo a suposição de soluções distintas. (Se a condição for puramente Neumann em toda $S$, a solução é única a menos de uma constante aditiva — irrelevante fisicamente, pois $\vec E=-\nabla\phi$ não muda.) $\blacksquare$

1.15.3 Visualização Python — duas soluções e sua diferença

1.15.4 Por que isso justifica o Método das Imagens

O Teorema da Unicidade é o que garante, no arquivo 3 (Seção “O Operador Nabla e o Gradiente”.5), que substituir um condutor por uma carga imagem fictícia produz a solução física correta na região de interesse: se a configuração fictícia reproduz exatamente as mesmas condições de contorno (mesmo $V$ na superfície do condutor) e satisfaz a mesma equação de Poisson na região de interesse, o teorema garante que não pode haver nenhuma outra solução válida ali — logo a solução por imagens, por mais artificial que pareça, é a solução real.

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1.16 Exercícios Resolvidos em Python

1.16.1 Roteiro computacional

Objetivo. Verificar identidades diferenciais e os teoremas de Gauss e Stokes por cálculo simbólico e integração numérica.

Como executar. Use Python 3 com numpy, sympy, scipy e matplotlib. Execute o bloco completo em um ambiente limpo. Compare sempre o erro absoluto e relativo, não apenas os valores impressos.

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1.16.2 Simulação Passo a Passo: Decomposição de Helmholtz

Objetivo pedagógico: Visualizar como qualquer campo vetorial pode ser decomposto em uma parte irrotacional (gradiente de um escalar) e uma parte solenoidal (rotacional de um vetor).

Passo 1: Definir um campo vetorial arbitrário.
Passo 2: Calcular seu divergente e rotacional.
Passo 3: Reconstruir o campo usando as fórmulas de Helmholtz.

• Identidades simbólicas: ambas retornam identicamente zero.
• Divergente numérico do campo radial fora da origem: $\approx 0$ (erro $<10^{-6}$).
• Teorema do Divergente: fluxo e integral de volume coincidem ($4\pi\approx12{,}566$).
• Teorema de Stokes: circulação e integral de superfície coincidem ($2\pi\approx6{,}283$).
• Divergente cilíndrico: numérico e analítico coincidem ($3s=6$ para $s=2$).

1.16.3 Experimento visual: gradiente, divergente e rotacional

1.16.4 Perguntas conceituais rápidas

1. Se as curvas de nível estão mais próximas, o módulo do gradiente aumenta ou diminui?
2. Um campo com divergente nulo pode possuir linhas abertas? O que as condições de contorno acrescentam?
3. Por que verificar Stokes em apenas uma superfície não prova o teorema, mas pode revelar erros de sinal e orientação?

Respostas: (1) aumenta; a função varia mais rapidamente por unidade de distância. (2) Pode, dependendo do domínio e das fronteiras; divergente local nulo não determina sozinho a topologia global. (3) Uma verificação numérica testa um caso particular, enquanto a prova estabelece o resultado para toda a classe admitida de campos e superfícies.

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1.17 Classificação de Campos Vetoriais

Um campo vetorial $\vec F$ pode ser classificado com base em seu divergente e rotacional:

• Campo irrotacional (ou conservativo): $\nabla\times\vec F = 0$. Pode ser escrito como o gradiente de um escalar: $\vec F = -\nabla\phi$.
• Campo solenoidal (ou tubo): $\nabla\cdot\vec F = 0$. Pode ser escrito como o rotacional de um vetor potencial: $\vec F = \nabla\times\vec A$.
• Campo harmônico: $\nabla\cdot\vec F = 0$ e $\nabla\times\vec F = 0$. Satisfaz a equação de Laplace.

O Teorema de Helmholtz garante que qualquer campo vetorial bem comportado pode ser decomposto em uma parte irrotacional e uma parte solenoidal.

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1.18 Resumo do Capítulo

1.18.1 Fórmulas-Chave

Operador	Símbolo	Definição (Cartesiana)	Interpretação Física
Gradiente	$\nabla f$	$\frac{\partial f}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial f}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial f}{\partial z}\hat{z}$	Direção e taxa de máximo crescimento de $f$
Divergente	$\nabla\cdot\vec F$	$\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$	Densidade de fontes/sorvedouros
Rotacional	$\nabla\times\vec F$	Determinante com $\hat x,\hat y,\hat z$, $\partial_x,\partial_y,\partial_z$, $F_x,F_y,F_z$	Densidade de circulação
Laplaciano	$\nabla^2 f$	$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}$	Diferença entre valor local e média

1.18.2 Teoremas Fundamentais

Teorema	Fórmula	Significado
Divergente (Gauss)	$\displaystyle\oint_S \vec F\cdot d\vec A = \int_V(\nabla\cdot\vec F)\,dV$	Fluxo através de superfície fechada = integral de volume do divergente
Stokes	$\displaystyle\oint_C\vec F\cdot d\vec\ell = \int_S(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec A$	Circulação ao longo de curva = integral de superfície do rotacional
Helmholtz	$\vec F = -\nabla U + \nabla\times\vec W$	Todo campo bem comportado = parte irrotacional + parte solenoidal

1.18.3 Conceitos-Chave

1. Gradiente: Sempre perpendicular às superfícies de nível.
2. Divergente positivo: Fonte (campo "emana"). Divergente negativo: Sorvedouro (campo "converge").
3. Rotacional nulo: Campo conservativo/integral de linha independe do caminho.
4. Divergente nulo: Campo solenoidal/linhas de campo formam laços fechados ou vão ao infinito.
5. Teorema da Unicidade: Solução de $\nabla^2\phi=0$ é única com condições de contorno Dirichlet ou Neumann.

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1.19 Lista de Exercícios Propostos

E1. Calcule $\nabla f$ para $f(x,y,z)=x^2y+yz^3$. Avalie em $(1,2,1)$ e determine a direção de máximo crescimento nesse ponto.

E2. Mostre, por cálculo direto em cartesianas, que $\nabla\times(\nabla f)=0$ para $f=xy^2z^3$ (isto é, calcule $\nabla f$ e depois $\nabla\times(\nabla f)$ explicitamente).

E3. Calcule $\nabla\cdot\vec F$ para $\vec F=(x^2,\,2xy,\,-z^2)$. O campo tem fontes? Onde?

E4. Calcule $\nabla\times\vec F$ para $\vec F=(-y,\,x,\,0)$. Interprete fisicamente o resultado (que campo físico, estudado nesta apostila, tem essa mesma forma funcional no interior de um fio cilíndrico infinito com densidade de corrente uniforme?).

E5. Verifique, calculando ambos os lados diretamente, que $\vec F=(x^2,\,2xy,\,-z^2)$ satisfaz $\nabla\times(\nabla\times\vec F)=\nabla(\nabla\cdot\vec F)-\nabla^2\vec F$ (calcule $\nabla\times\vec F$ primeiro; se for zero, o que a identidade se reduz a?).

E6. Um campo escalar em coordenadas esféricas é $f(r)=1/r$. Calcule $\nabla f$ usando a fórmula da Seção “Passo 3: coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ — dedução completa” e compare com o resultado conhecido $\nabla(1/r)=-\hat r/r^2$ (arquivo 2, Seção “Adição e Subtração de Vetores”.3).

E7. Use a fórmula do divergente em esféricas (Seção “Passo 3: coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ — dedução completa”) para mostrar que $\vec F = r\,\hat r$ (não $1/r^2$) tem $\nabla\cdot\vec F=3$ em todo ponto — consistente com $\vec F=\vec r$ em cartesianas, cujo divergente cartesiano é trivialmente $3$.

E8. Aplique o Teorema do Divergente para calcular $\oint_S\vec F\cdot d\vec A$ onde $\vec F=(x,y,z)$ e $S$ é a superfície de um cubo de lado $L$ centrado na origem, sem calcular a integral de superfície diretamente (calcule $\nabla\cdot\vec F$ e integre sobre o volume).

E9. Aplique o Teorema de Stokes para calcular $\oint_C\vec F\cdot d\vec\ell$ onde $\vec F=(-y,x,0)$ e $C$ é um quadrado de lado $2$ no plano $xy$, centrado na origem, percorrido anti-horário — sem calcular a integral de linha diretamente.

E10. Explique, usando o Teorema de Helmholtz (Seção “Teorema de Helmholtz”), por que basta especificar $\nabla\cdot\vec E$ e $\nabla\times\vec E$ em todo o espaço para determinar $\vec E$ unicamente — e por que isso é exatamente o conteúdo de duas das quatro Equações de Maxwell (arquivo 6, Seção “Rotacional”.7.1).

E11. No enunciado do Teorema da Unicidade (Seção “Identidades Vetoriais Fundamentais”.1), explique por que não é permitido especificar simultaneamente Dirichlet ($\phi$) e Neumann ($\partial\phi/\partial n$) com valores independentes na mesma fronteira $S$ — o que aconteceria com a prova da Seção “Identidades Vetoriais Fundamentais”.2 nesse caso (dica: o problema ficaria sobredeterminado).

E12. Um campo tem $\nabla\cdot\vec F=0$ e $\nabla\times\vec F=0$ em todo o espaço, anulando-se no infinito. Use o Teorema de Helmholtz para concluir, sem cálculo adicional, o valor de $\vec F$ em todo ponto.

E13. Verifique a identidade $\nabla\cdot(f\vec F)=f(\nabla\cdot\vec F)+\vec F\cdot\nabla f$ para $f=x$ e $\vec F=(y,z,x)$, calculando os dois lados explicitamente.

E14. (Desafio) Escreva o laplaciano $\nabla^2 f$ em coordenadas cilíndricas (Seção “Passo 2: coordenadas cilíndricas $(s,\phi,z)$ — dedução completa”) para $f(s)=\ln s$ (potencial de um fio infinito, a menos de constante — arquivo 1). Mostre que $\nabla^2 f=0$ para $s\neq0$, consistente com a ausência de carga fora do fio.

E15. (Desafio) Demonstre a identidade $\nabla\cdot(\vec F\times\vec G)=\vec G\cdot(\nabla\times\vec F)-\vec F\cdot(\nabla\times\vec G)$ expandindo completamente ambos os lados em componentes cartesianas para $\vec F=(F_x,F_y,F_z)$ e $\vec G=(G_x,G_y,G_z)$. Depois confira o sinal com o caso particular $\vec F=(-y,x,0)$ e $\vec G=(0,0,1)$.

E16. Seja $f(x,y,z)=x^2y-yz$. Calcule $\nabla f$ em $(1,-1,2)$ e, a partir dele, a derivada direcional de $f$ nesse ponto ao longo do versor $\hat u=\tfrac{1}{3}(2,-1,2)$ (verifique primeiro que $\hat u$ é unitário). O resultado é positivo ou negativo — $f$ cresce ou decresce ao caminhar nessa direção?

E17. Classifique o campo $\vec F=(y^2,\,x^2,\,z^2)$ quanto a ser irrotacional, solenoidal, harmônico ou nenhum dos três (Seção "Classificação de Campos Vetoriais"): calcule $\nabla\cdot\vec F$ e $\nabla\times\vec F$ e decida com base nas definições.

E18. Em coordenadas cilíndricas, seja $\vec F=s^2\,\hat\phi$ (isto é, $F_s=0,\ F_\phi=s^2,\ F_z=0$). Use a fórmula do rotacional cilíndrico (Seção "Passo 2: coordenadas cilíndricas $(s,\phi,z)$ — dedução completa") para mostrar que $\nabla\times\vec F=3s\,\hat z$. Compare com o Exemplo 3 ($\vec F=s\,\hat\phi$, rotacional $2\hat z$ constante): por que aqui o rotacional não é constante?

E19. Calcule diretamente (sem usar Stokes) a integral de linha $\int_C\vec F\cdot d\vec\ell$ para $\vec F=(y,\,-x,\,0)$ ao longo da parábola $y=x^2$, de $(0,0)$ a $(1,1)$ (parametrize por $x=t,\ y=t^2,\ t\in[0,1]$). Em seguida calcule $\nabla\times\vec F$ e explique por que não é surpreendente que essa integral dependa do caminho escolhido entre $(0,0)$ e $(1,1)$ (Corolário 2).

E20. (Desafio) Verifique a consistência entre a fórmula esférica do gradiente (Seção "Passo 3: coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ — dedução completa") e a cartesiana: calcule $\nabla f$ para $f(r)=r^2$ usando a fórmula esférica, e separadamente $\nabla f$ para $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ usando a fórmula cartesiana. Mostre que os módulos coincidem (lembre que $r=|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$).

E21. Calcule o laplaciano de $f(x,y,z)=x^2y-y^3+z^2$. O resultado é constante? $f$ é harmônica em algum subconjunto do espaço (além da origem)? Se sim, identifique esse conjunto.

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1.20 Gabarito

E1. $\nabla f = (2xy)\hat x+(x^2+z^3)\hat y+(3yz^2)\hat z$. Em $(1,2,1)$: $\nabla f = (4,\,2,\,6)$. Direção de máximo crescimento: $\hat u = \dfrac{(4,2,6)}{|(4,2,6)|} = \dfrac{(4,2,6)}{\sqrt{56}} \approx (0{,}535,\,0{,}267,\,0{,}802)$.

E2. $\nabla f = (y^2z^3,\,2xyz^3,\,3xy^2z^2)$. Componente $z$ de $\nabla\times(\nabla f)$: $\partial_x(2xyz^3)-\partial_y(y^2z^3) = 2yz^3-2yz^3=0$. Componente $y$: $\partial_z(y^2z^3)-\partial_x(3xy^2z^2)=3y^2z^2-3y^2z^2=0$. Componente $x$: $\partial_y(3xy^2z^2)-\partial_z(2xyz^3)=6xyz^2-6xyz^2=0$. Logo $\nabla\times(\nabla f)=\vec 0$, confirmando a identidade.

E3. $\nabla\cdot\vec F = 2x+2x-2z = 4x-2z$. O campo tem fontes onde $4x-2z\neq0$, isto é, em quase todo ponto exceto no plano $z=2x$ (onde as fontes se anulam localmente, mas isso não significa ausência de campo, apenas de divergência líquida ali).

E4. $\nabla\times\vec F = (0-0,\,0-0,\,1-(-1)) = (0,0,2)$ — rotacional uniforme e constante, apontando em $+\hat z$. Como $\vec F=(-y,x,0)=s\hat\phi$ em cilíndricas, ele tem a mesma forma funcional do campo interno de um fio cilíndrico infinito com densidade de corrente uniforme: $B_\phi(s)=\mu_0J_0s/2$. De fato, $\nabla\times\vec B=\mu_0J_0\hat z$. Isso contrasta com o campo externo do fio, $B_\phi\propto1/s$, cujo rotacional é nulo para $s>R$; um campo azimutal pode, portanto, ter rotacional nulo ou não nulo conforme sua dependência em $s$.

E5. Primeiro, $\nabla\times\vec F$ para $\vec F=(x^2,\,2xy,\,-z^2)$: componente $x$: $\partial_y(-z^2)-\partial_z(2xy)=0$; componente $y$: $\partial_z(x^2)-\partial_x(-z^2)=0$; componente $z$: $\partial_x(2xy)-\partial_y(x^2)=2y-0=2y$. Logo $\nabla\times\vec F=(0,0,2y)$, não nulo em geral — a identidade deve ser verificada calculando os dois lados por completo. Lado esquerdo, $\nabla\times(\nabla\times\vec F)=\nabla\times(0,0,2y)$: componente $x$: $\partial_y(2y)-\partial_z(0)=2$; componentes $y,z$: ambas $0$. Logo lado esquerdo $=(2,0,0)$. Lado direito, com $\nabla\cdot\vec F=2x+2x-2z=4x-2z$ (E3): $\nabla(4x-2z)=(4,0,-2)$; e $\nabla^2\vec F=(\nabla^2(x^2),\nabla^2(2xy),\nabla^2(-z^2))=(2,0,-2)$ (cada laplaciano cartesiano trivial: $\partial_x^2(x^2)=2$, os demais termos são $0$). Diferença: $(4,0,-2)-(2,0,-2)=(2,0,0)$. Os dois lados coincidem: $(2,0,0)=(2,0,0)$ ✓.

E6. $\nabla f = \dfrac{\partial(1/r)}{\partial r}\hat r = -\dfrac{1}{r^2}\hat r$ (os termos em $\hat\theta,\hat\phi$ são nulos pois $f$ não depende de $\theta,\phi$). Coincide exatamente com $\nabla(1/r)=-\hat r/r^2$ usado no arquivo 2.

E7. $\nabla\cdot(r\hat r) = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial(r^2\cdot r)}{\partial r} = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial(r^3)}{\partial r} = \dfrac{3r^2}{r^2}=3$. Em cartesianas, $\vec F=(x,y,z)$, $\nabla\cdot\vec F=1+1+1=3$ — coincide.

E8. $\nabla\cdot\vec F=3$ (constante). Pelo Teorema do Divergente: $\oint_S\vec F\cdot d\vec A = \displaystyle\int_V 3\,dV = 3L^3$ (volume do cubo é $L^3$).

E9. $\nabla\times\vec F=(0,0,2)$ (calculado no E4). Pelo Teorema de Stokes: $\oint_C\vec F\cdot d\vec\ell = \displaystyle\int_S(0,0,2)\cdot\hat z\,dA = 2\cdot(2\times2) = 8$ (área do quadrado de lado 2 é 4).

E10. O Teorema de Helmholtz garante que um campo vetorial que se anula no infinito é unicamente determinado por seu divergente e rotacional em todo o espaço. As Equações de Maxwell (I) $\nabla\cdot\vec E=\rho/\varepsilon_0$ e (III) $\nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t$ especificam exatamente essas duas quantidades para o campo $\vec E$ — logo, dadas as fontes $\rho$ e $\partial\vec B/\partial t$ em todo o espaço (mais condições de contorno apropriadas em fronteiras finitas), $\vec E$ fica unicamente determinado. O mesmo raciocínio, com as equações (II) e (IV), determina $\vec B$.

E11. Especificar ambas simultaneamente com valores independentes (não relacionados pela própria solução do problema) tornaria o problema sobredeterminado: a prova da Seção “Identidades Vetoriais Fundamentais”.2 mostra que, dado apenas Dirichlet ou apenas Neumann, o integrando de superfície já se anula, forçando $\nabla\phi_3=0$. Se pudéssemos escolher Dirichlet e Neumann arbitrariamente (não decorrentes uma da outra), poderia não existir nenhuma função $\phi$ que satisfizesse simultaneamente ambas as condições impostas livremente — o problema deixaria de ter garantia de existência de solução (seria "sobredeterminado"), não apenas de unicidade.

E12. Pelo Teorema de Helmholtz, um campo é unicamente determinado por seu divergente e rotacional (dadas condições de anulação no infinito). Se ambos são identicamente nulos em todo o espaço, a única função consistente com $U=0$ e $\vec W=0$ na fórmula da Seção “Teorema de Helmholtz” é $\vec F\equiv\vec 0$ em todo ponto.

E13. Lado esquerdo: $f\vec F = (xy,\,xz,\,x^2)$. $\nabla\cdot(f\vec F) = \partial_x(xy)+\partial_y(xz)+\partial_z(x^2) = y+0+0=y$. Lado direito: $f(\nabla\cdot\vec F) = x\cdot(0+0+0)=0$ (pois $\nabla\cdot(y,z,x)=0$); $\vec F\cdot\nabla f = (y,z,x)\cdot(1,0,0)=y$. Soma: $0+y=y$. Ambos os lados coincidem ($y=y$) ✓.

E14. $\nabla^2 f = \dfrac{1}{s}\dfrac{\partial}{\partial s}\left(s\cdot\dfrac{1}{s}\right) = \dfrac{1}{s}\dfrac{\partial(1)}{\partial s} = \dfrac{1}{s}\cdot0 = 0$ para $s\neq0$ — consistente com a Equação de Laplace fora do fio (sem carga na região $s>0$), analogamente ao caso da carga puntiforme (Seção “Teorema de Stokes — prova completa”).

E15. Primeiro escreva o produto vetorial:

Aplicando o divergente e a regra do produto em cada parcela,

Agora expanda o primeiro termo do lado direito:

O segundo termo é

Distribuindo os sinais, surgem exatamente os mesmos 12 termos da expansão do lado esquerdo. Portanto,

Verificação do sinal: para $\vec F=(-y,x,0)$ e $\vec G=(0,0,1)$,
$\vec F\times\vec G=(x,y,0)$, cujo divergente é $2$. Além disso,
$\nabla\times\vec F=(0,0,2)$ e $\nabla\times\vec G=0$; o lado direito também vale
$\vec G\cdot(0,0,2)-0=2$. Se a ordem do produto vetorial ou o sinal entre os dois termos fosse trocado, este teste simples revelaria o erro.

E16. $\nabla f = (2xy)\hat x+(x^2-z)\hat y+(-y)\hat z$. Em $(1,-1,2)$: $\nabla f = (-2,\,-1,\,1)$. Verificação de $\hat u$: $|(2,-1,2)|=\sqrt{4+1+4}=3$, logo $\hat u=\tfrac13(2,-1,2)$ é de fato unitário. A derivada direcional é $\dfrac{df}{d\ell}=\nabla f\cdot\hat u = \dfrac{(-2)(2)+(-1)(-1)+(1)(2)}{3} = \dfrac{-4+1+2}{3} = -\dfrac13$. O resultado é negativo: $f$ decresce ao longo dessa direção nesse ponto (você estaria caminhando parcialmente "morro abaixo", pois $\hat u$ tem componente negativa ao longo de $\nabla f$).

E17. $\nabla\cdot\vec F = 0+0+2z = 2z$ (não identicamente nulo, logo o campo não é solenoidal em todo o espaço). $\nabla\times\vec F = (\partial_y z^2-\partial_z x^2,\ \partial_z y^2-\partial_x z^2,\ \partial_x x^2-\partial_y y^2) = (0,\,0,\,2x-2y)$ (não identicamente nulo, logo não é irrotacional em todo o espaço). Como nem o divergente nem o rotacional se anulam identicamente, $\vec F$ não se enquadra em nenhuma das três classes globais da Seção "Classificação de Campos Vetoriais" — é um campo genérico, com fontes (onde $z\neq0$) e circulação local (onde $x\neq y$) simultaneamente. (Note que ele é solenoidal restrito ao plano $z=0$ e irrotacional restrito à reta $x=y$ — mas isso não basta para a classificação global, que exige a condição em todo ponto.)

E18. Usando $\nabla\times\vec F=\left(\frac1s\partial_\phi F_z-\partial_zF_\phi\right)\hat s+\left(\partial_zF_s-\partial_sF_z\right)\hat\phi+\frac1s\left(\partial_s(sF_\phi)-\partial_\phi F_s\right)\hat z$ com $F_s=0,\ F_\phi=s^2,\ F_z=0$: as componentes $\hat s$ e $\hat\phi$ são nulas (nenhum termo depende de $z$ ou $\phi$), e a componente $\hat z$ é $\frac1s\partial_s(s\cdot s^2)=\frac1s\partial_s(s^3)=\frac{3s^2}{s}=3s$. Logo $\nabla\times\vec F=3s\,\hat z$. Diferente do Exemplo 3 ($F_\phi=s$, rotacional $2\hat z$ constante), aqui $F_\phi=s^2$ cresce mais rápido que linearmente com $s$, então a circulação por unidade de área ao redor de laços a raios maiores cresce junto — o rotacional cilíndrico não é constante porque a fórmula tem o termo $\partial_s(sF_\phi)$, que "sente" como $F_\phi$ escala com $s$, e não apenas seu valor local.

E19. Parametrizando $x=t,\ y=t^2$, $t\in[0,1]$: $\vec F=(y,-x,0)=(t^2,-t,0)$ e $d\vec\ell=(1,2t,0)\,dt$. Logo $\vec F\cdot d\vec\ell = t^2(1)+(-t)(2t) = t^2-2t^2=-t^2$, e $\int_C\vec F\cdot d\vec\ell = \displaystyle\int_0^1(-t^2)\,dt = -\dfrac13$. Calculando $\nabla\times\vec F=(0,0,-2)$ (não nulo) — pelo Corolário 2, um rotacional não nulo significa que a integral de linha depende do caminho entre os extremos; o valor $-1/3$ obtido aqui (ao longo da parábola) não precisa coincidir com o valor ao longo, por exemplo, do segmento de reta $(0,0)\to(1,1)$, e de fato não coincide — comportamento esperado para um campo não conservativo.

E20. Pela fórmula esférica do gradiente (Seção "Passo 3"), como $f=f(r)$ depende só de $r$: $\nabla f = \dfrac{\partial f}{\partial r}\hat r = 2r\,\hat r$, de módulo $|\nabla f|=2r$. Em cartesianas, $f=x^2+y^2+z^2$: $\nabla f=(2x,2y,2z)$, de módulo $|\nabla f|=\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}=2\sqrt{x^2+y^2+z^2}=2r$. Os módulos coincidem exatamente ($2r=2r$) ✓, confirmando que as duas fórmulas — aparentemente muito diferentes na forma — descrevem o mesmo campo vetorial.

E21. $\nabla^2f = \partial_x^2(x^2y-y^3+z^2)+\partial_y^2(\cdots)+\partial_z^2(\cdots) = 2y + (-6y) + 2 = 2-4y$. O resultado não é constante — depende de $y$. $f$ é harmônica ($\nabla^2f=0$) exatamente onde $2-4y=0$, isto é, no plano $y=\tfrac12$ (não em todo o espaço, apenas nesse subconjunto de medida nula — um caso em que a harmonicidade é uma propriedade local de um plano específico, não do campo inteiro).

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1.21 Gabarito Computacional: Resolvendo os Exercícios com SymPy

Todo exercício desta lista envolve apenas três operações (gradiente, divergente, rotacional — mais o laplaciano, que é o divergente do gradiente) e uma operação de integração/substituição. Isso significa que todo o gabarito acima pode ser gerado automaticamente, sem álgebra manual, definindo grad, div, curl uma única vez em SymPy e aplicando-os a cada campo do enunciado. Este é exatamente o mesmo padrão de verificação já usado na Seção "Identidades Vetoriais Fundamentais" (verificação simbólica das identidades) — aqui aplicado exercício a exercício.

O script abaixo resolve E1–E9 e E13–E21 (todos os exercícios que pedem um cálculo explícito; E10, E11 e E12 são puramente conceituais — argumentos com o Teorema de Helmholtz e a prova de unicidade — e não correspondem a uma conta a verificar). Rode-o e compare cada linha impressa com a resposta correspondente no Gabarito acima: elas devem coincidir exatamente.