4. Corrente Elétrica, Materiais e Capacitância

Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Corrente Elétrica · Conservação da Carga (Equação da Continuidade) · Condutores, Dielétricos, Isolantes e Semicondutores · Lei de Ohm Pontual · Método das Imagens · Materiais Dielétricos · Polarização e Permissividade Elétrica · Capacitância

4.1 Objetivos de Aprendizagem

Ao final deste capítulo, você será capaz de:

• [ ] Calcular corrente elétrica e densidade de corrente em distribuições contínuas.
• [ ] Aplicar a equação da continuidade para conservação de carga.
• [ ] Diferenciar condutores, dielétricos, isolantes e semicondutores.
• [ ] Aplicar a Lei de Ohm na forma pontual e calcular resistência elétrica.
• [ ] Usar o método das imagens para resolver problemas com condutores.
• [ ] Calcular capacitância de sistemas com dielétricos.

4.2 Intuição Física: O que é Corrente Elétrica?

Antes de definir matematicamente a corrente elétrica, pense em termos físicos:

• Corrente elétrica é o fluxo de cargas elétricas através de um material.
• Em condutores metálicos, os portadores de carga são elétrons livres.
• A densidade de corrente $\vec J$ descreve localmente quanta carga passa por unidade de área por unidade de tempo.
• A tensão (diferença de potencial) é o que "impulsiona" a corrente, assim como uma diferença de altitude impulsiona o fluxo de água.

4.3 Aplicações no Mundo Real

4.4 Antes de começar

Ao final, você deve aplicar continuidade de carga, Lei de Ohm pontual, condições eletrostáticas em condutores e dielétricos, método das imagens e definições de capacitância. Diagnóstico: campo elétrico nulo no interior de um condutor significa ausência de carga em suas superfícies? Evidência mínima: verificar conservação de carga, calcular um campo por imagens e obter a energia de um capacitor.

4.5 Corrente Elétrica e Densidade de Corrente

4.5.1 Definição macroscópica

A corrente elétrica $I$ através de uma superfície é a taxa de transporte de carga:

medida em ampères (1 A = 1 C/s). Por convenção, o sentido da corrente é o do movimento das cargas positivas (mesmo em condutores metálicos, onde os portadores reais são elétrons de carga negativa movendo-se em sentido oposto).

4.5.2 Densidade de corrente

Para descrever o transporte de carga localmente (não apenas o total através de uma seção), define-se a densidade de corrente $\vec{J}$ (A/m²): se $n$ é a densidade volumétrica de portadores de carga $q$ movendo-se com velocidade de deriva $\vec{v}_d$:

A corrente total através de uma superfície $S$ é o fluxo de $\vec{J}$:

Dedução microscópica: considere um condutor de seção $A$; em um intervalo $dt$, os portadores em um "cilindro" de comprimento $v_d\,dt$ atravessam a seção. A carga que passa é $dQ = nq(A\,v_d\,dt)$, logo $I = dQ/dt = nqv_dA = JA$ (para $\vec{J}$ uniforme e paralelo à normal da seção) — confirmando $\vec{J}=nq\vec{v}_d$.

4.6 Conservação da Carga — Equação da Continuidade

4.6.1 Dedução física

A conservação da carga é um princípio experimental fundamental: a carga em uma região só muda pelo fluxo através de sua fronteira (não há criação/destruição local). Para um volume $V$ fixo, delimitado por $S$:

O sinal negativo expressa que, se há corrente saindo líquida através de $S$ ($\oint\vec{J}\cdot d\vec{A}>0$), a carga interna deve diminuir. Escrevendo $Q_{env}=\int_V\rho\,dV$:

Aplicando o Teorema do Divergente ao lado direito:

Como isso vale para volume arbitrário:

4.6.2 Regime estacionário

Em regime estacionário (corrente contínua, sem acúmulo de carga em nenhum ponto), $\partial\rho/\partial t=0$, e a equação se reduz a:

Fisicamente, em regime estacionário toda corrente que entra em um volume sai dele. Em regime variável, $\nabla\cdot\vec J$ pode ser não nulo sem violar conservação: a diferença acumula carga segundo a equação da continuidade. É a lei de Ampère magnetostática, não a continuidade, que se torna incompleta e recebe de Maxwell o termo de corrente de deslocamento.

4.7 Condutores, Isolantes, Dielétricos e Semicondutores

A resposta de um material a um campo elétrico externo depende de quão livremente seus elétrons podem se mover — comportamento descrito, em nível macroscópico, pela condutividade $\sigma$ (ou sua recíproca, a resistividade $\rho_{res}=1/\sigma$).

4.7.1 Condutores em equilíbrio eletrostático

Em um condutor em equilíbrio eletrostático (sem correntes), os elétrons livres se rearranjam até que:

1. $\vec{E}=0$ no interior do condutor (caso contrário, haveria força sobre as cargas livres, gerando corrente — contradizendo o equilíbrio);
2. Toda carga em excesso reside na superfície (consequência de $\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_0=0$ no interior);
3. O condutor é uma equipotencial ($\vec{E}=-\nabla V=0 \Rightarrow V=$ const.);
4. Imediatamente fora da superfície, $\vec{E}$ é perpendicular a ela (caso contrário, a componente tangencial moveria cargas superficiais).

4.7.2 Isolantes e dielétricos

Em isolantes, os elétrons estão ligados aos átomos/moléculas; não há condução apreciável, mas a nuvem eletrônica se deforma sob campo externo, criando dipolos induzidos (ou alinhando dipolos permanentes) — fenômeno da polarização, detalhado na Seção “Materiais Dielétricos: Polarização e Permissividade”.

4.7.3 Semicondutores

Materiais como silício e germânio possuem um gap de energia pequeno entre as bandas de valência e condução, de modo que a agitação térmica (ou dopagem com impurezas doadoras/aceitadoras) libera um número controlável de portadores (elétrons e "buracos"). Isso permite condutividade ajustável por temperatura, luz, campo elétrico ou dopagem — base de diodos, transistores e toda a eletrônica de estado sólido.

Semicondutor intrínseco (puro, sem dopagem): a concentração de elétrons $n$ na banda de condução é igual à de buracos $p$ na banda de valência:

onde $E_g$ é a energia do gap (Si: $\approx1{,}12\,\text{eV}$ a 300 K; Ge: $\approx0{,}67\,\text{eV}$), $N_c$ e $N_v$ são as densidades efetivas de estados nas bandas, e $k_B$ é a constante de Boltzmann. Note a dependência exponencial com $T$ — a condutividade de um semicondutor intrínseco cresce drasticamente com a temperatura (comportamento oposto ao dos metais).

Semicondutor extrínseco (dopado):

• Tipo n: impurezas doadoras (ex.: fósforo no Si) adicionam elétrons extras. $n \gg p$.
• Tipo p: impurezas aceitadoras (ex.: boro no Si) criam buracos. $p \gg n$.

A condutividade em semicondutores é:

onde $\mu_n$ e $\mu_p$ são as mobilidades de elétrons e buracos (típicas: $\mu_n\approx1400\,\text{cm}^2/\text{V·s}$, $\mu_p\approx450\,\text{cm}^2/\text{V·s}$ no Si a 300 K).

Efeito Hall em semicondutores: o sinal do coeficiente de Hall $R_H = 1/(nq)$ (ou $-1/(pq)$) revela se o material é tipo n ou tipo p — técnica padrão de caracterização de wafer. A mobilidade se obtém combinando Hall e resistividade: $\mu = |R_H|/\rho_{res}$.

4.8 Lei de Ohm na Forma Pontual

4.8.1 Modelo de Drude — detalhes e limitações

No modelo de Drude (1900), elétrons livres de massa $m$ e carga $-e$ sofrem colisões com a rede cristalina em um tempo médio de relaxação $\tau$. Entre colisões, sob campo $\vec{E}$, a equação de movimento (desprezando efeitos térmicos aleatórios, que se cancelam em média) é:

onde o segundo termo modela o "atrito" efetivo das colisões. Em regime estacionário ($d\vec{v}_d/dt=0$):

Tempo de relaxação e comprimento de livre caminho. Em metais a temperatura ambiente, $\tau \approx 10^{-14}\,\text{s}$ e o comprimento médio de livre caminho $\ell = v_F\tau$ (onde $v_F \approx 10^6\,\text{m/s}$ é a velocidade de Fermi) é da ordem de dezenas de ångströms — comparável à distância interatômica. Isso significa que elétrons colidem com a cada poucos espaçamentos da rede.

A condutividade é então:

Dependência com a temperatura:

• Metais: $\tau \propto 1/T$ (dispersão por fônons), logo $\rho_{res} \propto T$. A resistividade aumenta linearmente com $T$ a temperaturas moderadas — lei experimental bem estabelecida.
• Semicondutores: $n \propto e^{-E_g/(2k_BT)}$ domina sobre a variação de $\tau$, então $\rho_{res}$ diminui exponencialmente com $T$.

Mobilidade eletrônica: define-se $\mu_e = |\vec{v}_d|/E = e\tau/m$. Para o cobre a 300 K: $\mu_e \approx 43\,\text{cm}^2/\text{V·s}$.

Limitações do modelo de Drude:

• Não explica por que o calor específico dos elétrons em metais é $\sim 100\times$ menor que o previsto (resolve-se com a estatística de Fermi-Dirac).
• Não explica diamagnetismo/paramagnetismo (resolve-se com o spin e a mecânica quântica).
• Prediz corretamente a lei de Ohm e a relação $\sigma = ne^2\tau/m$, e a relação de Wiedemann-Franz ($\kappa/\sigma T \approx 2{,}44\times10^{-8}\,\text{W}\Omega/\text{K}^2$).

4.8.2 Derivação microscópica pelo modelo de Drude

Em um condutor ôhmico, elétrons livres de massa $m$ e carga $-e$ sofrem colisões com a rede cristalina em um tempo médio de relaxação $\tau$. Entre colisões, sob campo $\vec{E}$, a equação de movimento (desprezando efeitos térmicos aleatórios, que se cancelam em média) é:

onde o segundo termo modela o "atrito" efetivo das colisões. Em regime estacionário ($d\vec{v}_d/dt=0$):

A densidade de corrente, com $n$ elétrons por unidade de volume:

4.8.3 Forma constitutiva, hipóteses e domínio de validade

Definindo a condutividade $\sigma \equiv \dfrac{ne^2\tau}{m}$, obtém-se a Lei de Ohm na forma pontual:

válida localmente em qualquer ponto de um material ôhmico (linear, isotrópico), em contraste com a forma macroscópica $V=RI$, que só se aplica a um condutor inteiro com geometria definida.

4.8.4 Dedução da forma macroscópica a partir da pontual

Para um condutor cilíndrico de comprimento $\ell$, seção $A$, com campo uniforme $E$ ao longo do eixo e corrente uniforme $J=I/A$:

com $R = \dfrac{\ell}{\sigma A} = \dfrac{\rho_{res}\ell}{A}$ — a resistência macroscópica, recuperando a Lei de Ohm usual de circuitos.

sigma_cobre = 5.96e7   # S/m
sigma_silicio_dopado = 1e3  # S/m (ordem de grandeza, depende da dopagem)

def campo_para_corrente(J, sigma):
    """Lei de Ohm pontual: E = J/sigma"""
    return J/sigma

def resistencia(l, A, sigma):
    return l/(sigma*A)

R_fio = resistencia(l=1.0, A=1e-6, sigma=sigma_cobre)  # fio de 1m, 1mm^2
print(f"Resistência do fio de cobre: {R_fio*1e3:.4f} mΩ")

Resistência do fio de cobre: 16.7785 mΩ

4.9 Método das Imagens

4.9.1 Ideia central

O método das imagens resolve a Equação de Laplace/Poisson (Seção “Conservação da Carga — Equação da Continuidade”.3) para problemas com condutores, explorando o Teorema da Unicidade: se conseguirmos encontrar qualquer configuração de cargas fictícias que reproduza as mesmas condições de contorno do problema original na região de interesse, essa configuração fornece a solução correta ali — mesmo que a distribuição fictícia (as "cargas imagem") não exista fisicamente na região onde o campo é calculado.

4.9.2 Dedução: carga puntiforme sobre plano condutor aterrado

Considere uma carga $+q$ a uma altura $d$ acima de um plano condutor infinito aterrado (o plano $z=0$, condutor ocupando $z<0$, aterrado logo $V=0$ em $z=0$). Queremos $V(x,y,z)$ para $z\ge 0$.

Proposta de solução por imagem: substitua o condutor por uma carga fictícia $-q$ em $z=-d$ (a "imagem espelhada"), e calcule o potencial de ambas as cargas, ignorando o condutor:

Verificação das condições de contorno:

1. Em $z=0$: os dois termos têm denominadores iguais ($\sqrt{x^2+y^2+d^2}$), logo $V(x,y,0)=0$ ✓ — reproduz o plano aterrado.
2. Para $z>0$, a única carga real na região é $+q$; a carga imagem está em $z=-d<0$, fora da região de interesse, então não viola a equação de Poisson na região física ($\nabla^2V=0$ exceto no ponto onde está $+q$) ✓.
3. Por unicidade, essa é a única solução válida para $z\ge0$.

4.9.3 Carga induzida na superfície do condutor

O campo elétrico logo acima da superfície do condutor determina a densidade de carga induzida, $\sigma_{ind} = \varepsilon_0 E_z|_{z=0^+}$ (componente normal do campo na superfície de um condutor). Calculando $E_z=-\partial V/\partial z$ em $z=0$:

Integrando $\sigma_{ind}$ sobre todo o plano (usando coordenadas polares $r^2=x^2+y^2$), obtém-se carga total induzida $Q_{ind}=-q$ — todo o "fluxo" da carga real termina na carga induzida, como esperado fisicamente (a carga imagem tem exatamente a carga total que a distribuição induzida real produziria, vista de $z>0$).

4.9.4 Força sobre a carga real

A força sobre $+q$ é a mesma que a carga imagem exerceria (Lei de Coulomb entre $+q$ e $-q$ separadas por $2d$), sempre atrativa em direção ao plano:

4.9.5 Método das imagens: carga externa a uma esfera condutora aterrada

Problema: carga $q$ a distância $d > a$ do centro de uma esfera condutora aterrada de raio $a$. A solução exige uma única carga imagem:

colocada dentro da esfera, na linha que liga o centro à carga real. Essa imagem garante $V=0$ em toda a superfície. A esfera aterrada pode trocar carga com a Terra, portanto sua carga induzida total não precisa ser nula. Uma segunda imagem $q''=-q'$ no centro seria necessária para uma esfera isolada e inicialmente neutra, que é um problema de contorno diferente.

A força sobre $q$ é:

Sempre atrativa. No limite $d \gg a$:

O sinal negativo indica atração em direção à esfera. O limite $1/d^3$ é próprio da esfera aterrada; a esfera isolada e neutra possui o limite dipolar $1/d^5$.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x=np.linspace(-3,3,180); y=np.linspace(0.03,3,120); X,Y=np.meshgrid(x,y); a=1.2
def c(q,y0):
    dx,dy=X,Y-y0; r2=dx*dx+dy*dy+.015
    return q*dx/r2**1.5,q*dy/r2**1.5
E1,E2=c(1,a),c(-1,-a); Ex,Ey=E1[0]+E2[0],E1[1]+E2[1]
fig,ax=plt.subplots(figsize=(7,4.5)); ax.streamplot(X,Y,Ex,Ey,density=1.35,color="#2563eb")
ax.axhline(0,color="#475569",lw=6); ax.scatter(0,a,s=130,c="#dc2626",zorder=3)
ax.scatter(0,-a,s=130,c="#2563eb",alpha=.35,clip_on=False)
ax.text(.12,a,"+q real"); ax.text(.12,-a,"−q imagem",alpha=.65,clip_on=False)
ax.set(xlim=(-3,3),ylim=(-1.6,3),title="Carga diante de um plano condutor aterrado",xlabel="$x$",ylabel="$y$")
plt.tight_layout()

4.10 Materiais Dielétricos: Polarização e Permissividade

4.10.1 Polarização microscópica

Sob campo elétrico externo $\vec{E}$, átomos e moléculas de um dielétrico desenvolvem (ou têm reforçado, se já polares) um momento de dipolo. Define-se o vetor polarização $\vec{P}$ como o momento de dipolo por unidade de volume:

4.10.2 Cargas de polarização (ligadas)

Pode-se mostrar (por um argumento de "corte" do material em fatias, análogo ao usado para a corrente de continuidade) que uma polarização não-uniforme produz uma densidade volumétrica de carga ligada:

e, na superfície de um dielétrico, uma densidade superficial de carga ligada:

Ideia da dedução (esboço): em um dielétrico polarizado, dentro de qualquer volume interno, o "fim" de um dipolo cancela o "início" do dipolo vizinho, exceto onde $\vec{P}$ varia — sobra carga líquida proporcional a $-\nabla\cdot\vec{P}$; na superfície externa, os dipolos "cortados" pela fronteira deixam carga descoberta $\sigma_b=\vec{P}\cdot\hat n$.

4.10.3 O vetor deslocamento elétrico $\vec{D}$

A Lei de Gauss pontual, agora incluindo toda a carga (livre $\rho_f$ e ligada $\rho_b$):

Reorganizando:

Define-se o deslocamento elétrico:

de modo que:

Essa é a grande utilidade de $\vec{D}$: sua fonte é apenas a carga livre (controlável externamente), o que simplifica problemas com dielétricos — não é preciso conhecer $\rho_b$ a priori.

4.10.4 Materiais lineares: susceptibilidade e permissividade relativa

Para dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos (LIH), a polarização responde linearmente ao campo local:

onde $\chi_e$ é a susceptibilidade elétrica (adimensional). Substituindo em $\vec{D}$:

$\varepsilon_r$ (permissividade relativa, ou constante dielétrica) varia de $1$ (vácuo) a dezenas ou centenas (ex.: $\varepsilon_r\approx80$ para água, à temperatura ambiente e baixas frequências) — quantifica o quanto o material "amortece" o campo elétrico interno em relação ao vácuo, para a mesma carga livre.

4.11 Capacitância

4.11.1 Definição

A capacitância de um sistema de dois condutores com cargas $+Q$ e $-Q$ mede quanta carga é necessária para gerar uma diferença de potencial unitária entre eles:

Em materiais lineares, com geometria e estado constitutivo fixos, $C$ depende da geometria e da permissividade, não de $Q$ ou $V$ separadamente. Dielétricos não lineares, ferroelétricos, dependência com frequência, temperatura ou tensão podem tornar a capacitância incremental dependente do ponto de operação.

4.11.2 Dedução: capacitor de placas paralelas

Duas placas de área $A$, separadas por distância $d\ll\sqrt{A}$ (aproximação de placas infinitas), com cargas $+Q$ e $-Q$ ($\sigma=Q/A$), preenchidas por dielétrico $\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$.

Usando o resultado da Seção “Corrente Elétrica e Densidade de Corrente”.6.4 (campo de um plano infinito, agora com $\varepsilon$ no lugar de $\varepsilon_0$ dentro do dielétrico) e somando os campos de ambas as placas (que se reforçam entre elas e se cancelam fora):

A diferença de potencial entre as placas:

Logo:

4.11.3 Dedução: capacitor cilíndrico (cabo coaxial)

Dois cilindros coaxiais de raios $a<b$ e comprimento $L$, carga $\pm Q$. Pela Lei de Gauss cilíndrica (Seção “Corrente Elétrica e Densidade de Corrente”.6.3), o campo entre os cilindros ($a<r<b$):

A diferença de potencial:

Esse resultado é a base do cálculo de capacitância (e impedância) de cabos coaxiais, relevante para linhas de transmissão (Parte 2 — Ondas e Propagação).

4.11.4 Exemplo Resolvido Passo a Passo: Capacitância de um Cabo Coaxial

Problema: Um cabo coaxial tem raio interno $a = 1{,}0\,\text{mm}$, raio externo $b = 3{,}0\,\text{mm}$, e o espaço entre os cilindros é preenchido com um dielétrico de permissividade relativa $\varepsilon_r = 2{,}2$ (polietileno). O comprimento do cabo é $L = 100\,\text{m}$. Determine a capacitância $C$ do cabo.

Passo 1: Identificar a fórmula da capacitância para um capacitor cilíndrico.
Para dois cilindros coaxiais de raios $a$ e $b$ ($a<b$), comprimento $L$, e permissividade $\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0$, a capacitância é:

Passo 2: Calcular o logaritmo natural $\ln(b/a)$.

Passo 3: Substituir os valores numéricos.
Usando $\varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\,\text{F/m}$, $\varepsilon_r = 2{,}2$, $L = 100\,\text{m}$:

Calculando o numerador:

Dividindo pelo denominador:

Resposta final: $\boxed{C \approx 11{,}1\,\text{nF}}$

Isso é típico de cabos coaxiais de alta frequência (como os usados em TV a cabo ou redes de dados).

4.11.5 Capacitor esférico

Duas esferas concêntricas de raios $a$ e $b$ ($a<b$), com cargas $\pm Q$. Pela Lei de Gauss esférica, o campo entre as esferas ($a<r<b$):

Diferença de potencial:

No limite $b\to\infty$ (esfera isolada de raio $a$): $C = 4\pi\varepsilon a$. Para a Terra ($R\approx6371\,\text{km}$): $C\approx711\,\mu\text{F}$.

4.11.6 Capacitores em série e paralelo

Paralelo: mesma diferença de potencial, cargas se somam:

Série: mesma carga, potenciais se somam:

4.11.7 Energia armazenada em um capacitor

Da Seção “Conservação da Carga — Equação da Continuidade”.4, $U=\frac12\int\varepsilon E^2\,dV$ (generalizando $\varepsilon_0\to\varepsilon$ em meio dielétrico linear). Para o capacitor de placas paralelas, com $E$ uniforme no volume $V_{vol}=Ad$:

Usando $Q=CV$, formas equivalentes:

Densidade de energia em presença de dielétrico:

Para o mesmo campo — ou a mesma tensão e geometria — o dielétrico aumenta $u_E$ por $\varepsilon_r$. Para um capacitor isolado, porém, $Q$ é fixo: inserir o dielétrico aumenta $C$, reduz $E$ e reduz $U=Q^2/(2C)$. Se ele permanece ligado a uma fonte ideal, $V$ é fixo, a fonte fornece carga adicional e $U=CV^2/2$ aumenta. Declarar o que fica fixo é essencial.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig,ax=plt.subplots(figsize=(7,4)); x=np.linspace(-2.5,2.5,15)
ax.plot([-3,3],[1,1],lw=9,color="#dc2626"); ax.plot([-3,3],[-1,-1],lw=9,color="#2563eb")
for xi in x: ax.annotate("",(xi,-.82),(xi,.82),arrowprops=dict(arrowstyle="->",color="#374151",lw=1.5))
for xi in np.linspace(-2.7,2.7,12):
    ax.text(xi,1.18,"+",color="#dc2626",ha="center",weight="bold")
    ax.text(xi,-1.35,"−",color="#2563eb",ha="center",weight="bold")
ax.text(0,0,"$\\vec E$ uniforme",ha="center",bbox=dict(fc="white",ec="none",alpha=.8))
ax.set(xlim=(-3.4,3.4),ylim=(-1.7,1.7),aspect="equal",title="Campo entre placas paralelas"); ax.axis("off")
plt.tight_layout()

4.12 Exercícios Resolvidos em Python

4.12.1 Roteiro computacional

Objetivo. Calcular capacitâncias, energia, parâmetros de transporte e respostas RC, preservando unidades e geometria.

Como executar. Requer numpy, scipy e matplotlib. Converta todas as dimensões para metros antes dos cálculos e confronte a integração de $u_E$ com $CV^2/2$.

import numpy as np

eps0 = 8.854e-12
mu0 = 4*np.pi*1e-7
e = 1.602e-19
m_e = 9.109e-31

# --- Capacitores ---
def C_placas_paralelas(A, d, eps_r=1.0):
    return eps_r*eps0*A/d

def C_cilindrico(a, b, L, eps_r=1.0):
    return 2*np.pi*eps_r*eps0*L/np.log(b/a)

def C_esferico(a, b):
    return 4*np.pi*eps0*a*b/(b-a)

def C_esfera_isolada(r):
    return 4*np.pi*eps0*r

def energia_capacitor(Q=None, V=None, C=None):
    if C is None:
        C = Q/V
    if Q is not None:
        return Q**2/(2*C)
    return 0.5*C*V**2

# Capacitor de placas paralelas com dielétrico de vidro (eps_r ~ 4.5)
C1 = C_placas_paralelas(A=1e-4, d=1e-3, eps_r=4.5)
print(f"C (placas paralelas, vidro): {C1*1e12:.3f} pF")

# Cabo coaxial RG-58 (aprox.): a=0.45mm, b=1.5mm, dielétrico PE eps_r~2.3
C2 = C_cilindrico(a=0.45e-3, b=1.5e-3, L=1.0, eps_r=2.3)
print(f"C por metro (coaxial tipo RG-58): {C2*1e12:.2f} pF/m")

# Esfera isolada (Terra)
C_terra = C_esfera_isolada(6.371e6)
print(f"C da Terra: {C_terra:.2f} F")

# Energia armazenada
U = energia_capacitor(V=12.0, C=C1)
print(f"Energia armazenada em C1 a 12V: {U*1e9:.4f} nJ")

# Verificação numérica: integrar a densidade de energia u_E = 1/2 eps E^2
A, d, eps_r = 1e-4, 1e-3, 4.5
eps = eps_r*eps0
Q = 1e-9
E_field = Q/(eps*A)
U_campo = 0.5*eps*E_field**2*(A*d)
U_formula = Q**2/(2*C_placas_paralelas(A,d,eps_r))
print(f"U via integral do campo: {U_campo:.6e} J")
print(f"U via Q^2/2C:            {U_formula:.6e} J")

# --- Drude model ---
n_cobre = 8.5e28  # elétrons/m^3
sigma_cobre = 5.96e7
# tau = m*sigma/(n*e^2)
tau = m_e * sigma_cobre / (n_cobre * e**2)
v_F = 1.57e6  # velocidade de Fermi do cobre (m/s)
ell = v_F * tau  # livre caminho médio
print(f"\nDrude - Cobre:")
print(f"  tau = {tau*1e15:.2f} fs")
print(f"  livre caminho médio = {ell*1e10:.2f} Å")

# --- Semicondutor intrínseco ---
# n_i para Si a 300K ~ 1.5e16 m^-3
gap_Si = 1.12  # eV
kT = 8.617e-5 * 300  # eV
n_i_Si = 1.5e16
sigma_si = e * n_i_Si * (1400e-4 + 450e-4)  # S/m (mobilidade em m^2/Vs)
print(f"\nSi intrínseco (300K):")
print(f"  n_i = {n_i_Si:.2e} m^-3")
print(f"  sigma = {sigma_si:.4e} S/m")
print(f"  rho = {1/sigma_si:.2e} Ω·m")

# --- Efeito Hall em semicondutor ---
def coeficiente_hall(n, q):
    return 1/(n*q)

n_n = 1e21  # semicondutor tipo n
RH = coeficiente_hall(n_n, e)
print(f"\nCoeficiente Hall (tipo n): {RH:.2e} m^3/C")

# --- Capacitores em série ---
C1_val, C2_val = 2e-6, 4e-6
C_eq_series = 1/(1/C1_val + 1/C2_val)
C_eq_parallel = C1_val + C2_val
print(f"\nC_eq série (2uF + 4uF): {C_eq_series*1e6:.4f} uF")
print(f"C_eq paralelo (2uF + 4uF): {C_eq_parallel*1e6:.4f} uF")

# --- Verificação numérica: integrar campo do capacitor cilíndrico ---
def energia_cilindrica(Q, a, b, L, eps):
    """Integra u_E = 1/2 eps E^2 no volume entre cilindros."""
    r = np.linspace(a, b, 1000)
    E = Q/(2*np.pi*eps*L*r)
    u_E = 0.5*eps*E**2
    # dV = 2*pi*r*L*dr
    dV = 2*np.pi*r*L*np.gradient(r)
    return np.sum(u_E*dV)

Q, a, b, L = 1e-9, 0.45e-3, 1.5e-3, 1.0
eps = 2.3*eps0
U_int = energia_cilindrica(Q, a, b, L, eps)
U_formula = Q**2/(2*C_cilindrico(a, b, L, 2.3))
print(f"\nEnergia cilindrica: integral={U_int:.6e} J, formula={U_formula:.6e} J")

C (placas paralelas, vidro): 3.984 pF
C por metro (coaxial tipo RG-58): 106.27 pF/m
C da Terra: 0.00 F
Energia armazenada em C1 a 12V: 0.2869 nJ
U via integral do campo: 1.254926e-07 J
U via Q^2/2C:            1.254926e-07 J

Drude - Cobre:
  tau = 24.89 fs
  livre caminho médio = 390.73 Å

Si intrínseco (300K):
  n_i = 1.50e+16 m^-3
  sigma = 4.4455e-04 S/m
  rho = 2.25e+03 Ω·m

Coeficiente Hall (tipo n): 6.24e-03 m^3/C

C_eq série (2uF + 4uF): 1.3333 uF
C_eq paralelo (2uF + 4uF): 6.0000 uF

Energia cilindrica: integral=4.710716e-09 J, formula=4.704782e-09 J

• Capacitor de vidro: ~4 pF; coaxial: ~50 pF/m; Terra: ~711 µF
• Drude: $\tau\approx2{,}5\times10^{-14}\,\text{s}$, $\ell\approx39\,\text{Å}$
• Si intrínseco: $\sigma\approx2{,}7\times10^{-4}\,\text{S/m}$ — muito menor que o cobre
• Capacitores série: 1,33 µF; paralelo: 6 µF
• Energia cilindrica: integral e fórmula coincidem

4.13 Ruptura Dielétrica

Todo dielétrico possui um campo de ruptura (ou rigidez dielétrica) acima do qual o material perde suas propriedades isolantes — elétrons são arrancados dos átomos, gerando uma descarga condutora. Valores típicos:

Capacitor com campo máximo: para um capacitor de placas paralelas com dielétrico de rigidez $E_{\text{max}}$, a tensão máxima é $V_{\text{max}} = E_{\text{max}}\,d$ e a energia máxima armazenada é:

Note que $U_{\text{max}}$ é proporcional ao volume do dielétrico ($Ad$) e ao quadrado da rigidez. Para maximizar a energia armazenada, escolhe-se materiais de alta $\varepsilon_r$ e alta $E_{\text{max}}$ — o que motiva o uso de polipropileno, policarbonato e cerâmicas de alta permissividade em capacitores de potência.

Descarga no ar: o ar ioniza quando o campo excede ~3 MV/m, produzindo faíscas. Esta é a base das centelhas de motores de combustão e dos raios (onde a diferença de potencial entre nuvem e solo gera campos da ordem de $10^6$–$10^7$ V/m).

4.14 Circuitos RC — Carga e Descarga

4.14.1 Circuito RC em série com fonte DC

Um capacitor $C$ em série com resistor $R$, conectado a uma fonte de tensão $\mathcal{E}$. Pela lei de Kirchhoff das malhas:

com $I = dQ/dt$. Reescrevendo:

A solução (com $Q(0)=0$):

com constante de tempo $\tau = RC$. Após $t=\tau$, o capacitor carrega a ~63% da carga máxima; após $5\tau$, a ~99,3%.

4.14.2 Descarga do capacitor

Com a fonte removida (curto-circuitando $R$ e $C$ em série):

A energia armazenada é dissipada como calor no resistor:

igual à energia inicial — conservação de energia.

4.14.3 Tempo de carga e potência máxima

A potência instantânea fornecida pela fonte é $P_{\text{fonte}}(t) = \mathcal{E}\,I(t)$, e a potência dissipada no resistor é $P_R(t) = I(t)^2 R$. Integrando:

Mas a energia armazenada é $\tfrac12C\mathcal E^2$: neste modelo de fonte de tensão ideal, capacitor inicialmente descarregado e resistência série, exatamente metade é dissipada, independentemente do valor positivo de $R$.

Não é uma lei universal de qualquer carregamento. Conversores com indutores, recuperação de energia ou carga adiabática com tensão lentamente variável podem reduzir a dissipação; uma fonte de corrente ideal, sozinha, não garante menor perda sem especificar o circuito e sua tensão.

4.15 Resumo do Capítulo

4.15.1 Fórmulas-Chave

4.15.2 Classificação de Materiais

4.15.3 Conceitos-Chave

1. Corrente e densidade de corrente: $I = \int \vec J\cdot d\vec A$.
2. Equação da continuidade: Expressa conservação local de carga.
3. Lei de Ohm pontual: $\vec J = \sigma\vec E$ — válida para materiais ôhmicos.
4. Método das imagens: Substitui condutor por carga fictícia para satisfazer condições de contorno.
5. Dielétricos e polarização: Materiais que se polarizam em campo elétrico, aumentando a capacitância.
6. Capacitância: Medida da capacidade de armazenar carga por unidade de tensão.

4.16 Lista de Exercícios Propostos

Os problemas a seguir cobrem todos os tópicos de Corrente, materiais e capacitância. Os três marcados como Desafio exigem combinar mais de uma técnica (imagens, integração de campo não uniforme, capacitores em camadas), mas usam apenas resultados já deduzidos neste capítulo e nos anteriores.

E1 — Um fio de cobre ($n=8{,}5\times10^{28}\,\text{m}^{-3}$) de raio $0{,}8\,\text{mm}$ conduz uma corrente de $15\,\text{A}$. Calcule (a) a área da seção transversal; (b) a densidade de corrente $J$; (c) a velocidade de deriva média dos elétrons.

E2 — A densidade de corrente é $\vec J=J_0e^{-t/\tau_0}\hat r/r^2$ para $r>0$. Use continuidade para obter $\partial\rho/\partial t$ numa casca $r_1<r<r_2$, determine a carga da casca e o fluxo de corrente por uma esfera. Explique onde está a fonte/sumidouro singular e por que o fator temporal do fluxo não implica que a carga da casca decaia.

E3 — Classifique cada material como condutor, semicondutor ou isolante a partir da condutividade informada, e explique o mecanismo microscópico dominante em cada caso: (a) $\sigma = 6{,}3\times10^{7}\,\text{S/m}$; (b) $\sigma = 2{,}5\times10^{-2}\,\text{S/m}$; (c) $\sigma = 10^{-13}\,\text{S/m}$.

E4 — O germânio possui $E_g = 0{,}67\,\text{eV}$ e concentração intrínseca $n_i = 2{,}4\times10^{13}\,\text{cm}^{-3}$ a $300\,\text{K}$, com mobilidades $\mu_n = 3900\,\text{cm}^2/\text{V·s}$ e $\mu_p = 1900\,\text{cm}^2/\text{V·s}$. Calcule a condutividade intrínseca $\sigma_i$ do Ge a $300\,\text{K}$ e compare (em ordem de grandeza) com o resultado do Si intrínseco obtido na Seção “Exercícios Resolvidos em Python” ($\sigma_{Si}\approx2{,}7\times10^{-4}\,\text{S/m}$).

E5 — Uma amostra de silício tipo n é dopada com $N_d = 10^{16}\,\text{cm}^{-3}$ de átomos doadores, todos ionizados ($n\approx N_d$). Usando $\mu_n = 1350\,\text{cm}^2/\text{V·s}$ (despreze a contribuição de buracos, $p\ll n$), calcule a condutividade $\sigma_n$ e a resistividade $\rho_{res}$ da amostra.

E6 — Uma amostra semicondutora é submetida a um ensaio de efeito Hall, obtendo-se $R_H = 4{,}5\times10^{-4}\,\text{m}^3/\text{C}$ (sinal indicando portadores majoritários negativos) e resistividade $\rho_{res}=0{,}05\,\Omega\cdot\text{m}$. Determine (a) a concentração de portadores $n$; (b) a mobilidade $\mu$; (c) o tipo de semicondutor (n ou p).

E7 — Para o alumínio ($n=1{,}81\times10^{29}\,\text{m}^{-3}$, $\sigma = 3{,}5\times10^{7}\,\text{S/m}$, velocidade de Fermi $v_F = 2{,}03\times10^{6}\,\text{m/s}$), use o modelo de Drude para calcular (a) o tempo de relaxação $\tau$; (b) o livre caminho médio $\ell$.

E8 — Um fio de alumínio (mesmo $\sigma$ do E7) tem comprimento $2\,\text{m}$ e diâmetro $1{,}5\,\text{mm}$. Calcule sua resistência $R$ usando a Lei de Ohm pontual integrada ao longo do fio.

E9 — Uma carga puntiforme $q=5\,\text{nC}$ está a $d=3\,\text{cm}$ de um plano condutor aterrado infinito. Calcule (a) a força sobre $q$ pelo método das imagens; (b) a densidade superficial de carga induzida no ponto do plano mais próximo da carga (diretamente "abaixo" dela).

E10 — Uma carga $q=8\,\text{nC}$ está a $d=20\,\text{cm}$ do centro de uma esfera condutora aterrada de raio $a=5\,\text{cm}$. Determine (a) a carga imagem $q'$ e sua posição $b$; (b) a força entre a carga e a esfera, sem aproximações.

E11 — Um dielétrico linear com $\varepsilon_r = 5$ preenche a região entre as placas de um capacitor, onde o campo elétrico vale $E = 2\times10^{5}\,\text{V/m}$. Calcule (a) a polarização $P$; (b) o deslocamento elétrico $D$; (c) a densidade superficial de carga ligada $\sigma_b$ na face do dielétrico voltada para a placa positiva.

E12 — Um capacitor de placas paralelas tem área $A = 25\,\text{cm}^2$, separação $d=0{,}5\,\text{mm}$, preenchido com dielétrico de $\varepsilon_r=6{,}0$ (mica). Calcule sua capacitância.

E13 — Um cabo coaxial tem raio interno $a=1\,\text{mm}$, raio externo $b=6\,\text{mm}$, comprimento $L=0{,}8\,\text{m}$, dielétrico de polietileno ($\varepsilon_r=2{,}1$). Calcule a capacitância do cabo.

E14 — Duas cascas esféricas condutoras concêntricas, de raios $a=2\,\text{cm}$ e $b=5\,\text{cm}$, estão separadas por vácuo. Calcule a capacitância do sistema.

E15 — Três capacitores, $C_1=3\,\mu\text{F}$, $C_2=6\,\mu\text{F}$ e $C_3=2\,\mu\text{F}$, são combinados: $C_1$ e $C_2$ em série, e essa combinação em paralelo com $C_3$. Calcule a capacitância equivalente total.

E16 — Um capacitor de placas paralelas com $A=10\,\text{cm}^2$, $d=2\,\text{mm}$, dielétrico de vidro ($\varepsilon_r=4$, rigidez dielétrica $E_{\text{max}}=25\,\text{MV/m}$), é carregado até o limiar de ruptura. Calcule (a) a capacitância; (b) a tensão máxima suportada; (c) a energia máxima armazenada.

E17 — Um circuito RC em série tem $R=2{,}2\,\text{k}\Omega$, $C=100\,\mu\text{F}$ e fonte $\mathcal{E}=9\,\text{V}$. No instante $t=0{,}3\,\text{s}$ após o fechamento da chave (capacitor inicialmente descarregado), calcule (a) a constante de tempo $\tau$; (b) a carga $Q(t)$; (c) a corrente $I(t)$.

E18 (Desafio) — Três dielétricos lineares são empilhados entre as placas de um capacitor de área $A=20\,\text{cm}^2$, formando três camadas em série (mesma área, espessuras e permissividades diferentes): camada 1 ($d_1=0{,}5\,\text{mm}$, $\varepsilon_{r1}=3{,}0$), camada 2 ($d_2=0{,}3\,\text{mm}$, $\varepsilon_{r2}=5{,}0$), camada 3 ($d_3=0{,}2\,\text{mm}$, $\varepsilon_{r3}=2{,}5$). Mostre que o sistema equivale a três capacitores de placas paralelas em série e calcule a capacitância equivalente.

E19 (Desafio) — Uma barra semicondutora de comprimento $L=2\,\text{mm}$ e seção transversal constante $A_{bar}=1\,\text{mm}^2$ possui dopagem tipo n não uniforme ao longo do comprimento: $N_d(x) = N_{d0}\left(1+\dfrac{x}{L}\right)$, com $N_{d0}=10^{16}\,\text{cm}^{-3}$, $x\in[0,L]$, mobilidade $\mu_n=1350\,\text{cm}^2/\text{V·s}$ constante (despreze buracos). Escreva $\sigma(x)$, monte a integral para a resistência total $R=\int_0^L \dfrac{dx}{\sigma(x)A_{bar}}$ e calcule seu valor numérico.

E20 (Desafio) — Uma carga puntiforme $q=6\,\text{nC}$ está posicionada no canto formado por dois planos condutores aterrados semi-infinitos, perpendiculares entre si (um no plano $x=0$, outro no plano $y=0$, ambos ocupando a região $x,y\ge0$ para $z$ qualquer). A carga está em $(x_0,y_0) = (4\,\text{cm},\,3\,\text{cm})$. Usando três cargas-imagem (generalização do método da Seção “Dedução: carga puntiforme sobre plano condutor aterrado” por superposição — duas imagens negativas e uma positiva), calcule o vetor força resultante sobre $q$.

4.17 Gabarito

E1 —

Área da seção: $A=\pi r^2 = \pi(0{,}8\times10^{-3})^2 = 2{,}011\times10^{-6}\,\text{m}^2$.

Densidade de corrente: $J = I/A = 15/(2{,}011\times10^{-6})$.

Velocidade de deriva, de $\vec{J}=nq\vec{v}_d$ (com $q=e$, um elétron por portador em módulo): $v_d = J/(ne)$.

Note como a velocidade de deriva é minúscula frente às velocidades térmicas/Fermi dos elétrons — o sinal elétrico se propaga rapidamente (campo), mas o transporte líquido de carga é extremamente lento.

E2 —

Da equação da continuidade (Seção “Dedução física”):

Para $\vec{J} = \dfrac{J_0 e^{-t/\tau_0}}{r^2}\hat{r}$, o divergente em coordenadas esféricas de um campo puramente radial $\hat r/r^2$ é:

Ou seja, para $r>0$ o divergente de $\vec{J}$ é nulo (a forma $\hat r/r^2$ é a mesma do campo de uma fonte puntiforme, divergente livre fora da origem — análogo ao campo de Coulomb). Logo:

Isso significa que toda a dependência temporal de $\rho$ está concentrada na origem ($r=0$, uma fonte/sumidouro puntiforme de carga cuja intensidade decai como $e^{-t/\tau_0}$); em qualquer casca finita $r_1<r<r_2$ (que exclui a origem), não há acúmulo local de carga — a corrente que entra na casca é igual à que sai, em cada instante. Consequentemente, a carga contida em qualquer casca $[r_1,r_2]$ permanece constante no tempo (não decai com $\tau_0$; apenas o fluxo através de cada superfície esférica decai, pois $I(r,t) = \oint\vec J\cdot d\vec A = 4\pi J_0 e^{-t/\tau_0}$, sendo o mesmo para qualquer $r$ — consistente com $\nabla\cdot\vec J=0$ fora da origem).

E3 —

Comparando com a tabela da Seção “Condutores, Isolantes, Dielétricos e Semicondutores”:

(a) $\sigma = 6{,}3\times10^{7}\,\text{S/m}$ está na faixa $10^6$–$10^8\,\text{S/m}$ →

(valor próximo ao da prata, o melhor condutor metálico usual).

(b) $\sigma = 2{,}5\times10^{-2}\,\text{S/m}$ está na faixa $10^{-6}$–$10^{4}\,\text{S/m}$ →

(c) $\sigma = 10^{-13}\,\text{S/m}$ está abaixo de $10^{-10}\,\text{S/m}$ →

E4 —

Condutividade intrínseca: $\sigma_i = e\,n_i(\mu_n+\mu_p)$, com $n_i$ em m$^{-3}$ e mobilidades em m²/V·s.

Conversão: $n_i = 2{,}4\times10^{13}\,\text{cm}^{-3} = 2{,}4\times10^{19}\,\text{m}^{-3}$; $\mu_n=3900\,\text{cm}^2/\text{V·s}=3900\times10^{-4}\,\text{m}^2/\text{V·s}=0{,}39\,\text{m}^2/\text{V·s}$; $\mu_p=1900\times10^{-4}=0{,}19\,\text{m}^2/\text{V·s}$.

Comparando com $\sigma_{Si}\approx2{,}7\times10^{-4}\,\text{S/m}$: o germânio intrínseco é cerca de quatro ordens de grandeza mais condutor que o silício intrínseco à mesma temperatura — consequência direta do gap de energia menor do Ge ($0{,}67\,\text{eV}$ vs. $1{,}12\,\text{eV}$ do Si), que aparece no expoente $e^{-E_g/2k_BT}$ e domina a concentração intrínseca de portadores.

E5 —

Com $n\approx N_d = 10^{16}\,\text{cm}^{-3} = 10^{22}\,\text{m}^{-3}$ e $\mu_n = 1350\,\text{cm}^2/\text{V·s}=0{,}135\,\text{m}^2/\text{V·s}$, e desprezando buracos ($p\ll n$):

Note como essa dopagem moderada eleva a condutividade em ~6 ordens de grandeza acima do Si intrínseco (E4 dá contexto de escala), ilustrando por que a dopagem controlada é a base de toda a eletrônica de semicondutores.

E6 —

(a) Da relação do coeficiente de Hall $R_H = 1/(nq)$ (Seção “Semicondutores”), isolando $n$:

(b) Mobilidade a partir de $\mu = |R_H|/\rho_{res}$ (Seção “Semicondutores”):

(c) O enunciado indica que o sinal de $R_H$ corresponde a portadores majoritários negativos (elétrons) — logo:

E7 —

(a) Da relação de Drude $\sigma = ne^2\tau/m \Rightarrow \tau = \dfrac{m\sigma}{ne^2}$:

(b) Livre caminho médio $\ell = v_F\tau$:

Compatível com a ordem de grandeza citada na Seção “Modelo de Drude — detalhes e limitações” (dezenas de Å) para metais em temperatura ambiente.

E8 —

Área da seção do fio: $A = \pi(d/2)^2 = \pi(0{,}75\times10^{-3})^2 = 1{,}767\times10^{-6}\,\text{m}^2$.

Usando $R = \dfrac{\ell}{\sigma A}$ (Seção “Dedução da forma macroscópica a partir da pontual”), com $\ell=2\,\text{m}$ e $\sigma=3{,}5\times10^{7}\,\text{S/m}$ (E7):

E9 —

(a) Força pelo método das imagens (Seção “Força sobre a carga real”), com carga imagem $-q$ em $z=-d$, separação total $2d$:

(b) Densidade de carga induzida diretamente abaixo da carga ($x=y=0$, ponto de máxima magnitude), da Seção “Carga induzida na superfície do condutor”:

E10 —

(a) Da Seção “Método das imagens: carga externa a uma esfera condutora aterrada”: $q' = -q\,\dfrac{a}{d} = -(8\times10^{-9})\dfrac{0{,}05}{0{,}20}$:

Posição da imagem: $b = a^2/d = (0{,}05)^2/0{,}20$:

(b) Como a esfera é aterrada, existe apenas a imagem $q'$. A força sobre a carga real é igual à força de Coulomb exercida por essa imagem:

Com $d-b = 0{,}20-0{,}0125 = 0{,}1875\,\text{m}$:

Verificação algébrica: substituindo $q'=-qa/d$ e $d-b=(d^2-a^2)/d$, obtém-se diretamente $F=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2ad}{(d^2-a^2)^2}$, a expressão da Seção “Método das imagens: carga externa a uma esfera condutora aterrada”.

E11 —

(a) Polarização em dielétrico linear (Seção “Materiais lineares: susceptibilidade e permissividade relativa”): $P = \varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E$:

(b) Deslocamento elétrico $D=\varepsilon_0\varepsilon_r E$:

(Verificação: $D = \varepsilon_0 E + P = 8{,}854\times10^{-12}\times2\times10^5 + 7{,}083\times10^{-6} = 1{,}771\times10^{-6}+7{,}083\times10^{-6}=8{,}854\times10^{-6}\,\text{C/m}^2$ ✓.)

(c) Carga ligada superficial $\sigma_b = \vec P\cdot\hat n$ (Seção “Cargas de polarização (ligadas)”); na face voltada para a placa positiva, $\hat n$ aponta contra o campo aplicado pela placa (a face do dielétrico ali é negativa, atraída pela placa positiva), mas em módulo:

E12 —

Capacitor de placas paralelas (Seção “Dedução: capacitor de placas paralelas”): $C = \dfrac{\varepsilon_r\varepsilon_0 A}{d}$, com $A=25\times10^{-4}\,\text{m}^2$, $d=0{,}5\times10^{-3}\,\text{m}$:

E13 —

Capacitor cilíndrico (Seção “Dedução: capacitor cilíndrico (cabo coaxial)”): $C = \dfrac{2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}$, com $a=1\,\text{mm}$, $b=6\,\text{mm}$, $L=0{,}8\,\text{m}$, $\varepsilon_r=2{,}1$:

E14 —

Capacitor esférico (Seção “Capacitor esférico”): $C = 4\pi\varepsilon_0\,\dfrac{ab}{b-a}$, com $a=0{,}02\,\text{m}$, $b=0{,}05\,\text{m}$:

E15 —

Associação série de $C_1$ e $C_2$ (Seção “Capacitores em série e paralelo”):

Essa combinação em paralelo com $C_3$:

E16 —

(a) Capacitância: $C=\dfrac{\varepsilon_r\varepsilon_0 A}{d} = \dfrac{(4)(8{,}854\times10^{-12})(10\times10^{-4})}{2\times10^{-3}}$:

(b) Tensão máxima antes da ruptura, $V_{max}=E_{max}\,d = (25\times10^{6})(2\times10^{-3})$:

(c) Energia máxima, $U_{max}=\dfrac12 C V_{max}^2$:

(Consistente com a forma equivalente $U_{max}=\tfrac12\varepsilon E_{max}^2(Ad)$ da Seção “Ruptura Dielétrica”.)

E17 —

(a) Constante de tempo: $\tau = RC = (2200)(100\times10^{-6})$:

(b) Carga no instante $t=0{,}3\,\text{s}$ (Seção “Circuito RC em série com fonte DC”), com $Q(0)=0$:

(c) Corrente no mesmo instante:

E18 (Desafio) —

Cada camada, isolada, comporta-se como um capacitor de placas paralelas com a mesma área $A$ das demais (a superfície entre camadas é equipotencial só na direção do campo — não há mudança de área). A carga livre $Q$ nas placas externas é igual à carga superficial ligada acumulada em cada interface, e cada camada suporta uma queda de tensão parcial $V_i = Q\,d_i/(\varepsilon_{ri}\varepsilon_0 A)$; a tensão total é a soma:

Logo $C_{eq}=Q/V$ tem exatamente a forma de três capacitores de placas paralelas $C_i=\varepsilon_{ri}\varepsilon_0A/d_i$ em série:

Calculando cada capacitância parcial ($A=20\times10^{-4}\,\text{m}^2$):

Combinando em série:

(Equivalentemente, $C_{eq} = \varepsilon_0 A\Big/\big(\sum_i d_i/\varepsilon_{ri}\big)$, que fornece o mesmo valor — forma útil para generalizar a $N$ camadas.)

E19 (Desafio) —

Com dopagem não uniforme $N_d(x) = N_{d0}(1+x/L)$ e mobilidade constante, a condutividade local é:

A barra pode ser vista como uma sequência de resistores infinitesimais em série (mesma seção $A_{bar}$, mas $\sigma$ variando com $x$), cada um com resistência $dR = \dfrac{dx}{\sigma(x)A_{bar}}$. A resistência total:

Fazendo $u=1+x/L$, $du=dx/L$:

Substituindo $L=2\times10^{-3}\,\text{m}$, $\mu_n=1350\times10^{-4}\,\text{m}^2/\text{V·s}=0{,}135\,\text{m}^2/\text{V·s}$, $N_{d0}=10^{16}\,\text{cm}^{-3}=10^{22}\,\text{m}^{-3}$, $A_{bar}=1\times10^{-6}\,\text{m}^2$:

Como verificação, a resistência de uma barra com dopagem uniforme igual a $N_{d0}$ (extremidade menos dopada) seria $R_0 = L/(e\mu_nN_{d0}A_{bar}) \approx 9{,}25\,\Omega$; como a dopagem real cresce ao longo de $x$ (barra mais condutora na média), é esperado $R<R_0$, o que se confirma ($6{,}41\,\Omega < 9{,}25\,\Omega$).

E20 (Desafio) —

Para satisfazer $V=0$ simultaneamente nos dois planos aterrados ($x=0$ e $y=0$), usa-se a superposição de três imagens (extensão direta da ideia da Seção “Dedução: carga puntiforme sobre plano condutor aterrado”, aplicada duas vezes):

• $-q$ em $(-x_0, y_0)$ — anula $V$ no plano $x=0$;
• $-q$ em $(x_0, -y_0)$ — anula $V$ no plano $y=0$;
• $+q$ em $(-x_0, -y_0)$ — necessária para que as duas imagens anteriores não violem a condição de contorno uma da outra (a superposição das quatro cargas garante $V=0$ nos dois planos simultaneamente).

Com $q=6\,\text{nC}$, $x_0=0{,}04\,\text{m}$, $y_0=0{,}03\,\text{m}$, calcula-se a força resultante sobre $q$ somando vetorialmente as três interações coulombianas:

onde $r_1$ é a distância até a imagem em $(-x_0,y_0)$ (igual a $2x_0=0{,}08\,\text{m}$, força puramente em $-\hat x$), $r_2$ é a distância até a imagem em $(x_0,-y_0)$ (igual a $2y_0=0{,}06\,\text{m}$, força puramente em $-\hat y$), e $r_3=2\sqrt{x_0^2+y_0^2}=2(0{,}05)=0{,}10\,\text{m}$ é a distância até a imagem diagonal em $(-x_0,-y_0)$ (força repulsiva, ao longo da direção que une as duas cargas, apontando para longe da origem).

Calculando componente a componente (unidades SI):

e decompondo a repulsão diagonal $F_3=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2}{r_3^2}$ nas direções $\hat x,\hat y$ proporcionalmente a $(x_0,y_0)/\sqrt{x_0^2+y_0^2}$, a soma vetorial resulta em:

O sinal negativo em ambas as componentes confirma que a força resultante aponta para dentro do canto (em direção aos dois planos), ou seja, a carga é atraída simultaneamente pelas duas superfícies condutoras aterradas — generalização natural do resultado de atração vista no caso de um único plano (Seção “Força sobre a carga real”).