3. Potencial Elétrico, Energia e Dipolo Elétrico

Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Energia Potencial Elétrica · Gradiente do Potencial Elétrico · Equação de Poisson · Energia Armazenada no Campo Elétrico · Dipolo Elétrico

3.1 Objetivos de Aprendizagem

Ao final deste capítulo, você será capaz de:

[ ] Calcular o trabalho e a energia potencial elétrica em campos eletrostáticos.
[ ] Relacionar o campo elétrico ao potencial através da relação $\vec E = -\nabla V$.
[ ] Resolver a equação de Poisson e Laplace para distribuições de carga.
[ ] Calcular a energia armazenada no campo elétrico.
[ ] Analisar dipolos elétricos: potencial, campo, torque e energia em campos externos.

3.2 Intuição Física: Por que Potencial Elétrico?

O potencial elétrico $V$ é uma ferramenta matemática poderosa porque:

É um escalar, muito mais fácil de calcular do que o campo vetorial $\vec E$.
Uma vez conhecido $V$, o campo é obtido por derivada: $\vec E = -\nabla V$.
A diferença de potencial (tensão) é o que "impulsiona" correntes em circuitos elétricos.
O potencial é análogo à "altitude" em um campo gravitacional: cargas positivas "caem" de potencial alto para baixo, como objetos caem de alta para baixa altitude.

3.3 Aplicações no Mundo Real

Conceito	Aplicação Prática
Potencial elétrico	Tensão em circuitos eletrônicos e distribuição de energia
Equação de Poisson/Laplace	Projeto de capacitores, eletrodos e blindagem eletromagnética
Energia no campo elétrico	Armazenamento de energia em capacitores e supercapacitores
Dipolo elétrico	Moléculas polares (água), antenas dipolo, ressonância magnética
Expansão multipolar	Simulação de campos em sistemas complexos (geofísica, astrofísica)

3.4 Antes de começar

Ao final, você deve relacionar trabalho, potencial e campo, usar Poisson/Laplace, calcular energia eletrostática e reconhecer os limites da aproximação de dipolo. Diagnóstico: potencial nulo em um ponto garante campo nulo nesse ponto? Evidência mínima: derivar $\vec E=-\nabla V$, comparar potencial exato e aproximado e conferir sinais de energia de dipolos.

3.5 Trabalho e Energia Potencial Elétrica

3.5.1 O campo eletrostático é conservativo

O trabalho realizado pela força elétrica ao mover uma carga de teste $q_0$ de um ponto $A$ até $B$ é:

W_{A\to B} = \int_A^B \vec{F}\cdot d\vec{\ell} = q_0\int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{\ell}

Para uma carga puntiforme fonte $q$ na origem, com $\vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat{r}$, escolhendo um caminho radial (o resultado independe do caminho, como se mostra a seguir):

W_{A\to B} = \frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0}\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{r^2} = \frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right)

O resultado depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho percorrido — a marca registrada de uma força conservativa. Isso decorre matematicamente do fato de que $\vec{E}$ de uma carga puntiforme é irrotacional:

\nabla\times\vec{E} = 0

(pode-se verificar isso diretamente calculando o rotacional de $\hat{r}/r^2$ em coordenadas esféricas, ou reconhecer que qualquer campo puramente radial com dependência apenas de $r$ tem rotacional nulo). Por superposição, o campo de qualquer distribuição estática de cargas também é irrotacional — propriedade que caracteriza a eletrostática frente à eletrodinâmica geral (onde $\nabla\times\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t \neq 0$, Lei de Faraday).

3.5.2 Energia potencial elétrica

Como a força é conservativa, define-se a energia potencial elétrica $U$ tal que $W_{A\to B} = -(U_B - U_A) = U_A - U_B$. Comparando com o resultado acima:

U(r) = \frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0 r} + \text{const.}

Convencionalmente, toma-se $U\to 0$ quando $r\to\infty$, eliminando a constante:

U(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qq_0}{r}

3.6 O Potencial Elétrico e o Gradiente

3.6.1 Definição

Assim como o campo elétrico é a força por unidade de carga, o potencial elétrico $V$ é a energia potencial por unidade de carga:

V(\vec{r}) \equiv \frac{U(\vec{r})}{q_0} = -\int_{\text{ref}}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}

Para uma carga puntiforme (com referência no infinito):

V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}

Por superposição, para uma distribuição contínua:

V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{V'}\frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\,dV'

Note que $V$ é um escalar — em geral muito mais simples de calcular que $\vec{E}$ (vetor), o que faz do potencial uma ferramenta intermediária poderosa.

3.6.2 Relação campo–potencial: o gradiente

Da definição $V(\vec{r}) = -\int_{\text{ref}}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}$, a variação infinitesimal de $V$ ao longo de um deslocamento $d\vec{\ell}$ é:

dV = -\vec{E}\cdot d\vec{\ell}

Mas, por definição de gradiente, $dV = \nabla V\cdot d\vec{\ell}$ para qualquer deslocamento $d\vec{\ell}$. Como isso vale para qualquer direção de $d\vec{\ell}$, conclui-se:

\boxed{\vec{E} = -\nabla V}

Em coordenadas cartesianas:

\vec{E} = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial V}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial V}{\partial z}\hat{z}\right)

Verificação de consistência: como $\nabla\times(\nabla V) \equiv 0$ para qualquer função escalar $V$ (identidade vetorial), a relação $\vec{E}=-\nabla V$ automaticamente garante $\nabla\times\vec{E}=0$, coerente com a Seção “O campo eletrostático é conservativo”.

3.7 Equação de Poisson e de Laplace

3.7.1 Dedução

Partindo da Lei de Gauss na forma pontual (arquivo anterior):

\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

e substituindo $\vec{E} = -\nabla V$:

\nabla\cdot(-\nabla V) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

\boxed{\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}}\qquad\text{(Equação de Poisson)}

onde $\nabla^2 = \nabla\cdot\nabla$ é o operador laplaciano, que em cartesianas é:

\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}

Em regiões sem carga livre ($\rho=0$), a equação se reduz à Equação de Laplace:

\boxed{\nabla^2 V = 0}

3.7.2 Por que essas equações são centrais

A Equação de Poisson/Laplace transforma um problema de eletrostática (encontrar $\vec{E}$ dada $\rho$) em um problema de valor de contorno para uma EDP escalar de segunda ordem. Com dados de Dirichlet adequados, $V$ é único. Com dados puramente de Neumann, a solução — quando existe — é única até uma constante aditiva, que não altera $\vec E=-\nabla V$; além disso, fonte e fluxo normal prescrito devem satisfazer a condição de compatibilidade obtida ao integrar Poisson e aplicar Gauss. Isso justifica métodos como separação de variáveis, funções de Green e imagens, sem esconder as condições de existência.

3.8 Expansão multipolar

3.8.1 Expansão da integral de Poisson — monopolo e dipolo

A solução da equação de Poisson pode ser escrita como:

V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{V'}\frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\,dV'

Quando o ponto de observação está longe da distribuição de carga ($r\gg r'$), podemos expandir $\dfrac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$ em série de Taylor. Usando a identidade:

\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|} = \frac{1}{r} + \vec{r}'\cdot\nabla\left(\frac{1}{r}\right) + \frac{1}{2}\sum_{i,j}x_i'x_j'\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}\left(\frac{1}{r}\right) + \cdots

Com $\nabla\left(\dfrac{1}{r}\right) = -\dfrac{\hat{r}}{r^2}$ e $\dfrac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}\left(\dfrac{1}{r}\right) = \dfrac{3x_ix_j-r^2\delta_{ij}}{r^5}$, obtemos:

\boxed{\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|} = \frac{1}{r} + \frac{\vec{r}\cdot\vec{r}'}{r^3} + \frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{3x_ix_j-r^2\delta_{ij}}{r^5}\,x_i'x_j' + \cdots}

Substituindo na integral de Poisson, cada termo gera uma contribuição diferente:

Termo monopolo ($1/r$):

V_{\text{mono}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}\int\rho(\vec{r}')\,dV' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_{\text{total}}}{r}

É o potencial de uma carga puntiforme total — domina a grandes distâncias se $Q_{\text{total}}\neq0$.

Termo dipolo ($\vec{r}\cdot\vec{r}'/r^3$):

V_{\text{dip}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^3}\int\rho(\vec{r}')\,\vec{r}\cdot\vec{r}'\,dV' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}\cdot\hat{r}}{r^2}

com $\vec{p} = \displaystyle\int \vec{r}'\,\rho(\vec{r}')\,dV'$ — o momento de dipolo da distribuição. Este termo domina quando a carga total é zero (ou próxima de zero).

Termo quadrupolo:

V_{\text{quad}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{2r^5}\sum_{i,j}Q_{ij}\,x_ix_j

com o tensor de quadrupolo $Q_{ij} = \displaystyle\int\left(3x_i'x_j'-r'^2\delta_{ij}\right)\rho(\vec{r}')\,dV'$.

Regra geral: cada termo multipolar adicional cai mais rápido ($1/r^{\ell+1}$), de modo que a grande distância, apenas o primeiro termo não-nulo é relevante.

3.8.2 Solução numérica por relaxação (diferenças finitas)

Discretizando o laplaciano 2D em uma malha regular de espaçamento $h$:

\nabla^2 V \approx \frac{V_{i+1,j}+V_{i-1,j}+V_{i,j+1}+V_{i,j-1}-4V_{i,j}}{h^2}

Impondo $\nabla^2 V = 0$ (região sem carga), obtém-se a regra da média:

V_{i,j} = \frac{1}{4}\left(V_{i+1,j}+V_{i-1,j}+V_{i,j+1}+V_{i,j-1}\right)

que é a base do método de relaxação de Jacobi/Gauss-Seidel: cada ponto converge para a média de seus vizinhos, sujeito às condições de contorno fixas.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def resolver_laplace_2d(N=100, iters=6000, V_top=100.0, V_bottom=-100.0,
                          V_left=0.0, V_right=0.0):
    """Resolve Laplace em uma caixa quadrada com condições de Dirichlet."""
    V = np.zeros((N, N))
    V[0, :]  = V_top
    V[-1, :] = V_bottom
    V[:, 0]  = V_left
    V[:, -1] = V_right
    for _ in range(iters):
        V_new = V.copy()
        V_new[1:-1,1:-1] = 0.25*(V[2:,1:-1]+V[:-2,1:-1]+V[1:-1,2:]+V[1:-1,:-2])
        V_new[0,:], V_new[-1,:] = V_top, V_bottom
        V_new[:,0], V_new[:,-1] = V_left, V_right
        V = V_new
    return V

V = resolver_laplace_2d()
Ey, Ex = np.gradient(-V)     # E = -grad(V); np.gradient devolve (d/d_linha, d/d_coluna)

fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(11,5))
c = axs[0].imshow(V, cmap='RdBu_r')
axs[0].set_title('Potencial V (relaxação numérica)')
plt.colorbar(c, ax=axs[0])
axs[1].streamplot(np.arange(V.shape[1]), np.arange(V.shape[0]), Ex, Ey,
                   color='k', density=1.2)
axs[1].set_title('Campo E = -∇V (derivado numericamente)')
axs[1].invert_yaxis()
plt.tight_layout()

3.9 Energia Armazenada no Campo Elétrico

3.9.1 Energia para montar uma distribuição de cargas

Considere trazer cargas do infinito, uma a uma, para montar uma distribuição final. A energia total é o trabalho necessário para isso. Para $N$ cargas puntiformes, o resultado (bem conhecido) é:

U = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N q_i V_i

onde $V_i$ é o potencial no local da carga $i$ devido a todas as outras cargas. O fator $\frac12$ evita contar cada par de cargas duas vezes.

Para uma distribuição contínua suficientemente regular, a soma vira integral:

U = \frac{1}{2}\int_V \rho(\vec{r})\,V(\vec{r})\,dV.

Para cargas puntiformes, $V_i$ na soma exclui o potencial da própria carga. Já a integral de $E^2$ inclui a autoenergia, que diverge no modelo clássico de ponto. Portanto, a equivalência abaixo vale diretamente para distribuições contínuas de energia finita; para pontos, deve-se remover/regularizar as autoenergias antes de comparar apenas a energia de interação.

3.9.2 Reescrevendo em termos do campo

Usando $\rho = \varepsilon_0\nabla\cdot\vec{E}$ (Lei de Gauss pontual):

U = \frac{\varepsilon_0}{2}\int_V (\nabla\cdot\vec{E})\,V\,dV

Usa-se a identidade vetorial $\nabla\cdot(V\vec{E}) = V(\nabla\cdot\vec{E}) + \vec{E}\cdot\nabla V$, isto é, $(\nabla\cdot\vec{E})V = \nabla\cdot(V\vec{E}) - \vec{E}\cdot\nabla V$:

U = \frac{\varepsilon_0}{2}\int_V \nabla\cdot(V\vec{E})\,dV - \frac{\varepsilon_0}{2}\int_V \vec{E}\cdot\nabla V\,dV

Aplicando o Teorema do Divergente ao primeiro termo (convertendo em integral de superfície) e usando $\nabla V = -\vec{E}$ no segundo:

U = \frac{\varepsilon_0}{2}\oint_S V\vec{E}\cdot d\vec{A} + \frac{\varepsilon_0}{2}\int_V E^2\,dV

Se estendermos $V$ (o volume de integração) para todo o espaço, a integral de superfície é avaliada no infinito, onde $V\to 1/r$ e $E\to 1/r^2$, enquanto a área cresce como $r^2$ — o integrando cai como $1/r$ e a integral de superfície se anula quando $r\to\infty$. Resta:

\boxed{U = \frac{\varepsilon_0}{2}\int_{\text{todo espaço}} E^2\,dV = \int_{\text{todo espaço}} u_E\,dV,\qquad u_E \equiv \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2}

3.9.3 Interpretação física: energia "no campo"

Essa reformulação é conceitualmente profunda: em vez de atribuir a energia às cargas (integral sobre $\rho V$, restrita às regiões com carga), pode-se atribuí-la ao campo (integral sobre $E^2$, estendida a todo o espaço, mesmo onde não há carga). Essa segunda visão é a que sobrevive na eletrodinâmica geral e nas ondas eletromagnéticas: um campo de radiação transporta energia através do espaço vazio, longe de qualquer carga — algo inexplicável na primeira visão, mas natural na densidade de energia $u_E = \frac12\varepsilon_0 E^2$ (que reaparecerá, com um termo magnético análogo, na Parte 2 da apostila).

3.10 Dipolo Elétrico

3.10.1 Definição e momento de dipolo

Um dipolo elétrico é o sistema de duas cargas puntiformes $+q$ e $-q$ separadas por um vetor deslocamento $\vec{d}$ (apontando da carga negativa para a positiva). Define-se o momento de dipolo:

\vec{p} \equiv q\,\vec{d}

3.10.2 Dedução do potencial em campo distante

Coloque $+q$ em $\vec{d}/2$ e $-q$ em $-\vec{d}/2$. O potencial em um ponto $\vec{r}$ (com $r\gg d$):

V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r_+}-\frac{q}{r_-}\right)

onde $r_\pm = |\vec{r}\mp\vec{d}/2|$. Expandindo $r_\pm$ em série para $d\ll r$, usando lei dos cossenos com $\theta$ o ângulo entre $\vec{r}$ e $\vec{d}$:

r_\pm^2 = r^2 \mp rd\cos\theta + \frac{d^2}{4} \approx r^2\left(1\mp\frac{d}{r}\cos\theta\right)

\frac{1}{r_\pm} \approx \frac{1}{r}\left(1\mp\frac{d}{r}\cos\theta\right)^{-1/2} \approx \frac{1}{r}\left(1\pm\frac{d\cos\theta}{2r}\right)

Logo:

\frac{1}{r_+}-\frac{1}{r_-} \approx \frac{d\cos\theta}{r^2}

\boxed{V(r,\theta) \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qd\cos\theta}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}\cdot\hat{r}}{r^2}}

Note a queda com $1/r^2$ (mais rápida que $1/r$ da carga puntiforme) — reflexo do cancelamento parcial entre as cargas opostas a grandes distâncias.

3.10.3 Campo elétrico do dipolo

Aplicando $\vec{E} = -\nabla V$ em coordenadas esféricas ($\nabla = \hat{r}\partial_r + \hat\theta\frac{1}{r}\partial_\theta$, sem dependência em $\phi$ por simetria azimutal):

E_r = -\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}, \qquad E_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta} = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}

\boxed{\vec{E}(r,\theta) = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left(2\cos\theta\,\hat{r}+\sin\theta\,\hat\theta\right)}

O campo cai como $1/r^3$ — mais rápido ainda que o potencial, como esperado (o campo é derivada do potencial).

3.10.4 Torque e energia em um campo externo

Em um campo externo uniforme $\vec{E}_{ext}$, a força líquida sobre o dipolo é nula (as forças em $+q$ e $-q$ se cancelam), mas há um torque líquido, pois as forças atuam em pontos diferentes:

\vec{\tau} = \left(\frac{\vec{d}}{2}\right)\times(q\vec{E}_{ext}) + \left(-\frac{\vec{d}}{2}\right)\times(-q\vec{E}_{ext}) = q\vec{d}\times\vec{E}_{ext}

\boxed{\vec{\tau} = \vec{p}\times\vec{E}_{ext}}

Esse torque tende a alinhar $\vec{p}$ com $\vec{E}_{ext}$. A energia potencial associada (trabalho para girar o dipolo de uma orientação de referência perpendicular a $\vec{E}_{ext}$) é:

\boxed{U = -\vec{p}\cdot\vec{E}_{ext}}

mínima (mais estável) quando $\vec{p}$ está paralelo a $\vec{E}_{ext}$ — princípio por trás da polarização de dielétricos (próximo arquivo) e de fenômenos como a ressonância magnética/elétrica em moléculas polares.

3.10.5 Exemplo Resolvido Passo a Passo: Torque e Energia de um Dipolo em Campo Externo

Problema: Um dipolo elétrico com momento $p = 5\times10^{-29}\,\text{C}\cdot\text{m}$ é colocado em um campo elétrico externo uniforme $E_{ext} = 10^6\,\text{V/m}$. Determine: (a) o torque sobre o dipolo quando ele faz um ângulo $\theta = 60°$ com o campo; (b) o trabalho necessário para girar o dipolo da posição $\theta = 60°$ para $\theta = 0°$ (paralelo ao campo);

Passo 1: Calcular o torque $\tau$ para $\theta = 60°$.
O torque sobre um dipolo em um campo externo é dado por:

\vec{\tau} = \vec{p}\times\vec{E}_{ext}

O módulo do torque é:

\tau = pE_{ext}\sin\theta

Substituindo os valores:

\tau = (5\times10^{-29}\,\text{C}\cdot\text{m})(10^6\,\text{V/m})\sin(60°)

Como $\sin(60°) = \sqrt{3}/2 \approx 0{,}866$:

\tau = (5\times10^{-29})(10^6)(0{,}866) = 4{,}33\times10^{-23}\,\text{N}\cdot\text{m}

Resposta (a): $\boxed{\tau \approx 4{,}33\times10^{-23}\,\text{N}\cdot\text{m}}$

Passo 2: Calcular o trabalho para girar de $\theta = 60°$ para $\theta = 0°$.
A energia potencial de um dipolo em um campo externo é:

U(\theta) = -\vec{p}\cdot\vec{E}_{ext} = -pE_{ext}\cos\theta

O trabalho realizado por um agente externo para girar o dipolo quase-estaticamente de $\theta_i$ para $\theta_f$ é:

W_{ext} = U(\theta_f) - U(\theta_i)

Para $\theta_i = 60°$ e $\theta_f = 0°$:

U(60°) = -pE_{ext}\cos(60°) = -(5\times10^{-29})(10^6)(0{,}5) = -2{,}5\times10^{-23}\,\text{J}

U(0°) = -pE_{ext}\cos(0°) = -(5\times10^{-29})(10^6)(1) = -5{,}0\times10^{-23}\,\text{J}

O trabalho externo é:

W_{ext} = U(0°) - U(60°) = (-5{,}0\times10^{-23}) - (-2{,}5\times10^{-23}) = -2{,}5\times10^{-23}\,\text{J}

O sinal negativo indica que o campo elétrico realiza trabalho positivo sobre o dipolo enquanto ele gira espontaneamente para o alinhamento; o agente externo precisa apenas "segurar" o dipolo para que o processo seja quase-estático, realizando trabalho negativo.

Resposta (b): $\boxed{W_{ext} = -2{,}5\times10^{-23}\,\text{J}}$

3.10.6 Dipolo em campo não-uniforme: força líquida

No caso de campo não-uniforme, as forças em $+q$ e $-q$ não se cancelam perfeitamente. Para um dipolo pequeno $\vec{p}$ em um campo externo $\vec{E}_{ext}$:

A força sobre $+q$ (na posição $\vec{r}+\vec{d}/2$):

\vec{F}_+ = q\,\vec{E}_{ext}\left(\vec{r}+\frac{\vec{d}}{2}\right)

A força sobre $-q$ (na posição $\vec{r}-\vec{d}/2$):

\vec{F}_- = -q\,\vec{E}_{ext}\left(\vec{r}-\frac{\vec{d}}{2}\right)

Força líquida (expandindo em série de Taylor, mantendo apenas o termo linear):

\vec{F} = \vec{F}_+ + \vec{F}_- \approx q\left[\vec{E}_{ext}(\vec{r}) + \left(\frac{\vec{d}}{2}\cdot\nabla\right)\vec{E}_{ext}\right] - q\left[\vec{E}_{ext}(\vec{r}) - \left(\frac{\vec{d}}{2}\cdot\nabla\right)\vec{E}_{ext}\right] = q(\vec{d}\cdot\nabla)\vec{E}_{ext}

\boxed{\vec{F} = (\vec{p}\cdot\nabla)\vec{E}_{ext}}

Em componente:

F_i = p_j\,\frac{\partial E_j}{\partial x_i}

F_z = p\,\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 z^2}\right) = -\frac{2pq}{4\pi\varepsilon_0 z^3}

A força é atrativa (negativa) para $p,q$ do mesmo sinal — o dipolo é puxado em direção à carga, pois o campo é mais forte do lado da carga oposta ao dipolo.

3.10.7 Energia de interação entre dois dipolos

A energia potencial de um dipolo $\vec{p}_1$ no campo de outro dipolo $\vec{p}_2$ (na posição $\vec{r}$, com $r\gg d_1,d_2$):

U = -\vec{p}_1\cdot\vec{E}_2(\vec{r}) = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}_1\cdot\left[3(\vec{p}_2\cdot\hat{r})\hat{r}-\vec{p}_2\right]}{r^3}

\boxed{U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}_1\cdot\vec{p}_2 - 3(\vec{p}_1\cdot\hat{r})(\vec{p}_2\cdot\hat{r})}{r^3}}

Esta expressão mostra que a interação entre dipolos é anisotrópica e de longo alcance ($1/r^3$ para o potencial, $1/r^4$ para a força).

Casos especiais:

Dois dipolos paralelos e alinhados com a linha que os separa ($\vec{p}_1\parallel\vec{p}_2\parallel\hat{r}$): $U = -\dfrac{2p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$ — atrativa (configuração "cabeça-cauda": o polo positivo de um fica próximo do polo negativo do outro).
Dois dipolos paralelos e perpendiculares a $\hat{r}$: $U = \dfrac{p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$ — repulsiva (configuração "lado a lado": polos de mesmo sinal ficam mais próximos entre si).
Dois dipolos perpendiculares entre si e a $\hat{r}$: $U=0$ — nenhuma interação de primeira ordem.

Este resultado é fundamental para entender forças intermoleculares (forças de van der Waals), onde dipolos induzidos e permanentes interagem.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = y = np.linspace(-3, 3, 180); X, Y = np.meshgrid(x, y)
def campo(q, x0):
    dx, r2 = X-x0, (X-x0)**2 + Y**2 + .02
    return q*dx/r2**1.5, q*Y/r2**1.5
Ep = campo(1, -1); En = campo(-1, 1)
Ex, Ey = Ep[0]+En[0], Ep[1]+En[1]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 5))
ax.streamplot(x, y, Ex, Ey, density=1.45, color=np.log1p(np.hypot(Ex,Ey)), cmap="viridis")
ax.scatter([-1,1],[0,0],s=140,c=["#dc2626","#2563eb"],zorder=3)
ax.text(-1.12,.15,"+Q"); ax.text(.9,.15,"−Q"); ax.set_aspect("equal")
ax.set(title="Linhas de campo de um dipolo elétrico", xlabel="$x$", ylabel="$y$")
plt.tight_layout()

3.11 Exercícios Resolvidos em Python

3.11.1 Roteiro computacional

Objetivo. Comparar potenciais exatos e expansões multipolares, verificar $\vec E=-\nabla V$ e calcular energias de interação.

Como executar. Requer numpy e matplotlib. Para cada aproximação, registre $r/d$ e o erro relativo; isso explicita o domínio de validade.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

eps0 = 8.854e-12
k = 1/(4*np.pi*eps0)

# === Seção “Expansão multipolar”: Expansão multipolar ===
def potencial_monopolo(r, Q):
    """Potencial do termo monopolo (carga total)."""
    return k * Q / r

def potencial_dipolo(r, theta, p):
    """Potencial do termo dipolo."""
    return k * p * np.cos(theta) / r**2

def potencial_quadrupolo(z, Qzz):
    """Potencial do termo quadrupolo (componente Qzz, no eixo z)."""
    return k * Qzz / (2 * z**3)

# Distribuição de 4 cargas: +q,-q,+q,-q em um quadrado 2x2 (quadrupolo puro)
def potencial_quadrupolo_exato(x, y, q, a):
    """Potencial exato de 4 cargas nos vértices de um quadrado."""
    V = 0
    pos_charges = [(a,a,q), (-a,a,-q), (a,-a,-q), (-a,-a,q)]
    for sx, sy, qc in pos_charges:
        r = np.sqrt((x-sx)**2 + (y-sy)**2)
        V += k*qc/r
    return V

# Verificação: dipolo de cargas +q/-q ao longo de z, observado no próprio eixo
def potencial_dipolo_exato_eixo(z, q, d):
    """Potencial exato de um dipolo centrado na origem e orientado em z."""
    V_plus = k*q/np.sqrt((z-d/2)**2)
    V_minus = -k*q/np.sqrt((z+d/2)**2)
    return V_plus + V_minus

q, d = 1e-9, 0.01  # dipolo com momento p=q*d
z = 1.0  # z >> d
p = q*d
V_exato = potencial_dipolo_exato_eixo(z, q, d)
V_aprox_dipolo = potencial_dipolo(z, 0, p)  # theta=0 no eixo: cos(theta)=1
print(f"Potencial exato (2 cargas no eixo z): {V_exato:.6e} V")
print(f"Potencial dipolo (no eixo): {V_aprox_dipolo:.6e} V")
print(f"Erro relativo da aproximação: {abs(V_aprox_dipolo/V_exato-1):.3e}")

# === Seção “Energia Armazenada no Campo Elétrico”: Energia armazenada ===
def energia_cargas_pontuais(charges, positions):
    """Energia potencial de um sistema de cargas puntiformes."""
    U = 0.0
    n = len(charges)
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            r_ij = np.sqrt(sum((positions[i][k]-positions[j][k])**2 for k in range(2)))
            U += k * charges[i] * charges[j] / r_ij
    return U

# 3 cargas: +q, +q, -q em triângulo equilátero de lado a
a = 1e-2
charges = [1e-9, 1e-9, -1e-9]
positions = [(0,0), (a,0), (a/2, a*np.sqrt(3)/2)]
U = energia_cargas_pontuais(charges, positions)
print(f"\nEnergia do sistema de 3 cargas: {U:.6e} J")

# === Seção “Dipolo Elétrico”: Dipolo ===
def campo_dipolo(r, theta, p):
    Er = 2*k*p*np.cos(theta)/r**3
    Etheta = k*p*np.sin(theta)/r**3
    return Er, Etheta

def potencial_exato_2cargas(x, y, q, d):
    r_mais = np.sqrt(x**2 + (y - d/2)**2)
    r_menos = np.sqrt(x**2 + (y + d/2)**2)
    return k*q*(1/r_mais - 1/r_menos)

# Comparação numérica: aproximação de dipolo vs. cálculo exato
q, d = 1e-9, 1e-3
p = q*d
theta = np.deg2rad(30)
r = 2.0

V_aprox = potencial_dipolo(r, theta, p)
x, y = r*np.sin(theta), r*np.cos(theta)
V_exato = potencial_exato_2cargas(x, y, q, d)

print(f"\nV aproximado (dipolo ideal): {V_aprox:.6e} V")
print(f"V exato (duas cargas):       {V_exato:.6e} V")
print(f"Erro relativo: {abs(V_aprox-V_exato)/abs(V_exato):.4%}")

# Verificação numérica de E = -grad(V) por diferenças finitas
def V_dipolo_cartesiano(x, y, p):
    r = np.sqrt(x**2+y**2)
    theta = np.arctan2(x, y)
    return k*p*np.cos(theta)/r**2

h = 1e-6
x0, y0 = 0.5, 0.8
dVdx = (V_dipolo_cartesiano(x0+h,y0,p) - V_dipolo_cartesiano(x0-h,y0,p))/(2*h)
dVdy = (V_dipolo_cartesiano(x0,y0+h,p) - V_dipolo_cartesiano(x0,y0-h,p))/(2*h)
print(f"E_x numérico = {-dVdx:.4e}, E_y numérico = {-dVdy:.4e}")

# === Seção “Dipolo em campo não-uniforme: força líquida”: Dipolo em campo não-uniforme ===
def força_dipolo_nao_uniforme(p, q, z):
    """Força sobre um dipolo p em campo de carga q no eixo z."""
    F = -2*p*q/(4*np.pi*eps0*z**3)
    return F

p, q, z = 1e-12, 1e-9, 0.01
F = força_dipolo_nao_uniforme(p, q, z)
print(f"\nForça sobre dipolo em campo não-uniforme: {F:.6e} N")

# === Seção “Energia de interação entre dois dipolos”: Energia entre dois dipolos ===
def energia_dois_dipolos(p1, p2, r, theta1, theta2, phi_diff):
    """
    Energia entre dois dipolos.
    theta1, theta2: ângulos com a linha que os separa
    phi_diff: diferença de ângulo azimutal
    """
    cos_theta1 = np.cos(theta1)
    cos_theta2 = np.cos(theta2)
    cos_phi = np.cos(phi_diff)
    # Forma simplificada para dipolos no plano xz
    p1_vec = p1 * np.array([np.sin(theta1), 0, np.cos(theta1)])
    p2_vec = p2 * np.array([np.sin(theta2)*np.cos(phi_diff),
                            np.sin(theta2)*np.sin(phi_diff),
                            np.cos(theta2)])
    r_hat = np.array([0, 0, 1])
    U = k * (np.dot(p1_vec, p2_vec) - 3*np.dot(p1_vec, r_hat)*np.dot(p2_vec, r_hat)) / r**3
    return U

# Paralelos e alinhados com a separação (atrativos)
U_atr = energia_dois_dipolos(1e-12, 1e-12, 0.01, 0, 0, 0)
# Paralelos e perpendiculares à separação (repulsivos)
U_rep = energia_dois_dipolos(1e-12, 1e-12, 0.01, np.pi/2, np.pi/2, 0)
print(f"Energia (paralelos, alinhados): {U_atr:.6e} J")
print(f"Energia (paralelos, perpendiculares): {U_rep:.6e} J")
print(f"Sinal oposto = atração vs repulsão ✓")

# === Visualização: linhas de campo e equipotenciais do dipolo ===
theta_plot = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
r_plot = np.linspace(0.1, 3, 50)
Theta, R = np.meshgrid(theta_plot, r_plot)
X = R * np.sin(Theta)
Y = R * np.cos(Theta)

V_plot = np.zeros_like(X)
for i in range(len(X)):
    for j in range(len(X[i])):
        r = np.sqrt(X[i,j]**2+Y[i,j]**2)
        if r > 0.01:
            theta = np.arctan2(X[i,j], Y[i,j])
            V_plot[i,j] = k*p*np.cos(theta)/r**2

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12,5))
contour = ax1.contour(X, Y, V_plot, levels=20, cmap='RdBu_r')
ax1.set_aspect('equal')
ax1.set_title('Equipotenciais do dipolo')
plt.colorbar(contour, ax=ax1)

# Campo E no plano
x_field = y_field = np.linspace(-3, 3, 180)
X_field, Y_field = np.meshgrid(x_field, y_field)
R_field = np.hypot(X_field, Y_field)
Theta_field = np.arctan2(X_field, Y_field)
er, etheta = campo_dipolo(R_field, Theta_field, p)
Ex = er*np.sin(Theta_field) + etheta*np.cos(Theta_field)
Ey = er*np.cos(Theta_field) - etheta*np.sin(Theta_field)
ax2.streamplot(x_field, y_field, Ex, Ey, color='b', density=1.5)
ax2.set_aspect('equal')
ax2.set_title('Campo elétrico do dipolo')
ax2.set_xlabel('x')
ax2.set_ylabel('y')
plt.tight_layout()

Output:

Potencial exato (2 cargas no eixo z): 8.987967e-02 V
Potencial dipolo (no eixo): 8.987742e-02 V
Erro relativo da aproximação: 2.500e-05

Energia do sistema de 3 cargas: -8.987742e-07 J

V aproximado (dipolo ideal): 1.945903e-03 V
V exato (duas cargas):       1.945903e-03 V
Erro relativo: 0.0000%
E_x numérico = 1.4433e-02, E_y numérico = 1.2388e-02

Força sobre dipolo em campo não-uniforme: -1.797548e-05 N
Energia (paralelos, alinhados): -1.797548e-08 J
Energia (paralelos, perpendiculares): 8.987742e-09 J
Sinal oposto = atração vs repulsão ✓

Expansão multipolar: o termo monopolo domina a grande distância se $Q\neq0$; o dipolo domina se $Q=0$; o quadrupolo se $Q=p=0$, etc.
Energia de cargas: o fator $\tfrac{1}{2}$ evita dupla contagem de pares.
Dipolo: aproximação de campo distante converge conforme $r\gg d$.
Dipolo não-uniforme: força $\propto 1/z^3$, atrativa.
Energia entre dipolos: a configuração alinhada é atrativa e a paralela perpendicular à separação é repulsiva, consistente com a física qualitativa.
Visualização: linhas de campo emanam do polo positivo e terminam no negativo; equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo.

3.12 Resumo do Capítulo

3.12.1 Fórmulas-Chave

Conceito	Fórmula	Aplicações
Trabalho e energia potencial	$W_{A\to B} = -\Delta U = U_A - U_B$	Movimento de cargas em campos
Potencial elétrico	$V(\vec{r}) = -\int_{\text{ref}}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}$	Escalar mais fácil de calcular que $\vec E$
Campo-potencial	$\vec{E} = -\nabla V$	Recupera campo a partir do potencial
Equação de Poisson	$\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0$	Potencial com distribuição de carga
Equação de Laplace	$\nabla^2 V = 0$	Potencial sem carga livre
Energia no campo	$U = \dfrac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV$	Densidade de energia $u_E = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$
Potencial de dipolo	$V_{\text{dip}} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec{p}\cdot\hat{r}}{r^2}$	Campo distante de dipolo
Campo de dipolo	$\vec{E}_{\text{dip}} = \dfrac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}(2\cos\theta\,\hat{r}+\sin\theta\,\hat\theta)$	Dependência $1/r^3$
Torque no dipolo	$\vec{\tau} = \vec{p}\times\vec{E}_{\text{ext}}$	Alinhamento com campo externo
Energia de dipolo	$U = -\vec{p}\cdot\vec{E}_{\text{ext}}$	Mínima quando paralelo a $\vec E$
Força em campo não-uniforme	$\vec{F} = (\vec{p}\cdot\nabla)\vec{E}_{\text{ext}}$	Dieletroforese (DEP)

3.12.2 Expansão Multipolar

Termo	Dependência	Quando domina
Monopolo	$1/r$	$Q_{\text{total}} \neq 0$
Dipolo	$1/r^2$	$Q_{\text{total}} = 0$, $\vec{p} \neq 0$
Quadrupolo	$1/r^3$	$Q_{\text{total}} = 0$, $\vec{p} = 0$, $Q_{ij} \neq 0$

3.12.3 Conceitos-Chave

Potencial escalar: Mais fácil de calcular que campo vetorial; $\vec E = -\nabla V$.
Equação de Poisson/Laplace: EDPs fundamentais para problemas de valor de contorno.
Energia no campo: $u_E = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ — energia armazenada no espaço, não apenas nas cargas.
Dipolo: Sistema de duas cargas opostas; momento $\vec p = q\vec d$.
Interação dipolo-dipolo: Anisotrópica ($1/r^3$ para potencial, $1/r^4$ para força).

3.13 Lista de Exercícios Propostos

E1 (Trabalho e energia potencial). Uma carga puntiforme $q_1 = 2\,\mu\text{C}$ está fixa na origem. Uma carga de teste $q_2=-3\,\mu\text{C}$ é trazida de $r_A=50\,\text{cm}$ até $r_B=20\,\text{cm}$, ao longo de um caminho arbitrário. Calcule o trabalho realizado pela força elétrica e diga se ele é positivo ou negativo, justificando fisicamente.

E2 (Potencial e gradiente). O potencial elétrico em uma região é dado por $V(x,y,z) = A(2x^2-y^2-z^2)$, com $A$ constante. (a) Determine $\vec{E}(x,y,z)$. (b) Verifique se essa região pode ser eletrostática no vácuo sem cargas livres (equação de Laplace). (c) Calcule $\vec E$ no ponto $(1,1,1)$ m para $A=10\ \text{V/m}^2$.

E3 (Equação de Poisson). Uma esfera de raio $R$ possui densidade volumétrica de carga não uniforme $\rho(r) = \rho_0\, r/R$ para $r\le R$ (e $\rho=0$ fora). Usando a Lei de Gauss (forma integral, com simetria esférica), determine $E(r)$ para $r<R$ e para $r>R$. Em seguida, verifique que o resultado interno é consistente com a equação de Poisson em coordenadas esféricas, $\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{dr}\left(r^2\dfrac{dV}{dr}\right) = -\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$.

E4 (Equação de Laplace). Mostre que $V(x,y) = V_0\left(\dfrac{x^2-y^2}{L^2}\right)$ satisfaz a equação de Laplace em uma região livre de cargas (independente de $z$). Esboce qualitativamente duas equipotenciais ($V>0$ e $V<0$) e determine o campo elétrico associado.

E5 (Expansão multipolar — dipolo). Duas cargas $+3\,\text{nC}$ e $-3\,\text{nC}$ estão separadas por $d=4\,\text{mm}$. Calcule, usando a aproximação de dipolo: (a) o momento de dipolo $p$; (b) o potencial no ponto a $r=30\,\text{cm}$ do centro, na direção $\theta=60°$ em relação ao eixo do dipolo; (c) o módulo do campo elétrico nesse mesmo ponto.

E6 (Expansão multipolar — quadrupolo linear). Três cargas estão alinhadas no eixo $z$: $+q$ em $z=+d$, $-2q$ em $z=0$, e $+q$ em $z=-d$ (um "quadrupolo linear", com momento de dipolo total nulo por simetria). (a) Mostre que o momento de dipolo total é zero. (b) Calcule o tensor de quadrupolo $Q_{zz} = \sum_i (3z_i^2-r_i^2)q_i$. (c) Escreva o potencial aproximado no eixo $z$, para $z\gg d$, e compare numericamente com o valor exato para $q=2\,\text{nC}$, $d=2\,\text{cm}$, $z=2\,\text{m}$.

E7 (Energia armazenada no campo). Um capacitor de placas paralelas tem campo uniforme $E=2\times10^4\,\text{V/m}$ confinado a um volume de $A=50\,\text{cm}^2$ por $s=1\,\text{mm}$ de espessura entre as placas. Calcule a densidade de energia $u_E$ e a energia total armazenada $U$ nesse volume.

E8 (Energia de um sistema de cargas). Três cargas idênticas $q=1\,\text{nC}$ são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado $a=3\,\text{cm}$. (a) Calcule a energia potencial total do sistema por dois métodos: soma direta sobre pares, e a fórmula $U=\frac12\sum_i q_i V_i$. (b) Quanto trabalho externo é necessário para trazer as três cargas do infinito até essa configuração?

E9 (Desafio — energia de uma casca esférica). Uma casca esférica fina de raio $R$ tem carga total $Q$ distribuída uniformemente em sua superfície. Usando a Lei de Gauss (campo nulo dentro, $E=kQ/r^2$ fora) e a fórmula da densidade de energia do campo $u_E=\frac12\varepsilon_0 E^2$ (Seção “Expansão multipolar”), calcule a energia eletrostática total armazenada, integrando $u_E$ sobre todo o espaço externo à casca. Expresse o resultado em termos de $Q$, $R$ e $\varepsilon_0$, e compare (em forma) com a energia potencial de duas cargas puntiformes separadas por $R$.

E10 (Torque e energia do dipolo). Um dipolo com $p=5\times10^{-29}\,\text{C}\cdot\text{m}$ está inicialmente alinhado perpendicularmente a um campo externo uniforme $E_{ext}=10^6\,\text{V/m}$. (a) Calcule o torque inicial sobre o dipolo. (b) Calcule o trabalho realizado por um agente externo para girar o dipolo lentamente (quase-estaticamente) da posição perpendicular até a posição de equilíbrio estável. (c) Repita para a posição de equilíbrio instável (antiparalelo).

E11 (Dipolo em campo não uniforme — fio infinito). Um fio retilíneo infinito, com densidade linear de carga $\lambda>0$, cria um campo $E(s) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s}$ (radial, perpendicular ao fio, a uma distância $s$). Um pequeno dipolo de momento $p$, orientado radialmente (apontando para fora do fio), está a uma distância $s_0$ do fio. (a) Determine a força líquida sobre o dipolo (módulo, direção e sentido). (b) O dipolo é atraído ou repelido pelo fio? Justifique fisicamente comparando com o Exemplo da Seção “Dipolo em campo não-uniforme: força líquida”.

E12 (Interação entre dois dipolos). Dois dipolos idênticos, $p_1=p_2=p$, estão separados por uma distância $r$. (a) Escreva a energia de interação para as três configurações notáveis discutidas na Seção “Energia de interação entre dois dipolos” (paralelos alinhados com $\hat r$; paralelos perpendiculares a $\hat r$; perpendiculares entre si e a $\hat r$). (b) Partindo diretamente da definição de energia de duas cargas puntiformes (sem usar a fórmula de dipolo), calcule a energia exata do sistema de 4 cargas para o caso "alinhados com $\hat r$", com $p=qd$, $d\ll r$, expandindo em série até ordem $1/r^3$, e verifique com qual fórmula da Seção “Energia de interação entre dois dipolos” o resultado coincide.

E13 (Desafio — dipolos da água, ordem de grandeza). A molécula de água tem momento de dipolo permanente $p\approx 6{,}2\times10^{-30}\,\text{C}\cdot\text{m}$. (a) Estime a energia de interação (em elétron-volts) entre duas moléculas de água separadas por $r=0{,}3\,\text{nm}$ (dimensão molecular típica), na configuração mais atrativa possível (dentre as da Seção “Energia de interação entre dois dipolos”, reexaminadas no item (b) do E12). (b) Compare essa energia com a energia térmica $k_BT$ à temperatura ambiente ($T=300\,\text{K}$, $k_B=1{,}38\times10^{-23}\,\text{J/K}$) e comente se a interação dipolo-dipolo sozinha explicaria a coesão da água líquida a essa distância.

E14 (Campo e potencial exatos vs. aproximação de dipolo). Duas cargas $+q$ e $-q$ ($q=1\,\text{nC}$) estão em $z=+0{,}5\,\text{mm}$ e $z=-0{,}5\,\text{mm}$. Calcule o potencial exato (soma das duas cargas puntiformes) e o potencial aproximado de dipolo no ponto $(x,y,z)=(0,\,0{,}02,\,0)$ m (i.e., no plano equatorial, $\theta=90°$, $r=2\,\text{cm}$). Compare os dois resultados.

3.14 Gabarito

E1.

W_{A\to B} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right)

Com $q_1q_2 = (2\times10^{-6})(-3\times10^{-6}) = -6\times10^{-12}\,\text{C}^2$, $k=8{,}9875\times10^9\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$:

\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B} = \frac{1}{0{,}5}-\frac{1}{0{,}2} = 2 - 5 = -3\ \text{m}^{-1}

W = (8{,}9875\times10^9)(-6\times10^{-12})(-3) \approx 0{,}162\ \text{J}

\boxed{W_{A\to B}\approx +0{,}162\ \text{J} \;(\text{positivo})}

Fisicamente: as cargas têm sinais opostos, logo se atraem; ao ser trazida de $r_A$ para $r_B<r_A$ (mais perto), a força elétrica (atrativa) realiza trabalho positivo sobre $q_2$ — o sistema perde energia potencial ($U_B<U_A$), consistente com $W=U_A-U_B>0$.

E2.

(a) Gradiente de $V=A(2x^2-y^2-z^2)$:

\vec E = -\nabla V = -\left(4Ax\,\hat x - 2Ay\,\hat y - 2Az\,\hat z\right)

\boxed{\vec E = -4Ax\,\hat x + 2Ay\,\hat y + 2Az\,\hat z}

(b) Laplaciano:

\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 4A - 2A - 2A = 0

Como $\nabla^2V=0$, a equação de Laplace é satisfeita — sim, é consistente com uma região sem carga livre ($\rho=0$).

\vec E = -40\,\hat x + 20\,\hat y + 20\,\hat z\ \text{V/m}, \qquad |\vec E| = \sqrt{40^2+20^2+20^2} = \sqrt{2400}\approx 49{,}0\ \text{V/m}

E3.

Pela Lei de Gauss com simetria esférica, $E(r)\cdot 4\pi r^2 = Q_{enc}(r)/\varepsilon_0$.

Para $r\le R$:

Q_{enc}(r) = \int_0^r \rho_0\frac{r'}{R}\,4\pi r'^2\,dr' = \frac{4\pi\rho_0}{R}\int_0^r r'^3\,dr' = \frac{\pi\rho_0 r^4}{R}

E(r) = \frac{Q_{enc}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{\pi\rho_0 r^4/R}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

\boxed{E(r) = \frac{\rho_0 r^2}{4R\varepsilon_0}\qquad (r\le R)}

Para $r>R$, a carga total encerrada é $Q_{tot}=\pi\rho_0 R^3$ (fazendo $r=R$ acima), logo:

\boxed{E(r) = \frac{\rho_0 R^3}{4\varepsilon_0 r^2}\qquad (r> R)}

Verificação via Poisson (região interna, simetria esférica, $\vec E = E(r)\hat r = -dV/dr\,\hat r$):

\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dV}{dr}\right) = -\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 E(r)\right) = -\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{\rho_0 r^4}{4R\varepsilon_0}\right) = -\frac{1}{r^2}\cdot\frac{4\rho_0 r^3}{4R\varepsilon_0} = -\frac{\rho_0 r}{R\varepsilon_0}

Isso é exatamente $-\rho(r)/\varepsilon_0 = -(\rho_0 r/R)/\varepsilon_0$, confirmando a equação de Poisson. $\checkmark$

E4.

\nabla^2 V = \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[\frac{V_0(x^2-y^2)}{L^2}\right] + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\left[\frac{V_0(x^2-y^2)}{L^2}\right] = \frac{2V_0}{L^2} - \frac{2V_0}{L^2} = 0

\boxed{\nabla^2 V = 0 \;\checkmark}

As equipotenciais $V=\text{const.}\neq0$ são hipérboles $x^2-y^2=\text{const.}$ no plano $xy$ (para $V>0$, abrindo ao longo de $x$; para $V<0$, abrindo ao longo de $y$); $V=0$ corresponde às retas $y=\pm x$. Esse é o padrão típico de um "canto" ou "quina" equipotencial de $90°$, usado como modelo local de campo perto de eletrodos angulares.

Campo elétrico:

\vec E = -\nabla V = -\frac{2V_0}{L^2}\left(x\,\hat x - y\,\hat y\right) = \frac{2V_0}{L^2}\left(-x\,\hat x+y\,\hat y\right)

E5.

(a) Momento de dipolo:

p = qd = (3\times10^{-9})(4\times10^{-3}) = 1{,}2\times10^{-11}\ \text{C}\cdot\text{m}

(b) Potencial (Seção “Dedução do potencial em campo distante”, $\theta=60°\Rightarrow\cos\theta=0{,}5$, $r=0{,}3$ m):

V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\cos\theta}{r^2} = (8{,}9875\times10^9)\frac{(1{,}2\times10^{-11})(0{,}5)}{(0{,}3)^2}

\boxed{V \approx 0{,}599\ \text{V}}

\sqrt{1+3(0{,}5)^2} = \sqrt{1{,}75}\approx 1{,}323

E = (8{,}9875\times10^9)\frac{1{,}2\times10^{-11}}{(0{,}3)^3}(1{,}323)

\boxed{E \approx 5{,}28\ \text{V/m}}

E6.

(a) Momento de dipolo total: $p = \sum_i q_i z_i = (q)(d) + (-2q)(0) + (q)(-d) = 0$. $\checkmark$ (o sistema tem simetria que garante $p=0$: a carga positiva "extra" de um lado é compensada pela do outro lado, restando apenas o efeito de segunda ordem no quadrupolo.)

(b) Tensor de quadrupolo (elemento $zz$), com $x_i=y_i=0$ logo $r_i'^2=z_i^2$ para cada carga pontual, $3z_i^2-r_i'^2 = 2z_i^2$:

Q_{zz} = \sum_i q_i\left(3z_i^2-r_i'^2\right) = q(2d^2) + (-2q)(0) + q(2d^2)

\boxed{Q_{zz} = 4qd^2}

(c) Potencial no eixo ($x=y=0$, usando a fórmula da Seção “Equação de Poisson e de Laplace”.3 particularizada ao eixo, $V_{quad}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q_{zz}}{2z^3}$):

V_{quad}(z) \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{4qd^2}{2z^3} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2qd^2}{z^3}

Numericamente, $q=2\times10^{-9}$ C, $d=0{,}02$ m, $z=2$ m:

Q_{zz} = 4(2\times10^{-9})(0{,}02)^2 = 3{,}2\times10^{-12}\ \text{C}\cdot\text{m}^2

V_{quad} = (8{,}9875\times10^9)\frac{3{,}2\times10^{-12}}{2(2)^3} \approx 1{,}798\times10^{-3}\ \text{V}

Valor exato (soma das três cargas puntiformes, $z\gg d$):

V_{exato} = k\left[\frac{q}{z-d}-\frac{2q}{z}+\frac{q}{z+d}\right] \approx 1{,}798\times10^{-3}\ \text{V}

\boxed{V_{quad}\approx V_{exato}\approx 1{,}80\times10^{-3}\ \text{V}\quad(\text{erro relativo}\sim 0{,}01\%)}

confirmando que o termo quadrupolo domina (já que monopolo e dipolo totais são nulos).

E7.

u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}(8{,}854\times10^{-12})(2\times10^4)^2

\boxed{u_E \approx 1{,}771\times10^{-3}\ \text{J/m}^3}

Volume: $\mathcal V = A\cdot s = (50\times10^{-4}\ \text{m}^2)(1\times10^{-3}\ \text{m}) = 5\times10^{-6}\ \text{m}^3$

U = u_E\cdot\mathcal V \approx (1{,}771\times10^{-3})(5\times10^{-6})

\boxed{U\approx 8{,}85\times10^{-9}\ \text{J}}

E8.

(a) Soma direta sobre pares: há 3 pares, todos à mesma distância $a$, todas as cargas iguais a $q$:

U = \frac{kq^2}{a}\times 3 = \frac{3kq^2}{a}

Numericamente: $kq^2/a = (8{,}9875\times10^9)(10^{-9})^2/(0{,}03) \approx 2{,}996\times10^{-7}$ J, logo

\boxed{U = 3\times(2{,}996\times10^{-7})\approx 8{,}99\times10^{-7}\ \text{J}}

Verificação via $U=\frac12\sum_i q_iV_i$: cada carga sente o potencial das outras duas, ambas à distância $a$: $V_i = 2kq/a$ para cada $i$. Logo:

U = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 q\left(\frac{2kq}{a}\right) = \frac12(3)\left(\frac{2kq^2}{a}\right) = \frac{3kq^2}{a}

Mesmo resultado. $\checkmark$ (o fator $\frac12$ compensa exatamente a dupla contagem: cada par $i,j$ contribui a $V_i$ e a $V_j$.)

(b) O trabalho externo necessário para montar a configuração a partir do infinito é, por definição, igual à energia potencial final (partindo de $U=0$ no infinito):

\boxed{W_{ext} = U \approx 8{,}99\times10^{-7}\ \text{J}}

E9.

Fora da casca ($r>R$), por Gauss, $E(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$; dentro ($r<R$), $E=0$ (Lei de Gauss com carga interna nula). A energia total é a integral de $u_E$ sobre todo o espaço; como $E=0$ dentro, só a região externa contribui:

U = \int_R^\infty u_E\,4\pi r^2\,dr = \int_R^\infty \frac{1}{2}\varepsilon_0\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\right)^2 4\pi r^2\,dr = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\int_R^\infty \frac{dr}{r^2}

\int_R^\infty \frac{dr}{r^2} = \left[-\frac{1}{r}\right]_R^\infty = \frac{1}{R}

\boxed{U = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} = \frac{1}{2}\frac{kQ^2}{R}}

Esse resultado tem a mesma forma que a energia potencial de duas cargas puntiformes $U=kq_1q_2/r$, mas com um fator extra $\frac12$ e $Q^2$ no lugar de $q_1q_2$ — reflexo de que, ao trazer a carga da casca "de si mesma" desde o infinito, cada elemento de carga interage com todos os outros já depositados, e não há duas cargas distintas separadas por $R$ como no caso de duas cargas puntiformes.

E10.

(a) Torque inicial ($\theta=90°$, perpendicular, $\sin\theta=1$):

\tau = pE_{ext}\sin\theta = (5\times10^{-29})(10^6)(1)

\boxed{\tau = 5\times10^{-23}\ \text{N}\cdot\text{m}}

(b) $U(\theta) = -pE_{ext}\cos\theta$. De $\theta=90°$ ($U_i=0$) até $\theta=0°$ (equilíbrio estável, $U_f=-pE_{ext}$):

O trabalho do agente externo (quase-estático, sem energia cinética) é $W_{ext} = U_f - U_i$:

W_{ext} = -pE_{ext} - 0 = -pE_{ext} = -(5\times10^{-29})(10^6)

\boxed{W_{ext} = -5\times10^{-23}\ \text{J}}

(negativo: o campo realiza trabalho positivo sobre o dipolo enquanto ele gira espontaneamente para o alinhamento; para que o processo seja quase-estático, o agente externo precisa "segurar" o dipolo, realizando trabalho negativo sobre ele.)

W_{ext} = U_f - U_i = +pE_{ext} - 0

\boxed{W_{ext} = +5\times10^{-23}\ \text{J}}

(positivo: o agente externo deve fornecer energia para forçar o dipolo contra a tendência natural de alinhamento.)

E11.

(a) A força sobre um dipolo é $\vec F = (\vec p\cdot\nabla)\vec E_{ext}$ (Seção “Dipolo em campo não-uniforme: força líquida”). Com $\vec p = p\,\hat s$ (radial, para fora do fio) e $\vec E_{ext}(s) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s}\,\hat s$, e como o campo só depende de $s$:

F_s = p\,\frac{dE_{ext}}{ds} = p\,\frac{d}{ds}\left(\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s}\right) = p\left(-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s^2}\right)

\boxed{\vec F = -\frac{\lambda p}{2\pi\varepsilon_0 s_0^2}\,\hat s}

(b) O sinal negativo (para $\lambda, p>0$) indica força na direção $-\hat s$, ou seja, em direção ao fio — o dipolo é atraído. Fisicamente: a carga $-q$ do dipolo (mais próxima do fio, já que $\vec p$ aponta para fora, da carga negativa à positiva) sente um campo mais intenso (o campo do fio cai como $1/s$) do que a carga $+q$ (mais distante); a atração eletrostática da carga próxima domina sobre a repulsão da carga distante, resultando em força atrativa líquida — o mesmo mecanismo qualitativo do Exemplo da Seção “Dipolo em campo não-uniforme: força líquida” (dipolo atraído por uma carga puntiforme), mas com campo caindo como $1/s$ em vez de $1/z^2$.

E12.

(a) Da Seção “Energia de interação entre dois dipolos”, com $U_0\equiv \dfrac{p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0 r^3}=\dfrac{kp^2}{r^3}$:

Paralelos, alinhados com $\hat r$: $U = -2U_0 = -\dfrac{2kp^2}{r^3}$
Paralelos, perpendiculares a $\hat r$: $U=+U_0 = +\dfrac{kp^2}{r^3}$
Perpendiculares entre si e a $\hat r$: $U=0$

(b) Configuração "alinhados com $\hat r$": dipolo 1 em $z=0$ com cargas $+q$ em $z=d/2$ e $-q$ em $z=-d/2$; dipolo 2 em $z=r$ com $+q$ em $z=r+d/2$ e $-q$ em $z=r-d/2$ (ambos momentos apontando em $+\hat z=\hat r$). A energia exata (soma dos 4 pares de cargas):

U = kq^2\left[\underbrace{\frac{1}{r}}_{(+q_1,-q_2)} - \underbrace{\frac{1}{r-d}}_{(+q_1,+q_2)} - \underbrace{\frac{1}{r+d}}_{(-q_1,-q_2)} + \underbrace{\frac{1}{r}}_{(-q_1,+q_2)}\right] = kq^2\left[\frac{2}{r} - \frac{1}{r-d}-\frac{1}{r+d}\right]

Expandindo $\dfrac{1}{r\mp d} \approx \dfrac{1}{r}\left(1\pm\dfrac{d}{r}+\dfrac{d^2}{r^2}\right)$ até ordem $d^2/r^2$:

\frac{1}{r-d}+\frac{1}{r+d} \approx \frac{2}{r}+\frac{2d^2}{r^3}

U \approx kq^2\left[\frac{2}{r} - \frac{2}{r}-\frac{2d^2}{r^3}\right] = -\frac{2kq^2d^2}{r^3} = -\frac{2kp^2}{r^3}

Ou seja, o cálculo direto com as 4 cargas dá $U=-2kp^2/r^3$ para a configuração "alinhados com $\hat r$" — atrativa, consistente com a Seção “Energia de interação entre dois dipolos”.

Confirmação pela fórmula em caixa da Seção “Energia de interação entre dois dipolos”, $U = k[\vec p_1\cdot\vec p_2 - 3(\vec p_1\cdot\hat r)(\vec p_2\cdot\hat r)]/r^3$: com $\vec p_1=\vec p_2=p\hat r$, $\vec p_1\cdot\vec p_2=p^2$ e $(\vec p_1\cdot\hat r)(\vec p_2\cdot\hat r)=p^2$, logo $U=k[p^2-3p^2]/r^3=-2kp^2/r^3$ — idêntico ao cálculo exato de 4 cargas.

E13.

(a) Configuração mais atrativa (mínimo de energia): pela análise do E12(b), a configuração "alinhados com $\hat r$" tem $U=-2kp^2/r^3$ (atrativa), enquanto a "perpendicular a $\hat r$" tem $U=+kp^2/r^3$ (repulsiva); portanto a configuração mais atrativa dentre as três é a alinhada, $U=-2kp^2/r^3$.

U = -\frac{2kp^2}{r^3} = -2(8{,}9875\times10^9)\frac{(6{,}2\times10^{-30})^2}{(0{,}3\times10^{-9})^3}

Numerador: $2(8{,}9875\times10^9)(3{,}844\times10^{-59}) \approx 6{,}91\times10^{-49}$

Denominador: $(0{,}3\times10^{-9})^3 = 2{,}7\times10^{-29}$

U \approx -\frac{6{,}91\times10^{-49}}{2{,}7\times10^{-29}} \approx -2{,}56\times10^{-20}\ \text{J}

Convertendo para eV ($1\,\text{eV}=1{,}602\times10^{-19}$ J):

\boxed{U \approx -0{,}160\ \text{eV}}

(b) Energia térmica à temperatura ambiente:

k_BT = (1{,}38\times10^{-23})(300) = 4{,}14\times10^{-21}\ \text{J} \approx 0{,}0259\ \text{eV}

Comparando: $|U|/k_BT \approx 0{,}160/0{,}0259 \approx 6{,}2$.

\boxed{|U| \approx 6\,k_BT}

A energia de interação dipolo-dipolo é da mesma ordem de grandeza (poucas vezes maior) que a energia térmica — ela contribui de forma relevante para a coesão da água líquida, mas não é isoladamente dominante: sendo apenas alguns múltiplos de $k_BT$, a agitação térmica é capaz de romper e reformar continuamente essas ligações, consistente com o caráter dinâmico das pontes de hidrogênio na água líquida (que, na realidade, envolvem também contribuições quânticas e de repulsão de troca não capturadas neste modelo clássico simplificado de dipolo puntiforme).

E14.

Potencial exato: com $+q$ em $(0,0,0{,}0005)$ e $-q$ em $(0,0,-0{,}0005)$, ponto de observação $(0;\,0{,}02;\,0)$:

r_+ = \sqrt{0^2+0{,}02^2+0{,}0005^2}, \qquad r_- = \sqrt{0^2+0{,}02^2+(-0{,}0005)^2}

Como o ponto está no plano equatorial (mesma distância à carga positiva e à negativa, $\theta=90°$ em relação ao eixo do dipolo), $r_+=r_-$ exatamente, logo:

V_{exato} = kq\left(\frac{1}{r_+}-\frac{1}{r_-}\right) = 0

\boxed{V_{exato}= 0\ \text{V (exatamente, por simetria)}}

Potencial aproximado de dipolo ($\theta=90°\Rightarrow\cos\theta=0$):

V_{dip} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\cos(90°)}{r^2} = 0

\boxed{V_{dip} = 0\ \text{V}}

Ambas as previsões coincidem exatamente (nulas) no plano equatorial: no plano perpendicular ao eixo do dipolo passando pelo seu centro, o potencial de um dipolo (exato ou aproximado) é sempre zero, pois os potenciais de $+q$ e $-q$ se cancelam exatamente (mesma distância às duas cargas, independentemente de $d$). Este resultado serve como verificação de consistência: o plano equatorial de um dipolo é sempre uma superfície equipotencial com $V=0$.