5. Magnetostática: Fundamentos

Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Força de Lorentz · Lei de Biot-Savart · Lei Circuital de Ampère (Integral e Pontual) · Teorema de Stokes · Potencial Vetorial Magnético

5.1 Objetivos de Aprendizagem

Ao final deste capítulo, você será capaz de:

• [ ] Calcular a força de Lorentz sobre cargas em movimento em campos eletromagnéticos.
• [ ] Aplicar a Lei de Biot-Savart para calcular campos magnéticos de distribuições de corrente.
• [ ] Usar a Lei de Ampère em situações com simetria adequada.
• [ ] Relacionar corrente e potencial vetor magnético.
• [ ] Calcular a energia armazenada no campo magnético.

5.2 Intuição Física: O que é Campo Magnético?

Antes de definir matematicamente o campo magnético, pense em termos físicos:

• Campo magnético $\vec B$ é criado por cargas em movimento (correntes elétricas).
• A força magnética atua apenas sobre cargas em movimento e é sempre perpendicular à velocidade e ao campo.
• Diferente do campo elétrico, o campo magnético não realiza trabalho sobre cargas — ele apenas muda a direção da velocidade, não a energia cinética.
• Linhas de campo magnético formam laços fechados — não existem "cargas magnéticas" isoladas (monopolos magnéticos).

5.3 Aplicações no Mundo Real

5.4 Antes de começar

Ao final, você deve usar Lorentz, Biot–Savart e Ampère para obter campos e forças magnéticas, além de relacionar corrente, potencial vetor e energia magnética. Diagnóstico: rotacional nulo de $\vec B$ fora de um fio contradiz a Lei de Ampère? Evidência mínima: calcular campos de fio, espira e solenoide e verificar Stokes/Ampère em um caso simples.

5.5 Força de Lorentz

5.5.1 Enunciado

A força total exercida por campos elétrico e magnético sobre uma carga puntiforme $q$ movendo-se com velocidade $\vec{v}$ é:

conhecida como Força de Lorentz. O primeiro termo é a força eletrostática já estudada; o segundo, a força magnética, depende da velocidade da carga e é perpendicular tanto a $\vec{v}$ quanto a $\vec{B}$.

5.5.2 Propriedades da força magnética

1. Não realiza trabalho: como $\vec{F}_{mag}=q\vec{v}\times\vec{B}$ é sempre perpendicular a $\vec{v}$,

(pois $(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{v}=0$ — o produto misto com dois vetores repetidos é sempre nulo). A força magnética altera apenas a direção de $\vec{v}$, nunca sua magnitude ou a energia cinética da partícula.

1. Movimento circular em campo uniforme: para $\vec{B}$ uniforme e $\vec{v}\perp\vec{B}$, a força magnética atua como força centrípeta:

com frequência angular (frequência de cíclotron) $\omega_c = qB/m$, independente de $v$ — princípio de operação de cíclotrons e espectrômetros de massa.

1. Para uma distribuição de corrente (em vez de uma carga puntiforme), a força magnética por unidade de volume é $\vec{J}\times\vec{B}$, e a força total sobre um elemento de corrente $Id\vec{\ell}$ é $Id\vec{\ell}\times\vec{B}$.

import numpy as np

def forca_lorentz(q, E, v, B):
    return q*(np.array(E) + np.cross(v, B))

def raio_ciclotron(m, v, q, B):
    return m*v/(q*B)

# elétron em campo magnético de 0.5 T, movendo a 1e6 m/s perpendicular a B
m_e, q_e = 9.109e-31, 1.602e-19
r = raio_ciclotron(m_e, 1e6, q_e, 0.5)
print(f"Raio da trajetória circular: {r*1e6:.3f} µm")

F = forca_lorentz(q=q_e, E=[0,0,0], v=[1e6,0,0], B=[0,0,0.5])
print(f"Força magnética: {F} N")

Raio da trajetória circular: 11.372 µm
Força magnética: [ 0.00e+00 -8.01e-14  0.00e+00] N

5.6 Lei de Biot-Savart

5.6.1 Enunciado

Análoga à Lei de Coulomb, mas para fontes de corrente, a Lei de Biot-Savart (obtida experimentalmente por Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, 1820) descreve o campo magnético gerado por um elemento de corrente $I\,d\vec{\ell}'$:

Integrando ao longo de todo o circuito (Biot-Savart pressupõe correntes em circuitos fechados, ou distribuições volumétricas equivalentes):

onde $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\text{T·m/A}$ é a permeabilidade do vácuo. Para uma densidade de corrente volumétrica $\vec{J}$:

5.6.2 Dedução: campo de um fio retilíneo infinito

Fio ao longo do eixo $z$, corrente $I$ em $+\hat{z}$. Ponto de observação a distância perpendicular $s$ do fio. Um elemento $d\vec{\ell}'=dz'\,\hat{z}$ na posição $z'$ produz campo (usando $\vec{r}-\vec{r}'$ com componente perpendicular $s$ e componente ao longo do eixo $-z'$):

Como $\hat{z}\times\hat{s}=\hat{\phi}$ (coordenadas cilíndricas), o campo tem apenas componente azimutal:

Integrando de $z'=-\infty$ a $+\infty$ (usando a substituição $z'=s\tan\alpha$, $dz'=s\sec^2\alpha\,d\alpha$, $(s^2+z'^2)^{3/2}=s^3\sec^3\alpha$):

O campo circula ao redor do fio (regra da mão direita), com magnitude caindo como $1/s$ — resultado que será obtido de forma muito mais direta pela Lei de Ampère (Seção “Lei Circuital de Ampère — Forma Integral”), aproveitando a simetria cilíndrica do problema.

5.6.3 Campo no eixo de uma espira circular

Espira de raio $a$ no plano $xy$, corrente $I$, ponto de observação no eixo $z$. Por simetria, apenas a componente $B_z$ sobrevive (as componentes radiais se cancelam entre elementos diametralmente opostos, como no cálculo do campo elétrico do anel, arquivo 2):

No centro da espira ($z=0$): $B_z = \mu_0 I/(2a)$.

5.6.4 Bobinas de Helmholtz — campo uniforme

Duas espiras idênticas de raio $a$, separadas por distância $d=a$, percorridas pela mesma corrente $I$ no mesmo sentido, produzem um campo quase uniforme na região central. Este arranjo é chamado de bobinas de Helmholtz.

No ponto médio entre as espiras ($z=0$): cada espira contribui com $\mu_0 I a^2/[2(a^2+(a/2)^2)^{3/2}] = \mu_0 I a^2/(2(5a^2/4)^{3/2})$. Duas espiras:

Por que $d=a$?: O segundo derivado de $B_z$ em relação a $z$ se anula exatamente quando $d=a$, tornando o campo mais uniforme perto do centro do que em qualquer outra separação. O terceiro derivado é zero por simetria. O primeiro desvio quadrático é de apenas ~1% para $z\lesssim0{,}1a$.

As bobinas de Helmholtz são amplamente usadas em laboratórios para gerar campos magnéticos conhecidos e uniformes (ex.: cancelamento do campo terrestre, experiências de ressonância magnética).

5.6.5 Experimentos Python: espira circular e verificação de Biot–Savart

Objetivo: visualizar a geometria tridimensional do campo de uma espira e confrontar a integração direta de Biot–Savart com a fórmula fechada no eixo. A concordância numérica funciona como teste independente da dedução analítica.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig=plt.figure(figsize=(7,5)); ax=fig.add_subplot(projection="3d")
t=np.linspace(0,2*np.pi,240); ax.plot(np.cos(t),np.sin(t),0,lw=4,color="#d97706")
for z0 in np.linspace(-1.7,1.7,9):
    radius=.18+0.62*(abs(z0)/1.7)**1.5
    tt=np.linspace(0,2*np.pi,120)
    ax.plot(radius*np.cos(tt),radius*np.sin(tt),np.full_like(tt,z0),color="#2563eb",alpha=.7)
ax.quiver(0,0,-1.8,0,0,3.5,color="#dc2626",arrow_length_ratio=.08)
ax.text(1.05,0,0,"$I$",color="#b45309"); ax.text(.08,.08,1.6,"$\\vec B$")
ax.set_box_aspect((1,1,1.8)); ax.set_title("Campo magnético de uma espira circular"); ax.set_axis_off()
plt.tight_layout()

import numpy as np

mu0 = 4*np.pi*1e-7

def B_fio_infinito(s, I):
    return mu0*I/(2*np.pi*s)

def B_espira_eixo(z, I, a):
    return mu0*I*a**2/(2*(a**2+z**2)**1.5)

def B_espira_biot_savart_numerico(X, Z, a=1.0, I=1.0, n=400):
    """Integração numérica direta da Lei de Biot-Savart (verificação)."""
    phi = np.linspace(0, 2*np.pi, n, endpoint=False)
    dphi = phi[1]-phi[0]
    Bx = np.zeros_like(X); Bz = np.zeros_like(X)
    for p in phi:
        xs, ys = a*np.cos(p), a*np.sin(p)
        dlx, dly = -a*np.sin(p)*dphi, a*np.cos(p)*dphi
        rx, ry, rz = X-xs, -ys, Z
        r3 = np.maximum((rx**2+ry**2+rz**2)**1.5, 1e-9)
        Bx += (dly*rz)/r3
        Bz += (dlx*ry - dly*rx)/r3
    return mu0*I/(4*np.pi)*Bx, mu0*I/(4*np.pi)*Bz

# Verificação: campo numérico no eixo (X=0) vs fórmula fechada
Z = np.linspace(-3, 3, 50)
X = np.zeros_like(Z)
_, Bz_num = B_espira_biot_savart_numerico(X, Z)
Bz_formula = B_espira_eixo(Z, I=1.0, a=1.0)
print("Erro máximo numérico vs. fórmula fechada:",
      np.max(np.abs(Bz_num - Bz_formula)))

Erro máximo numérico vs. fórmula fechada: 5.505714157152952e-21

5.7 Teorema de Stokes

5.7.1 Enunciado

O Teorema de Stokes relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de um contorno fechado $C$ com o fluxo de seu rotacional através de qualquer superfície aberta $S$ delimitada por $C$:

com a orientação de $d\vec{A}$ dada pela regra da mão direita em relação ao sentido de percurso de $C$.

5.7.2 Ideia da demonstração (via malha de laços infinitesimais)

Divida a superfície $S$ em uma malha de pequenos laços retangulares. Para um laço infinitesimal no plano $xy$, de lados $dx,dy$, a circulação de $\vec{F}$ em torno dele é:

Somando sobre todos os laços que compõem $S$: as arestas internas compartilhadas por laços vizinhos são percorridas em sentidos opostos e se cancelam, restando apenas a contribuição das arestas na fronteira externa — exatamente $\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{\ell}$. Isso demonstra o teorema (generalização análoga vale para superfícies curvas, decompondo-as em elementos planos infinitesimais).

5.7.3 Interpretação física do rotacional

$(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}$ mede a circulação de $\vec{F}$ por unidade de área ao redor de um ponto, no plano perpendicular a $\hat{n}$:

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig=plt.figure(figsize=(7,5)); ax=fig.add_subplot(projection="3d")
r=np.linspace(0,1,24); t=np.linspace(0,2*np.pi,90); R,T=np.meshgrid(r,t)
X,Y=R*np.cos(T),R*np.sin(T); Z=.25*(1-R**2)*np.cos(2*T)
ax.plot_surface(X,Y,Z,color="#60a5fa",alpha=.45,edgecolor="none")
tb=np.linspace(0,2*np.pi,240); ax.plot(np.cos(tb),np.sin(tb),np.zeros_like(tb),color="#7c3aed",lw=4)
ax.quiver(0,0,0,0,0,1,color="#dc2626",length=.9); ax.text(.06,.06,.85,"$\\hat n$")
ax.text(.15,.15,.05,"$S$",fontsize=14); ax.text(1.03,0,0,"$C=\\partial S$",fontsize=12)
ax.set_box_aspect((1,1,.65)); ax.set_title("Teorema de Stokes: superfície e contorno"); ax.set_axis_off()
plt.tight_layout()

5.8 Lei Circuital de Ampère — Forma Integral

5.8.1 Dedução a partir de Biot-Savart (fio infinito)

Já obtivemos (Seção “Dedução: campo de um fio retilíneo infinito”) que o campo de um fio infinito é $B_\phi(s)=\mu_0 I/(2\pi s)$. Calcule a circulação de $\vec{B}$ ao longo de um caminho circular de raio $s$, centrado no fio, no plano perpendicular a ele:

O resultado não depende de $s$ — assim como no caso do fluxo elétrico da Lei de Gauss, isso sugere um resultado geral. De fato, para qualquer caminho fechado ao redor do fio (não apenas circular) e para qualquer distribuição de correntes, vale a Lei Circuital de Ampère:

onde $I_{env}$ é a corrente total que atravessa qualquer superfície delimitada por $C$ (o resultado independe de qual superfície se escolhe, desde que compartilhe o contorno $C$ — consequência de $\nabla\cdot\vec{J}=0$ em regime estacionário, Seção “Ideia da demonstração (via malha de laços infinitesimais)”.2, que veremos formalmente ser condição para a consistência da própria Lei de Ampère).

5.8.2 Aplicações com simetria

Assim como a Lei de Gauss, a Lei de Ampère só é diretamente útil para calcular $\vec{B}$ quando há simetria suficiente para tirar $B$ da integral (fio reto, solenoide, toroide).

5.8.3 Exemplo Resolvido Passo a Passo: Campo de um Toroide

Problema: Um toroide tem $N$ espiras, raio médio $R$, e é percorrido por corrente $I$. Determine o campo magnético $\vec{B}$ no interior e no exterior do toroide.

Passo 1: Identificar a simetria e escolher o caminho amperiano.
O toroide possui simetria axial (em torno do eixo $z$). O campo magnético deve ser azimutal ($\vec{B} = B_\phi(r)\hat{\phi}$) e depender apenas da distância $r$ ao eixo $z$. Escolhemos como caminho amperiano $C$ um círculo de raio $r$, centrado na origem, no plano $xy$.

Passo 2: Calcular a circulação $\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{\ell}$.
Ao longo do círculo de raio $r$:

Passo 3: Calcular a corrente envolvida $I_{env}$.

• Se o caminho está dentro do buraco do toroide ($r < R - a$, onde $a$ é o raio da seção transversal): nenhuma corrente atravessa a superfície delimitada por $C$, logo $I_{env} = 0$.
• Se o caminho está dentro do núcleo do toroide ($R - a < r < R + a$): o caminho atravessa as $N$ espiras, cada uma com corrente $I$. O sentido da corrente é tal que todas as $N$ espiras contribuem com o mesmo sinal. Logo, $I_{env} = NI$.
• Se o caminho está fora do toroide ($r > R + a$): o caminho atravessa as $N$ espiras no sentido positivo e as $N$ espiras de retorno no sentido negativo (ou, equivalentemente, a corrente líquida através da superfície é zero, pois cada fio que entra também sai). Logo, $I_{env} = 0$.

Passo 4: Aplicar a Lei de Ampère para cada região.

• Interior do buraco ($r < R-a$):

• Dentro do núcleo ($R-a < r < R+a$):

• Exterior do toroide ($r > R+a$):

onde $n = N/(2\pi R)$ é o número de espiras por unidade de comprimento — análogo ao solenoide infinito.

Solenoide ideal (infinito, $n$ espiras por unidade de comprimento, corrente $I$): usando um caminho retangular amperiano com um lado dentro do solenoide (comprimento $L$) e o lado oposto fora (onde $B\approx0$):

(uniforme dentro, nulo fora — para um solenoide idealmente infinito).

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig,ax=plt.subplots(figsize=(8,4)); t=np.linspace(0,14*np.pi,900)
x=np.linspace(-3,3,len(t)); y=.75*np.sin(t)
ax.plot(x,y,color="#d97706",lw=2.5)
for yy in np.linspace(-.52,.52,5):
    ax.annotate("",(2.65,yy),(-2.65,yy),arrowprops=dict(arrowstyle="->",color="#2563eb",lw=1.7))
ax.text(0,.05,"$\\vec B\\simeq\\mu_0nI$",ha="center",bbox=dict(fc="white",alpha=.85,ec="none"))
ax.set(xlim=(-3.4,3.4),ylim=(-1.15,1.15),title="Campo aproximadamente uniforme no solenoide"); ax.axis("off")
plt.tight_layout()

5.9 Lei de Ampère — Forma Pontual

5.9.1 Dedução

Partindo da forma integral e escrevendo $I_{env}=\int_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$:

Aplicando o Teorema de Stokes ao lado esquerdo:

Como isso vale para qualquer superfície $S$ (arbitrária, desde que compartilhe o contorno $C$, e $C$ também é arbitrário):

5.9.2 Consistência com a conservação da carga

Tomando o divergente de ambos os lados (o divergente de um rotacional é sempre identicamente nulo, $\nabla\cdot(\nabla\times\vec{B})\equiv0$):

Ou seja, a Lei de Ampère nesta forma exige $\nabla\cdot\vec{J}=0$ — válida apenas em regime estacionário (Seção “Ideia da demonstração (via malha de laços infinitesimais)”.2). Em situações não estacionárias (por exemplo, um capacitor sendo carregado, onde $\rho$ varia no tempo entre as placas), essa forma da Lei de Ampère é inconsistente, e precisará da correção de Maxwell (corrente de deslocamento), que será deduzida no arquivo sobre eletrodinâmica.

5.10 Força entre Fios Paralelos

5.10.1 Dedução

Considere dois fios paralelos infinitos, separados por distância $d$, percorridos por correntes $I_1$ e $I_2$ no mesmo sentido.

O fio 1 produz no local do fio 2 o campo $B_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$ (perpendicular ao fio 2). A força por unidade de comprimento sobre o fio 2:

Mesmo sentido → atração; sentidos opostos → repulsão. Este é o resultado histórico que levou à definição original do ampère (corrente que produz $2\times10^{-7}\,\text{N/m}$ de força entre fios separados por 1 m).

5.10.2 Aplicação: busbar e forças eletrodinâmicas

Em curto-circuito, correntes da ordem de 50 kA podem fluir entre barras condutoras (busbars). Para $I_1=I_2=50\,\text{kA}$ e $d=10\,\text{cm}$:

Isso equivale a 50 toneladas por metro de força mecânica — requer fixação robusta das barras condutoras. Em subestações, este é um dos critérios de projeto mecânico mais críticos.

5.11 Potencial Vetorial Magnético

5.11.1 Existência garantida por $\nabla\cdot\vec{B}=0$

Diferentemente do campo elétrico, o campo magnético nunca tem fontes puntiformes (não existem monopolos magnéticos observados): $\nabla\cdot\vec{B}=0$ sempre (Lei de Gauss magnética, que será formalizada como uma das equações de Maxwell). Como o divergente de um rotacional é sempre nulo, essa condição garante (por um teorema de cálculo vetorial, análogo ao teorema de Helmholtz) que $\vec{B}$ pode sempre ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial, o potencial vetor magnético $\vec{A}$:

Isso satisfaz automaticamente $\nabla\cdot\vec{B}=\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})\equiv0$, assim como $\vec{E}=-\nabla V$ satisfaz automaticamente $\nabla\times\vec{E}=0$.

5.11.2 Liberdade de calibre (gauge) e escolha de Coulomb

$\vec{A}$ não é único: qualquer $\vec{A}' = \vec{A}+\nabla\chi$ (para função escalar arbitrária $\chi$) produz o mesmo $\vec{B}$, pois $\nabla\times(\nabla\chi)\equiv0$. Essa liberdade é chamada liberdade de calibre. Uma escolha conveniente em magnetostática é o calibre de Coulomb:

5.11.3 Dedução da equação para $\vec{A}$

Substituindo $\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$ na Lei de Ampère pontual $\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}$:

Usando a identidade vetorial $\nabla\times(\nabla\times\vec{A}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{A}) - \nabla^2\vec{A}$, e o calibre de Coulomb ($\nabla\cdot\vec{A}=0$):

Esta é uma equação de Poisson vetorial — cada componente cartesiana de $\vec{A}$ satisfaz uma equação de Poisson escalar independente, análoga à do potencial elétrico. Por analogia direta com a solução de Poisson eletrostática (arquivo 2), a solução é:

5.11.4 Recuperando Biot-Savart a partir de $\vec{A}$

Como verificação de consistência, aplicando $\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$ à expressão acima (o operador $\nabla$ atua sobre $\vec{r}$, não sobre $\vec{r}'$):

(usando a identidade $\nabla\times(f\vec{c}) = \nabla f\times\vec{c}$ para $\vec{c}$ constante em relação a $\vec{r}$, com $f=1/|\vec{r}-\vec{r}'|$ e $\nabla f = -(\vec{r}-\vec{r}')/|\vec{r}-\vec{r}'|^3$) — recuperando exatamente a Lei de Biot-Savart da Seção “Enunciado”. Isso confirma que $\vec{A}$ e Biot-Savart carregam a mesma informação física, sendo $\vec{A}$ a formulação preferida para tratar radiação e ondas eletromagnéticas (Parte 2 da apostila), onde o cálculo direto de $\vec{B}$ via Biot-Savart se torna muito mais complexo.

import numpy as np

mu0 = 4*np.pi*1e-7

def A_fio_finito(rho, z, L, I):
    """Potencial vetor (componente z) de um segmento de fio finito ao longo de z,
    de -L/2 a L/2, calculado no ponto (rho, z) em coordenadas cilíndricas."""
    def integrand(zp):
        return 1/np.sqrt(rho**2 + (z-zp)**2)
    from scipy.integrate import quad
    val, _ = quad(integrand, -L/2, L/2)
    return mu0*I/(4*np.pi) * val

# A_z decai lentamente perto do fio e mais rápido longe dele
rho = 0.5
for z in [0, 1, 5]:
    Az = A_fio_finito(rho, z, L=10, I=1.0)
    print(f"z={z}: A_z = {Az:.4e} T·m")

z=0: A_z = 5.9964e-07 T·m
z=1: A_z = 5.9563e-07 T·m
z=5: A_z = 3.6895e-07 T·m

5.12 Energia do Campo Magnético

5.12.1 Energia armazenada em um indutor

Quando uma corrente cresce em um indutor $L$, a fem autoinduzida $\varepsilon = -L\,dI/dt$ se opõe ao aumento. A potência fornecida para vencer esta fem é $P = -\varepsilon I = LI\,(dI/dt)$. A energia total armazenada ao levar a corrente de $0$ a $I$:

5.12.2 Densidade de energia magnética

Reescrevendo em termos do campo: para um solenoide ($L = \mu_0 n^2 A \ell$, $B = \mu_0 n I$):

Como o volume do solenoide é $V_{vol} = A\ell$, a densidade de energia magnética é:

No vácuo, essa expressão é local e não depende de o campo ter sido produzido por um solenoide. Em meio material linear, não dispersivo e sem histerese:

Para relação constitutiva não linear e reversível, calcula-se a energia incremental por uma integral, por exemplo $u=\int_0^{\vec B}\vec H\cdot d\vec B'$. Com histerese, parte do trabalho é dissipada e uma função de estado simples pode não existir.

5.12.3 Energia total e comparação com o campo elétrico

Somando as contribuições elétrica e magnética:

Em uma onda plana progressiva no vácuo, as duas contribuições instantâneas são iguais ($u_E=u_B$), pois $E=cB$. Isso não vale ponto a ponto para uma onda estacionária ou para campos reativos próximos de fontes:

Este equilíbrio entre energia elétrica e magnética é fundamental para a propagação de ondas — veremos na Parte 2.

5.12.4 Indutância mútua e energia de acoplamento

Dois indutores acoplados com indutâncias $L_1$, $L_2$ e indutância mútua $M$ armazenam:

(o sinal depende do sentido relativo das correntes — acoplamento direto vs. oposto).

O coeficiente de acoplamento $k = M/\sqrt{L_1 L_2}$ satisfaz $0 \le k \le 1$. Para transformadores ideais, $k\to1$.

5.13 Exercícios Resolvidos em Python

5.13.1 Roteiro computacional

Objetivo. Integrar Biot–Savart, comparar com soluções fechadas e verificar Ampère em geometrias simétricas.

Como executar. Requer numpy, scipy e matplotlib. Faça estudo de convergência no número de elementos de corrente e evite avaliar exatamente sobre o fio ideal.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mu0 = 4*np.pi*1e-7

# === Lei de Ampère vs Biot-Savart ===
def B_fio_finito_biot_savart(s, L, I, n=2000):
    """Integra Biot-Savart para um fio de comprimento L centrado na origem."""
    z = np.linspace(-L/2, L/2, n)
    dz = z[1]-z[0]
    r = np.sqrt(s**2 + z**2)
    dB = mu0*I/(4*np.pi) * s*dz/r**3
    return np.sum(dB)

def B_fio_infinito(s, I):
    return mu0*I/(2*np.pi*s)

s = 0.1
for L in [1, 10, 100, 1000]:
    B_num = B_fio_finito_biot_savart(s, L, I=1.0)
    B_inf = B_fio_infinito(s, I=1.0)
    print(f"L={L:>5} m -> B_numérico={B_num:.6e} T, "
          f"B_infinito={B_inf:.6e} T, razão={B_num/B_inf:.4f}")

# === Bobinas de Helmholtz ===
def B_helmholtz(z, I, a):
    """Campo no eixo de duas espiras separadas por d=a (Helmholtz)."""
    d = a  # separação = raio
    B1 = mu0*I*a**2/(2*((a/2)**2 + (z+d/2)**2)**1.5)
    B2 = mu0*I*a**2/(2*((a/2)**2 + (z-d/2)**2)**1.5)
    return B1 + B2

a = 0.1  # 10 cm
z_vals = np.linspace(-0.05, 0.05, 100)
B_helm = B_helmholtz(z_vals, I=1.0, a=a)
B_centro = B_helmholtz(0, I=1.0, a=a)
print(f"\nHelmholtz: B_centro = {B_centro:.6e} T")
print(f"Variação máxima no centro: {np.max(B_helm)-B_centro:.6e} T (~{np.max(np.abs(B_helm-B_centro))/B_centro*100:.2f}%)")

# === Força entre fios paralelos ===
def força_por_comprimento(I1, I2, d):
    return mu0*I1*I2/(2*np.pi*d)

I1, I2, d = 100, 100, 0.1  # 100A, 10cm
F_l = força_por_comprimento(I1, I2, d)
print(f"Força entre fios (100A, 10cm): {F_l:.4f} N/m")

# === Gerador de Faraday disk ===
def fem_disk(omega, B, R):
    return 0.5*omega*B*R**2

omega, B, R = 360*2*np.pi/60, 0.5, 0.1  # 360 rpm
eps = fem_disk(omega, B, R)
print(f"FEM do disco de Faraday (360 rpm): {eps*1e3:.3f} mV")

# === Potencial vetor de espira no eixo ===
def A_espira_eixo(z, I, a, n=500):
    """Calcula A_z no eixo de uma espira por integração numérica de Biot-Savart."""
    phi = np.linspace(0, 2*np.pi, n, endpoint=False)
    dphi = phi[1]-phi[0]
    Az = 0.0
    for p in phi:
        xs, ys = a*np.cos(p), a*np.sin(p)
        dlx, dly = -a*np.sin(p)*dphi, a*np.cos(p)*dphi
        rx, ry, rz = -xs, -ys, z
        r = np.sqrt(rx**2+ry**2+rz**2)
        Az += (dlx*(-rx) + dly*(-ry))/r**3  # (dl × r)/r³ · z-hat
    return mu0*I/(4*np.pi) * Az

# A_z no centro da espira
Az_center = A_espira_eixo(0, I=1.0, a=0.1)
# A_z longe da espira (decai como dipolo: A ~ 1/r²)
Az_far = A_espira_eixo(1.0, I=1.0, a=0.1)
print(f"\nA_z no centro: {Az_center:.6e} T·m")
print(f"A_z a z=1m: {Az_far:.6e} T·m (decai como 1/z²)")

# === Visualização: campo da espira ===
phi_vals = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
B_axis = B_helmholtz(z_vals, I=1.0, a=0.1)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,5))
ax.plot(z_vals*100, B_axis/B_centro, 'b', linewidth=2)
ax.axhline(1, color='k', linestyle='--', alpha=0.5, label='B centro')
ax.set_xlabel('z (cm)')
ax.set_ylabel('B/B_centro')
ax.set_title('Uniformidade do campo de Helmholtz')
ax.legend()
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()

Output:

L=    1 m -> B_numérico=1.961199e-06 T, B_infinito=2.000000e-06 T, razão=0.9806
L=   10 m -> B_numérico=1.999601e-06 T, B_infinito=2.000000e-06 T, razão=0.9998
L=  100 m -> B_numérico=1.999932e-06 T, B_infinito=2.000000e-06 T, razão=1.0000
L= 1000 m -> B_numérico=5.442961e-07 T, B_infinito=2.000000e-06 T, razão=0.2721

Helmholtz: B_centro = 3.554306e-05 T
Variação máxima no centro: 1.932021e-05 T (~54.36%)
Força entre fios (100A, 10cm): 0.0200 N/m
FEM do disco de Faraday (360 rpm): 94.248 mV

A_z no centro: 7.940934e-24 T·m
A_z a z=1m: 7.823292e-27 T·m (decai como 1/z²)

5.14 Resumo do Capítulo

5.14.1 Fórmulas-Chave

5.14.2 Casos de Simetria Comuns

5.14.3 Conceitos-Chave

1. Força de Lorentz: A parte magnética $q\vec{v}\times\vec{B}$ não realiza trabalho.
2. Lei de Biot-Savart: Campo de um elemento de corrente $I\,d\vec{\ell}$.
3. Lei de Ampère: Só é útil para calcular $\vec B$ diretamente quando há simetria adequada.
4. Potencial vetor magnético: $\vec B = \nabla\times\vec A$ — sempre existe porque $\nabla\cdot\vec B=0$.
5. Energia do campo magnético: $u_B = B^2/(2\mu_0)$ — energia armazenada no espaço.

5.15 Lista de Exercícios Propostos

5.15.1 Força de Lorentz

E1 Um próton ($m_p=1{,}673\times10^{-27}\,\text{kg}$, $q=1{,}602\times10^{-19}\,\text{C}$) entra em uma região de campo magnético uniforme $B=0{,}8\,\text{T}$, perpendicular à sua velocidade $v=2\times10^6\,\text{m/s}$. Determine (a) o raio da trajetória circular; (b) a frequência de cíclotron (em Hz e em MHz). O resultado da frequência depende de $v$?

E2 Um seletor de velocidades utiliza campos cruzados $\vec{E}$ e $\vec{B}$ perpendiculares entre si e à velocidade da partícula. Se $E=5\times10^4\,\text{V/m}$ e $B=0{,}02\,\text{T}$, qual velocidade atravessa o seletor sem deflexão? Justifique a condição de equilíbrio a partir da força de Lorentz.

E3 Um elétron realiza um movimento circular de raio $r=1{,}5\,\text{cm}$ em um campo $B=4\times10^{-3}\,\text{T}$. Calcule sua velocidade e sua energia cinética (em elétron-volts), assumindo velocidade não relativística.

5.15.2 Lei de Biot-Savart

E4 Um fio retilíneo finito, de comprimento total $2L=0{,}6\,\text{m}$, conduz corrente $I=15\,\text{A}$. Calcule o campo magnético em um ponto sobre a mediatriz do fio (perpendicular ao seu ponto médio), a distância $s=0{,}15\,\text{m}$. Compare com o resultado do fio infinito ($s$ igual) e expresse a razão entre os dois valores.

E5 Uma espira circular de raio $a=5\,\text{cm}$ conduz corrente $I=8\,\text{A}$. Determine o campo magnético (a) no centro da espira; (b) em um ponto do eixo a $z=5\,\text{cm}$ do centro. Compare as duas magnitudes.

E6 Duas bobinas de Helmholtz de raio $a=20\,\text{cm}$, com $N=1$ espira cada, são percorridas pela mesma corrente $I=10\,\text{A}$ no mesmo sentido, separadas pela distância ótima $d=a$. Calcule o campo no ponto médio entre as bobinas.

E7 Uma espira quadrada de lado $a=10\,\text{cm}$ conduz corrente $I=5\,\text{A}$. Usando a Lei de Biot-Savart aplicada a cada um dos quatro lados (segmentos retos finitos), calcule o campo magnético no centro da espira. Expresse o resultado em função de $\mu_0$, $I$ e $a$.

E8 (Desafio) Um fio infinito retilíneo ao longo do eixo $z$ é dobrado formando um quarto de círculo de raio $R$ no plano $xy$ (centrado na origem), continuando depois como fio reto radial até o infinito, conforme a figura de um "gancho". Considerando apenas o arco de $90°$ percorrido por corrente $I$, mostre que sua contribuição para o campo no centro do arco é $B=\mu_0 I/(8R)$ (um quarto do valor de uma espira completa). Explique por que os trechos retos, se estiverem ao longo de uma linha que passa pelo centro, não contribuem para o campo nesse ponto.

5.15.3 Teorema de Stokes

E9 Dado o campo vetorial $\vec{F}=x^2\hat{y}$ (em unidades SI arbitrárias) e o contorno retangular $C$ no plano $xy$ com vértices $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,3)$ e $(0,3)$, percorrido no sentido anti-horário: (a) calcule diretamente $\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{\ell}$; (b) calcule $\int_S(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A}$ sobre a superfície plana delimitada por $C$; (c) verifique que os dois resultados coincidem, confirmando o Teorema de Stokes.

E10 (Desafio) Verifique, para o campo magnético de um fio infinito $\vec{B}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi s}\hat{\phi}$ (coordenadas cilíndricas, $s\neq0$), que $\nabla\times\vec{B}=\vec{0}$ em qualquer ponto fora do fio, usando a expressão do rotacional em coordenadas cilíndricas. Em seguida, reconcilie esse resultado com a Lei de Ampère pontual $\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}$, sabendo que a corrente está concentrada em $s=0$ (dica: toda a "fonte" do rotacional está na singularidade do fio, análogo ao papel de $\delta(\vec{r})$ na eletrostática de uma carga puntiforme).

5.15.4 Lei Circuital de Ampère — Integral e Pontual

E11 Um solenoide ideal possui $n=2000$ espiras por metro e conduz corrente $I=3\,\text{A}$. Calcule o campo magnético no seu interior. Se o solenoide tem comprimento $\ell=0{,}5\,\text{m}$ e área de seção $A=4\,\text{cm}^2$, calcule também sua indutância $L$.

E12 (Desafio) Um toroide de seção reta circular tem raio médio $r=10\,\text{cm}$ e é enrolado com $N=500$ espiras, conduzindo corrente $I=2\,\text{A}$. Usando a Lei Circuital de Ampère com um caminho amperiano circular concêntrico ao toroide (de raio $r$, inteiramente dentro do núcleo), deduza a expressão para o campo magnético no interior do toroide (por analogia com a dedução do solenoide, Seção “Aplicações com simetria”) e calcule seu valor numérico. Mostre também que $B=0$ para um caminho amperiano fora do toroide (tanto para $s$ menor que o raio interno quanto maior que o raio externo do núcleo).

E13 Um cabo coaxial possui condutor interno maciço de raio $a=2\,\text{mm}$ conduzindo corrente $I=50\,\text{A}$ (densidade uniforme) e uma casca condutora externa entre $b=6\,\text{mm}$ e $c=8\,\text{mm}$, conduzindo a corrente de retorno $-I$ (densidade uniforme na casca). Usando a Lei de Ampère, determine $B(s)$ nas quatro regiões: $s<a$; $a<s<b$; $b<s<c$; $s>c$. Verifique a continuidade de $B(s)$ nas fronteiras $s=b$ e mostre que $B=0$ para $s>c$.

E14 Uma densidade de corrente $\vec{J}=J_0\hat{z}$ (uniforme) preenche um cilindro infinito de raio $R$. Usando a Lei de Ampère pontual (forma diferencial) em coordenadas cilíndricas, verifique que o campo $B_\phi(s)=\mu_0 J_0 s/2$ (para $s<R$) satisfaz $\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}$, calculando explicitamente $(\nabla\times\vec{B})_z = \dfrac{1}{s}\dfrac{\partial(sB_\phi)}{\partial s}$.

5.15.5 Força entre Fios Paralelos

E15 Dois fios paralelos infinitos, separados por $d=5\,\text{cm}$, conduzem correntes $I_1=I_2=30\,\text{A}$ no mesmo sentido. Calcule a força por unidade de comprimento entre eles e indique se é atrativa ou repulsiva.

E16 Três fios paralelos infinitos, igualmente espaçados por $d=4\,\text{cm}$ (dispostos em linha reta: fio 1 — fio 2 — fio 3), conduzem a mesma corrente $I=20\,\text{A}$, todas no mesmo sentido. Calcule a força resultante por unidade de comprimento sobre o fio central (fio 2), devido aos outros dois.

5.15.6 Potencial Vetorial Magnético

E17 Um fio retilíneo finito de comprimento $L=0{,}4\,\text{m}$, centrado na origem e alinhado com o eixo $z$, conduz corrente $I=20\,\text{A}$. Usando $\vec{A}(\vec{r})=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{I\,d\vec{\ell}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$, mostre que, em um ponto sobre a mediatriz do fio a distância $\rho=0{,}1\,\text{m}$, o potencial vetor tem apenas componente $A_z$ dada por

e calcule seu valor numérico.

E18 (Desafio) Verifique explicitamente a identidade vetorial usada na Seção “Dedução da equação para $\vec{A}$”, $\nabla\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\nabla\cdot\vec{A})-\nabla^2\vec{A}$, para o campo particular $\vec{A}=x^2y\,\hat{z}$ (unidades arbitrárias): calcule ambos os lados separadamente (em coordenadas cartesianas) e mostre que coincidem.

5.15.7 Energia do Campo Magnético

E19 Um indutor de $L=0{,}2\,\text{H}$ conduz uma corrente $I=4\,\text{A}$. Calcule a energia armazenada. Em seguida, calcule a densidade de energia magnética em um ponto onde $B=1{,}2\,\text{T}$ (no vácuo).

E20 Dois indutores acoplados, com $L_1=0{,}5\,\text{H}$, $L_2=0{,}8\,\text{H}$ e coeficiente de acoplamento $k=0{,}6$ (acoplamento direto), conduzem correntes $I_1=2\,\text{A}$ e $I_2=3\,\text{A}$. Calcule a indutância mútua $M$ e a energia total armazenada no sistema.

5.16 Gabarito

E1 A força magnética fornece a força centrípeta: $qvB=mv^2/r\Rightarrow r=mv/(qB)$.

A frequência de cíclotron $f=\omega_c/(2\pi)=qB/(2\pi m)$:

A frequência não depende de $v$: um aumento de $v$ aumenta proporcionalmente $r$ ($r=mv/qB$), de modo que o período $T=2\pi r/v = 2\pi m/(qB)$ permanece constante — é exatamente esse fato que torna o cíclotron funcional (a frequência do campo elétrico acelerador pode ser fixa).

E2 No seletor de velocidades, a força elétrica $qE$ e a força magnética $qvB$ atuam em sentidos opostos sobre a carga (por construção geométrica dos campos cruzados). O equilíbrio ocorre quando:

Apenas partículas com essa velocidade exata atravessam em linha reta; as demais são defletidas, pois a razão entre as duas forças ($qE$ fixo, $qvB$ dependente de $v$) só se cancela para esse valor específico — independente de $q$ ou $m$.

E3 Da relação do raio de cíclotron, $r=mv/(qB)\Rightarrow v = qBr/m$. Para o elétron, $m_e=9{,}109\times10^{-31}\,\text{kg}$, $q_e=1{,}602\times10^{-19}\,\text{C}$:

A energia cinética (não relativística, pois $v/c\approx 0{,}035\ll1$, válido):

Convertendo para elétron-volts ($1\,\text{eV}=1{,}602\times10^{-19}\,\text{J}$):

E4 Para um segmento reto finito de comprimento $2L_h$ (aqui $L_h=0{,}3\,\text{m}$, metade do comprimento total), o campo em um ponto à distância perpendicular $s$ sobre a mediatriz é obtido integrando Biot-Savart (mesma dedução da Seção “Dedução: campo de um fio retilíneo infinito”, mas com limites finitos $z'=-L_h$ a $+L_h$):

Com $I=15\,\text{A}$, $s=0{,}15\,\text{m}$, $L_h=0{,}3\,\text{m}$:

O campo do fio infinito equivalente: $B_{\text{inf}}=\mu_0 I/(2\pi s) = (4\pi\times10^{-7})(15)/(2\pi\times0{,}15) = 2{,}0\times10^{-5}\,\text{T}$.

A razão:

O fio finito produz cerca de 89% do campo do fio infinito nesse ponto — a diferença viria dos "trechos faltantes" além de $\pm L_h$, que no caso infinito continuariam contribuindo.

E5 (a) No centro ($z=0$), usando $B_z=\mu_0Ia^2/[2(a^2+z^2)^{3/2}]$ com $z=0$:

Com $\mu_0 I = 4\pi\times10^{-7}\times8 = 1{,}00531\times10^{-5}\,\text{T·m}$ e $2a=0{,}1\,\text{m}$:

(b) Em $z=0{,}05\,\text{m}$ (note que $z=a$ neste caso):

O campo cai para cerca de 35% do valor central quando nos afastamos uma distância igual ao raio — consistente com o fator $(1+z^2/a^2)^{-3/2}=(2)^{-3/2}\approx0{,}3536$.

E6 Usando o resultado da Seção “Bobinas de Helmholtz — campo uniforme”, $B(0)=(4/5)^{3/2}\mu_0I/a$, com $I=10\,\text{A}$ e $a=0{,}2\,\text{m}$:

E7 Cada lado do quadrado é um segmento reto de comprimento $a=0{,}1\,\text{m}$; o ponto central está sobre a mediatriz de cada lado, a distância perpendicular $s=a/2=0{,}05\,\text{m}$, e o "meio-comprimento" do segmento visto a partir dessa mediatriz é também $L_h=a/2=0{,}05\,\text{m}$ (pois o centro do quadrado está alinhado com o ponto médio de cada lado). Usando a fórmula do fio finito (E4):

Como $\sqrt{(a/2)^2+(a/2)^2}=(a/2)\sqrt{2}$:

Numericamente, com $I=5\,\text{A}$, $a=0{,}1\,\text{m}$:

Os quatro lados contribuem igualmente (por simetria, todas as componentes apontam na mesma direção perpendicular ao plano da espira no centro):

E8 (Desafio) Para o arco de $90°$ (quarto de círculo) de raio $R$, cada elemento $d\vec{\ell}'=R\,d\theta\,\hat{\theta}$ é sempre perpendicular ao vetor $\vec{r}-\vec{r}'$ que aponta do elemento ao centro (pois todo ponto do arco está à distância $R$ do centro, radialmente). Logo $|d\vec{\ell}'\times(\vec{r}-\vec{r}')|=R\,d\theta\cdot R = R^2d\theta$, e todas as contribuições apontam na mesma direção (perpendicular ao plano do arco, pela regra da mão direita). Por Biot-Savart:

Integrando de $\theta=0$ a $\theta=\pi/2$ (um quarto de volta):

que é exatamente $1/4$ do campo de uma espira completa no seu centro ($\mu_0I/(2R)$), como esperado, já que a espira completa é $4\times$ o arco de $90°$ e a contribuição por unidade de ângulo é constante ($dB/d\theta=\mu_0I/(4\pi R)$, independente de $\theta$).

Quanto aos trechos retos: se o fio reto (antes ou depois do arco) está ao longo de uma reta que passa pelo centro do arco (radial), então para qualquer elemento $d\vec{\ell}'$ desse trecho, o vetor $(\vec{r}-\vec{r}')$ (do elemento até o centro) é colinear com $d\vec{\ell}'$ (ambos ao longo da mesma reta radial). Como $d\vec{\ell}'\times(\vec{r}-\vec{r}')=0$ para vetores paralelos (ou antiparalelos), esses trechos não contribuem para o campo no centro do arco — apenas o próprio arco contribui.

E9 (a) Cálculo direto da circulação sobre o retângulo $(0,0)\to(2,0)\to(2,3)\to(0,3)\to(0,0)$, com $\vec F = x^2\hat y$ (então $F_x=0$ em todo ponto):

• Trecho $(0,0)\to(2,0)$: ao longo de $y=0$, $d\vec\ell=dx\,\hat x$; como $\vec F\cdot\hat x=0$, contribuição nula.
• Trecho $(2,0)\to(2,3)$: ao longo de $x=2$, $d\vec\ell=dy\,\hat y$; $\vec F\cdot d\vec\ell = x^2\,dy=4\,dy$. Integrando de $y=0$ a $3$: $\int_0^3 4\,dy=12$.
• Trecho $(2,3)\to(0,3)$: ao longo de $y=3$, $d\vec\ell=dx\,\hat x$ (mas percorrido de $x=2$ a $x=0$); $\vec F\cdot\hat x=0$, contribuição nula.
• Trecho $(0,3)\to(0,0)$: ao longo de $x=0$, $d\vec\ell=dy\,\hat y$; $\vec F\cdot d\vec\ell = x^2\,dy=0$ (pois $x=0$). Contribuição nula.

(b) O rotacional de $\vec F=x^2\hat y$:

Integrando sobre a superfície plana retangular ($0\le x\le2$, $0\le y\le3$), com $d\vec A=dx\,dy\,\hat z$:

Os dois resultados coincidem, confirmando o Teorema de Stokes para este campo e contorno.

E10 (Desafio) Em coordenadas cilíndricas, o rotacional de um campo puramente azimutal $\vec B = B_\phi(s)\hat\phi$ (sem dependência de $\phi$ ou $z$) tem componente $z$:

(as demais componentes, $\hat s$ e $\hat\phi$, envolvem derivadas em $\phi$ ou $z$ que são nulas aqui). Substituindo $B_\phi=\mu_0I/(2\pi s)$:

Isso é consistente com $\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J$, pois $\vec J=0$ em todos os pontos fora do fio ($s\neq0$) — toda a corrente está concentrada exatamente em $s=0$. Matematicamente, $J_z(s)=I\delta^2(\vec s)$ (uma distribuição tipo delta de Dirac bidimensional no plano $xy$, análoga à carga puntiforme em eletrostática, cujo campo também satisfaz $\nabla\cdot\vec E=0$ em todo ponto $r\neq0$ apesar de existir uma fonte na origem). A "singularidade" do rotacional está inteiramente concentrada no fio; a integral de $\nabla\times\vec B$ sobre qualquer superfície que atravesse o fio recupera $\mu_0I$ via o Teorema de Stokes, consistente com a Lei de Ampère integral.

E11 Campo dentro do solenoide: $B=\mu_0nI$.

Para a indutância, usamos $L=\mu_0n^2A\ell$ (citada na Seção “Densidade de energia magnética”). Com $n=2000\,\text{m}^{-1}$, $A=4\times10^{-4}\,\text{m}^2$, $\ell=0{,}5\,\text{m}$:

E12 (Desafio) Por simetria (o toroide tem simetria de rotação em torno de seu eixo central), o campo $\vec B$ dentro do núcleo é puramente azimutal (na direção de circulação do toroide) e sua magnitude depende apenas da distância $s$ ao eixo central de simetria. Escolhendo um caminho amperiano circular de raio $s$, concêntrico ao eixo do toroide e inteiramente contido no núcleo, a circulação é:

A corrente total enlaçada por esse caminho é a corrente que atravessa a superfície delimitada por ele: cada uma das $N$ espiras atravessa essa superfície uma vez, contribuindo $I$ cada:

Pela Lei de Ampère:

(análogo à dedução do solenoide, Seção “Aplicações com simetria”: lá, o caminho retangular capturava $nL$ espiras; aqui, o caminho circular fechado captura exatamente as $N$ espiras que "perfuram" a superfície do toroide uma vez cada). Note que $B$ depende de $s$ dentro do núcleo (ao contrário do solenoide ideal, onde $B$ é uniforme) — mas para um toroide fino ($s\approx r$, raio médio, com pequena variação), $B$ é aproximadamente uniforme.

Numericamente, com $r=0{,}1\,\text{m}$, $N=500$, $I=2\,\text{A}$:

Para um caminho amperiano de raio $s$ menor que o raio interno do núcleo toroidal: nenhuma espira atravessa a superfície delimitada (as espiras "contornam" o núcleo sem cruzar o interior vazio do toroide), logo $I_{env}=0\Rightarrow B=0$. Para um caminho de raio $s$ maior que o raio externo: cada espira atravessa a superfície delimitada duas vezes, uma vez "entrando" e outra "saindo" (a corrente de ida e de volta de cada espira), com sinais opostos — a corrente líquida enlaçada é $I_{env}=N I - NI=0\Rightarrow B=0$. Assim, o campo do toroide ideal fica inteiramente confinado ao núcleo, tal como o solenoide confina o campo ao seu interior.

E13 As quatro regiões, aplicando $\oint\vec B\cdot d\vec\ell=B(2\pi s)=\mu_0I_{env}$:

Região 1 ($s<a=2\,\text{mm}$): dentro do condutor interno maciço, a densidade de corrente é uniforme, $J=I/(\pi a^2)$. A corrente enlaçada por um círculo de raio $s$ é a fração da área:

Em $s=1\,\text{mm}=a/2$: $B = \dfrac{(4\pi\times10^{-7})(50)(10^{-3})}{2\pi(2\times10^{-3})^2} = \dfrac{2\times10^{-8}}{8\times10^{-6}} = 2{,}5\times10^{-3}\,\text{T}$.

Região 2 ($a<s<b$, ou seja, $2\,\text{mm}<s<6\,\text{mm}$): toda a corrente $I$ do condutor interno está enlaçada; a região entre $a$ e $b$ é vácuo/dielétrico (sem corrente):

Em $s=4\,\text{mm}$: com $\mu_0I=2\times10^{-5}\,\text{T·m}$ e $2\pi s = 2\pi\times0{,}004=0{,}02513\,\text{m}$:

Em $s=b=6\,\text{mm}$ (limite de continuidade com a próxima região): $B=\mu_0I/(2\pi b) = 2\times10^{-5}/(2\pi\times0{,}006)=1{,}667\times10^{-3}\,\text{T}$.

Região 3 ($b<s<c$, ou seja, $6\,\text{mm}<s<8\,\text{mm}$): dentro da casca externa, parte da corrente de retorno $-I$ já foi enlaçada. Densidade de corrente na casca (uniforme): $J_{\text{casca}} = -I/[\pi(c^2-b^2)]$. A fração da casca enlaçada até o raio $s$:

Verificação em $s=b=6\,\text{mm}$ (deve casar com a Região 2): $\dfrac{c^2-b^2}{c^2-b^2}=1\Rightarrow B=\mu_0I/(2\pi b)=1{,}667\times10^{-3}\,\text{T}$ ✓ (idêntico ao limite da região 2).

Em $s=7\,\text{mm}$: $c^2-s^2 = 64-49=15\,\text{mm}^2$; $c^2-b^2=64-36=28\,\text{mm}^2$;

Região 4 ($s>c=8\,\text{mm}$): toda a corrente de retorno foi enlaçada, cancelando exatamente a corrente do condutor interno:

Continuidade: verificamos acima que em $s=b$, as expressões das regiões 2 e 3 coincidem ($1{,}667\times10^{-3}\,\text{T}$), e em $s=c$, a expressão da região 3 se anula ($c^2-s^2\to0$), casando continuamente com $B=0$ da região 4. O campo do cabo coaxial é, portanto, contínuo em todo o espaço e nulo fora do cabo — propriedade essencial para blindagem eletromagnética.

E14 Em coordenadas cilíndricas, para um campo puramente azimutal $B_\phi(s)$ sem dependência de $\phi,z$, a componente $z$ do rotacional é:

Substituindo $B_\phi=\mu_0J_0s/2$:

que é exatamente a componente $z$ de $\mu_0\vec J$ (já que $\vec J=J_0\hat z$). As componentes $\hat s$ e $\hat\phi$ do rotacional são identicamente nulas (não há dependência em $z$ ou $\phi$, e não há componentes $B_s$, $B_z$), casando com $J_s=J_\phi=0$. A Lei de Ampère pontual é satisfeita ponto a ponto dentro do cilindro, confirmando que o perfil linear $B_\phi\propto s$ é a solução correta para densidade de corrente uniforme.

E15 Força atrativa (mesmo sentido de corrente):

E16 O fio central (fio 2) sofre a ação dos fios 1 e 3, ambos a distância $d=4\,\text{cm}$, com correntes no mesmo sentido — logo ambas as forças são atrativas, mas em sentidos opostos (fio 1 puxa o fio 2 para um lado, fio 3 puxa para o lado oposto), pois os três fios estão alinhados.

Como $|F_{12}|=|F_{32}|$ (mesma corrente, mesma distância $d$) e atuam em sentidos opostos ao longo da mesma reta:

A força resultante sobre o fio central é nula por simetria — o fio 2 está em equilíbrio (instável) entre os fios 1 e 3. Como verificação numérica, cada força individual vale:

de modo que $F_{12}/\ell = F_{32}/\ell = 2{,}0\times10^{-3}\,\text{N/m}$, cancelando-se exatamente.

E17 Escolhendo o ponto de observação sobre a mediatriz do fio (em $z=0$, sendo o fio de $z'=-L/2$ a $z'=+L/2$), a distância ao elemento de corrente em $z'$ é $\sqrt{\rho^2+z'^2}$. Como $d\vec\ell'=dz'\,\hat z$ é sempre paralelo a $\hat z$, o potencial vetor resultante é puramente na direção $\hat z$:

Esta é uma integral padrão, $\displaystyle\int\frac{dz'}{\sqrt{\rho^2+z'^2}} = \ln\left(z'+\sqrt{\rho^2+z'^2}\right)+\text{const}$. Avaliando entre os limites:

Numericamente, com $I=20\,\text{A}$, $L=0{,}4\,\text{m}$ ($L/2=0{,}2\,\text{m}$), $\rho=0{,}1\,\text{m}$:

E18 (Desafio) Para $\vec A = x^2y\,\hat z$ (ou seja, $A_x=0$, $A_y=0$, $A_z=x^2y$):

Lado direito: $\nabla\cdot\vec A = \dfrac{\partial A_x}{\partial x}+\dfrac{\partial A_y}{\partial y}+\dfrac{\partial A_z}{\partial z} = 0+0+0=0$ (pois $A_z=x^2y$ não depende de $z$). Logo $\nabla(\nabla\cdot\vec A)=\vec 0$.

O laplaciano vetorial (aplicado componente a componente em cartesianas): $\nabla^2\vec A = (\nabla^2A_x,\nabla^2A_y,\nabla^2A_z)$. Como $A_x=A_y=0$, só resta:

Logo $\nabla^2\vec A = 2y\,\hat z$, e o lado direito da identidade:

Lado esquerdo: primeiro, $\vec B\equiv\nabla\times\vec A$. Com $A_z=x^2y$, $A_x=A_y=0$:

Agora calculamos $\nabla\times(\nabla\times\vec A) = \nabla\times(x^2\hat x - 2xy\,\hat y)$. Com $F_x=x^2$, $F_y=-2xy$, $F_z=0$:

Os dois lados coincidem exatamente ($-2y\hat z$ em ambos os casos), verificando a identidade vetorial para este campo específico.

E19 Energia armazenada no indutor:

Densidade de energia magnética para $B=1{,}2\,\text{T}$ no vácuo:

E20 A indutância mútua é definida por $k=M/\sqrt{L_1L_2}$, logo $M=k\sqrt{L_1L_2}$:

A energia total (acoplamento direto, sinal positivo):