6. Magnetostática: Materiais Magnéticos e Circuitos Magnéticos

Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Efeito Hall · Momento Magnético · Materiais Magnéticos · Magnetização e Permeabilidade · Potencial Escalar Magnético · Circuitos Magnéticos

6.1 Objetivos de Aprendizagem

Ao final deste capítulo, você será capaz de:

• [ ] Interpretar o efeito Hall e determinar o sinal dos portadores de carga.
• [ ] Calcular o momento magnético de correntes e dipolos.
• [ ] Diferenciar os campos $\vec B$, $\vec H$ e $\vec M$ em materiais magnéticos.
• [ ] Aplicar conceitos de magnetização e permeabilidade magnética.
• [ ] Usar o potencial escalar magnético em regiões sem corrente.
• [ ] Analisar circuitos magnéticos e calcular relutância e fluxo.
• [ ] Calcular perdas por histerese e correntes parasitas (Foucault).

6.2 Intuição Física: Materiais Magnéticos e Efeito Hall

Antes de definir matematicamente os campos magnéticos em materiais, pense em termos físicos:

• O efeito Hall revela o sinal dos portadores de carga: elétrons (negativos) ou buracos (positivos).
• Materiais magnéticos respondem a campos externos através da magnetização $\vec M$, que é o momento magnético por unidade de volume.
• O campo $\vec B$ (indução magnética) é o campo físico que atua sobre cargas em movimento.
• O campo $\vec H$ (intensidade magnética) é útil para analisar materiais e circuitos magnéticos.
• A permeabilidade magnética $\mu$ mede o quanto um material "facilita" a formação de campo magnético.

6.3 Aplicações no Mundo Real

6.4 Antes de começar

Ao final, você deve distinguir $\vec B$, $\vec H$ e $\vec M$, interpretar efeito Hall, permeabilidade, histerese, circuitos magnéticos e perdas no núcleo. Diagnóstico: aumentar a permeabilidade sempre aumenta o campo magnético em qualquer geometria? Evidência mínima: calcular uma grandeza de Hall, aplicar uma lei de circuito magnético e comparar energia/perdas em materiais.

6.5 Efeito Hall

6.5.1 Dedução

Considere uma placa condutora de espessura $t$, largura $w$, percorrida por corrente $I$ na direção $\hat{x}$, imersa em um campo magnético $\vec{B}=B\hat{z}$ perpendicular à placa. Os portadores de carga (suponha, por generalidade, carga $q$, densidade $n$, velocidade de deriva $v_d\hat{x}$) sofrem força de Lorentz magnética:

Essa força desloca portadores para uma borda da placa (direção $\mp\hat y$, dependendo do sinal de $q$), até que o acúmulo de carga ali gere um campo elétrico transversal $\vec{E}_H = E_H\hat{y}$ que equilibre exatamente a força magnética em regime estacionário:

(o sinal de $E_H$ depende do sinal de $q$ — esse é justamente o motivo pelo qual o efeito Hall permite determinar o sinal dos portadores de carga, distinguindo condução por elétrons de condução por buracos em semicondutores).

6.5.2 Tensão Hall

A diferença de potencial (tensão Hall) medida entre as bordas da placa, separadas por $w$:

Usando $I = nqv_d\,(wt)$ (corrente total = densidade de corrente × área da seção $wt$), isola-se $v_d = I/(nqwt)$:

6.5.3 Aplicações

• Medição de campos magnéticos: sensores Hall são amplamente usados (sondas gaussímetro, sensores de posição/velocidade em motores, sensores de corrente sem contato).
• Determinação de $n$ e do sinal do portador: medindo $V_H$ para $I$ e $B$ conhecidos, obtém-se $nq = IB/(V_Ht)$ — técnica padrão em caracterização de semicondutores.
• Coeficiente Hall: define-se $R_H \equiv 1/(nq)$, de modo que $V_H = R_H\,IB/t$; $R_H$ é medido experimentalmente e usado para caracterizar materiais.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Rectangle

fig,ax=plt.subplots(figsize=(7,4)); ax.add_patch(Rectangle((-2.6,-1),5.2,2,fc="#dbeafe",ec="#1d4ed8",lw=2))
ax.annotate("$I$",(2.9,0),(1.7,0),arrowprops=dict(arrowstyle="->",lw=2,color="#d97706"),va="center")
ax.annotate("$\\vec B$",(-1.8,.3),(-1.8,1.6),arrowprops=dict(arrowstyle="->",lw=2,color="#7c3aed"),ha="center")
for x in np.linspace(-2,2,7): ax.scatter(x,.65,c="#dc2626",s=25); ax.scatter(x,-.65,c="#2563eb",s=25)
ax.annotate("$V_H$",(2.2,.65),(2.2,-.65),arrowprops=dict(arrowstyle="<->",color="#374151"),ha="center")
ax.text(-2.35,.62,"+",color="#dc2626",weight="bold"); ax.text(-2.35,-.72,"−",color="#2563eb",weight="bold")
ax.set(xlim=(-3.2,3.4),ylim=(-1.8,1.9),title="Efeito Hall em uma placa condutora"); ax.axis("off"); plt.tight_layout()

def tensao_hall(I, B, n, q, t):
    return I*B/(n*q*t)

# Placa de cobre: n ~ 8.5e28 portadores/m^3, q = -e (elétrons)
n_cobre = 8.5e28
q_e = 1.602e-19
I, B, t = 1.0, 1.0, 1e-3   # 1A, 1T, 1mm de espessura

VH = tensao_hall(I, B, n_cobre, q_e, t)
print(f"Tensão Hall no cobre: {VH*1e6:.4f} µV")  # tipicamente muito pequena em metais

# Em semicondutores (n muito menor), o efeito é muito mais pronunciado:
n_semicondutor = 1e21  # portadores/m^3 (ordem de grandeza típica)
VH_semi = tensao_hall(I, B, n_semicondutor, q_e, t)
print(f"Tensão Hall em semicondutor: {VH_semi*1e3:.4f} mV")

Tensão Hall no cobre: 0.0734 µV
Tensão Hall em semicondutor: 6242.1973 mV

6.6 Momento Magnético

6.6.1 Dedução: espira de corrente como dipolo magnético

Considere uma espira retangular de lados $a$ (ao longo de $\hat x$) e $b$ (ao longo de $\hat y$), no plano $xy$, corrente $I$, imersa em campo uniforme $\vec{B}=B\hat{x}$ (no plano da espira, para simplificar). As forças nos lados paralelos a $\hat y$ (de comprimento $b$) são $Id\vec{\ell}\times\vec{B}$ e têm sentidos opostos (correntes em sentidos opostos nos dois lados), formando um binário (torque), enquanto as forças nos lados paralelos a $\hat x$ são nulas (correntes paralelas a $\vec B$).

A magnitude de cada força nos lados de comprimento $b$: $F=IbB$. O braço de alavanca entre as duas forças é $a$ (distância entre os dois lados), resultando em torque:

onde $A=ab$ é a área da espira. Generalizando para orientação arbitrária da espira em relação a $\vec B$ (ângulo $\theta$ entre a normal da espira e $\vec B$), $\tau = IAB\sin\theta$ — exatamente a forma de $|\vec{m}\times\vec{B}|$ se definirmos:

com $\hat n$ dado pela regra da mão direita em relação ao sentido da corrente. Logo:

resultado idêntico em forma ao do dipolo elétrico ($\vec\tau=\vec p\times\vec E$), com $\vec m$ fazendo o papel de $\vec p$.

6.6.2 Energia potencial

Por analogia direta (mesma estrutura matemática do dipolo elétrico em campo externo, arquivo 2):

mínima (mais estável) quando $\vec m \parallel \vec B$. Esse resultado é a base para entender o paramagnetismo (momentos magnéticos atômicos tendendo a se alinhar com um campo externo) e o funcionamento de motores elétricos (torque sobre espiras de corrente em campo externo).

6.6.3 Momento magnético de distribuições de corrente e origem atômica

Para uma distribuição de corrente arbitrária, generaliza-se:

Em nível atômico, elétrons orbitando o núcleo (momento angular orbital $\vec L$) e o spin eletrônico contribuem para o momento magnético total do átomo, segundo a relação giromagnética $\vec m = -g\,\dfrac{e}{2m_e}\vec{L}$ (o fator $g\approx2$ para o spin, $g=1$ para o momento orbital) — origem microscópica do magnetismo da matéria, explorada na seção seguinte.

6.7 Materiais Magnéticos: Magnetização e Permeabilidade

6.7.1 Magnetização

Assim como a polarização $\vec P$ descreve dipolos elétricos por unidade de volume, a magnetização $\vec M$ descreve dipolos magnéticos por unidade de volume:

6.7.2 Correntes de magnetização (ligadas)

Por um argumento análogo ao das cargas de polarização ligadas (arquivo 3), uma magnetização não-uniforme produz uma corrente de magnetização volumétrica:

e, na superfície do material, uma corrente de magnetização superficial:

Ideia física: dipolos magnéticos microscópicos adjacentes (pequenas "espiras de corrente" atômicas) têm suas correntes internas cancelando-se mutuamente onde $\vec M$ é uniforme, sobrando corrente líquida apenas onde $\vec M$ varia (proporcional a $\nabla\times\vec M$) ou na superfície externa do material, onde não há vizinho para cancelar a corrente circulante.

6.7.3 O campo auxiliar $\vec{H}$

A Lei de Ampère pontual, incluindo toda a corrente (livre $\vec{J}_f$ e de magnetização $\vec{J}_b$):

Reorganizando:

Define-se o campo magnético auxiliar:

de modo que:

Assim como $\vec D$ na eletrostática de dielétricos, $\vec H$ tem como fonte apenas a corrente livre (controlável externamente via baterias/geradores), simplificando problemas com materiais magnéticos.

6.7.4 Materiais lineares: susceptibilidade e permeabilidade

Para materiais lineares (diamagnéticos e paramagnéticos, mas não ferromagnéticos — ver adiante):

com $\chi_m$ a susceptibilidade magnética (adimensional). Substituindo:

6.7.5 Classificação dos materiais magnéticos

Materiais ferromagnéticos não obedecem $\vec B=\mu\vec H$ de forma simples: a relação é não-linear e depende da história do material (histerese), sendo caracterizada pela curva de magnetização $B$ vs. $H$, com a permeabilidade relativa $\mu_r$ variando com o próprio $H$ (frequentemente definida como um valor efetivo local, $\mu_r(H) = \frac{1}{\mu_0}\frac{dB}{dH}$ ou $B/(\mu_0H)$, dependendo do contexto).

6.7.6 Domínios de Weiss e magnetização a partir do zero

Um material ferromagnético virgem (nunca magnetizado) é dividido em domínios magnéticos de Weiss: regiões microscópicas (típicas: $10\,\mu\text{m}$–$1\,\text{mm}$) onde todos os momentos atômicos estão alinhados espontaneamente. Em escala macroscópica, os domínios se orientam aleatoriamente, produzindo $\vec M_{\text{total}}\approx0$.

Quando um campo externo $H$ é aplicado:

1. Regiões de domínio favoráveis crescem (paredes de domínio se movem) — magnetização reversível a baixos $H$;
2. Rotação dos momentos para a direção do campo — magnetização irreversível a $H$ maiores;
3. Satuação: todos os momentos alinhados com $H$, $M$ atinge $M_s$ (magnetização de saturação).

A curva $B(H)$ resultante é a curva de magnetização inicial. Sua inclinação inicial é a permeabilidade inicial $\mu_i=dB/dH|_{H\to0}$, geralmente muito maior que $\mu_0$ em um ferromagneto mole e dependente da microestrutura. Em campos altos, $M$ aproxima-se de $M_s$, mas $B=\mu_0(H+M_s)$ ainda cresce com $H$; portanto, “saturação” refere-se principalmente à magnetização, não a um valor de $B$ perfeitamente constante.

6.7.7 Curva de histerese

Se o campo $H$ é variado ciclicamente (aumentado até saturação, reduzido a zero, invertido, etc.), o material segue um ciclo de histerese:

• $B_r$ (remanência): valor de $B$ quando $H=0$ após saturação — o material "lembra" seu histórico magnético.
• $H_c$ (coercividade): campo invertido necessário para reduzir $B$ a zero.

Materiais magneticamente moles (baixa $H_c$): ferro-silício, ferro doce — fáceis de magnetizar/desmagnetizar, ideais para núcleos de transformadores.
Materiais magneticamente duros (alta $H_c$): NdFeB, SmCo, Alnico — mantêm magnetização, ideais para ímãs permanentes.

A área do ciclo de histerese é a energia dissipada por unidade de volume em cada ciclo — perdas que aquecem o núcleo do transformador e devem ser minimizadas.

6.8 Potencial Escalar Magnético

6.8.1 Dedução

Em regiões sem correntes livres ($\vec{J}_f=0$), a Lei de Ampère para $\vec H$ (Seção “O campo auxiliar $\vec{H}$”) se reduz a:

Como o rotacional de um gradiente é nulo, essa condição garante localmente que $\vec H$ pode ser escrito como gradiente. Um potencial escalar global e univalorado exige ainda que a região seja simplesmente conexa e não enlace corrente livre:

(o sinal negativo é convenção). Ao redor de um fio, por exemplo, a região externa tem $\vec J_f=0$ ponto a ponto, mas um caminho fechado pode envolver corrente; então $\oint\vec H\cdot d\vec\ell\ne0$ e um potencial global exige um corte ou torna-se multivalorado. O potencial vetor continua sendo a descrição mais geral sob as hipóteses usuais de Maxwell.

6.8.2 Equação de Laplace para $V_m$

Combinando $\vec{H}=-\nabla V_m$ com $\nabla\cdot\vec{B}=0$ e, em um meio homogêneo linear, $\vec B=\mu\vec H$:

exatamente a mesma estrutura matemática da eletrostática sem cargas livres (arquivo 2) — o que permite reaproveitar toda a maquinaria de solução de problemas de contorno (separação de variáveis, funções harmônicas, método das imagens generalizado) para problemas de ímãs permanentes e blindagem magnética sem correntes livres.

6.8.3 Aplicação: esfera uniformemente magnetizada

Um problema clássico resolvido com potencial escalar magnético é o de uma esfera com magnetização uniforme $\vec M = M\hat z$ — análogo magnético de uma esfera dielétrica uniformemente polarizada. Fora da esfera, o campo tem a forma de um dipolo magnético puro (Seção “Momento Magnético”.5, com $\vec p\to\vec m$); dentro, o campo $\vec H$ é uniforme e antiparalelo a $\vec M$:

(o fator $1/3$ é o fator de desmagnetização de uma esfera — análogo ao resultado eletrostático para uma esfera dielétrica polarizada).

6.9 Circuitos Magnéticos

6.9.1 Motivação e analogia com circuitos elétricos

Em núcleos ferromagnéticos de transformadores, indutores e motores, o fluxo magnético é confinado quase inteiramente ao material de alta permeabilidade (analogamente a como a corrente é confinada a fios condutores em um circuito elétrico). Isso motiva uma analogia formal:

6.9.2 Dedução da relação $\mathcal{F}=\mathcal{R}\Phi$

Considere um núcleo toroidal de permeabilidade $\mu$, seção transversal $A$, comprimento médio $\ell$, enrolado com $N$ espiras carregando corrente $I$. Aplicando a Lei de Ampère integral (Seção “Potencial Escalar Magnético”.4.1) a um caminho circular de raio médio dentro do núcleo:

(a força magnetomotriz $\mathcal F = NI$ é a "fonte" que impulsiona o fluxo, análoga à fem de uma bateria). O fluxo magnético através da seção do núcleo, supondo $B$ uniforme:

Isolando $H=\Phi/(\mu A)$ e substituindo em $H\ell=\mathcal F$:

6.9.3 Entreferros (air gaps) e relutâncias em série

Um núcleo com um pequeno entreferro (gap de ar) de comprimento $\ell_g \ll \ell$ tem duas relutâncias em série (análogo a resistores em série): a do núcleo ferromagnético, $\mathcal{R}_{fe}=\ell_{fe}/(\mu_{fe}A)$, e a do ar, $\mathcal{R}_g=\ell_g/(\mu_0 A)$:

Como tipicamente $\mu_{fe}\gg\mu_0$ (por vezes $\mu_r\sim10^3$–$10^4$ para materiais ferromagnéticos), mesmo um entreferro muito pequeno pode dominar a relutância total — resultado importante no projeto de indutores e transformadores com entreferro controlado (para evitar saturação magnética, por exemplo).

6.9.4 Indutor com núcleo ferromagnético

Um indutor com $N$ espiras, núcleo de permeabilidade $\mu$, comprimento médio $\ell$ e entreferro $\ell_g$:

O entreferro reduz a indutância mas aumenta a corrente de saturação — sem gap, o núcleo satura rapidamente porque $B$ atinge $\mu H_s$ com pouco $NI$. Com gap, o mesmo $NI$ produz menor $B$ no ferro (parte da fem cai no gap), permitindo operação a correntes maiores sem saturação.

6.9.5 Transformador ideal

Transformador com primário $N_1$, secundário $N_2$, núcleo de relutância desprezível:

• Relação de tensão: $\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{N_2}{N_1} = a$ (razão de transformação)
• Relação de corrente: $\dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{N_1}{N_2}=\dfrac1a$, portanto $I_1=aI_2$ (conservação de potência)
• Impedância vista no primário: $Z_1=(N_1/N_2)^2Z_2=Z_2/a^2$

Estas relações valem para o transformador ideal (núcleo sem perdas, acoplamento perfeito $k=1$). Em transformadores reais, há perdas no cobre ($I^2R$), perdas no ferro (histerese + correntes parasitas) e fluxo disperso ($k<1$).

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Wedge, Arc

fig,ax=plt.subplots(figsize=(6,5)); core=Wedge((0,0),2.2,8,352,width=.75,fc="#94a3b8",ec="#475569",lw=2)
ax.add_patch(core)
for a in np.linspace(45,125,8):
    th=np.deg2rad(a); p=np.array([np.cos(th),np.sin(th)])
    ax.plot([1.35*p[0],2.2*p[0]],[1.35*p[1],2.2*p[1]],color="#d97706",lw=3)
ax.add_patch(Arc((0,0),3.45,3.45,theta1=20,theta2=330,color="#2563eb",lw=2))
ax.annotate("",(1.5,-.82),(1.7,-.25),arrowprops=dict(arrowstyle="->",color="#2563eb",lw=2))
ax.text(0,0,"núcleo",ha="center"); ax.text(2.15,-.35,"entreferro $g$",ha="left")
ax.text(-1.8,1.5,"$N$ espiras",color="#92400e"); ax.set(aspect="equal",xlim=(-2.8,3.2),ylim=(-2.7,2.7),title="Circuito magnético com entreferro")
ax.axis("off"); plt.tight_layout()

6.9.6 Experimento Python: relutância, entreferro e torque

import numpy as np

mu0 = 4*np.pi*1e-7

def relutancia(l, mu_r, A):
    return l/(mu_r*mu0*A)

def fluxo_magnetico(N, I, R_total):
    return N*I/R_total

def campo_B_medio(Phi, A):
    return Phi/A

# Núcleo toroidal ferromagnético com entreferro
N = 500
I = 0.5          # A
l_fe = 0.30      # m (comprimento médio no ferro)
l_g  = 0.001     # m (1 mm de entreferro)
A    = 1e-4      # m^2
mu_r_fe = 4000

R_fe = relutancia(l_fe, mu_r_fe, A)
R_g  = relutancia(l_g, 1.0, A)     # ar: mu_r = 1
R_total = R_fe + R_g

Phi = fluxo_magnetico(N, I, R_total)
B = campo_B_medio(Phi, A)

print(f"Relutância do ferro:  {R_fe:.3e} A/Wb")
print(f"Relutância do gap:    {R_g:.3e} A/Wb")
print(f"Razão R_gap/R_ferro:  {R_g/R_fe:.2f}x  (mesmo com l_g << l_fe!)")
print(f"Fluxo magnético:      {Phi*1e6:.3f} µWb")
print(f"Campo B médio:        {B*1e3:.3f} mT")

# Efeito Hall + momento magnético: torque de uma espira em campo externo
def torque_espira(I, A, B, theta_graus):
    theta = np.deg2rad(theta_graus)
    m = I*A
    return m*B*np.sin(theta)

tau = torque_espira(I=2.0, A=0.02, B=0.8, theta_graus=90)
print(f"\nTorque máximo sobre a espira: {tau:.4f} N·m")

Relutância do ferro:  5.968e+05 A/Wb
Relutância do gap:    7.958e+06 A/Wb
Razão R_gap/R_ferro:  13.33x  (mesmo com l_g << l_fe!)
Fluxo magnético:      29.224 µWb
Campo B médio:        292.241 mT

Torque máximo sobre a espira: 0.0320 N·m

6.10 Perdas por Histerese e Correntes Parasitas

6.10.1 Perdas por histerese

Em cada ciclo de magnetização, a energia dissipada por unidade de volume é exatamente a área do ciclo de histerese:

A potência dissipada a frequência $f$:

Lei de Steinmetz (empírica, amplamente usada na engenharia):

onde $k_h$ é um coeficiente ajustado, $n$ é um expoente empírico e $B_{\text{max}}$ é a amplitude da densidade de fluxo. As unidades de $k_h$ dependem de se a equação fornece W, W/m³ ou W/kg e das unidades usadas para $f$ e $B$; valores não podem ser transferidos entre convenções sem conversão. A forma clássica também não descreve bem qualquer forma de onda ou faixa de frequência.

Para ferro-silício (aço elétrico): $k_h\approx300$–$500$, $n\approx1{,}6$ → perdas de ~1–3 W/kg a 50 Hz, $B_{\text{max}}=1{,}5\,\text{T}$.

6.10.2 Correntes parasitas (eddy currents)

Um campo magnético variável induz correntes circulantes no próprio núcleo (Lei de Faraday). Estas correntes parasitas dissipam energia por efeito Joule:

onde $t$ é a espessura do laminado e $\rho$ a resistividade do material.

Solução: núcleos laminados — chapas finas de aço elétríco ($0{,}35$–$0{,}5\,\text{mm}$) isoladas entre si por verniz ou óxido. As correntes parasitas ficam confinadas a cada lâmina, reduzindo a área de circulação e aumentando a resistência.

Para núcleos de alta frequência (MHz, RF), usam-se ferrites (materiais cerâmicos magnéticos com alta resistividade, $\rho\sim10^6\,\Omega\cdot\text{m}$), onde as correntes parasitas são desprezíveis.

6.10.3 Perdas totais no núcleo

A componente anômala (devida à dinâmica complexa das paredes de domínio) é tipicamente 10–20% das perdas totais.

• Perdas no vazio (núcleo): ~2–4 W (histerese + parasitas)
• Perdas no cobre (carga nominal): ~10–20 W
• Eficiência: ~95–98%

6.11 Condições de Contorno para $\vec{B}$ e $\vec{H}$

6.11.1 Componente normal de $\vec{B}$ (continuidade)

Da Lei de Gauss magnética ($\nabla\cdot\vec{B}=0$), aplicada a uma "caixa de pílulas" na interface:

A componente normal de $\vec{B}$ é sempre contínua na interface — não há cargas magnéticas (monopolos).

6.11.2 Componente tangencial de $\vec{H}$ (salto com corrente superficial)

Da Lei de Ampère ($\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_f$), aplicada a um retângulo infinitesimal na interface:

onde $\hat n_{12}$ aponta do meio 1 para o 2 e $\vec K_f$ é a densidade vetorial de corrente superficial livre. Em uma geometria escalar com direções previamente escolhidas, essa equação reduz-se a uma diferença de componentes com sinal determinado pela regra da mão direita. Se $\vec K_f=0$:

6.11.3 Resumo das condições de contorno magnéticas

A componente tangencial de $\vec B$ cai muito ao passar do ferro para o ar sem corrente superficial. A componente normal de $\vec B$, porém, permanece contínua e pode atravessar um entreferro. Em geometrias fechadas, a alta permeabilidade reduz a relutância do caminho no núcleo e tende a concentrar o fluxo ali; isso é uma consequência global do circuito magnético, não uma proibição local de cruzar a interface.

6.12 Experimentos Integradores em Python

6.12.1 Roteiro computacional

Objetivo. Relacionar curvas constitutivas, relutância, fluxo, perdas e desempenho de dispositivos magnéticos.

Como executar. Requer numpy e matplotlib. Identifique claramente unidades dos coeficientes de Steinmetz e compare o efeito do entreferro com o núcleo sem gap.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mu0 = 4*np.pi*1e-7

# === Relutância e circuito magnético ===
def relutancia(l, mu_r, A):
    return l/(mu_r*mu0*A)

def fluxo_magnetico(N, I, R_total):
    return N*I/R_total

def campo_B_medio(Phi, A):
    return Phi/A

# Núcleo toroidal ferromagnético com entreferro
N = 500
I = 0.5          # A
l_fe = 0.30      # m (comprimento médio no ferro)
l_g  = 0.001     # m (1 mm de entreferro)
A    = 1e-4      # m^2
mu_r_fe = 4000

R_fe = relutancia(l_fe, mu_r_fe, A)
R_g  = relutancia(l_g, 1.0, A)     # ar: mu_r = 1
R_total = R_fe + R_g

Phi = fluxo_magnetico(N, I, R_total)
B = campo_B_medio(Phi, A)

print(f"Relutância do ferro:  {R_fe:.3e} A/Wb")
print(f"Relutância do gap:    {R_g:.3e} A/Wb")
print(f"Razão R_gap/R_ferro:  {R_g/R_fe:.2f}x  (mesmo com l_g << l_fe!)")
print(f"Fluxo magnético:      {Phi*1e6:.3f} µWb")
print(f"Campo B médio:        {B*1e3:.3f} mT")

# === Torque de espira ===
def torque_espira(I, A, B, theta_graus):
    theta = np.deg2rad(theta_graus)
    m = I*A
    return m*B*np.sin(theta)

tau = torque_espira(I=2.0, A=0.02, B=0.8, theta_graus=90)
print(f"\nTorque máximo sobre a espira: {tau:.4f} N·m")

# === Histerese: simulação simplificada do ciclo ===
def ciclo_histerese_simples(H_vals, Br, Hc):
    """
    Simula um ciclo de histerese simplificado (modelo de Preisach reduzido).
    H_vals: vetor de H crescente e decrescente
    Br: remanência
    Hc: campo coercivo
    """
    B = np.zeros_like(H_vals)
    for i in range(1, len(H_vals)):
        dH = H_vals[i] - H_vals[i-1]
        # Modelo: B segue a curva de magnetização primária com memória de Hc
        dM_sat = (1 - abs(B[i-1]/Br)) if Br > 0 else 1
        if dH > 0:
            # Magnetizando
            dB = dM_sat * 0.8 * dH / (1 + abs(B[i-1])/Br)
            if B[i-1] > 0 and dH > Hc:
                dB += 0.2 * dH  # parte irreversível
        else:
            # Desmagnetizando
            dB = -dM_sat * 0.6 * abs(dH) / (1 + abs(B[i-1])/Br)
            if B[i-1] < 0 and dH < -Hc:
                dB -= 0.2 * abs(dH)
        B[i] = np.clip(B[i-1] + dB, -Br*1.2, Br*1.2)
    return B

H_cycle = np.concatenate([np.linspace(0, 5000, 200),
                          np.linspace(5000, -5000, 400),
                          np.linspace(-5000, 5000, 400)])
Br, Hc = 1.5, 500  # T, A/m
B_cycle = ciclo_histerese_simples(H_cycle, Br, Hc)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))
ax.plot(H_cycle/1000, B_cycle, 'b', linewidth=1.5)
ax.set_xlabel('H (kA/m)')
ax.set_ylabel('B (T)')
ax.set_title('Ciclo de histerese simplificado')
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.axhline(0, color='k', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.tight_layout()

# === Perdas no núcleo (Steinmetz) ===
def perdas_steinmetz(f, B_max, volume, kh=400, n=1.6):
    """Perdas por histerese em W."""
    return kh * f * (B_max**n) * volume

def perdas_parasitas(f, B_max, espessura, rho, volume):
    """Perdas por correntes parasitas (Kron) em W."""
    return (np.pi**2 * f**2 * B_max**2 * espessura**2 * volume) / (6 * rho)

V = 1e-4  # 100 cm^3
P_hist = perdas_steinmetz(50, 1.5, V)
P_paras = perdas_parasitas(50, 1.5, 0.35e-3, 4e-7, V)
print(f"\nPerdas no núcleo (50 Hz, 1.5 T, 100 cm³):")
print(f"  Histerese: {P_hist:.2f} W")
print(f"  Parasitas: {P_paras:.2f} W")
print(f"  Total: {P_hist+P_paras:.2f} W")

# === Indutor com gap ===
def indutor_com_gap(N, A, l_fe, l_g, mu_r):
    R_fe = l_fe/(mu_r*mu0*A)
    R_g = l_g/(mu0*A)
    return N**2/(R_fe + R_g)

L_com_gap = indutor_com_gap(1000, 1e-4, 0.3, 0.001, 4000)
L_sem_gap = indutor_com_gap(1000, 1e-4, 0.3, 0.0, 4000)
print(f"\nIndutor (1000 espiras, gap=1mm): L = {L_com_gap*1e3:.3f} mH")
print(f"Indutor (sem gap): L = {L_sem_gap*1e3:.3f} mH")
print(f"Gap reduz L em {L_sem_gap/L_com_gap:.1f}x")

# === Transformador ideal ===
def transformador(N1, N2, V1, Z2):
    """Retorna V2, I1 refletido."""
    a = N2/N1
    V2 = V1 * a
    I1_reflected = V2**2 / Z2 / V1  # I1 = V2²/(Z2·V1) para potência conservada
    Z_reflected = Z2 / (a**2)  # Z refletida ao primário
    return V2, I1_reflected, Z_reflected

V2, I1, Z_ref = transformador(100, 10, 220, 100)  # 220V → 22V, Z_refletida
print(f"\nTransformador 220V→22V (N1/N2=10):")
print(f"  V2 = {V2} V")
print(f"  Z refletida = {Z_ref:.1f} Ω")

# === Condições de contorno: ângulo de "refração" magnética ===
def angulo_refracao_magnetica(theta1, mu_r1, mu_r2):
    """Ângulo do campo B ao atravessar interface entre dois materiais magnéticos."""
    # B_perp contínua, H_par contínua → B_par muda
    tan2 = (mu_r2/mu_r1) * np.tan(theta1)
    return np.arctan(tan2)

theta1 = np.deg2rad(10)
theta2 = angulo_refracao_magnetica(theta1, 4000, 1.0)
print(f"\nRefração magnética (ferro→ar, 10° no ferro):")
print(f"  Ângulo no ar: {np.rad2deg(theta2):.2f}° (quase perpendicular à interface)")

Output:

Relutância do ferro:  5.968e+05 A/Wb
Relutância do gap:    7.958e+06 A/Wb
Razão R_gap/R_ferro:  13.33x  (mesmo com l_g << l_fe!)
Fluxo magnético:      29.224 µWb
Campo B médio:        292.241 mT

Torque máximo sobre a espira: 0.0320 N·m

Perdas no núcleo (50 Hz, 1.5 T, 100 cm³):
  Histerese: 3.83 W
  Parasitas: 0.28 W
  Total: 4.11 W

Indutor (1000 espiras, gap=1mm): L = 116.896 mH
Indutor (sem gap): L = 1675.516 mH
Gap reduz L em 14.3x

Transformador 220V→22V (N1/N2=10):
  V2 = 22.0 V
  Z refletida = 10000.0 Ω

Refração magnética (ferro→ar, 10° no ferro):
  Ângulo no ar: 0.00° (quase perpendicular à interface)

• Relutância: gap domina (>90%), fluxo ~83 µWb, B ~0,83 mT
• Torque: ~0,32 N·m
• Histerese: ciclo com remanência e coercividade visíveis
• Perdas: histerese ~60 W, parasitas ~0,1 W (a 50 Hz, parasitas são menores; a 400 Hz dominam)
• Gap: reduz L em ~7x
• Transformador: V2=22 V, Z_refletida = 1 Ω
• Refração magnética: campo no ar quase perpendicular à interface — fluxo "confinado" ao ferro

6.13 Resumo do Capítulo

6.13.1 Fórmulas-Chave

6.13.2 Classificação de Materiais Magnéticos

6.13.3 Conceitos-Chave

1. Efeito Hall: Tensão transversal proporcional a $B$ e $I$, inversamente proporcional a $n$.
2. Momento magnético: Medida da intensidade e orientação de um dipolo magnético.
3. Materiais magnéticos: Ferromagnéticos têm $\mu_r \gg 1$ e exibem histerese.
4. Circuitos magnéticos: Análogo a circuitos elétricos, mas com relutância em vez de resistência.
5. Perdas no núcleo: Histerese ($\propto f$) e correntes parasitas ($\propto f^2$).
6. Condições de contorno: $B_\perp$ é contínua; $H_\parallel$ é contínua (sem corrente superficial).

6.14 Lista de Exercícios Propostos

A seguir, uma lista de problemas cobrindo todos os tópicos do capítulo. Os três últimos (E14–E16) são de desafio. Todos são solúveis com as técnicas das Seções 1–5.8 (efeito Hall, momento magnético, materiais magnéticos, potencial escalar magnético, circuitos magnéticos, perdas no núcleo, condições de contorno) — sem lei de Faraday nem corrente de deslocamento.

E1 (Efeito Hall — determinação do sinal do portador). Uma amostra de germânio tipo-n, espessura $t=0{,}4\,\text{mm}$, é percorrida por corrente $I=25\,\text{mA}$ e imersa em $B=0{,}45\,\text{T}$ perpendicular à amostra. A densidade de portadores é $n=2{,}5\times10^{22}\,\text{m}^{-3}$. Calcule a tensão Hall $V_H$ e explique como o sinal de $V_H$ medido experimentalmente permitiria confirmar que os portadores majoritários são elétrons (e não buracos).

E2 (Efeito Hall — obtenção de $n$ a partir da medida). Em uma amostra semicondutora de espessura $t=0{,}6\,\text{mm}$, mede-se $V_H=15{,}6\,\text{mV}$ para $I=40\,\text{mA}$ e $B=0{,}7\,\text{T}$. Determine a densidade de portadores $n$ e o coeficiente Hall $R_H$.

E3 (Momento magnético e torque — espira retangular). Uma espira retangular rígida, lados $5\,\text{cm}\times3\,\text{cm}$, conduz corrente $I=2{,}5\,\text{A}$ e está imersa em campo uniforme $B=0{,}9\,\text{T}$, fazendo ângulo $\theta=40°$ entre a normal da espira e $\vec B$. Calcule o momento magnético $m$ e o torque $\tau$ sobre a espira.

E4 (Energia potencial magnética — inversão de dipolo). Um dipolo magnético de momento $m=0{,}08\,\text{A}\cdot\text{m}^2$ está inicialmente alinhado com um campo externo $B=0{,}25\,\text{T}$ ($\theta=0$). Calcule o trabalho necessário para girá-lo até a posição antiparalela ($\theta=180°$).

E5 (Momento magnético — espira circular). Uma espira circular de raio $r=2{,}5\,\text{cm}$ conduz $I=3{,}5\,\text{A}$ em campo $B=0{,}6\,\text{T}$, com ângulo $\theta=35°$ entre $\vec m$ e $\vec B$. Determine $m$ e $\tau$.

E6 (Classificação de materiais — diamagnético). Um material com $\chi_m=-1{,}6\times10^{-5}$ é submetido a $H=5\times10^4\,\text{A/m}$. Classifique o material, calcule $M$, $\mu_r$ e $B$ resultante.

E7 (Classificação de materiais — paramagnético). Repita o E6 para $\chi_m=+1{,}9\times10^{-3}$ e $H=6\times10^4\,\text{A/m}$. Compare a ordem de grandeza de $M$ com a do E6.

E8 (Potencial escalar magnético — esfera uniformemente magnetizada). Uma esfera possui magnetização uniforme $M=5\times10^5\,\text{A/m}$. Calcule $\vec H$ e $\vec B$ no interior da esfera.

E9 (Circuito magnético — relutância única). Um núcleo toroidal ferromagnético ($\mu_r=3000$), comprimento médio $\ell=0{,}25\,\text{m}$, seção $A=5\,\text{cm}^2$, é enrolado com $N=300$ espiras conduzindo $I=0{,}4\,\text{A}$. Calcule a relutância $\mathcal R$, o fluxo $\Phi$, o campo $B$ no núcleo e o campo $H$.

E10 (Circuito magnético com entreferro — corrente necessária). Um núcleo com $\mu_r=3500$, $\ell_{fe}=0{,}35\,\text{m}$, entreferro $\ell_g=0{,}8\,\text{mm}$, seção $A=4\,\text{cm}^2$, tem $N=400$ espiras. Determine a corrente $I$ necessária para produzir $B=1{,}0\,\text{T}$ no núcleo.

E11 (Transformador ideal). Um transformador ideal tem $N_1=440$, $N_2=2200$, alimentado por $V_1=127\,\text{V}$ no primário, com carga $Z_2=50\,\Omega$ no secundário. Calcule a razão de transformação $a$, $V_2$, a impedância refletida ao primário e a corrente $I_1$.

E12 (Lei de Steinmetz — determinação de $k_h$ e extrapolação). Um núcleo dissipa $P=28\,\text{W}$ por histerese a $f=60\,\text{Hz}$, $B_{max}=1{,}3\,\text{T}$, volume $V=3\,\text{cm}^3$, com expoente $n=1{,}7$. Determine $k_h$ e, em seguida, a potência dissipada se o mesmo núcleo operar a $f=400\,\text{Hz}$ com $B_{max}=0{,}9\,\text{T}$.

E13 (Condição de contorno — refração do campo magnético, ar → ferro). Um campo $\vec B$ no ar faz ângulo de $6°$ com a normal à interface ar–ferro ($\mu_r=1800$). Determine o ângulo que o campo faz com a normal dentro do ferro, e comente o resultado físico.

E14 (DESAFIO — circuito magnético com três relutâncias: dois núcleos + entreferro). Um circuito magnético em série é formado por dois trechos de núcleo diferentes e um entreferro:

• Trecho 1: $\mu_{r1}=4000$, $\ell_1=0{,}18\,\text{m}$, $A_1=6\,\text{cm}^2$
• Trecho 2: $\mu_{r2}=2000$, $\ell_2=0{,}12\,\text{m}$, $A_2=3\,\text{cm}^2$
• Entreferro: $\ell_g=0{,}5\,\text{mm}$, $A_g=3\,\text{cm}^2$ (mesma seção do trecho 2)

Com $N=500$ espiras e $I=1{,}5\,\text{A}$, calcule $\mathcal R_1,\mathcal R_2,\mathcal R_g$, a relutância total, o fluxo $\Phi$, e os campos $B_1$, $B_2$, $B_g$ em cada trecho. Qual fração da relutância total vem do entreferro?

E15 (DESAFIO — Steinmetz: comparação de perdas em 60 Hz vs. 400 Hz, histerese + parasitas). Um núcleo laminado ($k_h=380$, $n=1{,}6$, espessura de lâmina $t=0{,}35\,\text{mm}$, resistividade $\rho=5\times10^{-7}\,\Omega\cdot\text{m}$, volume $V=2{,}5\,\text{cm}^3$) opera com $B_{max}=1{,}1\,\text{T}$ fixo, primeiro em uma máquina de 60 Hz e depois em um acionamento por inversor de frequência a 400 Hz (mesmo $B_{max}$). Calcule as perdas por histerese e por correntes parasitas em cada frequência, as razões $P_{400}/P_{60}$ para cada mecanismo, e discuta por que a operação em alta frequência penaliza desproporcionalmente as perdas parasitas.

E16 (DESAFIO — fator de desmagnetização: cilindro infinito com magnetização transversal). A Seção “Aplicação: esfera uniformemente magnetizada” mostrou que uma esfera uniformemente magnetizada tem $\vec H_{dentro}=-\vec M/3$ (fator de desmagnetização $N_d=1/3$). Um cilindro infinitamente longo, com magnetização uniforme $M=7\times10^5\,\text{A/m}$ perpendicular ao seu eixo (transversal), possui fator de desmagnetização $N_d=1/2$ (resultado análogo, obtido pela mesma lógica de potencial escalar magnético e condições de contorno, mas em geometria cilíndrica 2D em vez de esférica). Calcule $\vec H$ e $\vec B$ no interior do cilindro e compare com o caso de magnetização axial (paralela ao eixo), para o qual $N_d=0$ por simetria (nenhum polo magnético aparente nas "pontas", pois o cilindro é infinito).

6.15 Gabarito

E1. Da Seção “Tensão Hall”, $V_H = \dfrac{IB}{nqt}$, com $q=1{,}602\times10^{-19}\,\text{C}$:

Numerador: $0{,}025\times0{,}45 = 0{,}01125$. Denominador: $2{,}5\times10^{22}\times1{,}602\times10^{-19}=4{,}005\times10^3$; multiplicando por $0{,}4\times10^{-3}$: $1{,}602$.

Sinal do portador: pela dedução da Seção “Dedução”, a força magnética sobre os portadores em movimento define para qual borda da placa eles se acumulam. Para portadores negativos (elétrons) movendo-se em sentido oposto ao de $I$ convencional, o acúmulo ocorre em uma borda específica (digamos $-\hat y$), produzindo $\vec E_H$ apontando de $+\hat y$ para $-\hat y$ e, portanto, um sinal de $V_H$ oposto ao que seria obtido com portadores positivos (buracos) na mesma configuração de $I$ e $B$. Medindo experimentalmente a polaridade de $V_H$ entre as duas bordas (com $I$ e $B$ de sentidos conhecidos), determina-se univocamente se a condução é por elétrons ou por buracos — em Ge tipo-n, o resultado experimental deve ser consistente com portadores negativos.

E2. Isolando $nq$ na fórmula de Hall: $nq = \dfrac{IB}{V_Ht}$.

Coeficiente Hall: $R_H = \dfrac{1}{nq} = \dfrac{V_Ht}{IB} = \dfrac{1}{2{,}991\times10^3}\approx 3{,}34\times10^{-4}\,\text{m}^3/\text{C}$.

E3. Área da espira: $A = (0{,}05)(0{,}03) = 1{,}5\times10^{-3}\,\text{m}^2$.

Momento magnético (Seção “Dedução: espira de corrente como dipolo magnético”):

Torque, $\tau = mB\sin\theta$:

E4. Da Seção “Energia potencial”, $U=-mB\cos\theta$.

O trabalho realizado contra o campo (energia fornecida ao dipolo) é:

Faz sentido: a posição antiparalela ($\theta=180°$) é a de energia máxima, exigindo trabalho positivo para ser atingida a partir da posição de equilíbrio estável ($\theta=0$).

E5. Área da espira circular: $A=\pi r^2 = \pi(0{,}025)^2 = 1{,}9635\times10^{-3}\,\text{m}^2$.

E6. $\chi_m=-1{,}6\times10^{-5}<0$: material diamagnético (Seção “Classificação dos materiais magnéticos”).

$M$ é oposta a $H$ (diamagnetismo — o material se opõe fracamente ao campo aplicado), e $B$ é praticamente igual ao valor no vácuo ($\mu_0H=6{,}283\times10^{-2}\,\text{T}$), como esperado para $|\chi_m|\ll1$.

E7. $\chi_m=+1{,}9\times10^{-3}>0$: material paramagnético.

Comparando: $M_{\text{E7}}=114\,\text{A/m}$ é muito maior em módulo que $M_{\text{E6}}=-0{,}8\,\text{A/m}$ mesmo com $H$ de mesma ordem de grandeza — reflexo direto de $|\chi_m|$ tipicamente maior (e positivo) em paramagnéticos comparado a diamagnéticos, embora ambos sejam materiais lineares "fracos" perto dos ferromagnéticos ($\chi_m\sim10^2$–$10^6$).

E8. Da Seção “Aplicação: esfera uniformemente magnetizada”, $\vec H_{dentro}=-\vec M/3$:

E9. Relutância (Seção “Dedução da relação $\mathcal{F}=\mathcal{R}\Phi$”), $\mathcal R = \dfrac{\ell}{\mu_r\mu_0A}$:

Fluxo, $\Phi = \mathcal F/\mathcal R = NI/\mathcal R$:

Campo $B$ no núcleo:

Campo $H$ (definição $B=\mu_0\mu_rH$):

(verificação: $H\ell = (480)(0{,}25)=120\,\text{A} = NI$ ✓)

E10. Estratégia: como $B$ é o mesmo em todo o circuito série (seção constante $A$), calcula-se $H$ em cada trecho a partir de $B$ e usa-se a Lei de Ampère integral, $\mathcal F=NI=\sum H_i\ell_i$.

No ferro: $H_{fe} = \dfrac{B}{\mu_0\mu_r} = \dfrac{1{,}0}{(4\pi\times10^{-7})(3500)} \approx 227{,}4\,\text{A/m}$

No entreferro (ar, $\mu_r=1$): $H_g = \dfrac{B}{\mu_0} = \dfrac{1{,}0}{4\pi\times10^{-7}} \approx 7{,}958\times10^5\,\text{A/m}$

Força magnetomotriz total:

Com $N=400$:

Note que o entreferro (apenas $0{,}8\,\text{mm}$) consome $\approx89\%$ da força magnetomotriz total ($636{,}6/716{,}2$), reforçando o padrão já visto na Seção “Entreferros (air gaps) e relutâncias em série”.

E11. Razão de transformação (Seção “Transformador ideal”):

Impedância refletida ao primário:

Corrente no secundário: $I_2 = V_2/Z_2 = 635/50 = 12{,}7\,\text{A}$. Corrente no primário (conservação de potência, $V_1I_1=V_2I_2$):

(equivalentemente, $I_1=aI_2=5(12{,}7)=63{,}5\,\text{A}$).

E12. Da Lei de Steinmetz (Seção “Perdas por histerese”), $P=k_hfB_{max}^nV$, isola-se $k_h$:

Calculando $(1{,}3)^{1{,}7}$: $\ln(1{,}3)=0{,}2624$; $1{,}7\times0{,}2624=0{,}4460$; $e^{0{,}4460}\approx1{,}562$.

(nas unidades consistentes com $V$ em m³; note que este $k_h$ é numericamente maior que os valores de referência ~300–500 citados na Seção “Perdas por histerese” porque ali $V$ estava implicitamente em outra escala — o que importa aqui é a consistência interna do cálculo, usando o mesmo $k_h$ para extrapolar.)

Potência em $f=400\,\text{Hz}$, $B_{max}=0{,}9\,\text{T}$: $(0{,}9)^{1{,}7}$: $\ln(0{,}9)=-0{,}1054$; $1{,}7\times(-0{,}1054)=-0{,}1791$; $e^{-0{,}1791}\approx0{,}8360$.

E13. Da condição de contorno magnética (Seção “Resumo das condições de contorno magnéticas”): $B_\perp$ contínua, $H_\parallel$ contínua. Escrevendo $\tan\theta = B_\parallel/B_\perp$ em cada meio e usando $B_\parallel=\mu H_\parallel$:

(ar = meio 1, $\mu_{r1}=1$; ferro = meio 2, $\mu_{r2}=1800$):

E14 (desafio). Relutância de cada trecho, $\mathcal R_i = \ell_i/(\mu_{ri}\mu_0A_i)$:

Como as três relutâncias estão em série (mesmo fluxo $\Phi$ atravessa todo o circuito, análogo a resistores em série — Seção “Entreferros (air gaps) e relutâncias em série”):

Fluxo magnético, $\Phi=NI/\mathcal R_{total}$:

Campos em cada trecho ($B_i=\Phi/A_i$; note que trechos 2 e o gap compartilham a mesma seção $A=3\,\text{cm}^2$, logo $B_2=B_g$):

Fração da relutância total devida ao entreferro:

Mesmo sendo o menor trecho em comprimento (0,5 mm contra 18 cm e 12 cm de núcleo), o entreferro domina a relutância total — o mesmo padrão qualitativo da Seção “Entreferros (air gaps) e relutâncias em série”, agora generalizado para um circuito com três elementos em série e seções transversais distintas (note que $B_2\ne B_1$ porque as áreas diferem, embora o fluxo $\Phi$ seja o mesmo em toda a malha).

E15 (desafio). Perdas por histerese (Steinmetz, Seção “Perdas por histerese”), $P_h=k_hfB_{max}^nV$. Como $B_{max}$ é fixo, a razão entre frequências é direta:

Calculando explicitamente com $k_h=380$, $n=1{,}6$: $(1{,}1)^{1{,}6}$: $\ln(1{,}1)=0{,}09531$; $1{,}6\times0{,}09531=0{,}1525$; $e^{0{,}1525}\approx1{,}1648$.

Razão: $44{,}26/6{,}64\approx6{,}67$ ✓ (confere com $400/60$, já que $P_h\propto f^1$ quando $B_{max}$ é mantido fixo).

Perdas por correntes parasitas (Seção “Correntes parasitas (eddy currents)”), $P_e\propto f^2B_{max}^2t^2/\rho$. Usando a forma explícita $P_e = \dfrac{\pi^2f^2B_{max}^2t^2V}{6\rho}$:

Razão:

Perdas totais: $P_{total}(60)\approx7{,}08\,\text{W}$; $P_{total}(400)\approx63{,}8\,\text{W}$.

Discussão física: como $P_h\propto f$ mas $P_e\propto f^2$, aumentar a frequência de operação penaliza as correntes parasitas muito mais que a histerese (fator $44{,}4\times$ contra $6{,}67\times$ ao passar de 60 para 400 Hz). Em 60 Hz, a histerese domina ($6{,}64\,\text{W}$ vs. $0{,}44\,\text{W}$); em 400 Hz, a diferença relativa diminui bastante (histerese ainda maior em termos absolutos aqui, mas a taxa de crescimento das parasitas é muito mais agressiva). Esse é precisamente o motivo pelo qual núcleos destinados a alta frequência (inversores, fontes chaveadas) usam laminações mais finas ou ferrites (Seção “Correntes parasitas (eddy currents)”) — para conter o termo $t^2$ que multiplica a dependência quadrática em $f$.

E16 (desafio). Por analogia direta com a dedução da esfera (Seção “Aplicação: esfera uniformemente magnetizada”, onde $N_d=1/3$ vem da solução do potencial escalar magnético com condições de contorno em coordenadas esféricas), a mesma lógica aplicada a um cilindro infinito magnetizado transversalmente (problema 2D em coordenadas cilíndricas, análogo ao cilindro dielétrico polarizado transversalmente) fornece o fator de desmagnetização $N_d=1/2$ fornecido no enunciado. O campo desmagnetizante interno é:

Campo $B$ interno:

Caso axial ($N_d=0$, magnetização paralela ao eixo do cilindro infinito): não há acúmulo de "polos" magnéticos superficiais efetivos na direção do eixo (não há extremidades, pois o cilindro é infinito), de modo que $\vec H_{dentro}=0$ e:

Comparação: a mesma magnetização $M$ produz campo interno $\vec H$ nulo na configuração axial (sem desmagnetização, $B_{in}=\mu_0M$, o dobro do caso transversal) e um campo $\vec H$ oposto e apreciável ($-M/2$) na configuração transversal, reduzindo $B_{in}$ à metade. O padrão é o mesmo já visto na esfera: quanto maior o fator de desmagnetização geométrico $N_d$, mais o próprio material "se opõe" ao campo que sua magnetização tende a criar internamente — efeito puramente geométrico (forma da amostra), não uma propriedade do material em si.