2. Fundamentos da Eletrostática, Campo Elétrico e Lei de Gauss

Eletromagnetismo

2. Fundamentos da Eletrostática, Campo Elétrico e Lei de Gauss

Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Fundamentos da Eletrostática · Campo Elétrico · Lei de Gauss (Integral e Pontual) · Teorema do Divergente

2.1 Objetivos de Aprendizagem

Ao final deste capítulo, você será capaz de:

2.2 Intuição Física: O que é Campo Elétrico?

Antes de definir matematicamente o campo elétrico, pense em termos físicos:

2.3 Aplicações no Mundo Real

Conceito Aplicação Prática
Campo de carga puntiforme Design de tubos de raios catódicos e aceleradores de partículas
Lei de Gauss (simetria esférica) Cálculo de campos em esferas condutoras e blindagem eletrostática
Lei de Gauss (simetria cilíndrica) Projeto de cabos coaxiais e linhas de transmissão
Lei de Gauss (simetria planar) Capacitores de placas paralelas em circuitos eletrônicos
Condições de contorno Projeto de isoladores e dielétricos em equipamentos de alta tensão

2.4 Antes de começar

Ao final, você deve obter campo elétrico por superposição e por simetria, distinguir fluxo de campo local e aplicar a Lei de Gauss em formas integral e pontual. Diagnóstico: fluxo elétrico líquido nulo implica campo nulo na superfície? Evidência mínima: calcular campos de carga pontual, fio e esfera e confrontar a carga encerrada com o fluxo.

2.5 Fundamentos da Eletrostática

2.5.1 Carga elétrica

A carga elétrica é uma propriedade fundamental da matéria, responsável pelas interações eletromagnéticas. Fatos experimentais fundamentais:

  1. Quantização: toda carga observável é múltiplo inteiro da carga elementar $e \approx 1{,}602176634\times10^{-19}\,\text{C}$, isto é, $q = ne$, $n\in\mathbb{Z}$.
  2. Conservação: a carga total de um sistema isolado é constante — cargas não são criadas nem destruídas, apenas transferidas (fato que será formalizado na equação da continuidade, tópico 3 desta série).
  3. Invariância: a carga de uma partícula não depende do referencial (diferente da massa relativística) — propriedade essencial para a covariância das equações de Maxwell sob transformações de Lorentz.

2.5.2 Lei de Coulomb

Charles-Augustin de Coulomb (1785), usando uma balança de torção, determinou experimentalmente que a força entre duas cargas puntiformes $q_1$ e $q_2$, separadas por uma distância $r$, é:

Isso é resumido na Lei de Coulomb:

$$ \vec{F}_{12} = k_e\,\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat{r}_{12}, \qquad k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}99\times10^{9}\ \text{N·m}^2/\text{C}^2 $$

onde $\hat{r}_{12}$ é o versor que aponta da carga 1 para a carga 2, e $\vec{F}_{12}$ é a força sobre a carga 2 devido à carga 1. A constante $\varepsilon_0$ (permissividade do vácuo) aparece naturalmente por conveniência ao conectar a eletrostática ao Sistema Internacional de unidades e às equações de Maxwell na forma racionalizada (fator $4\pi$ explícito na lei de força, ausente na lei de Gauss).

Princípio da superposição. A força resultante sobre uma carga devido a várias outras é a soma vetorial das forças individuais — um postulado experimental, não uma consequência lógica necessária da Lei de Coulomb:

$$ \vec{F}_i = \sum_{j\neq i} k_e\frac{q_i q_j}{r_{ij}^2}\hat{r}_{ij} $$

2.6 Campo Elétrico

2.6.1 Definição

Reescrever a força em termos de uma carga de teste $q_0$ (suficientemente pequena para não perturbar a distribuição de cargas-fonte) permite separar a propriedade do espaço (campo) da propriedade da carga de prova:

$$ \vec{E}(\vec{r}) \equiv \lim_{q_0\to 0}\frac{\vec{F}(\vec{r})}{q_0} $$

O campo elétrico de uma carga puntiforme $q$ na origem, avaliado em um ponto de vetor posição $\vec{r}$:

$$ \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r} $$

2.6.2 Princípio da superposição para o campo

Pela linearidade da Lei de Coulomb, o campo de um conjunto de $N$ cargas puntiformes $q_i$ em posições $\vec{r}_i'$ é:

$$ \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{N} q_i\,\frac{\vec{r}-\vec{r}_i'}{|\vec{r}-\vec{r}_i'|^3} $$

Para uma distribuição contínua com densidade volumétrica $\rho(\vec{r}')$, superficial $\sigma(\vec{r}')$ ou linear $\lambda(\vec{r}')$, a soma vira integral:

$$ \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{V'} \rho(\vec{r}')\,\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}\,dV' $$

Dedução do campo de um anel de carga no eixo (exemplo clássico para fixar a técnica). Considere um anel de raio $a$, carga total $Q$ uniformemente distribuída, no plano $xy$, centrado na origem. Por simetria, as componentes do campo perpendiculares ao eixo $z$ se cancelam aos pares (elementos diametralmente opostos), restando apenas a componente $z$:

$$ dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{a^2+z^2}\cos\theta, \qquad \cos\theta = \frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}} $$
$$ E_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{z}{(a^2+z^2)^{3/2}}\int dq = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qz}{(a^2+z^2)^{3/2}} $$

Note que para $z\gg a$, $E_z \to \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{z^2}$: a grandes distâncias, o anel se comporta como uma carga puntiforme — comportamento geral de qualquer distribuição de carga finita.

2.6.3 Linhas de campo

Linhas de campo são curvas tangentes a $\vec{E}(\vec{r})$ em cada ponto; sua densidade (linhas por área transversal) é proporcional à magnitude do campo. Propriedades: emanam de cargas positivas e terminam em cargas negativas (ou no infinito); nunca se cruzam (o campo é único em cada ponto, exceto onde $E=0$); são mais densas onde o campo é mais intenso.

PYTHON
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = y = np.linspace(-2, 2, 25)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
R = np.hypot(X, Y)
Ex, Ey = X/(R**3 + .08), Y/(R**3 + .08)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5))
ax.streamplot(X, Y, Ex, Ey, color=np.log1p(np.hypot(Ex, Ey)), cmap="plasma", density=1.2)
ax.scatter(0, 0, s=180, c="#dc2626", edgecolor="white", zorder=3)
ax.text(.12, .12, "+Q", weight="bold"); ax.set_aspect("equal")
ax.set(title="Linhas de campo de uma carga puntiforme", xlabel="$x$", ylabel="$y$")
plt.tight_layout()
Figura
PYTHON
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

eps0 = 8.854e-12
k = 1/(4*np.pi*eps0)

def E_ponto(X, Y, q, pos):
    x0, y0 = pos
    dx, dy = X-x0, Y-y0
    r2 = np.maximum(dx**2+dy**2, 1e-9)
    return k*q*dx/r2**1.5, k*q*dy/r2**1.5

def E_anel_eixo(z, Q, a, eps0=8.854e-12):
    """Campo no eixo de um anel carregado (dedução acima)."""
    k = 1/(4*np.pi*eps0)
    return k*Q*z/(a**2+z**2)**1.5

z = np.linspace(-5, 5, 400)
Ez = E_anel_eixo(z, Q=1e-9, a=1.0)

# Objetivo: visualizar a mudança de sentido e localizar o campo máximo no eixo.
z_max = 1/np.sqrt(2)  # resultado analítico para a=1 m
E_max = E_anel_eixo(z_max, Q=1e-9, a=1.0)
print(f"Máximo em z=a/√2={z_max:.3f} m: E_z={E_max:.3f} N/C")

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4))
ax.plot(z, Ez, color="#2563eb", lw=2, label="$E_z(z)$")
ax.axhline(0, color="#64748b", lw=.8)
ax.scatter([z_max, -z_max], [E_max, -E_max], color="#dc2626", zorder=3,
           label="extremos analíticos")
ax.set(xlabel="$z/a$", ylabel="$E_z$ (N/C)",
       title="Campo elétrico no eixo de um anel carregado")
ax.grid(alpha=.25); ax.legend(); plt.tight_layout()
Output:
Máximo em z=a/√2=0.707 m: E_z=3.459 N/C
Figura

2.7 Lei de Gauss — Forma Integral

2.7.1 Fluxo elétrico

Define-se o fluxo elétrico através de uma superfície $S$ como:

$$ \Phi_E \equiv \int_S \vec{E}\cdot d\vec{A} $$

onde $d\vec{A} = \hat{n}\,dA$, com $\hat{n}$ o versor normal à superfície (convencionalmente apontando para fora, se $S$ for fechada). Fisicamente, $\Phi_E$ mede "quantas linhas de campo" atravessam $S$.

2.7.2 Dedução da Lei de Gauss a partir da Lei de Coulomb

Considere uma única carga puntiforme $q$ na origem e uma superfície esférica $S$ de raio $r$ centrada nela. Como $\vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat{r}$ é paralelo a $d\vec{A} = \hat{r}\,dA$ em toda a superfície:

$$ \Phi_E = \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\oint_S dA = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}(4\pi r^2) = \frac{q}{\varepsilon_0} $$

Ponto crucial: o resultado não depende de $r$. Isso é consequência direta da lei do inverso do quadrado — o fluxo através de qualquer esfera concêntrica é o mesmo, pois a área cresce como $r^2$ exatamente na taxa que compensa a queda de $E$.

Generalização para superfície arbitrária: usa-se o conceito de ângulo sólido. Um elemento de área $dA$ a uma distância $r$ da carga, com normal fazendo ângulo $\theta$ com $\hat{r}$, subtende um ângulo sólido:

$$ d\Omega = \frac{dA\cos\theta}{r^2} $$

O fluxo através desse elemento é:

$$ d\Phi_E = \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,dA\cos\theta = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,d\Omega $$

Integrando sobre qualquer superfície fechada que envolva a carga, o ângulo sólido total é sempre $4\pi$ esferorradianos (por definição de superfície fechada envolvendo um ponto interno):

$$ \Phi_E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\oint d\Omega = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(4\pi) = \frac{q}{\varepsilon_0} $$

Se a carga estiver fora da superfície fechada, cada linha de campo que entra também sai (o ângulo sólido subtendido por qualquer "cone" de linhas se cancela entre a face de entrada e a de saída), de modo que $\Phi_E = 0$ para cargas externas.

Por superposição, para uma distribuição arbitrária de cargas, apenas a carga interna contribui:

$$ \boxed{\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{env}}{\varepsilon_0}}\qquad\text{(Lei de Gauss — forma integral)} $$

com $Q_{env} = \int_{V} \rho\,dV$, integrada apenas sobre o volume delimitado por $S$.

2.7.3 Importância

A Lei de Gauss é sempre verdadeira (é equivalente à Lei de Coulomb para eletrostática, e continua válida em eletrodinâmica), mas só é útil para calcular $\vec{E}$ diretamente quando há simetria suficiente (esférica, cilíndrica ou planar) para tirar $E$ da integral.

2.8 Teorema do Divergente

2.8.1 Enunciado

O Teorema do Divergente (Gauss–Ostrogradsky) é um resultado de cálculo vetorial, válido para qualquer campo vetorial $\vec{F}$ suficientemente suave, relacionando uma integral de superfície fechada a uma integral de volume:

$$ \oint_S \vec{F}\cdot d\vec{A} = \int_V (\nabla\cdot\vec{F})\,dV $$

2.8.2 Ideia da demonstração (via cubos infinitesimais)

Divida o volume $V$ em uma malha de cubos infinitesimais de lados $dx, dy, dz$. Para um cubo centrado em $(x,y,z)$, o fluxo líquido através das faces perpendiculares a $x$ é:

$$ d\Phi_x = \left[F_x\left(x+\tfrac{dx}{2},y,z\right) - F_x\left(x-\tfrac{dx}{2},y,z\right)\right]dy\,dz \approx \frac{\partial F_x}{\partial x}\,dx\,dy\,dz $$

Somando as contribuições análogas em $y$ e $z$:

$$ d\Phi = \left(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}\right)dV = (\nabla\cdot\vec{F})\,dV $$

Quando se somam os fluxos de todos os cubos adjacentes que preenchem $V$, as contribuições das faces internas se cancelam aos pares (o que sai de um cubo entra no vizinho), restando apenas o fluxo através das faces na fronteira externa — exatamente $\oint_S \vec{F}\cdot d\vec{A}$. Isso demonstra o teorema.

2.8.3 Interpretação física do divergente

$\nabla\cdot\vec{F}$ em um ponto mede a "densidade de fontes" do campo naquele ponto: o fluxo líquido que emana de um volume infinitesimal ao redor do ponto, por unidade de volume.

$$ \nabla\cdot\vec{F} = \lim_{\Delta V\to 0}\frac{1}{\Delta V}\oint_{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot d\vec{A} $$

Em coordenadas cartesianas:

$$ \nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z} $$

2.9 Lei de Gauss — Forma Pontual

2.9.1 Dedução

Partindo da forma integral e escrevendo $Q_{env} = \int_V \rho\,dV$:

$$ \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho\,dV $$

Aplicando o Teorema do Divergente ao lado esquerdo:

$$ \int_V(\nabla\cdot\vec{E})\,dV = \int_V \frac{\rho}{\varepsilon_0}\,dV $$

Como essa igualdade vale para qualquer volume $V$ arbitrário (não apenas um específico), os integrandos devem ser iguais ponto a ponto:

$$ \boxed{\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}}\qquad\text{(Lei de Gauss — forma pontual/diferencial)} $$

Esta é a primeira equação de Maxwell. Ela é local: relaciona o campo e sua derivada em cada ponto do espaço, sem exigir conhecimento da distribuição de carga em outros pontos — ao contrário da forma integral, que é global.

2.9.2 Equivalência das duas formas

As formas integral e pontual da Lei de Gauss carregam exatamente a mesma informação física; a integral é conveniente para simetrias globais, a pontual para formulações locais (e para derivar a equação de Poisson, tópico do próximo arquivo).

2.10 Aplicações com Simetria

2.10.1 Receita geral

  1. Identifique a simetria (esférica, cilíndrica, planar) e escolha uma superfície gaussiana compatível: $\vec{E}$ deve ser constante em módulo e paralelo (ou perpendicular) a $d\vec{A}$ em cada parte relevante da superfície.
  2. Calcule $Q_{env}$ dentro da superfície escolhida.
  3. Aplique $\oint\vec{E}\cdot d\vec{A} = Q_{env}/\varepsilon_0$ e resolva para $E$.

2.10.2 Casca esférica uniformemente carregada

Casca de raio $a$, carga total $Q$. Superfície gaussiana: esfera concêntrica de raio $r$.

$$ E(4\pi r^2) = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} $$

idêntico ao de uma carga puntiforme — resultado que motivou historicamente Newton (gravitação) e depois Gauss (eletrostática).

2.10.3 Esfera sólida uniformemente carregada

Esfera de raio $a$, densidade volumétrica uniforme $\rho_0$, carga total $Q = \tfrac{4}{3}\pi a^3\rho_0$. Superfície gaussiana: esfera concêntrica de raio $r$.

$$ Q_{env} = \rho_0\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 = Q\cdot\frac{r^3}{a^3} $$

Aplicando Gauss:

$$ E(4\pi r^2) = \frac{Q r^3}{\varepsilon_0 a^3} \quad\Rightarrow\quad E(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^3}\,r = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\,r $$

Dentro da esfera, o campo cresce linearmente com $r$ — análogo ao campo gravitacional dentro de uma planeta com densidade uniforme.

Resumo unificado:

$$ E(r) = \begin{cases}\dfrac{\rho_0 r}{3\varepsilon_0} & r < a \\ \dfrac{\rho_0 a^3}{3\varepsilon_0 r^2} & r \ge a\end{cases} $$

2.10.4 Exemplo Resolvido Passo a Passo: Esfera com Densidade Não Uniforme

Problema: Uma esfera isolante de raio $R$ possui densidade volumétrica de carga $\rho(r) = \rho_0 \left(1 - \dfrac{r}{R}\right)$ para $r \le R$ (e $\rho=0$ fora). Determine o campo elétrico $\vec{E}(r)$ para $r < R$ e $r \ge R$.

Passo 1: Identificar a simetria e escolher a superfície gaussiana.
A distribuição de carga possui simetria esférica (depende apenas de $r$). Escolhemos como superfície gaussiana uma esfera concêntrica de raio $r$.

Passo 2: Calcular a carga envolvida $Q_{env}(r)$ para $r < R$.

$$ Q_{env}(r) = \int_0^r \rho(r')\,4\pi r'^2\,dr' = 4\pi\rho_0\int_0^r r'^2\left(1 - \frac{r'}{R}\right)dr' $$
$$ = 4\pi\rho_0\left[\int_0^r r'^2\,dr' - \frac{1}{R}\int_0^r r'^3\,dr'\right] = 4\pi\rho_0\left(\frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R}\right) $$

Passo 3: Aplicar a Lei de Gauss para $r < R$.

$$ E(r)\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{env}(r)}{\varepsilon_0} = \frac{4\pi\rho_0}{\varepsilon_0}\left(\frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R}\right) $$
$$ \Rightarrow \quad E(r) = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0}\left(\frac{r}{3} - \frac{r^2}{4R}\right), \qquad r < R $$

Passo 4: Calcular a carga total $Q_{total}$ para $r \ge R$.

$$ Q_{total} = Q_{env}(R) = 4\pi\rho_0\left(\frac{R^3}{3} - \frac{R^4}{4R}\right) = 4\pi\rho_0\left(\frac{R^3}{3} - \frac{R^3}{4}\right) = 4\pi\rho_0\frac{R^3}{12} = \frac{\pi\rho_0 R^3}{3} $$

Passo 5: Aplicar a Lei de Gauss para $r \ge R$.
Para $r \ge R$, a esfera se comporta como uma carga puntiforme $Q_{total}$:

$$ E(r)\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{total}}{\varepsilon_0} = \frac{\pi\rho_0 R^3}{3\varepsilon_0} $$
$$ \Rightarrow \quad E(r) = \frac{\rho_0 R^3}{12\varepsilon_0 r^2}, \qquad r \ge R $$

Resposta final:

$$ \vec{E}(r) = \begin{cases} \dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\left(\dfrac{r}{3} - \dfrac{r^2}{4R}\right)\hat{r} & r < R \\ \dfrac{\rho_0 R^3}{12\varepsilon_0 r^2}\hat{r} & r \ge R \end{cases} $$

O campo é contínuo em $r=a$ (não há carga superficial), e sua derivada pula em $4\pi\varepsilon_0\sigma$ se existir uma carga superficial — condição de contorno que trataremos na Seção “Condições de Contorno para o Campo Eletrostático”.

2.10.5 Fio infinito com densidade linear $\lambda$

Superfície gaussiana: cilindro coaxial de raio $r$ e comprimento $L$. Por simetria, $\vec{E}$ é radial e as tampas do cilindro não contribuem (paralelas a $\vec{E}$, perpendiculares a $d\vec{A}$ nelas):

$$ E(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} $$

2.10.6 Plano infinito com densidade superficial $\sigma$

Superfície gaussiana: "caixa de pílulas" (cilindro curto) atravessando o plano, com tampas de área $A$ paralelas ao plano. Por simetria, $\vec{E}$ é perpendicular ao plano e igual em módulo nas duas tampas:

$$ 2EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $$

Note que $E$ não depende da distância ao plano — resultado surpreendente, mas consistente: linhas de campo de um plano infinito são todas paralelas entre si.

Plano duplo (capacitor de placas paralelas): dois planos infinitos paralelos, um com $+\sigma$, outro com $-\sigma$. Entre as placas, os campos se somam (ambos apontam do positivo ao negativo):

$$ E_{\text{entre}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} $$

Fora das placas, os campos se cancelam:

$$ E_{\text{fora}} = 0 $$

Este resultado (campo uniforme concentrado entre as placas, nulo fora) é a idealização por trás do capacitor de placas paralelas (Seção “Lei de Gauss — Forma Integral”.7).

2.10.7 Duas cargas: campo no ponto médio

Duas cargas iguais $+q$ separadas por distância $d$. Qual o campo no ponto médio?

Por simetria, os campos se cancelam no ponto médio. Para uma carga de teste positiva, um pequeno deslocamento ao longo do eixo produz força restauradora: a carga mais próxima a repele mais intensamente de volta ao centro. Um deslocamento transversal produz força para longe do eixo. Portanto, o ponto é uma sela — estável numa direção e instável nas transversais — em acordo com o teorema de Earnshaw, que proíbe mínimo eletrostático estável em todas as direções no espaço livre.

Para cargas opostas ($+q$ e $-q$), os campos se somam no ponto médio:

$$ E_{\text{médio}} =2\frac{q}{4\pi\varepsilon_0(d/2)^2} =\frac{2q}{\pi\varepsilon_0d^2} $$
PYTHON
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure(figsize=(6, 5)); ax = fig.add_subplot(projection="3d")
u, v = np.mgrid[0:2*np.pi:45j, 0:np.pi:24j]
x, y, z = np.cos(u)*np.sin(v), np.sin(u)*np.sin(v), np.cos(v)
ax.plot_surface(x, y, z, color="#60a5fa", alpha=.22, edgecolor="#2563eb", linewidth=.15)
dirs = np.array([[1,0,0],[-1,0,0],[0,1,0],[0,-1,0],[0,0,1],[0,0,-1]])
ax.quiver(*np.zeros((3,6)), dirs[:,0], dirs[:,1], dirs[:,2], length=1.35, color="#dc2626")
ax.scatter(0,0,0,s=90,c="#dc2626"); ax.text(.08,.08,.08,"+Q")
ax.set_box_aspect((1,1,1)); ax.set_title("Superfície gaussiana e fluxo radial")
plt.tight_layout()
Figura

2.11 Campo de Distribuições Contínuas

2.11.1 Disco carregado uniformemente no eixo

Disco de raio $R$, densidade superficial $\sigma$, no plano $xy$, centrado na origem. Queremos $\vec{E}$ no eixo $z$.

Dividimos o disco em anéis de raio $r$ e largura $dr$. Cada anel tem carga $dq = \sigma\cdot 2\pi r\,dr$. Usando o resultado da Seção “Princípio da superposição para o campo” para o anel:

$$ dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{z\cdot dq}{(r^2+z^2)^{3/2}} = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\frac{r\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}} $$

Integrando de $r=0$ a $R$ (substituição $u = r^2+z^2$):

$$ E_z = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\int_0^R\frac{r\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}} = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}\right]_0^R = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{|z|}{\sqrt{R^2+z^2}}\right) $$

Limites importantes:

$$ E_z \approx \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\frac{R^2}{2z^2} = \frac{\sigma \pi R^2}{4\pi\varepsilon_0 z^2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 z^2} $$

recuperamos a carga puntiforme — como esperado, qualquer distribuição finita se comporta como puntiforme a grandes distâncias.

2.11.2 Esfera com densidade não-uniforme $\rho(r)$

Se $\rho(r) = \rho_0\left(1-\dfrac{r}{a}\right)$ para $r<a$ (densidade decrescendo linearmente do centro à superfície), a carga dentro de raio $r$ é:

$$ Q_{env}(r) = \int_0^r \rho(r')\cdot 4\pi r'^2\,dr' = 4\pi\rho_0\int_0^r r'^2\left(1-\frac{r'}{a}\right)dr' = 4\pi\rho_0\left(\frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4a}\right) $$

Campo dentro da esfera:

$$ E(r) = \frac{Q_{env}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0}\left(\frac{r}{3} - \frac{r^2}{4a}\right) $$

Carga total da esfera: $Q = Q_{env}(a) = 4\pi\rho_0\left(\dfrac{a^3}{3}-\dfrac{a^3}{4}\right) = \dfrac{\pi\rho_0 a^3}{3}$. Campo fora:

$$ E(r) = \frac{\rho_0 a^3}{3\varepsilon_0 r^2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2},\qquad r \ge a $$

Note que o campo dentro não cresce linearmente como no caso de densidade constante — ele cresce mais rapidamente perto da origem e mais devagar perto da superfície.

2.11.3 Linha de carga finita no ponto próximo ao extremo

Linha de comprimento $L$, carga total $Q$ uniformemente distribuída ($\lambda = Q/L$) ao longo do eixo $z$, de $0$ a $L$. Campo no ponto $P$ a distância $d$ do extremo (posição $z = -d$):

$$ dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda\,dz'}{(z'+d)^2}\quad\Rightarrow\quad E = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^L\frac{dz'}{(z'+d)^2} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{d} - \frac{1}{L+d}\right] $$
$$ E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{d(L+d)} $$

2.12 Condições de Contorno para o Campo Eletrostático

2.12.1 Componente normal de $\vec{E}$ (descontinuidade na interface)

Na interface entre dois meios, a Lei de Gauss para $\vec E$ envolve a densidade superficial total $\sigma_{\rm tot}=\sigma_f+\sigma_b$, incluindo cargas livres e ligadas. Para uma caixa de pílulas:

$$ \oint_S\vec E\cdot d\vec A =\hat n_{12}\cdot(\vec E_2-\vec E_1)A =\frac{\sigma_{\rm tot}A}{\varepsilon_0} $$
$$ \boxed{\hat n_{12}\cdot(\vec E_2-\vec E_1)=\frac{\sigma_{\rm tot}}{\varepsilon_0}} $$

Ausência de carga livre não garante continuidade de $E_\perp$: uma interface dielétrica pode possuir carga ligada de polarização. É $\vec D$ que separa a contribuição livre.

$$ E_{\perp} = \frac{\sigma_{\rm cond}}{\varepsilon_0} $$

2.12.2 Componente tangencial de $\vec{E}$ (continuidade)

Aplicamos $\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = 0$ (campo eletrostático é conservativo) a um retângulo infinitesimal atravessando a interface:

$$ \boxed{\hat n_{12}\times(\vec E_2-\vec E_1)=0} $$

A componente tangencial é sempre contínua na interface — não depende da presença de carga superficial.

Resumo das condições de contorno:

$$ \begin{aligned} \hat n_{12}\times(\vec E_2-\vec E_1)&=0,\\ \varepsilon_0\hat n_{12}\cdot(\vec E_2-\vec E_1)&=\sigma_{\rm tot}. \end{aligned} $$

2.12.3 Condições de contorno para $\vec{D}$ em interfaces dielétricas

Aplicando $\nabla\cdot\vec D=\rho_f$:

$$ \boxed{\hat n_{12}\cdot(\vec D_2-\vec D_1)=\sigma_f}. $$

Sem carga superficial livre e para meios lineares isotrópicos, $D_{2\perp}=D_{1\perp}$ e, portanto, $\varepsilon_2E_{2\perp}=\varepsilon_1E_{1\perp}$.

O campo elétrico normal descontinua na interface entre dielétricos, sendo mais fraco no meio de maior permissividade — exatamente o efeito de "blindagem" da polarização.

$$ \tan\theta_2 = \frac{E_{2\parallel}}{E_{2\perp}} = \frac{E_{1\parallel}}{(\varepsilon_1/\varepsilon_2)E_{1\perp}} = \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\tan\theta_1 = 80\cdot\sqrt{3} \approx 139 $$
$$ \theta_2 \approx 89.6°\quad\text{(o campo "quase tangencia" a interface!)} $$

Isso significa que o campo elétrico se curva para ficar quase paralelo à superfície ao entrar no dielétrico — as linhas de campo "refratam" em direção à interface (ângulo maior). Este efeito é análogo à refração da luz, com a diferença que aqui os ângulos se comportam de forma oposta.

2.13 Exercícios Resolvidos em Python

2.13.1 Roteiro computacional

Objetivo. Comparar campos obtidos por simetria com integração direta da distribuição de carga e testar numericamente a Lei de Gauss.

Como executar. Requer numpy, scipy e matplotlib. Aumente gradualmente a resolução e confirme que o fluxo converge para $Q_{int}/\varepsilon_0$.

PYTHON
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

eps0 = 8.854e-12
k = 1/(4*np.pi*eps0)

# --- Casca esférica ---
def E_casca_esferica(r, Q, a):
    r = np.atleast_1d(r).astype(float)
    return np.where(r < a, 0.0, Q/(4*np.pi*eps0*r**2))

# --- Esfera sólida uniforme ---
def E_esfera_solid_a(r, Q, a):
    r = np.atleast_1d(r).astype(float)
    E = np.zeros_like(r)
    E[r < a] = Q * r[r<a] / (4*np.pi*eps0*a**3)
    E[r >= a] = Q / (4*np.pi*eps0*r[r>=a]**2)
    return E

# --- Fio infinito ---
def E_fio_infinito(r, lam):
    return lam/(2*np.pi*eps0*r)

# --- Plano infinito ---
def E_plano_infinito(sigma):
    return sigma/(2*eps0)

# --- Disco carregado no eixo ---
def E_disco_eixo(z, R, sigma):
    return sigma/(2*eps0) * (1 - np.abs(z)/np.sqrt(R**2+z**2))

# --- Esfera com densidade não-uniforme rho(r) = rho0*(1 - r/a) ---
def E_esfera_nao_uniforme(r, rho0, a):
    r = np.atleast_1d(r).astype(float)
    E = np.zeros_like(r)
    mask = r < a
    E[mask] = rho0/eps0 * (r[mask]/3 - r[mask]**2/(4*a))
    # Fora: usar Q total
    Q = np.pi*rho0*a**3/3
    E[~mask] = Q/(4*np.pi*eps0*r[~mask]**2)
    return E

# --- Linha de carga finita ---
def E_linha_finita(d, L, Q):
    return Q/(4*np.pi*eps0) / (d*(L+d))

# --- Condições de contorno: ângulo de "refração" ---
def angulo_refracao_dielétrico(theta1, eps_r1, eps_r2):
    """Calcula o ângulo do campo elétrico no meio 2, dado ângulo theta1 no meio 1."""
    tan2 = (eps_r2/eps_r1) * np.tan(theta1)
    return np.arctan(tan2)

theta1 = np.deg2rad(60)
theta2 = angulo_refracao_dielétrico(theta1, 1.0, 80.0)
print(f"Ângulo no ar: {np.rad2deg(theta1):.1f}°")
print(f"Ângulo na água: {np.rad2deg(theta2):.1f}°")

# --- Verificação numérica do Teorema do Divergente ---
def verifica_gauss_numerico(q, r=1.0, n_theta=200, n_phi=400):
    k = 1/(4*np.pi*eps0)
    theta = np.linspace(0, np.pi, n_theta)
    phi = np.linspace(0, 2*np.pi, n_phi)
    dtheta, dphi = theta[1]-theta[0], phi[1]-phi[0]
    fluxo = 0.0
    E_r = k*q/r**2
    for th in theta:
        dA = r**2*np.sin(th)*dtheta*dphi
        fluxo += E_r*dA*n_phi
    return fluxo

q = 1e-9
fluxo_numerico = verifica_gauss_numerico(q)
fluxo_teorico = q/eps0
print(f"\nFluxo numérico:  {fluxo_numerico:.6e}")
print(f"Fluxo teórico Q/eps0: {fluxo_teorico:.6e}")
print(f"Erro relativo: {abs(fluxo_numerico-fluxo_teorico)/fluxo_teorico:.2%}")

# --- Verificação: campo do disco converge para plano infinito ---
R, sigma = 1.0, 1e-9  # 1 m, 1 nC/m^2
for z in [0.001, 0.01, 0.1, 1.0, 10.0]:
    E_d = E_disco_eixo(z, R, sigma)
    E_p = E_plano_infinito(sigma)
    print(f"z={z:6.3f} m: E_disco={E_d:.4e} V/m, E_plano={E_p:.4e} V/m, razão={E_d/E_p:.4f}")

# --- Visualização: E(r) para esfera sólida uniforme ---
Q, a = 1e-9, 0.1  # 1 nC, 10 cm
r_vals = np.linspace(0, 3*a, 500)
E_vals = E_esfera_solid_a(r_vals, Q, a)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,5))
ax.plot(r_vals/a, E_vals*4*np.pi*eps0/Q*a**2, 'b', linewidth=2, label='E(r) normalizado')
ax.axvline(1, color='k', linestyle='--', alpha=0.5)
ax.set_xlabel('r/a')
ax.set_ylabel('E · 4πε₀a²/Q')
ax.set_title('Campo elétrico de esfera sólida uniformemente carregada')
ax.legend()
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.set_xlim(0, 3)
plt.tight_layout()
Output:
Ângulo no ar: 60.0°
Ângulo na água: 89.6°

Fluxo numérico:  1.132240e+02
Fluxo teórico Q/eps0: 1.129433e+02
Erro relativo: 0.25%
z= 0.001 m: E_disco=5.6415e+01 V/m, E_plano=5.6472e+01 V/m, razão=0.9990
z= 0.010 m: E_disco=5.5907e+01 V/m, E_plano=5.6472e+01 V/m, razão=0.9900
z= 0.100 m: E_disco=5.0853e+01 V/m, E_plano=5.6472e+01 V/m, razão=0.9005
z= 1.000 m: E_disco=1.6540e+01 V/m, E_plano=5.6472e+01 V/m, razão=0.2929
z=10.000 m: E_disco=2.8026e-01 V/m, E_plano=5.6472e+01 V/m, razão=0.0050
Figura

2.14 Resumo do Capítulo

2.14.1 Fórmulas-Chave

Conceito Fórmula Aplicações
Lei de Coulomb $\vec{F}_{12} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_1 q_2}{r^2}\hat{r}_{12}$ Força entre cargas puntiformes
Campo de carga puntual $\vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2}\hat{r}$ Campo de uma carga
Lei de Gauss (integral) $\displaystyle\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A} = \dfrac{Q_{env}}{\varepsilon_0}$ Cálculo de campos com simetria
Lei de Gauss (pontual) $\nabla\cdot\vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$ Forma diferencial/local
Condição de contorno (normal) $\hat n_{12}\cdot(\vec E_2-\vec E_1)=\dfrac{\sigma_{\rm tot}}{\varepsilon_0}$ Interfaces entre materiais
Condição de contorno (tangencial) $\hat n_{12}\times(\vec E_2-\vec E_1)=0$ Continuidade do campo tangencial

2.14.2 Casos de Simetria Comuns

Simetria Distribuição Campo $E(r)$
Esférica Casca de raio $a$, carga $Q$ $E=0$ ($r<a$); $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ ($r\ge a$)
Esférica Esfera sólida, $\rho_0$ constante $E=\dfrac{\rho_0 r}{3\varepsilon_0}$ ($r<a$); $E=\dfrac{\rho_0 a^3}{3\varepsilon_0 r^2}$ ($r\ge a$)
Cilíndrica Fio infinito, densidade $\lambda$ $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$
Planar Plano infinito, densidade $\sigma$ $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
Planar duplo Capacitor de placas paralelas $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$ (entre placas), $0$ (fora)

2.14.3 Conceitos-Chave

  1. Fluxo elétrico: Mede "quantas linhas de campo" atravessam uma superfície.
  2. Lei de Gauss: Só é útil para calcular $\vec E$ diretamente quando há simetria suficiente.
  3. Forma pontual: $\nabla\cdot\vec{E} = \rho/\varepsilon_0$ é a primeira equação de Maxwell.
  4. Condições de contorno: $E_\parallel$ é sempre contínua; $E_\perp$ descontinua na presença de carga superficial.
  5. Refração do campo elétrico: Em dielétricos, o campo se curva para ficar mais paralelo à interface.

2.15 Lista de Exercícios Propostos

E1. Duas cargas puntiformes positivas, $q_1 = 4\,\text{nC}$ em $x=0$ e $q_2 = 9\,\text{nC}$ em $x=0{,}5\,\text{m}$, estão fixas no eixo $x$. Determine o ponto entre elas onde o campo elétrico resultante é nulo.

E2. Três cargas estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado $a=0{,}2\,\text{m}$: $q_1=+2\,\text{nC}$, $q_2=+2\,\text{nC}$, $q_3=-2\,\text{nC}$. Determine a força resultante (módulo e direção) sobre $q_3$.

E3. Uma casca esférica isolante de raio $a=8\,\text{cm}$ tem carga total $Q=-4\,\text{nC}$ uniformemente distribuída. Calcule $\vec{E}$ em $r=4\,\text{cm}$ e em $r=16\,\text{cm}$.

E4. Um fio retilíneo infinito tem densidade linear $\lambda = 5\,\text{nC/m}$. A que distância radial $r$ o módulo do campo elétrico vale $900\,\text{N/C}$?

E5. Três planos infinitos paralelos, perpendiculares ao eixo $x$, estão localizados em $x=0$, $x=1\,\text{m}$ e $x=2\,\text{m}$, com densidades superficiais $\sigma_1=+3\,\text{nC/m}^2$, $\sigma_2=-2\,\text{nC/m}^2$ e $\sigma_3=+1\,\text{nC/m}^2$, respectivamente. Determine $\vec{E}$ (módulo e sentido) nas quatro regiões: $x<0$, $0<x<1$, $1<x<2$ e $x>2$.

E6. Um cabo coaxial é formado por um fio interno muito fino com densidade linear $\lambda=+3\,\text{nC/m}$ e uma casca cilíndrica condutora concêntrica (raio interno $b=2\,\text{cm}$, raio externo $c=3\,\text{cm}$) que transporta carga total por unidade de comprimento igual a $-2\lambda$. Determine $\vec{E}(r)$ nas três regiões: $r<b$, $b<r<c$ e $r>c$.

E7. Uma esfera maciça isolante de raio $a=6\,\text{cm}$ tem carga total $Q=5\,\text{nC}$ uniformemente distribuída em seu volume. Determine a que distância $r>a$ do centro o módulo do campo vale um quarto do valor na superfície, $E(a)/4$.

E8. (Conceitual) Uma superfície gaussiana fechada tem fluxo elétrico líquido nulo. É correto concluir que $\vec{E}=0$ em todos os pontos de $S$? Justifique fisicamente, dando um contraexemplo explícito.

E9. No interior de uma esfera maciça uniformemente carregada ($r<a$), o campo elétrico é $\vec{E}(r) = A\,r\,\hat{r}$, com $A$ constante. Usando a Lei de Gauss na forma pontual, obtenha a densidade volumétrica de carga $\rho$ em função de $A$ e $\varepsilon_0$, e mostre que o resultado é consistente com $A = \rho_0/(3\varepsilon_0)$.

E10. Na interface entre o ar ($\varepsilon_{r1}=1$) e um dielétrico de $\varepsilon_{r2}=5$, o campo elétrico no ar faz ângulo $\theta_1=45°$ com a normal à interface. Não há carga livre na interface. Determine o ângulo $\theta_2$ que o campo faz com a normal no dielétrico.

E11. Um disco de raio $R=0{,}05\,\text{m}$ tem densidade superficial uniforme $\sigma = 8\times10^{-9}\,\text{C/m}^2$. Calcule o campo elétrico no eixo do disco em $z=R$ (ou seja, à distância de um raio do centro) e compare numericamente com o valor que se obteria aproximando o disco por uma carga puntiforme na mesma posição.

E12 (desafio). Uma casca hemisférica de raio $R$ tem uma carga puntiforme $q$ localizada exatamente no centro de curvatura, sobre o plano que contém a borda circular (a "boca" do hemisfério). Usando a Lei de Gauss (sem integração direta de Coulomb sobre a superfície curva), determine o fluxo elétrico através da superfície curva do hemisfério.

E13 (desafio). Uma esfera maciça isolante de raio $a$ tem densidade volumétrica de carga uniforme $\rho_0$. Uma cavidade esférica de raio $b<a$ é escavada no interior da esfera, com centro deslocado de uma distância $d$ em relação ao centro da esfera original (com $d+b\le a$, de modo que a cavidade fique inteiramente contida na esfera). Mostre que o campo elétrico dentro da cavidade é uniforme e determine seu valor em função de $\rho_0$, $\varepsilon_0$ e do vetor deslocamento $\vec{d}$ entre os centros.

E14 (desafio). Uma barra fina de comprimento $L$, colocada ao longo do eixo $x$ entre $x=0$ e $x=L$, tem densidade linear de carga não uniforme $\lambda(x) = \lambda_0\dfrac{x}{L}$ (cresce linearmente de zero, na extremidade $x=0$, até $\lambda_0$, na extremidade $x=L$). Determine o campo elétrico no ponto $P$ sobre o eixo, a uma distância $d$ à esquerda da extremidade $x=0$ (isto é, em $x=-d$).

E15. Um próton está em repouso em uma região onde existe um campo elétrico uniforme $\vec{E}=(0,0,-2\times10^{4})\,\text{N/C}$. Determine o módulo e a direção da força elétrica sobre o próton, e compare (qualitativamente) com o peso do próton — qual força domina, e por quantas ordens de grandeza?

2.16 Gabarito

E1. Para um ponto entre as cargas, a $x$ de $q_1$, os campos de $q_1$ e $q_2$ apontam em sentidos opostos (ambas as cargas são positivas, então cada uma empurra a carga de teste para longe de si). Igualando os módulos:

$$ \frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(d-x)^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{d-x}{x} = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}} $$

Com $q_1=4\,\text{nC}$, $q_2=9\,\text{nC}$, $d=0{,}5\,\text{m}$: $\sqrt{q_2/q_1} = \sqrt{9/4} = 3/2$. Logo:

$$ x = \frac{d}{1+\sqrt{q_2/q_1}} = \frac{0{,}5}{1+1{,}5} = 0{,}2\,\text{m} $$
$$ \boxed{x = 0{,}2\,\text{m à direita de }q_1\quad(\text{ou } 0{,}3\,\text{m à esquerda de }q_2)} $$

Verificação: $E_1 = k(4\,\text{nC})/(0{,}2)^2 = 898{,}8\,\text{N/C}$ e $E_2 = k(9\,\text{nC})/(0{,}3)^2 = 898{,}8\,\text{N/C}$ — iguais, como esperado.

E2. Coloque $q_1$ e $q_2$ na base do triângulo e $q_3$ no topo (todas as distâncias mútuas $=a$). A força sobre $q_3$ é a soma vetorial de $\vec{F}_{31}$ (de $q_1$ sobre $q_3$) e $\vec{F}_{32}$ (de $q_2$ sobre $q_3$). Como $q_1=q_2=+2\,\text{nC}$ e $q_3=-2\,\text{nC}$, ambas as forças são atrativas, com módulo igual:

$$ |F_{31}| = |F_{32}| = k_e\frac{|q_1 q_3|}{a^2} = (8{,}99\times10^9)\frac{(2\times10^{-9})^2}{(0{,}2)^2} \approx 8{,}99\times10^{-7}\,\text{N} $$

Por simetria do triângulo equilátero, as duas forças atrativas fazem ângulo de $60°$ entre si (cada uma aponta de $q_3$ para a respectiva carga da base) e a resultante aponta ao longo da bissetriz, na direção da base, com módulo:

$$ F_{res} = 2|F_{31}|\cos(30°) = 2(8{,}99\times10^{-7})(0{,}866) $$
$$ \boxed{F_{res} \approx 1{,}56\times10^{-6}\,\text{N}, \text{ apontando de } q_3 \text{ para o ponto médio de } q_1q_2} $$

E3. Casca esférica: $Q_{env}=0$ para qualquer superfície gaussiana com $r<a$, logo:

$$ \boxed{E(4\,\text{cm}) = 0} $$

Para $r=16\,\text{cm} > a$, toda a carga está envolvida ($Q_{env}=Q=-4\,\text{nC}$):

$$ E(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{-4\times10^{-9}}{4\pi(8{,}854\times10^{-12})(0{,}16)^2} $$
$$ \boxed{E(16\,\text{cm}) \approx -1{,}40\times10^{3}\,\text{N/C}\ \text{(módulo }1{,}40\,\text{kN/C, apontando radialmente para dentro, pois }Q<0\text{)}} $$

E4. Do resultado do fio infinito, $E(r) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$. Isolando $r$:

$$ r = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 E} = \frac{5\times10^{-9}}{2\pi(8{,}854\times10^{-12})(900)} $$
$$ \boxed{r \approx 0{,}0999\,\text{m} \approx 10\,\text{cm}} $$

E5. Cada plano $i$ contribui, em qualquer ponto, com módulo $\sigma_i/(2\varepsilon_0)$ na direção $x$, com sinal $+$ se o ponto está à direita do plano $i$ e sinal $-$ se está à esquerda (convenção coerente com $\sigma_i>0$ empurrando para longe do plano e $\sigma_i<0$ atraindo para ele). O campo total em cada região é a soma algébrica $E(x) = \sum_i \pm\dfrac{\sigma_i}{2\varepsilon_0}$, com o sinal de cada termo definido pela posição de $x$ relativa ao plano $i$:

$$ E = -\frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{2\varepsilon_0} = -\frac{(3-2+1)\times10^{-9}}{2(8{,}854\times10^{-12})} \approx -112{,}9\,\text{N/C} $$
$$ \boxed{E(x<0) \approx 112{,}9\,\text{N/C, apontando no sentido }-x} $$
$$ E = \frac{\sigma_1 - \sigma_2 - \sigma_3}{2\varepsilon_0} = \frac{(3+2-1)\times10^{-9}}{2(8{,}854\times10^{-12})} \approx +225{,}9\,\text{N/C} $$
$$ \boxed{E(0<x<1) \approx +225{,}9\,\text{N/C (sentido }+x\text{)}} $$
$$ E = \frac{\sigma_1+\sigma_2-\sigma_3}{2\varepsilon_0} = \frac{(3-2-1)\times10^{-9}}{2(8{,}854\times10^{-12})} = 0 $$
$$ \boxed{E(1<x<2) \approx 0} $$
$$ E = \frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{2\varepsilon_0} = \frac{(3-2+1)\times10^{-9}}{2(8{,}854\times10^{-12})} \approx +112{,}9\,\text{N/C} $$
$$ \boxed{E(x>2) \approx +112{,}9\,\text{N/C (sentido }+x\text{)}} $$

Note a simetria: fora de todos os planos, o campo só "enxerga" a carga total por unidade de área ($\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3=2\,\text{nC/m}^2$), como uma "casca" efetiva — igual em módulo e oposto em sentido nos dois lados.

E6. Região $r<b$ (dentro do espaço vazio entre o fio e a casca): a única carga envolvida é o fio, $Q_{env}=\lambda L$ para um cilindro gaussiano de comprimento $L$:

$$ \boxed{E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r},\quad r<b} $$

Região $b<r<c$ (dentro do condutor): em equilíbrio eletrostático, $\vec{E}=0$ dentro de um condutor:

$$ \boxed{E=0,\quad b<r<c} $$

Isso obriga a superfície interna da casca ($r=b$) a acumular carga induzida $-\lambda$ por unidade de comprimento (para cancelar o fluxo do fio dentro do condutor). Como a casca tem carga total $-2\lambda$ por comprimento, a superfície externa ($r=c$) deve ter $-2\lambda - (-\lambda) = -\lambda$ por unidade de comprimento.

Região $r>c$: $Q_{env}$ por unidade de comprimento $= \lambda(\text{fio}) + (-2\lambda)(\text{casca}) = -\lambda$:

$$ E(2\pi r) = \frac{-\lambda}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad \boxed{E(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r},\quad r>c\ \text{(aponta radialmente para dentro)}} $$

Numericamente, em $r=5\,\text{cm}$: $E = -\dfrac{3\times10^{-9}}{2\pi(8{,}854\times10^{-12})(0{,}05)} \approx -1{,}08\times10^{3}\,\text{N/C}$.

E7. Fora da esfera, $E(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, então $E(a) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}$. Queremos $E(r) = E(a)/4$:

$$ \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{1}{4}\cdot\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2} \quad\Rightarrow\quad r^2 = 4a^2 \quad\Rightarrow\quad r = 2a $$
$$ \boxed{r = 2a = 12\,\text{cm}} $$

(Faz sentido: como $E\propto 1/r^2$ fora da esfera, dobrar $r$ divide o campo por 4 — independe dos valores numéricos de $Q$ e $a$.)

E8. Não. $\Phi_E=0$ significa apenas que o fluxo líquido através de $S$ é zero, ou sequivalentemente que a carga líquida envolvida por $S$ é zero ($Q_{env}=0$). Isso não implica $\vec{E}=0$ em cada ponto de $S$ — apenas que, integrado sobre toda a superfície, as contribuições positivas e negativas se cancelam.

Contraexemplo explícito: duas cargas puntiformes iguais e opostas, $+q$ e $-q$, ambas dentro de uma superfície gaussiana esférica $S$. Então $Q_{env} = q + (-q) = 0$, logo $\Phi_E=0$. Porém $\vec{E}\neq 0$ em praticamente todo ponto de $S$ (o campo do dipolo é não nulo em quase todo o espaço) — apenas o fluxo total, somando entradas e saídas de linhas de campo, se anula.

$$ \boxed{\Phi_E=0 \Rightarrow Q_{env}=0,\ \text{mas isso \textbf{não} implica } \vec{E}=0 \text{ pontualmente em } S} $$

E9. Em coordenadas esféricas, para um campo puramente radial $\vec{E}=E_r(r)\hat r$:

$$ \nabla\cdot\vec{E} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 E_r\right) $$

Com $E_r = Ar$:

$$ \nabla\cdot\vec{E} = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(A r^3\right) = \frac{1}{r^2}(3Ar^2) = 3A $$

Pela Lei de Gauss na forma pontual, $\nabla\cdot\vec{E} = \rho/\varepsilon_0$:

$$ \boxed{\rho = 3\varepsilon_0 A} $$

Verificação de consistência: no caso da esfera uniforme (Seção “Esfera sólida uniformemente carregada”), $E(r) = \dfrac{\rho_0}{3\varepsilon_0}r$, ou seja $A=\rho_0/(3\varepsilon_0)$. Substituindo:

$$ \rho = 3\varepsilon_0\cdot\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0} = \rho_0 \checkmark $$

confirmando que a densidade recuperada é exatamente a densidade uniforme original — como deveria ser, já que $\rho$ é constante (não depende de $r$), consistente com o campo crescendo linearmente.

E10. Como não há carga livre na interface, a componente tangencial de $\vec{E}$ é contínua e $D_\perp$ é contínuo ($\varepsilon_1 E_{1\perp} = \varepsilon_2 E_{2\perp}$). Segue (Seção “Condições de contorno para $\vec{D}$ em interfaces dielétricas”):

$$ \tan\theta_2 = \frac{\varepsilon_{r2}}{\varepsilon_{r1}}\tan\theta_1 = \frac{5}{1}\tan(45°) = 5\times 1 = 5 $$
$$ \boxed{\theta_2 = \arctan(5) \approx 78{,}7°} $$

O campo se afasta ainda mais da normal ao entrar no meio de maior permissividade — consistente com a tendência discutida no exemplo ar-água da Seção “Condições de contorno para $\vec{D}$ em interfaces dielétricas”.

E11. Do resultado do disco (Seção “Disco carregado uniformemente no eixo”), com $z=R$:

$$ E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{|z|}{\sqrt{R^2+z^2}}\right) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{R}{\sqrt{2}R}\right) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$
$$ E_z = \frac{8\times10^{-9}}{2(8{,}854\times10^{-12})}(1-0{,}7071) \approx (451{,}9)(0{,}2929) $$
$$ \boxed{E_z \approx 132{,}4\,\text{N/C}\quad\text{(disco exato)}} $$

Aproximação por carga puntiforme: $Q = \sigma\pi R^2 = (8\times10^{-9})\pi(0{,}05)^2 \approx 6{,}28\times10^{-11}\,\text{C}$, e:

$$ E_{pontual} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 z^2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} = k\frac{6{,}28\times10^{-11}}{(0{,}05)^2} \approx 226{,}0\,\text{N/C} $$
$$ \boxed{E_{pontual}\approx 226{,}0\,\text{N/C}\quad(\text{erro de }\approx 71\%\text{ em relação ao valor exato})} $$

Em $z=R$ (não muito distante do disco, $z/R=1$), a aproximação de carga puntiforme falha significativamente — ela só é válida para $z\gg R$, como discutido na Seção “Disco carregado uniformemente no eixo”.

E12 (desafio). A carga está exatamente sobre o plano da borda; portanto, não se pode aplicar diretamente a Lei de Gauss à superfície fechada formada pelo hemisfério e pelo disco, pois a carga estaria sobre a fronteira, não no seu interior. A forma rigorosa de calcular o fluxo é usar o ângulo sólido subtendido pela superfície aberta:

$$ \Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\Omega. $$

Vista do centro de curvatura, a superfície curva do hemisfério cobre exatamente metade das direções do espaço: $\Omega=2\pi\,\text{sr}$. Assim,

$$ \boxed{\Phi_{\text{curva}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(2\pi)=\frac{q}{2\varepsilon_0}}. $$

O resultado é metade do fluxo associado a uma esfera completa. Como verificação geométrica, no disco da borda o campo é tangente ao plano, de modo que seu fluxo é nulo; isso é compatível com a decomposição por hemisférios, mas não autoriza tratar a carga sobre a fronteira como carga enclausurada na Lei de Gauss.

E13 (desafio). Seja $O$ o centro da esfera original (raio $a$) e $O'$ o centro da cavidade (raio $b$), com $\vec{d}$ o vetor de $O$ a $O'$. A distribuição real (esfera com cavidade) pode ser escrita, por superposição linear, como:

$$ \rho_{\text{real}}(\vec r) = \underbrace{\rho_0\ \text{(esfera cheia de raio }a\text{, centrada em }O\text{)}}_{\text{sistema 1}} \ +\ \underbrace{(-\rho_0)\ \text{(esfera cheia de raio }b\text{, centrada em }O'\text{)}}_{\text{sistema 2}} $$

pois a soma dessas duas distribuições cancela exatamente a densidade $\rho_0$ dentro da cavidade (sistema 2 tem densidade $-\rho_0$ ali) e reproduz $\rho_0$ no restante da esfera grande — igual à distribuição real.

Pelo princípio da superposição, $\vec E_{\text{real}} = \vec E_1 + \vec E_2$. Para um ponto dentro da cavidade (que está necessariamente dentro de ambas as esferas auxiliares, já que $b<a$ e a cavidade está contida na esfera grande), usamos o resultado da Seção “Esfera sólida uniformemente carregada” para o campo interno de uma esfera uniforme, aplicado a cada sistema com seu próprio centro:

$$ \vec E_1(\vec r) = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\,\vec r \qquad(\vec r \text{ medido a partir de } O) $$
$$ \vec E_2(\vec r\,') = \frac{-\rho_0}{3\varepsilon_0}\,\vec r\,' \qquad(\vec r\,' \text{ medido a partir de } O') $$

Como $\vec r = \vec r\,' + \vec d$ (relação geométrica entre os vetores posição medidos a partir de $O$ e de $O'$):

$$ \vec E_{\text{real}} = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\vec r - \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\vec r\,' = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}(\vec r - \vec r\,') = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\vec d $$

O vetor $\vec d$ é constante (não depende do ponto de observação dentro da cavidade) — logo o campo dentro da cavidade é uniforme:

$$ \boxed{\vec E_{\text{cavidade}} = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\,\vec d\qquad\text{(campo uniforme, independente da posição dentro da cavidade)}} $$

Este é um resultado notável: apesar da geometria complicada (esfera com um buraco descentralizado), o campo no interior do buraco é perfeitamente uniforme, com módulo proporcional apenas à distância $d$ entre os centros — e independente do raio $b$ da cavidade.

E14 (desafio). Um elemento de carga em posição $x$ (com $0\le x\le L$) tem $dq = \lambda(x)\,dx = \lambda_0\dfrac{x}{L}dx$. A distância desse elemento até o ponto $P$ (em $x=-d$) é $(x+d)$, e o campo que ele produz em $P$ aponta no sentido $-x$ (afastando-se da barra, supondo $\lambda_0>0$):

$$ dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{(x+d)^2} = \frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0 L}\frac{x\,dx}{(x+d)^2} $$

Integrando de $x=0$ a $x=L$:

$$ E = \frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0 L}\int_0^L \frac{x\,dx}{(x+d)^2} $$

Substituindo $u=x+d$ (logo $x=u-d$, $dx=du$), com limites $u:d\to L+d$:

$$ \int_0^L\frac{x\,dx}{(x+d)^2} = \int_d^{L+d}\frac{u-d}{u^2}\,du = \int_d^{L+d}\left(\frac{1}{u}-\frac{d}{u^2}\right)du = \left[\ln u + \frac{d}{u}\right]_d^{L+d} $$
$$ = \ln(L+d) + \frac{d}{L+d} - \ln d - 1 = \ln\!\left(\frac{L+d}{d}\right) + \frac{d}{L+d} - 1 $$

Portanto:

$$ \boxed{E = \frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0 L}\left[\ln\!\left(\frac{L+d}{d}\right) + \frac{d}{L+d} - 1\right]} $$

apontando no sentido $-x$ (afastando-se da barra, para $\lambda_0>0$).

Verificação numérica com $L=0{,}5\,\text{m}$, $\lambda_0 = 6\,\text{nC/m}$, $d=0{,}2\,\text{m}$: o colchete vale $\ln(3{,}5)+0{,}2/0{,}7-1 = 1{,}2528+0{,}2857-1=0{,}5385$, e:

$$ E = \frac{(8{,}99\times10^9)(6\times10^{-9})}{0{,}5}(0{,}5385) \approx 58{,}1\,\text{N/C} $$

valor confirmado por integração numérica direta. Note que a carga total da barra é $Q=\int_0^L\lambda_0\frac{x}{L}dx = \dfrac{\lambda_0 L}{2}$ — metade do que teria uma barra uniforme com densidade $\lambda_0$, resultado consistente com a densidade crescendo linearmente de $0$ a $\lambda_0$.

E15. A força elétrica sobre o próton ($q=+e=1{,}602\times10^{-19}\,\text{C}$) é:

$$ \vec F_E = q\vec E = (1{,}602\times10^{-19})(0,0,-2\times10^4)\,\text{N} $$
$$ \boxed{\vec F_E = (0,\,0,\,-3{,}20\times10^{-15})\,\text{N}\quad\text{(aponta no sentido }-z\text{, mesmo sentido de }\vec E\text{, pois a carga é positiva)}} $$

O peso do próton ($m_p \approx 1{,}673\times10^{-27}\,\text{kg}$, $g\approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$) é:

$$ P = m_p g \approx (1{,}673\times10^{-27})(9{,}8) \approx 1{,}64\times10^{-26}\,\text{N} $$
$$ \boxed{\frac{F_E}{P} = \frac{3{,}20\times10^{-15}}{1{,}64\times10^{-26}} \approx 2\times10^{11}} $$

A força elétrica domina o peso por cerca de 11 ordens de grandeza — ilustrando por que efeitos gravitacionais são sistematicamente desprezados em problemas de eletrostática envolvendo partículas subatômicas.