7. Eletrodinâmica e Equações de Maxwell

Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Lei de Faraday (Integral e Pontual) · Força Eletromotriz do Movimento · Autoindutância e Indutância Mútua · Energia Armazenada no Campo Magnético · Correntes de Deslocamento de Maxwell · Lei de Ampère Corrigida · Equações de Maxwell

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7.1 Objetivos de Aprendizagem

Ao final deste capítulo, você será capaz de:

• [ ] Aplicar a Lei de Faraday para calcular força eletromotriz induzida.
• [ ] Diferenciar fem de transformação e fem de movimento.
• [ ] Calcular autoindutância e indutância mútua de sistemas.
• [ ] Entender o conceito de corrente de deslocamento de Maxwell.
• [ ] Aplicar as quatro equações de Maxwell em forma integral e diferencial.
• [ ] Interpretar o teorema de Poynting e o fluxo de energia eletromagnética.

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7.2 Intuição Física: Eletrodinâmica e Indução

Antes de definir matematicamente as equações de Maxwell variantes no tempo, pense em termos físicos:

• Indução eletromagnética: Um campo magnético variável no tempo cria um campo elétrico (Lei de Faraday).
• A força eletromotriz (fem) é o trabalho por unidade de carga realizado por um campo não-conservativo.
• Uma corrente de deslocamento não é um fluxo real de carga, mas uma variação temporal do campo elétrico que atua como fonte de campo magnético.
• As equações de Maxwell unificam eletricidade, magnetismo e óptica em um único framework.

7.3 Aplicações no Mundo Real

Conceito	Aplicação Prática
Lei de Faraday	Geradores elétricos, transformadores, frenagem regenerativa
Força eletromotriz de movimento	Dinamos, turbinas eólicas, hidrelétricas
Autoindutância e indutância mútua	Indutores, transformadores, circuitos de filtragem
Corrente de deslocamento	Capacitores em circuitos AC, propagação de ondas eletromagnéticas
Teorema de Poynting	Transmissão de energia por ondas, antenas, fibras ópticas
Equações de Maxwell	Projeto de circuitos de alta frequência, telecomunicações, radar

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7.4 Antes de começar

Ao final, você deve aplicar Faraday e Ampère–Maxwell, interpretar fem de movimento, indutância, corrente de deslocamento, Poynting e as quatro equações de Maxwell como um sistema. Diagnóstico: uma corrente de deslocamento transporta carga através do dielétrico? Evidência mínima: verificar uma fem induzida, calcular energia/indutância e reconciliar as formas integral e diferencial de Maxwell.

7.5 Lei de Faraday — Forma Integral

7.5.1 Observação experimental de Faraday

Michael Faraday (1831) observou que uma variação temporal do fluxo magnético através de um circuito induz uma força eletromotriz (fem) nesse circuito — independentemente de a variação vir de um ímã se movendo, de uma corrente variável em um circuito próximo, ou da deformação/movimento do próprio circuito. Definindo o fluxo magnético através de uma superfície $S$ delimitada pelo circuito:

a lei do fluxo para um contorno material $C(t)$ que se move com velocidade local $\vec u$ estabelece:

O integrando é a força de Lorentz por unidade de carga. Para um circuito fixo, $\vec u=0$ e recupera-se $\mathcal E=\oint_C\vec E\cdot d\vec\ell=-\int_S(\partial\vec B/\partial t)\cdot d\vec A$. Assim, a fem de movimento não deve ser atribuída ao campo elétrico sozinho.

7.5.2 Lei de Lenz e o sinal negativo

O sinal negativo expressa a Lei de Lenz: a corrente induzida flui em um sentido tal que o campo magnético que ela própria gera se opõe à variação de fluxo que a originou. Isso é uma manifestação da conservação de energia: se o sinal fosse positivo, a corrente induzida reforçaria a variação de fluxo, criando um processo de retroalimentação positiva que geraria energia do nada — violação da primeira lei da termodinâmica.

Verificação qualitativa: aproximando um ímã com o polo norte de uma espira, o fluxo (para dentro da espira, digamos) aumenta; pela Lei de Lenz, a corrente induzida deve criar um campo que se oponha a esse aumento, ou seja, um campo saindo da face voltada para o ímã — o que, por sua vez, faz a espira repelir o ímã que se aproxima, exigindo trabalho externo para completar a aproximação. Esse trabalho é o que se converte em energia elétrica — não há energia "de graça".

7.5.3 Três mecanismos distintos, uma só lei

A variação de $\Phi_B=\int_S\vec B\cdot d\vec A$ no tempo pode ocorrer por:

1. $\vec B$ variando no tempo com o circuito parado (transformadores) — tratado via $\partial\vec B/\partial t$ (Seção “Lei de Faraday — Forma Pontual”);
2. O circuito se movendo ou deformando em um campo $\vec B$ estático (geradores, barras deslizantes) — tratado via força eletromotriz de movimento (Seção “Força Eletromotriz do Movimento”);
3. Uma combinação dos dois efeitos.

Notavelmente, a forma geral com $\vec E+\vec u\times\vec B$ unifica esses mecanismos — um dos primeiros indícios históricos de que eletricidade e magnetismo são aspectos de um mesmo fenômeno.

7.6 Lei de Faraday — Forma Pontual

7.6.1 Dedução (para circuito estacionário)

Para um circuito fixo no espaço (superfície $S$ e contorno $C$ não variam no tempo), pode-se trazer a derivada temporal para dentro da integral:

Aplicando o Teorema de Stokes ao lado esquerdo (arquivo 4):

Como isso vale para qualquer superfície $S$ arbitrária:

Esta é a terceira equação de Maxwell.

7.6.2 Ruptura com a eletrostática

Note a diferença fundamental em relação à eletrostática (arquivo 2), onde $\nabla\times\vec E=0$ sempre. Em eletrodinâmica geral, campos magnéticos variáveis geram campos elétricos rotacionais ($\nabla\times\vec E\neq0$) — esses campos elétricos induzidos não são conservativos, não podem ser escritos simplesmente como $-\nabla V$ (ou melhor, precisam de um termo adicional, o potencial vetor $\vec A$, veja a seguir), e são a base física de geradores elétricos, transformadores e — como veremos na Parte 2 da apostila — da própria propagação de ondas eletromagnéticas.

7.6.3 Potencial escalar generalizado

Em eletrodinâmica, como localmente $\vec B=\nabla\times\vec A$ — e globalmente sob as condições topológicas e de contorno usuais —, substituindo em $\nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t$:

Como a quantidade entre parênteses tem rotacional nulo, ela pode ser escrita como o gradiente de um potencial escalar:

generalização da relação eletrostática $\vec E=-\nabla V$, agora com uma contribuição adicional do potencial vetor variável no tempo — expressão central da eletrodinâmica que será usada na Parte 2 (radiação e ondas).

7.7 Força Eletromotriz do Movimento

7.7.1 Dedução: barra condutora deslizante

Considere uma barra condutora de comprimento $\ell$, deslizando com velocidade $\vec v$ sobre dois trilhos condutores paralelos, formando um circuito fechado, tudo imerso em um campo magnético uniforme $\vec B$ perpendicular ao plano do circuito. Os elétrons livres na barra, movendo-se com a barra a velocidade $\vec v$, sofrem força de Lorentz magnética:

Essa força atua como um "campo elétrico efetivo" $\vec{v}\times\vec{B}$ que impulsiona os portadores ao longo da barra. Define-se a fem de movimento como o trabalho por unidade de carga realizado por essa força ao longo de todo o circuito:

Para a barra específica descrita (velocidade $v$ perpendicular a si mesma e a $B$, com $\ell$ ao longo da barra), $|\vec v\times\vec B|=vB$ é constante e paralelo à barra:

7.7.2 Consistência com a Lei de Faraday integral

Verifique que esse resultado é um caso particular da Lei de Faraday geral. Se a barra se move com velocidade $v$, a área do circuito cresce a uma taxa $dA/dt=\ell v$ (a barra "varre" uma área $\ell v\,dt$ em um tempo $dt$). O fluxo através do circuito é $\Phi_B=B\cdot A(t)$, logo:

idêntico ao resultado da Seção “Dedução: barra condutora deslizante” — confirmando que a fem de movimento (força de Lorentz sobre cargas em um condutor móvel) e a Lei de Faraday (variação de fluxo) descrevem o mesmo fenômeno físico por dois caminhos diferentes: força microscópica sobre portadores vs. variação macroscópica de fluxo. Essa equivalência é, historicamente, uma das pistas que levaram à relatividade restrita (a "força eletromotriz" medida depende do referencial: no referencial da barra, é a Lei de Faraday com $\vec B$ variável devido ao movimento relativo; no referencial do laboratório, é a força de Lorentz — ambos descrevem a mesma física observável).

7.7.3 Aplicação: disco de Faraday

Um disco condutor de raio $R$, girando com velocidade angular $\omega$ em um campo uniforme $\vec B=B\hat z$, produz fem contínua entre o centro e a borda. Um elemento a raio $r$ tem $\vec v=\omega r\,\hat\phi$; portanto, $\vec v\times\vec B=\omega rB\,\hat r$ e

7.7.4 Corrente induzida e dissipação — freio eletromagnético

Se a barra tem resistência $R$, a corrente induzida é $I=\varepsilon/R=B\ell v/R$. Essa corrente, por sua vez, sofre uma força de Lorentz $\vec F = I\vec\ell\times\vec B$ que se opõe ao movimento da barra (Lei de Lenz), dissipando energia cinética em energia elétrica/térmica — princípio de freios eletromagnéticos e de geradores elétricos em geral.

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7.7.5 Exemplo Resolvido Passo a Passo: Barra Deslizante com Freio Eletromagnético

Problema: Uma barra condutora de comprimento $\ell = 0{,}4\,\text{m}$ desliza com velocidade constante $v = 6{,}0\,\text{m/s}$ sobre dois trilhos condutores paralelos horizontais, na presença de um campo magnético uniforme $B = 0{,}8\,\text{T}$ perpendicular ao plano dos trilhos (apontando para baixo). Os trilhos e a barra têm resistência total $R = 2{,}0\,\Omega$. Determine: (a) a fem induzida; (b) a corrente induzida; (c) a potência dissipada; (d) a força externa necessária para manter a barra em velocidade constante.

Passo 1: Calcular a fem induzida $\varepsilon$.
Pela fórmula da fem de movimento para uma barra deslizante:

Resposta (a): $\boxed{\varepsilon = 1{,}92\,\text{V}}$

Passo 2: Calcular a corrente induzida $I$.
Pela Lei de Ohm, a corrente no circuito é:

O sentido da corrente é tal que a força magnética resultante se opõe ao movimento (Lei de Lenz). Se a barra se move para a direita e $\vec B$ aponta para baixo, a força de Lorentz sobre os elétrons é para trás, então a corrente convencional flui no sentido que produz uma força magnética para a esquerda.

Resposta (b): $\boxed{I = 0{,}96\,\text{A}}$

Passo 3: Calcular a potência dissipada $P_{diss}$.
A potência dissipada no resistor é:

Ou, equivalentemente, $P_{diss} = \varepsilon I = (1{,}92\,\text{V})(0{,}96\,\text{A}) = 1{,}8432\,\text{W}$.

Resposta (c): $\boxed{P_{diss} \approx 1{,}84\,\text{W}}$

Passo 4: Calcular a força externa $F_{ext}$ necessária.
A força magnética sobre a barra é:

Essa força atua no sentido oposto ao movimento (para a esquerda, se a barra se move para a direita). Para manter a barra em velocidade constante, uma força externa $F_{ext}$ deve ser aplicada no sentido do movimento, com módulo igual:

A potência mecânica fornecida pela força externa é:

Resposta (d): $\boxed{F_{ext} \approx 0{,}307\,\text{N}}$, e nota-se que $P_{mec} = P_{diss}$ — a potência mecânica fornecida é exatamente convertida em potência térmica dissipada no resistor.

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7.8 Autoindutância e Indutância Mútua

7.8.1 Autoindutância: definição e dedução para o solenoide

Quando um circuito é percorrido por corrente $I$, ele próprio produz um fluxo magnético $\Phi_B$ através de si mesmo, proporcional a $I$ (por linearidade da Lei de Biot-Savart em relação à fonte):

onde $L$, a autoindutância, depende apenas da geometria do circuito (e do meio magnético). Pela Lei de Faraday, uma corrente variável induz uma fem que se opõe à própria variação:

Dedução para um solenoide de $N$ espiras, comprimento $\ell$, área de seção $A$ (arquivo 4, Seção “Autoindutância e Indutância Mútua”.4.2 deduziu $B=\mu_0nI$ dentro, com $n=N/\ell$): o fluxo através de uma espira é $\Phi_{1esp} = BA = \mu_0(N/\ell)IA$; o fluxo total concatenado (somando as $N$ espiras, cada uma "vendo" o mesmo fluxo) é:

Comparando com $\Phi_B=LI$:

Note a dependência quadrática em $N$ — dobrar o número de espiras quadruplica a indutância (cada espira contribui tanto com mais fluxo próprio quanto por "ver" o fluxo das demais).

7.8.2 Indutância mútua

Considere dois circuitos próximos, 1 e 2. Uma corrente $I_1$ no circuito 1 produz um fluxo $\Phi_{21}$ através do circuito 2, proporcional a $I_1$:

Pela Lei de Faraday, uma variação de $I_1$ induz fem no circuito 2:

7.8.3 Teorema da reciprocidade ($M_{12}=M_{21}$)

Um resultado notável (e não óbvio à primeira vista) é que $M_{12}=M_{21}\equiv M$: o fluxo que uma corrente unitária no circuito 1 produz no circuito 2 (por unidade de corrente) é exatamente igual ao fluxo que a mesma corrente no circuito 2 produziria no circuito 1. Isso pode ser demonstrado a partir da expressão do potencial vetor (arquivo 4):

Substituindo $\vec A_1(\vec r_2) = \dfrac{\mu_0I_1}{4\pi}\oint_{C_1}\dfrac{d\vec\ell_1}{|\vec r_2-\vec r_1|}$ (Seção “Autoindutância e Indutância Mútua”.6.3):

Essa é a Fórmula de Neumann, manifestamente simétrica na troca de índices $1\leftrightarrow2$ — demonstrando $M_{12}=M_{21}=M$ diretamente. Esse resultado é o princípio de funcionamento de transformadores: a mesma indutância mútua $M$ acopla energia do primário ao secundário e vice-versa.

7.9 Energia Armazenada no Campo Magnético

7.9.1 Dedução a partir do circuito RL

Considere um circuito com um indutor $L$ e uma fonte que estabelece uma corrente crescente de $0$ a $I$. A fonte deve realizar trabalho contra a fem induzida $\varepsilon=-L\,dI/dt$ (que se opõe ao aumento de corrente). A potência fornecida pela fonte para vencer essa fem:

A energia total armazenada, integrando de $I=0$ a $I$:

7.9.2 Reescrevendo em termos do campo (densidade de energia magnética)

Por um procedimento inteiramente análogo ao usado para o campo elétrico (arquivo 2, Seção “Lei de Faraday — Forma Pontual”.4.2 — usando $\vec B=\nabla\times\vec A$, integração por partes vetorial e o Teorema do Divergente, com os termos de superfície se anulando no infinito), obtém-se:

Verificação de consistência para o solenoide: com $B=\mu_0nI$ uniforme em um volume $V_{vol}=A\ell$:

recuperando exatamente o resultado da Seção “Dedução a partir do circuito RL”, usando $L=\mu_0N^2A/\ell$ (Seção “Autoindutância: definição e dedução para o solenoide”) — uma bela confirmação cruzada entre a visão "energia no circuito" ($\frac12LI^2$) e "energia no campo" ($\int u_B\,dV$).

7.9.3 Densidade de energia eletromagnética total

Somando as contribuições elétrica (arquivo 2) e magnética, a densidade de energia eletromagnética total em um ponto do espaço é:

Essa expressão será central na Parte 2 da apostila, ao calcularmos a energia transportada por ondas eletromagnéticas (vetor de Poynting).

7.10 Correntes de Deslocamento e Lei de Ampère Corrigida

7.10.1 A inconsistência descoberta por Maxwell

A Lei de Ampère pontual, na forma vista até aqui (arquivo 4, Seção “Autoindutância e Indutância Mútua”.5):

exige, tomando o divergente de ambos os lados, que $\nabla\cdot\vec{J}=0$ sempre (Seção “Autoindutância e Indutância Mútua”.5.2) — mas isso só é verdade em regime estacionário. Em geral, a equação da continuidade (arquivo 3) exige:

que é diferente de zero sempre que a densidade de carga varia no tempo em algum ponto — por exemplo, entre as placas de um capacitor sendo carregado, onde há corrente de condução chegando às placas mas nenhuma corrente real atravessando o espaço entre elas. A Lei de Ampère, aplicada ingenuamente a duas superfícies diferentes que compartilham o mesmo contorno (uma cortando o fio, outra passando entre as placas do capacitor), daria dois resultados diferentes para $I_{env}$ — uma contradição física inaceitável.

7.10.2 Dedução da correção de Maxwell

Maxwell propôs (1861-62) adicionar um termo à Lei de Ampère de modo a restaurar a consistência com a equação da continuidade. Postule uma forma geral:

onde $\vec J_d$ é um termo a determinar (a corrente de deslocamento). Tomando o divergente:

(usando a equação da continuidade). Agora, usando a Lei de Gauss elétrica $\rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\vec E$:

Essa igualdade é satisfeita (a menos de um campo solenoidal adicional sem física relevante aqui, descartado por simplicidade/unicidade) identificando:

7.10.3 Lei de Ampère–Maxwell

Substituindo de volta:

Em forma integral, incluindo o fluxo do campo elétrico através da superfície:

7.10.4 Verificação: capacitor sendo carregado

Retomando o exemplo motivador: para uma superfície $S_1$ que corta o fio de carga (corrente de condução $I$, sem campo elétrico relevante através dela) e uma superfície $S_2$ que passa entre as placas do capacitor (sem corrente de condução, mas com campo elétrico variável $E=\sigma/\varepsilon_0=Q(t)/(\varepsilon_0A)$), ambas compartilhando o mesmo contorno $C$:

• Superfície $S_1$: $I_{env}=I=dQ/dt$, $\Phi_E\approx0$ (fora do capacitor). Lado direito: $\mu_0I$.
• Superfície $S_2$: $I_{env}=0$ (nenhuma carga real atravessa o espaço entre as placas), mas $\Phi_E = EA = Q/\varepsilon_0$, logo $\mu_0\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt = \mu_0\varepsilon_0\cdot\dfrac{1}{\varepsilon_0}\dfrac{dQ}{dt}=\mu_0\dfrac{dQ}{dt}=\mu_0I$.

Os dois cálculos concordam — a corrente de deslocamento "substitui" exatamente a corrente de condução que falta entre as placas, restaurando a consistência da Lei de Ampère para qualquer superfície escolhida. Esse é um dos resultados mais importantes de todo o eletromagnetismo clássico: o termo de Maxwell não é apenas uma correção matemática, mas prevê que campos elétricos variáveis geram campos magnéticos, exatamente como campos magnéticos variáveis geram campos elétricos (Lei de Faraday) — uma simetria que, como veremos na Parte 2, é a origem física das ondas eletromagnéticas autossustentadas.

7.11 Equações de Maxwell — Síntese

7.11.1 As quatro equações (forma pontual/diferencial), em meios materiais

acompanhadas das relações constitutivas do meio ($\vec D=\varepsilon\vec E$, $\vec B=\mu\vec H$, $\vec J=\sigma\vec E$ para meios lineares) e da força de Lorentz $\vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B)$, que fecha o sistema conectando os campos ao movimento das cargas.

7.11.2 Forma no vácuo, sem fontes

No vácuo, longe de cargas e correntes ($\rho_{livre}=0$, $\vec J_{livre}=0$, $\vec D=\varepsilon_0\vec E$, $\vec H=\vec B/\mu_0$):

7.11.3 De onde vêm as ondas — prévia da Parte 2

Tomando o rotacional da equação (III) e substituindo a equação (IV) (ambas as manipulações usam apenas identidades vetoriais e as próprias equações de Maxwell no vácuo):

Usando a identidade $\nabla\times(\nabla\times\vec E)=\nabla(\nabla\cdot\vec E)-\nabla^2\vec E$ e $\nabla\cdot\vec E=0$ (vácuo, sem cargas):

Esta é uma equação de onda tridimensional, com velocidade de propagação:

Calculando numericamente com $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\text{T·m/A}$ e $\varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\,\text{F/m}$, obtém-se $c\approx2{,}998\times10^8\,\text{m/s}$ — exatamente a velocidade da luz, medida independentemente por métodos óticos décadas antes. Essa coincidência numérica levou Maxwell a propor, em 1865, que a luz é uma onda eletromagnética — uma das unificações mais profundas da física clássica, e o ponto de partida exato da Parte 2 desta apostila (Ondas e Propagação).

7.12 Teorema de Poynting

7.12.1 Derivação

O teorema de Poynting expressa a conservação de energia no campo eletromagnético. Partimos das equações de Maxwell (forma pontual):

Multiplicamos a primeira por $\vec{H}$ e a segunda por $\vec{E}$, e subtraímos:

O lado esquerdo é $-\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{H})$ (identidade: $\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})$).

Para meios lineares, sem dispersão e com $\varepsilon,\mu$ constantes no tempo:

com $u = \tfrac{1}{2}\varepsilon E^2 + \tfrac{1}{2}\mu H^2$ a densidade de energia eletromagnética.

Para meios com condutividade $\sigma$, a corrente livre $\vec{J}_f = \sigma\vec{E}$ dissipa energia por efeito Joule:

Juntando tudo:

Integrando sobre um volume $V$ delimitado por $S$ e aplicando o teorema do divergente:

7.12.2 Interpretação física

onde $\vec{S} \equiv \vec{E}\times\vec{H}$ é o vetor de Poynting, com unidade de W/m², que mede o fluxo de energia eletromagnética.

7.12.3 Intensidade de ondas eletromagnéticas

Para uma onda plana no vácuo, $\vec{E} \perp \vec{B}$ e $E = cB = \eta_0 H$:

A intensidade média (sobre um ciclo):

Esta é a potência por unidade de área transportada pela onda — a grandeza medida por detectores de luz, antenas, etc.

O campo magnético: $B_0 = E_0/c \approx 3{,}4\,\mu\text{T}$.

7.13 Potenciais Retardados

7.13.1 Potencial vetor no domínio do tempo

Em magnetostática, o potencial vetor era:

Em eletrodinâmica, informações se propagam à velocidade $c$, não instantaneamente. O potencial em $\vec{r}$ no tempo $t$ depende da distribuição de corrente em $\vec{r}'$ no tempo retardado $t_r = t - |\vec{r}-\vec{r}'|/c$:

Analogamente, o potencial escalar:

O tempo retardado $t_r = t - R/c$ (com $R = |\vec{r}-\vec{r}'|$) incorpora o tempo de viagem da informação do ponto fonte ao ponto de observação — a ação não-local retardada.

7.13.2 Calibre de Lorenz

Os potenciais $V$ e $\vec{A}$ acima são válidos no calibre de Lorenz:

Que generaliza o calibre de Coulomb ($\nabla\cdot\vec{A}=0$) para o caso dinâmico.

No calibre de Lorenz, $V$ e $\vec{A}$ satisfazem equações de onda com fonte:

As soluções são exatamente os potenciais retardados acima — os potenciais de Liénard–Wiechert para cargas em movimento geral.

7.13.3 Consequência: radiação

Os potenciais retardados são a base da teoria da radiação eletromagnética. Uma carga acelerada produz campos que se desprendem da fonte e se propagam ao infinito — a radiação. O campo de radiação (que decai como $1/r$, mais lentamente que o campo de Coulomb $1/r^2$) é proporcional à aceleração da carga.

A potência total radiada por uma carga puntiforme acelerada é dada pela fórmula de Larmor:

Esta é a base de: síncrotron (radiação de elétrons em aceleradores), bremsstrahlung (radiação de frenagem), e a perda de energia de antenas irradiantes.

7.14 Condições de Contorno para Campos Variantes no Tempo

7.14.1 Resumo das condições de contorno (geral, variantes no tempo)

Na ausência de monopolos/correntes magnéticas idealizados e sem campos impulsivos singulares na interface, as condições macroscópicas são:

Elétricas:

Magnéticas:

Somente para meios lineares isotrópicos pode-se substituir $\vec D_i=\varepsilon_i\vec E_i$ e $\vec B_i=\mu_i\vec H_i$. As formas vetoriais também fixam o sinal, que fica ambíguo quando se escreve apenas “componente 2 menos componente 1”.

7.14.2 Consequências para ondas EM em interfaces

Quando uma onda plana incide em uma interface entre dois meios, estas condições de contorno determinam:

1. Leis de reflexão e refração (Snell): o vetor de onda tangencial é contínuo → $\theta_i = \theta_r$ e $n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t$.
2. Coeficientes de Fresnel: razão entre amplitudes dos campos refletido/transmitido e o incidente — depende da polarização (TE/TM) e dos índices de refração.
3. Reflexão total interna: quando $n_1 > n_2$ e $\theta_i > \theta_c = \arcsin(n_2/n_1)$, toda a energia é refletida e surge um campo evanescente no segundo meio, decaindo exponencialmente.

Estes tópicos serão tratados em detalhe na Parte 2 (Ondas e Propagação).

7.15 Exercícios Resolvidos em Python

7.15.1 Roteiro computacional

Objetivo. Verificar indução, corrente de deslocamento, balanço de Poynting e propagação temporal por FDTD.

Como executar. Requer numpy e matplotlib. Registre $\Delta x$, $\Delta t$, número de Courant e erro no balanço de energia.

• Velocidade da luz: coincidência perfeita com o valor definido pelo SI
• Autoindutância: ~1,67 mH para o solenoide dado
• Energia: circuito e campo coincidem com erro < 10⁻⁶
• Corrente de deslocamento: ~0,885 mA (igual à corrente de condução no capacitor)
• Constante solar: E₀ ≈ 1020 V/m, B₀ ≈ 3,4 µT
• Larmor: potência radiada típica de elétrons em síncrotron
• FDTD: pulso se propaga à velocidade c, mantendo forma
• Potencial retardado: diferença pequena em 1 m a 1 GHz, mas mensurável

7.15.2 Experimento: fluxo, fem e Lei de Lenz no tempo

7.16 Resumo Visual das Quatro Equações de Maxwell

#	Nome	Forma integral	Forma pontual	Significado físico
I	Gauss (elétrica)	$\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=Q_{env}/\varepsilon_0$	$\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_0$	Cargas são fontes do campo elétrico
II	Gauss (magnética)	$\oint\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$	$\nabla\cdot\vec{B}=0$	Não existem monopolos magnéticos
III	Faraday	$\oint\vec{E}\cdot d\vec\ell=-d\Phi_B/dt$	$\nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t$	Campo magnético variável gera campo elétrico
IV	Ampère–Maxwell	$\oint\vec{B}\cdot d\vec\ell=\mu_0I_{env}+\mu_0\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$	$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+\mu_0\varepsilon_0\partial\vec{E}/\partial t$	Correntes e campos elétricos variáveis geram campo magnético

Essas quatro equações, complementadas pela força de Lorentz, constituem a totalidade da teoria eletromagnética clássica — desde a eletrostática e magnetostática já estudadas (casos particulares estacionários) até a radiação e propagação de ondas, tema da Parte 2 desta apostila.

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7.17 Resumo do Capítulo

7.17.1 As Quatro Equações de Maxwell

#	Nome	Forma Integral	Forma Pontual	Significado
I	Gauss (elétrica)	$\displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=Q_{env}/\varepsilon_0$	$\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_0$	Cargas são fontes do campo elétrico
II	Gauss (magnética)	$\displaystyle\oint\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$	$\nabla\cdot\vec{B}=0$	Não existem monopolos magnéticos
III	Faraday	$\displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec\ell=-d\Phi_B/dt$	$\nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t$	Campo magnético variável gera campo elétrico
IV	Ampère–Maxwell	$\displaystyle\oint\vec{B}\cdot d\vec\ell=\mu_0I_{env}+\mu_0\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$	$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+\mu_0\varepsilon_0\partial\vec{E}/\partial t$	Correntes e campos elétricos variáveis geram campo magnético

7.17.2 Fórmulas-Chave Adicionais

Conceito	Fórmula	Aplicações
Força eletromotriz de movimento	$\varepsilon = \int (\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{\ell}$	Barra deslizante, discos de Faraday
Autoindutância	$U = \tfrac{1}{2}LI^2$, $\varepsilon = -L\,dI/dt$	Solenoides, toroides, indutores
Indutância mútua	$\varepsilon_2 = -M\,dI_1/dt$	Transformadores
Corrente de deslocamento	$I_d = \varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}$, $\vec J_d = \varepsilon_0\dfrac{\partial\vec E}{\partial t}$	Capacitores, ondas eletromagnéticas
Vetor de Poynting	$\vec S = \dfrac{1}{\mu_0}\vec E\times\vec B$	Fluxo de energia eletromagnética
Energia do campo magnético	$U = \dfrac{1}{2\mu_0}\int B^2\,dV$	Densidade $u_B = B^2/(2\mu_0)$

7.17.3 Conceitos-Chave

1. Lei de Faraday: Um campo magnético variável no tempo gera um campo elétrico não-conservativo.
2. Fem de movimento: Resulta da força de Lorentz $q\vec{v}\times\vec{B}$ sobre cargas em movimento.
3. Corrente de deslocamento: Não é um fluxo real de carga, mas uma variação temporal de $\vec E$ que atua como fonte de $\vec B$.
4. Equações de Maxwell: Unificam eletricidade, magnetismo e óptica; preveem a existência de ondas eletromagnéticas.
5. Teorema de Poynting: Descreve o fluxo de energia eletromagnética através do espaço.

7.18 Lista de Exercícios Propostos

E1 (Lei de Faraday integral). Uma espira circular de raio $r=5\,\text{cm}$ está imersa em um campo magnético uniforme, perpendicular ao seu plano, que varia no tempo como $B(t)=B_0+kt$, com $B_0=0{,}2\,\text{T}$ e $k=3{,}0\,\text{T/s}$. Determine a fem induzida na espira e indique, usando a Lei de Lenz, o sentido da corrente induzida (adote um sentido de referência para $\vec B$ e justifique).

E2 (Lei de Faraday pontual). Em uma região do espaço, $\vec{B}(t) = B_0\sin(\omega t)\,\hat z$, uniforme em todo o espaço. Proponha um campo elétrico da forma $\vec E = C(t)\,(y\,\hat x - x\,\hat y)$, com $C(t)$ a determinar, calcule explicitamente $\nabla\times\vec E$ em função de $C(t)$, e imponha a Lei de Faraday pontual $\nabla\times\vec E=-\partial \vec B/\partial t$ para encontrar $C(t)$.

E3 (Lei de Lenz qualitativa). Um anel condutor é solto, em queda livre, de forma a cair verticalmente atravessando a região de campo de um ímã em barra alinhado verticalmente (primeiro se aproximando do polo norte, depois se afastando). Esboce qualitativamente o gráfico da fem induzida $\varepsilon(t)$ em função do tempo durante toda a queda, indicando os sinais relativos nas duas fases (aproximação e afastamento) e explique por que a força magnética resultante sobre o anel sempre se opõe à queda livre (retardando-a).

E4 (Barra deslizante — fem de movimento). Uma barra condutora de comprimento $\ell=40\,\text{cm}$ desliza com velocidade constante $v=6{,}0\,\text{m/s}$ sobre dois trilhos paralelos horizontais, na presença de um campo $B=0{,}8\,\text{T}$ perpendicular ao plano dos trilhos. (a) Calcule a fem induzida. (b) Se os trilhos e a barra têm resistência total $R=2{,}0\,\Omega$, calcule a corrente induzida e a potência dissipada. (c) Calcule a força externa necessária para manter a barra em velocidade constante e mostre que a potência mecânica fornecida é igual à potência dissipada.

E5 (Verificação: fem de movimento vs. Faraday). Repita o cálculo do item (a) do Exercício E4 usando exclusivamente a Lei de Faraday integral ($\varepsilon=-d\Phi_B/dt$), definindo explicitamente a área varrida em função do tempo, e confirme que o resultado coincide com o obtido via força de Lorentz.

E6 (Disco de Faraday — gerador de disco rotativo). Um disco condutor de raio $a=10\,\text{cm}$ gira com velocidade angular constante $\omega=100\,\text{rad/s}$ em torno de seu eixo central, imerso em um campo magnético uniforme $B=0{,}5\,\text{T}$ paralelo ao eixo de rotação. (a) Mostre, integrando a força de Lorentz por unidade de carga ao longo de um raio do disco (do centro à borda), que a fem entre o centro e a borda é $\varepsilon = \tfrac{1}{2}B\omega a^2$. (b) Calcule o valor numérico de $\varepsilon$.

E7 (Autoindutância de um solenoide). Um solenoide tem $N=800$ espiras, comprimento $\ell=20\,\text{cm}$ e área de seção transversal $A=3{,}0\,\text{cm}^2$. (a) Calcule sua autoindutância $L$. (b) Se a corrente no solenoide varia como $I(t)=I_0(1-e^{-t/\tau})$ com $I_0=2{,}0\,\text{A}$ e $\tau=10\,\text{ms}$, calcule a fem autoinduzida em $t=0$ e no limite $t\to\infty$.

E8 (Indutância mútua solenoide–bobina). Um solenoide longo tem $N_1=1000$ espiras, comprimento $\ell_1=25\,\text{cm}$ e área de seção $A_1=4{,}0\,\text{cm}^2$. Uma pequena bobina de $N_2=50$ espiras e área $A_2=1{,}0\,\text{cm}^2$ é colocada coaxialmente em seu interior, onde o campo do solenoide é aproximadamente uniforme. (a) Calcule a indutância mútua $M$. (b) Se a corrente no solenoide varia a uma taxa $dI_1/dt=150\,\text{A/s}$, calcule a fem induzida na bobina.

E9 (Fórmula de Neumann — conceitual/dedutivo). Partindo da fórmula de Neumann $M_{21}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\displaystyle\oint_{C_1}\oint_{C_2}\dfrac{d\vec\ell_1\cdot d\vec\ell_2}{|\vec r_2-\vec r_1|}$, explique (sem calcular a integral dupla completa) por que essa expressão implica imediatamente que $M_{12}=M_{21}$, e discuta por que esse resultado é surpreendente do ponto de vista físico (dois circuitos de geometrias completamente diferentes podem ter formas de calcular o "fluxo mútuo" aparentemente distintas, mas o coeficiente é idêntico nos dois sentidos).

E10 (Energia armazenada — verificação cruzada). Um toroide de seção transversal circular de área $A=5{,}0\,\text{cm}^2$, raio médio $R_m=15\,\text{cm}$ e $N=600$ espiras conduz uma corrente $I=3{,}0\,\text{A}$. (a) Calcule a autoindutância do toroide, usando $L=\mu_0N^2A/(2\pi R_m)$ (análoga à do solenoide, com $\ell\to 2\pi R_m$). (b) Calcule a energia armazenada via $U=\tfrac12 LI^2$. (c) Calcule o campo $B$ no interior do toroide e, a partir da densidade de energia $u_B=B^2/(2\mu_0)$, recalcule $U$ integrando sobre o volume $V=A\cdot(2\pi R_m)$, confirmando a concordância entre os dois métodos.

E11 (Corrente de deslocamento — capacitor de placas paralelas). Um capacitor de placas paralelas circulares de raio $R=3{,}0\,\text{cm}$, separadas por $d=2{,}0\,\text{mm}$ no vácuo, é carregado por uma corrente de condução constante $I=0{,}50\,\text{mA}$ que chega a uma das placas. (a) Calcule a taxa de variação do campo elétrico $dE/dt$ entre as placas. (b) Calcule a densidade de corrente de deslocamento $J_d$ e confirme que a corrente de deslocamento total $I_d=J_d\cdot(\pi R^2)$ é igual a $I$. (c) Calcule o campo magnético induzido a uma distância $r=1{,}5\,\text{cm}$ do eixo (dentro da região entre as placas), usando a Lei de Ampère–Maxwell com simetria cilíndrica.

E12 (Corrente de deslocamento — campo oscilante realista). Em uma região do espaço, o campo elétrico oscila como $\vec E(t) = E_0\cos(\omega t)\,\hat x$, com $E_0=1{,}0\times10^5\,\text{V/m}$ (campo elevado, mas plausível próximo a um eletrodo de alta tensão) e frequência $f=60\,\text{Hz}$ (rede elétrica). (a) Calcule a amplitude da densidade de corrente de deslocamento $J_{d,\text{máx}}=\varepsilon_0 E_0\omega$. (b) Repita o cálculo para uma onda de rádio de $f=1{,}0\,\text{MHz}$ com a mesma amplitude de campo, e compare as duas densidades de corrente, comentando por que a corrente de deslocamento é desprezível em baixas frequências mas se torna dominante em altas frequências.

E13 (Capacitor sendo carregado através de um resistor — consistência da Lei de Ampère–Maxwell). Um capacitor de placas paralelas de área $A=8{,}0\,\text{cm}^2$ e separação $d=1{,}0\,\text{mm}$ é carregado, a partir do repouso, por uma fonte de tensão $V_0=12\,\text{V}$ através de um resistor $R=2{,}2\,\Omega$ em série (circuito RC). (a) Escreva a corrente de condução $I_{cond}(t)$ no fio de carga. (b) Escreva o campo elétrico $E(t)$ entre as placas em função da carga $Q(t)$ no capacitor, e a partir dele obtenha $I_d(t)=\varepsilon_0 A\,dE/dt$. (c) Mostre algebricamente que $I_d(t)=I_{cond}(t)$ para todo $t$, confirmando que a Lei de Ampère–Maxwell é consistente mesmo durante o transiente de carga (não apenas em regime estacionário).

E14 (Síntese das quatro Equações de Maxwell). Um estudante afirma: "no vácuo, sem cargas nem correntes, todas as quatro equações de Maxwell são trivialmente satisfeitas por $\vec E=\vec B=0$, então elas não contêm informação física nova além dessa solução trivial." Critique essa afirmação, apresentando explicitamente outra solução não trivial das quatro equações no vácuo sem fontes (pode ser qualitativa, referenciando a Seção “De onde vêm as ondas — prévia da Parte 2”) e explique fisicamente o que essa segunda solução representa.

E15 (Equação de onda para $\vec B$ — desafio). Na Seção “De onde vêm as ondas — prévia da Parte 2”, a equação de onda foi deduzida para o campo $\vec E$, tomando o rotacional da Lei de Faraday (III) e substituindo a Lei de Ampère–Maxwell (IV). Deduza, por um procedimento inteiramente análogo (por simetria), a equação de onda para o campo $\vec B$, partindo do rotacional da equação (IV) e substituindo a equação (III), no vácuo sem fontes. Mostre todos os passos (identidade vetorial do rotacional duplo, uso de $\nabla\cdot\vec B=0$) e verifique que a velocidade de propagação obtida é a mesma, $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$.

E16 (Teorema de Poynting em um resistor com corrente estacionária — desafio clássico). Um fio resistivo cilíndrico reto, de raio $a=2{,}0\,\text{mm}$, comprimento $L=30\,\text{cm}$ e resistência total $R=5{,}0\,\Omega$, conduz uma corrente estacionária $I=2{,}0\,\text{A}$. (a) Calcule o campo elétrico $E$ no interior do fio (paralelo ao eixo, uniforme), a partir de $E=IR/L$. (b) Calcule o campo magnético $H$ na superfície do fio (tangencial, circulando o fio), usando a Lei de Ampère. (c) Calcule o vetor de Poynting $\vec S=\vec E\times\vec H$ na superfície do fio, determine sua direção (para dentro ou para fora do fio) e calcule sua magnitude. (d) Integre $\vec S$ sobre a superfície lateral do cilindro para obter a potência total que entra no fio através do campo, e compare com a potência dissipada por efeito Joule $P=I^2R$. Comente o significado físico: de onde "vem", de fato, a energia dissipada no resistor?

E17 (Intensidade de onda eletromagnética — vetor de Poynting). Uma onda eletromagnética plana no vácuo tem amplitude de campo elétrico $E_0=500\,\text{V/m}$. (a) Calcule a amplitude do campo magnético $B_0$. (b) Calcule a intensidade média (potência por unidade de área) transportada pela onda. (c) Se essa onda incide perpendicularmente sobre uma superfície perfeitamente absorvedora de área $2{,}0\,\text{cm}^2$, calcule a potência total absorvida.

E18 (Potenciais retardados e fórmula de Larmor). Um elétron ($q=1{,}602\times10^{-19}\,\text{C}$) em um acelerador sofre uma aceleração instantânea $a=1{,}0\times10^{18}\,\text{m/s}^2$. (a) Calcule a potência total radiada, usando a fórmula de Larmor. (b) Explique, em termos dos potenciais retardados (Seção “Potenciais Retardados”), por que uma carga em velocidade constante não irradia energia, enquanto uma carga acelerada sim — relacione com a dependência em $1/r$ do campo de radiação vs. $1/r^2$ do campo "quase-estático" que acompanha a carga.

7.19 Gabarito

E1. A área da espira é $A=\pi r^2 = \pi(0{,}05)^2 = 7{,}854\times10^{-3}\,\text{m}^2$. Como $B(t)=B_0+kt$ é uniforme e perpendicular à espira, o fluxo é $\Phi_B(t)=B(t)A=(B_0+kt)A$, logo $d\Phi_B/dt = kA$. Pela Lei de Faraday:

Como $k>0$, o fluxo (adotado, digamos, saindo da página) está aumentando. Pela Lei de Lenz, a corrente induzida deve se opor a esse aumento, criando um campo entrando na página no interior da espira — logo a corrente induzida circula no sentido horário (visto do lado de onde $\vec B$ sai).

E2. Com $\vec E = C(t)(y\hat x - x\hat y)$, temos $E_x = C(t)\,y$, $E_y=-C(t)\,x$, $E_z=0$. Calculando a componente $z$ do rotacional (as demais são nulas, pois $E_x,E_y$ não dependem de $z$ e $E_z=0$):

Assim $\nabla\times\vec E = -2C(t)\,\hat z$. Por outro lado, $\vec B(t)=B_0\sin(\omega t)\hat z \Rightarrow \dfrac{\partial\vec B}{\partial t}=\omega B_0\cos(\omega t)\,\hat z$. Impondo a Lei de Faraday pontual:

Logo o campo elétrico induzido é:

Note que $\vec E$ é tangencial a círculos centrados na origem (perpendicular ao vetor posição no plano $xy$, pois $\vec E\cdot(x\hat x+y\hat y) = C(t)(yx-xy)=0$) — consistente com o padrão de campo elétrico induzido circulando em torno da direção de variação de $\vec B$, análogo às linhas de campo em um transformador.

E3. Enquanto o anel se aproxima do polo norte do ímã (por baixo, digamos), o fluxo através do anel (na direção que se afasta do ímã) aumenta em módulo à medida que o anel se aproxima da região de campo mais intenso; a fem induzida tem um sinal (Lei de Lenz: corrente se opõe ao aumento). Quando o anel passa pelo ímã e começa a se afastar, o fluxo começa a diminuir, e a fem inverte de sinal (a corrente induzida agora tenta manter o fluxo que está diminuindo). Portanto $\varepsilon(t)$ tem um pico em um sentido durante a aproximação, passa por zero aproximadamente quando o anel está no plano do ímã (fluxo máximo, $d\Phi/dt\approx0$), e tem um pico de sinal oposto durante o afastamento — um perfil tipo "onda bipolar" (positivo-zero-negativo, ou vice-versa dependendo da convenção). Em ambas as fases, pela Lei de Lenz, a força magnética sobre a corrente induzida no anel se opõe ao movimento relativo entre o anel e o ímã — na aproximação, repele o anel (freando a queda); no afastamento, atrai o anel de volta (também freando a queda). Isso é uma consequência direta da conservação de energia: a energia cinética perdida pelo anel (ele cai mais devagar que em queda livre) se converte em energia elétrica dissipada por efeito Joule na resistência do anel.

E4.
(a) $\varepsilon = B\ell v = 0{,}8\times0{,}40\times6{,}0 = 1{,}92\,\text{V}$.

(b) $I = \varepsilon/R = 1{,}92/2{,}0 = 0{,}96\,\text{A}$. Potência dissipada: $P=I^2R = (0{,}96)^2\times2{,}0 = 1{,}8432\,\text{W}$ (equivalentemente $P=\varepsilon I = 1{,}92\times0{,}96=1{,}8432\,\text{W}$).

(c) A corrente induzida na barra, imersa em $\vec B$, sofre força $F=BI\ell = 0{,}8\times0{,}96\times0{,}40 = 0{,}3072\,\text{N}$, dirigida (pela Lei de Lenz) contra o movimento da barra. Para manter $v$ constante, a força externa deve ter mesmo módulo e sentido oposto: $F_{ext}=0{,}3072\,\text{N}$. A potência mecânica fornecida é $P_{mec}=F_{ext}\,v = 0{,}3072\times6{,}0 = 1{,}8432\,\text{W}$, idêntica à potência dissipada calculada em (b) — confirma a conservação de energia (toda a potência mecânica se converte em dissipação Joule, já que a energia cinética da barra é constante).

E5. A área do circuito cresce a uma taxa $dA/dt = \ell v = 0{,}40\times6{,}0=2{,}4\,\text{m}^2/\text{s}$. Com $B$ uniforme e perpendicular ao circuito, $\Phi_B(t) = B\,A(t)$, logo:

idêntico ao valor de $\varepsilon=B\ell v$ obtido em E4(a) via força de Lorentz — confirmando a equivalência entre as duas descrições (Seção “Consistência com a Lei de Faraday integral”).

E6. (a) Considere um elemento radial do disco a uma distância $s$ do centro ($0\le s\le a$), girando com velocidade tangencial $v(s)=\omega s$. A força de Lorentz por unidade de carga sobre os portadores nesse ponto é $|\vec v\times\vec B| = \omega s B$, dirigida radialmente (ao longo do raio, já que $\vec v$ é tangencial e $\vec B$ é axial, $\vec v\times\vec B$ aponta ao longo de $\hat s$). A fem entre o centro e a borda é a integral dessa força efetiva ao longo do raio:

(b) Numericamente: $\varepsilon = \tfrac12\times0{,}5\times100\times(0{,}1)^2 = \tfrac12\times0{,}5\times100\times0{,}01 = 0{,}25\,\text{V}$.

E7.
(a) $L = \dfrac{\mu_0N^2A}{\ell} = \dfrac{4\pi\times10^{-7}\times(800)^2\times3{,}0\times10^{-4}}{0{,}20}$.

Calculando passo a passo: $N^2=6{,}4\times10^5$; $\mu_0N^2 = 4\pi\times10^{-7}\times6{,}4\times10^5 = 0{,}8043\,\text{H/m}$; multiplicando por $A=3{,}0\times10^{-4}\,\text{m}^2$: $0{,}8043\times3{,}0\times10^{-4}=2{,}413\times10^{-4}$; dividindo por $\ell=0{,}20\,\text{m}$:

(b) $\varepsilon(t) = -L\,dI/dt$, com $I(t)=I_0(1-e^{-t/\tau})\Rightarrow dI/dt = \dfrac{I_0}{\tau}e^{-t/\tau}$.

Em $t=0$: $dI/dt|_{t=0} = I_0/\tau = 2{,}0/0{,}010 = 200\,\text{A/s}$, logo $\varepsilon(0) = -L\times200 = -1{,}206\times10^{-3}\times200 \approx -0{,}241\,\text{V}$ (módulo $0{,}241\,\text{V}$).

No limite $t\to\infty$: $I(t)\to I_0$ (constante), $dI/dt\to0$, logo $\varepsilon\to0$ — não há mais fem autoinduzida quando a corrente atinge o regime estacionário.

E8.
(a) O campo dentro do solenoide (comprimento $\ell_1$, $N_1$ espiras) é $B_1 = \mu_0(N_1/\ell_1)I_1$. O fluxo através de uma espira da bobina interna é $\Phi_{1esp}=B_1A_2$ (a bobina "vê" o campo do solenoide em sua própria área $A_2$, menor que $A_1$). O fluxo concatenado nas $N_2$ espiras:

Numericamente: $\mu_0 N_1 N_2 = 4\pi\times10^{-7}\times1000\times50 = 4\pi\times10^{-7}\times5\times10^4 = 6{,}283\times10^{-2}$; multiplicando por $A_2=1{,}0\times10^{-4}\,\text{m}^2$: $6{,}283\times10^{-6}$; dividindo por $\ell_1=0{,}25\,\text{m}$:

(b) $\varepsilon_2 = -M\,dI_1/dt = -2{,}513\times10^{-5}\times150 \approx -3{,}77\times10^{-3}\,\text{V} = -3{,}77\,\text{mV}$ (módulo $3{,}77\,\text{mV}$).

E9. Na fórmula de Neumann,

o integrando depende apenas de: (i) o produto escalar $d\vec\ell_1\cdot d\vec\ell_2$, que é simétrico na troca $1\leftrightarrow2$ (produto escalar não tem "direção preferencial"); e (ii) a distância $|\vec r_2-\vec r_1|=|\vec r_1-\vec r_2|$, também simétrica. Trocar os rótulos $1\leftrightarrow2$ simplesmente troca a ordem das integrais duplas (que comutam) sem alterar o valor da integral. Logo $M_{21}=M_{12}$ por construção, sem necessidade de calcular a integral explicitamente para uma geometria particular. Fisicamente, isso é notável porque a "rota de cálculo" natural para $M_{21}$ (fluxo de $\vec B_1$ através de $C_2$) e para $M_{12}$ (fluxo de $\vec B_2$ através de $C_1$) parecem, a princípio, processos geometricamente muito diferentes — envolvem campos magnéticos com distribuições espaciais distintas produzidos por correntes em circuitos de formas arbitrárias — e ainda assim o coeficiente de acoplamento resulta idêntico. Esse é o fundamento físico de que um transformador "funciona igualmente bem" transferindo energia do primário para o secundário ou (em princípio) do secundário para o primário, usando o mesmo $M$.

E10.
(a) $L = \dfrac{\mu_0N^2A}{2\pi R_m} = \dfrac{4\pi\times10^{-7}\times(600)^2\times5{,}0\times10^{-4}}{2\pi\times0{,}15}$.

$N^2=3{,}6\times10^5$; $\mu_0N^2=4\pi\times10^{-7}\times3{,}6\times10^5=0{,}4524\,\text{H/m}$; $\times A = 0{,}4524\times5{,}0\times10^{-4}=2{,}262\times10^{-4}$; $2\pi R_m = 2\pi\times0{,}15=0{,}9425\,\text{m}$:

(b) $U=\tfrac12LI^2 = \tfrac12\times2{,}400\times10^{-4}\times(3{,}0)^2 = \tfrac12\times2{,}400\times10^{-4}\times9{,}0 = 1{,}080\times10^{-3}\,\text{J} = 1{,}08\,\text{mJ}$.

(c) $B = \mu_0\dfrac{N}{2\pi R_m}I = 4\pi\times10^{-7}\times\dfrac{600}{0{,}9425}\times3{,}0$.

$N/(2\pi R_m) = 600/0{,}9425 = 636{,}6\,\text{m}^{-1}$; $\mu_0\times636{,}6 = 4\pi\times10^{-7}\times636{,}6 = 8{,}0\times10^{-4}\,\text{T/A}$; $\times I=3{,}0$: $B=2{,}400\times10^{-3}\,\text{T}$.

$u_B = B^2/(2\mu_0) = (2{,}400\times10^{-3})^2/(2\times4\pi\times10^{-7}) = 5{,}76\times10^{-6}/(2{,}513\times10^{-6}) = 2{,}292\,\text{J/m}^3$.

Volume: $V=A\times2\pi R_m = 5{,}0\times10^{-4}\times0{,}9425 = 4{,}712\times10^{-4}\,\text{m}^3$.

$U = u_B V = 2{,}292\times4{,}712\times10^{-4} = 1{,}080\times10^{-3}\,\text{J} = 1{,}08\,\text{mJ}$ — idêntico ao valor de (b), confirmando a consistência entre a energia "de circuito" e a energia "de campo".

E11.
(a) A carga no capacitor cresce a taxa $dQ/dt=I$ (corrente de condução constante). O campo entre as placas é $E=\sigma/\varepsilon_0 = Q/(\varepsilon_0\,\pi R^2)$, logo:

Com $\pi R^2 = \pi(0{,}03)^2 = 2{,}827\times10^{-3}\,\text{m}^2$:

(b) $J_d = \varepsilon_0\,dE/dt = 8{,}854\times10^{-12}\times2{,}00\times10^{10} \approx 0{,}1771\,\text{A/m}^2$.

$I_d = J_d\cdot\pi R^2 = 0{,}1771\times2{,}827\times10^{-3} \approx 5{,}00\times10^{-4}\,\text{A} = 0{,}50\,\text{mA}$ — igual a $I$, como esperado (por construção, já que $J_d$ foi obtido diretamente de $dQ/dt=I$).

(c) Por simetria cilíndrica (eixo do capacitor), aplicando a Lei de Ampère–Maxwell a um círculo amperiano de raio $r=1{,}5\,\text{cm}<R$ no espaço entre as placas (sem corrente de condução ali, apenas de deslocamento, uniforme dentro do raio $R$):

Numericamente: $\mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2 \approx 1{,}113\times10^{-17}\,\text{s}^2/\text{m}^2$; $B = \dfrac{1{,}113\times10^{-17}\times0{,}015}{2}\times2{,}00\times10^{10}$.

$\dfrac{1{,}113\times10^{-17}\times0{,}015}{2} = 8{,}35\times10^{-20}$; $\times2{,}00\times10^{10} = 1{,}67\times10^{-9}\,\text{T}$ — um campo magnético extremamente pequeno (nanotesla), consistente com o fato de correntes de deslocamento típicas de laboratório gerarem campos magnéticos muito fracos.

E12.
(a) $\omega = 2\pi f = 2\pi\times60 = 376{,}99\,\text{rad/s}$.

(b) $\omega' = 2\pi\times1{,}0\times10^6 = 6{,}283\times10^6\,\text{rad/s}$.

A razão entre as duas densidades é exatamente a razão das frequências, $10^6/60\approx1{,}667\times10^4$ — confirmando que $J_d\propto\omega$. Em 60 Hz, a densidade de corrente de deslocamento é ínfima (frações de mA/m²), praticamente irrelevante frente a correntes de condução típicas; em 1 MHz (faixa de rádio), $J_d$ já atinge alguns A/m², comparável a densidades de corrente de condução moderadas. Isso ilustra por que a corrente de deslocamento é crucial para o comportamento de campos em altas frequências (radiação, ondas, capacitores em circuitos de RF) mas é seguramente desprezada em circuitos de corrente alternada de baixa frequência (rede elétrica).

E13.
(a) O circuito RC em carga tem corrente de condução (decaindo exponencialmente a partir do fechamento da chave):

(b) A carga no capacitor é $Q(t) = CV_0(1-e^{-t/(RC)})$, logo o campo entre as placas:

Derivando:

(c) Comparando diretamente as expressões de (a) e (b):

As duas correntes são identicamente iguais em todo instante, não apenas em regime estacionário ou no instante inicial — confirmando que a Lei de Ampère–Maxwell é consistente durante todo o transiente de carga, e não apenas em um caso particular. Isso é uma verificação mais forte do que a análise "antes/depois" da Seção “Verificação: capacitor sendo carregado”: aqui mostramos a igualdade para toda a função do tempo $I_d(t)=I_{cond}(t)$, e não apenas em um instante fixo.

E14. A afirmação do estudante é falsa. Embora $\vec E=\vec B=0$ seja de fato uma solução trivial das equações de Maxwell no vácuo sem fontes, essas equações também admitem soluções ondulatórias não triviais. Como mostrado na Seção “De onde vêm as ondas — prévia da Parte 2”, tomando o rotacional da Lei de Faraday e substituindo a Lei de Ampère–Maxwell, obtém-se $\nabla^2\vec E = \mu_0\varepsilon_0\,\partial^2\vec E/\partial t^2$ — uma equação de onda, cuja solução geral inclui ondas planas do tipo $\vec E(\vec r,t) = \vec E_0\cos(\vec k\cdot\vec r-\omega t)$, com $\omega/k=c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$, perfeitamente compatíveis com $\nabla\cdot\vec E=0$ e as demais equações (desde que $\vec E_0\perp\vec k$ e $\vec B$ correspondente seja construído via $\nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t$). Essa segunda solução representa radiação eletromagnética livre se propagando — luz, ondas de rádio, etc. — um fenômeno fisicamente riquíssimo que não existiria se a única solução fosse a trivial. As equações de Maxwell, portanto, "contêm" toda a teoria da propagação de ondas eletromagnéticas, e não apenas o caso estático nulo.

E15. Partindo das equações de Maxwell no vácuo, sem fontes (Seção “Forma no vácuo, sem fontes”):

Tomamos o rotacional de ambos os lados da equação (IV):

(a troca da ordem entre $\nabla\times$ e $\partial/\partial t$ é válida pois são operações independentes, uma no espaço e outra no tempo). Substituindo a equação (III) no lado direito:

Usando a identidade vetorial $\nabla\times(\nabla\times\vec{B}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{B}) - \nabla^2\vec{B}$ (arquivo 4) e a Lei de Gauss magnética, $\nabla\cdot\vec{B}=0$ (válida sempre, com ou sem fontes — Seção “As quatro equações (forma pontual/diferencial), em meios materiais”, equação II):

Igualando as duas expressões:

Esta é a equação de onda tridimensional para $\vec B$, com a mesma estrutura matemática da equação obtida para $\vec E$ na Seção “De onde vêm as ondas — prévia da Parte 2”. Comparando com a forma padrão de uma equação de onda, $\nabla^2\psi = \dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$, identificamos $1/v^2=\mu_0\varepsilon_0$, logo:

a mesma velocidade de propagação obtida para $\vec E$ — como era fisicamente necessário, já que $\vec E$ e $\vec B$ em uma onda eletromagnética estão acoplados pelas próprias equações de Maxwell (um não pode se propagar a uma velocidade diferente do outro) e formam, juntos, uma única onda eletromagnética que se propaga a $c\approx2{,}998\times10^8\,\text{m/s}$.

E16.
(a) $E = \dfrac{IR}{L} = \dfrac{2{,}0\times5{,}0}{0{,}30} = \dfrac{10}{0{,}30} = 33{,}33\,\text{V/m}$, dirigido ao longo do eixo do fio (na direção da corrente, pois $\vec E=\rho_{res}\vec J$ com $\vec J$ axial).

(b) Pela Lei de Ampère aplicada a um círculo amperiano de raio $a$ concêntrico ao fio, na superfície:

tangencial, circulando o fio (sentido dado pela regra da mão direita em relação a $I$).

(c) Na superfície do fio, $\vec E$ é axial ($\hat z$, digamos) e $\vec H$ é azimutal ($\hat\phi$). O vetor de Poynting:

(usando $\hat z\times\hat\phi=-\hat r$ em coordenadas cilíndricas). Ou seja, $\vec S$ aponta radialmente para dentro do fio — o campo eletromagnético transporta energia do espaço ao redor do fio para dentro do fio. Magnitude:

(d) A área lateral do cilindro é $A_{lat}=2\pi a L = 2\pi\times0{,}002\times0{,}30 = 3{,}770\times10^{-3}\,\text{m}^2$. Como $\vec S$ é uniforme e radial (para dentro) em toda a superfície lateral, a potência total que entra:

Comparando com a potência Joule: $P_{Joule}=I^2R = (2{,}0)^2\times5{,}0 = 20{,}0\,\text{W}$ — os dois valores coincidem exatamente. Isso confirma, de forma quantitativa, o resultado conceitualmente contraintuitivo do Teorema de Poynting: a energia dissipada em um resistor percorrido por corrente estacionária não "flui ao longo do fio" através das cargas em movimento — ela flui radialmente para dentro, através do campo eletromagnético que envolve o fio (o campo elétrico axial dentro do fio, combinado ao campo magnético azimutal fora dele, produzido pela própria corrente), entrando pela superfície lateral e sendo dissipada uniformemente ao longo do volume do condutor. O papel da corrente elétrica é estabelecer os campos $\vec E$ e $\vec H$; é o campo eletromagnético, e não o movimento das cargas em si, que efetivamente "carrega" a energia até o local onde ela é dissipada.

E17.
(a) $B_0 = E_0/c = 500/(2{,}998\times10^8) \approx 1{,}668\times10^{-6}\,\text{T} = 1{,}668\,\mu\text{T}$.

(b) $\langle S\rangle = \dfrac{E_0^2}{2\eta_0} = \dfrac{(500)^2}{2\times377} = \dfrac{2{,}5\times10^5}{754} \approx 331{,}6\,\text{W/m}^2$.

(c) $P = \langle S\rangle\times A = 331{,}6\times2{,}0\times10^{-4} \approx 0{,}0663\,\text{W} = 66{,}3\,\text{mW}$.

E18.
(a) Pela fórmula de Larmor:

Calculando numerador: $q^2 = (1{,}602\times10^{-19})^2 = 2{,}566\times10^{-38}\,\text{C}^2$; $a^2 = (1{,}0\times10^{18})^2 = 1{,}0\times10^{36}\,\text{m}^2/\text{s}^4$; $q^2a^2 = 2{,}566\times10^{-2}$.

Denominador: $c^3 = (2{,}998\times10^8)^3 \approx 2{,}694\times10^{25}\,\text{m}^3/\text{s}^3$; $6\pi\varepsilon_0 = 6\pi\times8{,}854\times10^{-12} \approx 1{,}669\times10^{-10}$; $6\pi\varepsilon_0c^3 \approx 1{,}669\times10^{-10}\times2{,}694\times10^{25} \approx 4{,}497\times10^{15}$.

(b) Os potenciais retardados de uma carga têm, em geral, duas contribuições: um termo que acompanha a carga "quase-estaticamente" (generalização do campo de Coulomb, decaindo como $1/r^2$ no campo, e que depende da posição e velocidade retardadas) e um termo de radiação, proporcional à aceleração retardada da carga, que decai apenas como $1/r$ no campo (logo a intensidade, proporcional ao quadrado do campo, decai como $1/r^2$, permitindo energia finita fluindo através de esferas cada vez maiores — energia que efetivamente "escapa" para o infinito). Se a carga tem velocidade constante (aceleração nula), o termo de radiação é identicamente nulo — os potenciais retardados reduzem-se a uma versão apenas "atrasada no tempo" do campo eletrostático que acompanha a carga rigidamente, sem energia líquida se desprendendo para o infinito (o campo "viaja junto" com a carga, análogo a um referencial em que a carga está em repouso). Somente quando há aceleração surge o termo que decai como $1/r$, permitindo que o fluxo de energia (vetor de Poynting integrado sobre uma esfera de raio $r\to\infty$) seja não nulo e finito — esse é precisamente o mecanismo físico por trás da fórmula de Larmor, e a razão fundamental pela qual apenas cargas aceleradas irradiam.