8. Dedução da Equação de Onda a partir das Equações de Maxwell

Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Equação de onda no vácuo · Velocidade de propagação · Onda plana monocromática · Número de onda · Impedância intrínseca · Relação E/B em uma onda

8.1 Objetivos de Aprendizagem

Ao final deste capítulo, você será capaz de:

[ ] Deduzir a equação de onda a partir das equações de Maxwell.
[ ] Calcular a velocidade de propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo e em meios materiais.
[ ] Analisar ondas planas monocromáticas e sua transversalidade.
[ ] Calcular a impedância intrínseca e a relação $E/B$ em uma onda.
[ ] Calcular a intensidade de uma onda usando o vetor de Poynting.

8.2 Intuição Física: Ondas Eletromagnéticas

Antes de definir matematicamente as ondas eletromagnéticas, pense em termos físicos:

Ondas eletromagnéticas são perturbações auto-sustentadas dos campos elétrico e magnético que se propagam pelo espaço.
Os campos $\vec E$ e $\vec B$ são perpendiculares entre si e perpendiculares à direção de propagação (ondas transversais).
No vácuo, as ondas eletromagnéticas se propagam na velocidade da luz $c \approx 3\times10^8\,\text{m/s}$.
A luz visível, ondas de rádio, micro-ondas, raios X e raios gama são todas ondas eletromagnéticas, diferindo apenas em frequência e comprimento de onda.

8.3 Aplicações no Mundo Real

Conceito	Aplicação Prática
Equação de onda	Propagação de sinais em fibras ópticas, antenas de transmissão
Velocidade de propagação	Projeto de circuitos de alta frequência, satélites
Ondas planas monocromáticas	Laser, comunicações por rádio e micro-ondas
Impedância intrínseca	Projeto de antenas, casamento de impedância, reflexões
Vetor de Poynting	Medição de intensidade de luz, radiação solar, micro-ondas
Polarização	Óculos de sol polarizados, telas LCD, comunicação por satélite

8.4 Antes de começar

Ao final, você deve deduzir a equação de onda a partir de Maxwell, relacionar velocidade, índice, impedância, campos $\vec E$ e $\vec B$ e calcular intensidade pelo vetor de Poynting. Diagnóstico: uma onda eletromagnética plana pode ter componente de campo na direção de propagação no vácuo? Evidência mínima: reproduzir a dedução por rotacionais, verificar transversalidade e comparar a banda/velocidade em dois meios.

8.5 Da equação de onda preliminar à forma completa

No final do arquivo anterior (Seção “Verificação: a solução satisfaz as equações de Maxwell”.7.3), esboçamos que as equações de Maxwell no vácuo levam a uma equação de onda para o campo $\vec{E}$. O esboço foi:

\nabla^2\vec{E} = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}

Neste arquivo, fazemos a dedução completa e explícita — primeiro no vácuo, depois em meios materiais — e apresentamos a solução geral mais importante: a onda plana monocromática.

8.6 Equação de onda no vácuo — dedução completa

8.6.1 Equações de Maxwell no vácuo, sem fontes

No vácuo, longe de cargas e correntes ($\rho=0$, $\vec{J}=0$), com $\vec D=\varepsilon_0\vec E$ e $\vec H=\vec B/\mu_0$, as equações de Maxwell são:

\begin{aligned} \nabla\cdot\vec{E} &= 0 &&\text{(I)}\\ \nabla\cdot\vec{B} &= 0 &&\text{(II)}\\ \nabla\times\vec{E} &= -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} &&\text{(III)}\\ \nabla\times\vec{B} &= \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} &&\text{(IV)} \end{aligned}

8.6.2 Tomando o rotacional de (III)

Aplicamos o operador rotacional ao lado esquerdo de (III):

\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) = \nabla\times\left(-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B})

(substituímos $\nabla\times\vec{B}$ usando a equação (IV)):

-\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right) = -\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}

8.6.3 Usando a identidade vetorial

Lado esquerdo: $\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{E}) - \nabla^2\vec{E}$. Pelo resultado (I), $\nabla\cdot\vec{E}=0$ no vácuo, logo:

\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) = -\nabla^2\vec{E}

Igualando os dois lados:

-\nabla^2\vec{E} = -\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}

\boxed{\nabla^2\vec{E} - \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} = 0}\qquad\text{(equação de onda no vácuo)}

8.6.4 Equação análoga para $\vec{B}$

O mesmo procedimento (rotacional de (IV), substituir $\nabla\times\vec{E}$ por $-\partial\vec{B}/\partial t$) dá:

\boxed{\nabla^2\vec{B} - \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2} = 0}\qquad\text{(equação de onda no vácuo)}

8.6.5 Velocidade de onda

A equação de onda clássica em 3D é:

\nabla^2\vec{\psi} - \frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2\vec{\psi}}{\partial t^2} = 0

Comparando com a equação eletromagnética acima:

\frac{1}{v^2} = \mu_0\varepsilon_0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}}

Calculando com os valores do SI:

v = \frac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})\,(8{,}854\times10^{-12})}} \approx 2{,}998\times10^8\;\text{m/s}

Esta é exatamente a velocidade da luz — a descoberta que levou Maxwell a propor que a luz é uma onda eletromagnética (1865).

8.7 Equação de onda em meios materiais (sem perdas)

8.7.1 Meios lineares, homogêneos, isotrópicos (LIH), sem perdas

Para um meio caracterizado por permissividade $\varepsilon$ e permeabilidade $\mu$ (sem condutividade, $\sigma=0$), as equações de Maxwell sem fontes são:

\begin{aligned} \nabla\cdot\vec{E} &= 0, & \nabla\cdot\vec{B} &= 0\\ \nabla\times\vec{E} &= -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, & \nabla\times\vec{B} &= \mu\varepsilon\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

O mesmo procedimento dá:

\boxed{\nabla^2\vec{E} - \mu\varepsilon\,\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} = 0}

com velocidade de fase:

\boxed{v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}} = \frac{c}{n}}

onde $n \equiv \sqrt{\mu_r\varepsilon_r}$ é o índice de refração do meio. Para a maioria dos materiais não magnéticos ($\mu_r\approx1$), $n\approx\sqrt{\varepsilon_r}$.

8.7.2 Exemplos de velocidade e índice de refração

Meio	$\varepsilon_r$	$\mu_r$	$v\ (\text{m/s})$	$n$
Vácuo	1	1	$2{,}998\times10^8$	1
Ar (STP)	1,0006	$\approx1$	$\approx c$	1,0003
Água (DC)	80	1	$3{,}35\times10^7$	$\approx8{,}9$
Água (óptico)	$\approx1{,}77^2$	1	$\approx2{,}25\times10^8$	1,33
Vidro crown	$\approx2{,}5$	1	$\approx1{,}90\times10^8$	1,58
Silício (óptico)	$\approx11{,}7$	1	$\approx8{,}77\times10^7$	3,42

Note: a água tem $\varepsilon_r\approx80$ em baixas frequências, mas no regime óptico (altas frequências), a resposta das moléculas de água não acompanha a oscilação do campo, e o valor efetivo é $\varepsilon_r\approx1{,}77^2\approx3{,}14$ — o que dá $n=1{,}33$, consistente com o índice de refração medido experimentalmente.

8.8 Onda Plana Monocromática

8.8.1 Forma geral da solução

A solução mais simples e fundamental da equação de onda é a onda plana monocromática (uma única frequência, frente de onda plana). Em uma dimensão (propagação ao longo de $z$):

\boxed{E(z,t) = E_0\,\cos(kz - \omega t + \phi)}

onde:

$E_0$ é a amplitude do campo
$k = \omega/v$ é o número de onda (rad/m)
$\omega = 2\pi f$ é a frequência angular (rad/s)
$\phi$ é a fase inicial

Verificação: $\dfrac{\partial^2E}{\partial z^2} = -k^2E$ e $\dfrac{\partial^2E}{\partial t^2} = -\omega^2E$. Substituindo na equação de onda:

-k^2E - \mu\varepsilon(-\omega^2)E = 0 \quad\Rightarrow\quad k^2 = \mu\varepsilon\,\omega^2 \quad\Rightarrow\quad k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon} = \frac{\omega}{v}

Consistente.

8.8.2 Forma complexa (convenção fasorial)

Para simplificar os cálculos algébricos, usa-se a notação complexa:

\boxed{\vec{E}(\vec{r},t) = \Re\left\{\vec{E}_0\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)}\right\}}

Com a convenção temporal $e^{-i\omega t}$ adotada acima, o fasor espacial é:

\boxed{\widetilde{\vec E}(\vec r)=\vec E_0e^{+i\vec k\cdot\vec r}}

Assim, $\partial/\partial t\mapsto-i\omega$ e $\nabla\mapsto+i\vec k$. Muitos textos de engenharia escolhem $e^{+i\omega t}$; nesse caso uma onda em $+\hat k$ usa $e^{-i\vec k\cdot\vec r}$, e os sinais das substituições se invertem de modo consistente. Misturar as duas convenções produz sinais errados em Faraday e Ampère.

8.8.3 Propriedades geométricas

Uma onda plana monocrômática no vácuo/meio tem:

$\vec{E} \perp \vec{B} \perp \vec{k}$ — os três vetores são mutuamente ortogonais (onda transversal);
As frentes de onda ($\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t = \text{const.}$) são planos perpendiculares a $\vec{k}$;
A velocidade de fase $v_p = \omega/k = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}$ é a velocidade com que se movem as frentes de onda;
A velocidade de grupo $v_g = d\omega/dk$ (igual a $v_p$ em meios sem dispersão — sem perdas, $\varepsilon$ e $\mu$ constantes com a frequência).

8.9 Relação E/B e Impedância Intrínseca

8.9.1 Dedução da relação entre as amplitudes

Partindo da Lei de Faraday no domínio da frequência (fasorial):

\nabla\times\vec{E} = i\omega\vec{B} \quad\Rightarrow\quad \vec{B} = \frac{1}{i\omega}\,\nabla\times\vec{E}

Para uma onda plana com $\vec{E} = E_0\hat{x}\,e^{-ikz}$ propagando-se em $+\hat{z}$:

\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial E_x}{\partial z}\,\hat{y} = ikE_0\,e^{-ikz}\,\hat{y}

Logo:

\vec{B} = \frac{ik}{i\omega}\,E_0\,e^{-ikz}\,\hat{y} = \frac{k}{\omega}\,E_0\,e^{-ikz}\,\hat{y} = \frac{1}{v}\,E_0\,e^{-ikz}\,\hat{y}

Definindo $B_0 = E_0/v$:

\boxed{\vec{B}(\vec{r},t) = \frac{1}{v}\,\hat{k}\times\vec{E}(\vec{r},t)}

ou equivalentemente:

\boxed{\vec{E}(\vec{r},t) = v\,\vec{B}(\vec{r},t)\times\hat{k}}

onde $\hat{k}$ é o versor de propagação. Em termos de amplitudes:

\boxed{B_0 = \frac{E_0}{v} = \sqrt{\mu\varepsilon}\,E_0}

8.9.2 Impedância intrínseca do meio

Define-se a impedância intrínseca (ou característic) do meio como a razão entre as amplitudes dos campos elétrico e magnético (mais precisamente, entre $\vec{E}$ e o campo magnético de H, $\vec{H}=\vec{B}/\mu$):

\boxed{\eta \equiv \frac{E_0}{H_0} = \frac{E_0}{B_0/\mu} = \mu v = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}}

No vácuo:

\boxed{\eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = \mu_0 c \approx 376{,}73\;\Omega \approx 120\pi\;\Omega}

Este é um dos números mais importantes do eletromagnetismo: a impedância do vácuo ($\approx 377\,\Omega$). Aparece em:

Acoplamento entre ondas e antenas;
Reflexão/refração em interfaces (coeficientes de Fresnel);
Impedância de linhas de transmissão;
Cálculo de radiação de antenas.

Para um meio material linear, homogêneo e sem perdas:

\boxed{\eta=\eta_0\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}} =\frac{\mu_r}{n}\eta_0.}

Somente em meio não magnético, $\mu_r=1$, essa relação reduz-se a $\eta=\eta_0/n$.

Exemplo: água óptica ($n=1{,}33$): $\eta \approx 377/1{,}33 \approx 283\,\Omega$.

8.9.3 Energia e vetor de Poynting

A densidade de energia eletromagnética (Seção “Verificação: a solução satisfaz as equações de Maxwell”.5.3) em uma onda plana é:

u = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 + \frac{1}{2\mu}B^2 = \frac{1}{2}\varepsilon E_0^2\cos^2(kz-\omega t) + \frac{1}{2\mu}\left(\frac{E_0}{v}\right)^2\cos^2(kz-\omega t)

Como $v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}$, temos $\mu = 1/(\varepsilon v^2)$, e o segundo termo se torna:

\frac{1}{2}\cdot\varepsilon v^2\cdot\frac{E_0^2}{v^2}\cos^2 = \frac{1}{2}\varepsilon E_0^2\cos^2

As duas contribuições são iguais neste caso. Para uma onda plana progressiva em meio linear, homogêneo, isotrópico e sem perdas, as densidades elétrica e magnética instantâneas coincidem:

u_{\text{total}} = \varepsilon E^2 = \frac{B^2}{\mu}

A energia flui com velocidade $v$. O fluxo de energia (potência por unidade de área) é dado pelo vetor de Poynting:

\boxed{\vec S\equiv\vec E\times\vec H=\frac1\mu\,\vec E\times\vec B}

O produto $\vec B\times\vec B$ seria identicamente nulo e não representa fluxo de energia. Em campos reativos, ondas estacionárias, meios dispersivos ou com perdas, as parcelas elétrica e magnética não precisam ser iguais ponto a ponto; a interpretação da densidade armazenada também requer mais cuidado.

Para a onda plana acima ($\vec{E}=E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{x}$, $\vec{B}=\dfrac{E_0}{v}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}$, propagando-se em $+\hat{z}$):

\vec{S} = E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{x} \times \frac{E_0}{\mu v}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y} = \frac{E_0^2}{\mu v}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat{z} = \frac{E_0^2}{\eta}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat{z}

A potência média (valor ao longo de um período):

\boxed{\langle S\rangle = \frac{E_0^2}{2\eta} = \frac{1}{2}\,\eta\,H_0^2 = \frac{1}{2}\,E_0 H_0}

Esta é a intensidade da onda. Para ondas de luz/laser, é a grandeza medida por fotodetectores.

8.10 Verificação: a solução satisfaz as equações de Maxwell

8.10.1 Teste direto

Considere a onda plana:

\vec{E}(z,t) = E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{x}, \qquad \vec{B}(z,t) = \frac{E_0}{v}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}

Verificamos cada uma das quatro equações de Maxwell no vácuo:

Eq.	Verificação	Resultado
(I) $\nabla\cdot\vec{E}=0$	$\partial E_x/\partial x = 0$ (E só depende de $z$)	✓
(II) $\nabla\cdot\vec{B}=0$	$\partial B_y/\partial y = 0$ (B só depende de $z$)	✓
(III) $\nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t$	Como $(\nabla\times\vec E)_y=\partial E_x/\partial z$, LHS $=-kE_0\sin(kz-\omega t)\hat y$. RHS $=-(\omega E_0/v)\sin(kz-\omega t)\hat y$. São iguais pois $k=\omega/v$.	✓
(IV) $\nabla\times\vec{B}=\mu\varepsilon\,\partial\vec{E}/\partial t$	Como $(\nabla\times\vec B)_x=-\partial B_y/\partial z$, LHS $=(kE_0/v)\sin(kz-\omega t)\hat x$. RHS $=\mu\varepsilon\omega E_0\sin(kz-\omega t)\hat x$. São iguais pois $k/v=\omega\mu\varepsilon$.	✓

Todas as equações são satisfeitas — a onda plana monocromática é de fato uma solução válida das equações de Maxwell.

8.10.2 Propriedades transversais

Note que tanto $\vec{E}$ (direção $\hat{x}$) quanto $\vec{B}$ (direção $\hat{y}$) são perpendiculares à direção de propagação $\vec{k}=\hat{z}$. Isso significa que ondas eletromagnéticas no vácuo (e em meios homogêneos sem fontes) são ondas transversais — os campos oscilam perpendicularmente à direção de propagação. Esta é uma diferença crucial em relação às ondas sonoras (longitudinais) e às ondas em cordas (transversais unidimensionais).

8.11 Exercícios Resolvidos em Python

8.11.1 Roteiro computacional

Objetivo. Verificar a equação de onda, relações entre $\vec E$, $\vec B$ e $\vec S$, e visualizar estados de polarização.

Como executar. Requer numpy e matplotlib. Verifique numericamente a transversalidade e compare $B_0=E_0/v$ e $\langle S\rangle=E_0^2/(2\eta)$.

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mu0  = 4*np.pi*1e-7
eps0 = 8.854e-12
c    = 1/np.sqrt(mu0*eps0)
eta0 = np.sqrt(mu0/eps0)   # ~377 ohms

# --- 1. Equação de onda: verificação numérica ---
# Solução: E(z,t) = E0*cos(k*z - omega*t)
# Deve satisfazer d^2E/dz^2 = (1/c^2)*d^2E/dt^2

def E_onda(z, t, E0, k, omega):
    return E0 * np.cos(k*z - omega*t)

def d2E_dz2(z, t, E0, k, omega, h=1e-6):
    return (E_onda(z+h,t,E0,k,omega) - 2*E_onda(z,t,E0,k,omega) + E_onda(z-h,t,E0,k,omega))/h**2

def d2E_dt2(z, t, E0, k, omega, h=1e-6):
    return (E_onda(z,t+h,E0,k,omega) - 2*E_onda(z,t,E0,k,omega) + E_onda(z,t-h,E0,k,omega))/h**2

k = 2*np.pi / 500e-9    # luz verde, lambda = 500 nm
omega = c * k
z, t = 1e-6, 1e-15
LHS = d2E_dz2(z, t, 1.0, k, omega)
RHS = (1/c**2) * d2E_dt2(z, t, 1.0, k, omega)
print(f"Equação de onda numérica: LHS={LHS:.4e}, RHS={RHS:.4e}, erro={abs(LHS-RHS)/abs(LHS):.2e}")

# --- 2. Onda em diferentes meios ---
def indice_refracao(eps_r, mu_r=1.0):
    return np.sqrt(eps_r * mu_r)

def velocidade(eps_r, mu_r=1.0):
    return c / np.sqrt(eps_r * mu_r)

def impedancia(eps_r, mu_r=1.0):
    return np.sqrt(mu_r/mu0 * eps0/eps_r) if False else np.sqrt(mu0*mu_r/(eps0*eps_r))

meios = {
    "vácuo": (1.0, 1.0),
    "ar": (1.0006, 1.0),
    "água (óptico)": (1.77**2, 1.0),
    "vidro crown": (2.5, 1.0),
    "silício": (11.7, 1.0),
}

print("\nVelocidade e índice de refração em diferentes meios:")
for nome, (er, mur) in meios.items():
    n = indice_refracao(er, mur)
    v = velocidade(er, mur)
    eta = impedancia(er, mur)
    print(f"  {nome:15s}: n={n:5.2f}, v={v/1e8:.2f}×10⁸ m/s, η={eta:.1f} Ω")

# --- 3. Onda plana: visualização E e B ---
z = np.linspace(0, 4*np.pi/k, 500)
t_val = 0.0
E = np.cos(k*z - omega*t_val)
B = (1/(c)) * np.cos(k*z - omega*t_val)  # B = E/v no vácuo

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 6))
ax1.plot(z*1e9, E, 'b', linewidth=1.5)
ax1.set_ylabel(r'$E/E_0$')
ax1.set_title('Onda plana monocromática: campo elétrico')
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax2.plot(z*1e9, B*377, 'r', linewidth=1.5)  # escala B em unidades de E/eta
ax2.set_ylabel(r'$B\cdot\eta$ (escala E)')
ax2.set_xlabel('z (nm)')
ax2.set_title('Campo magnético (escala comparável a E)')
ax2.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()

# --- 4. Vetor de Poynting ---
z2 = np.linspace(0, 2*np.pi/k, 500)
E_inst = np.cos(k*z2)
S_inst = E_inst**2 / eta0   # S = E^2 / eta, instantâneo
S_media = np.mean(S_inst)
print(f"\nPonto de S(t): pico={np.max(S_inst)/eta0*eta0:.4f} W/m², "
      f"média={S_media:.4f} W/m², razão pico/média={np.max(S_inst)/S_media:.2f}×")

# --- 5. Comparação: energia elétrica vs. magnética ---
E_arr = np.linspace(-np.pi, np.pi, 300)
u_E = 0.5 * eps0 * np.cos(E_arr)**2
u_B = 0.5 * (1/c)**2 / mu0 * np.cos(E_arr)**2  # B = E/c
print(f"\nEnergia elétrica pico: {np.max(u_E)/1e-15:.2f} fJ/m³")
print(f"Energia magnética pico: {np.max(u_B)/1e-15:.2f} fJ/m³")
print(f"Razão u_E/u_B: {np.max(u_E)/np.max(u_B):.6f} (deve ser 1)")

Output:

Equação de onda numérica: LHS=1.2212e-03, RHS=3.1672e-05, erro=9.74e-01

Velocidade e índice de refração em diferentes meios:
  vácuo          : n= 1.00, v=3.00×10⁸ m/s, η=376.7 Ω
  ar             : n= 1.00, v=3.00×10⁸ m/s, η=376.6 Ω
  água (óptico)  : n= 1.77, v=1.69×10⁸ m/s, η=212.8 Ω
  vidro crown    : n= 1.58, v=1.90×10⁸ m/s, η=238.3 Ω
  silício        : n= 3.42, v=0.88×10⁸ m/s, η=110.1 Ω

Ponto de S(t): pico=0.0027 W/m², média=0.0013 W/m², razão pico/média=2.00×

Energia elétrica pico: 4427.00 fJ/m³
Energia magnética pico: 4427.00 fJ/m³
Razão u_E/u_B: 1.000000 (deve ser 1)

8.11.2 Experimento: polarização como trajetória da ponta de $\vec E$

PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fase = np.linspace(0, 2*np.pi, 600)
casos = {
    "linear ($\\delta=0$)": (1.0, 0.6, 0.0),
    "elíptica ($\\delta=\\pi/3$)": (1.0, 0.6, np.pi/3),
    "circular ($\\delta=\\pi/2$)": (1.0, 1.0, np.pi/2),
}

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(11, 3.6))
for ax, (nome, (Ax, Ay, delta)) in zip(axes, casos.items()):
    Ex = Ax*np.cos(fase)
    Ey = Ay*np.cos(fase + delta)
    ax.plot(Ex, Ey, color="#2563eb", lw=2)
    j = 55
    ax.annotate("", (Ex[j+8], Ey[j+8]), (Ex[j], Ey[j]),
                arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="#dc2626", lw=1.8))
    ax.set(aspect="equal", xlim=(-1.15,1.15), ylim=(-1.15,1.15),
           xlabel="$E_x/E_0$", ylabel="$E_y/E_0$", title=nome)
    ax.grid(alpha=.25)
plt.tight_layout()

print("Circularidade do terceiro caso:",
      f"máx(|E|)-mín(|E|)={np.ptp(np.hypot(np.cos(fase), np.cos(fase+np.pi/2))):.2e}")

Output:

Circularidade do terceiro caso: máx(|E|)-mín(|E|)=5.55e-16

8.11.3 Exemplo Resolvido Passo a Passo: Vetor de Poynting e Intensidade de uma Onda Plana

Problema: Uma onda eletromagnética plana no vácuo se propaga na direção $+z$ e tem campo elétrico dado por $\vec{E}(z,t) = E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat x$, com $E_0 = 500\,\text{V/m}$. Determine: (a) o campo magnético $\vec{B}(z,t)$; (b) o vetor de Poynting instantâneo $\vec{S}(z,t)$; (c) a intensidade média (potência por unidade de área) $I$.

Passo 1: Determinar o campo magnético $\vec{B}(z,t)$.
Para uma onda plana no vácuo, os campos $\vec{E}$ e $\vec{B}$ são perpendiculares entre si e à direção de propagação, e estão em fase. A relação de amplitudes é $E_0 = cB_0$, onde $c \approx 3\times10^8\,\text{m/s}$. Como $\vec{E}$ está na direção $\hat x$ e a propagação é na direção $\hat z$, o campo $\vec{B}$ deve estar na direção $\hat y$ (pois $\hat x \times \hat y = \hat z$).

A amplitude do campo magnético é:

B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{500\,\text{V/m}}{3\times10^8\,\text{m/s}} \approx 1{,}667\times10^{-6}\,\text{T} = 1{,}667\,\mu\text{T}

O campo magnético é:

\vec{B}(z,t) = B_0\cos(kz-\omega t)\,\hat y = (1{,}667\times10^{-6}\,\text{T})\cos(kz-\omega t)\,\hat y

Resposta (a): $\boxed{\vec{B}(z,t) \approx (1{,}667\times10^{-6}\,\text{T})\cos(kz-\omega t)\,\hat y}$

Passo 2: Calcular o vetor de Poynting instantâneo $\vec{S}(z,t)$.
O vetor de Poynting é definido como:

\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}

Substituindo $\vec{E}$ e $\vec{B}$:

\vec{S}(z,t) = \frac{1}{\mu_0}\left[E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat x\right]\times\left[B_0\cos(kz-\omega t)\,\hat y\right]

Como $\hat x\times\hat y = \hat z$ e $E_0 B_0 = E_0^2/c = E_0^2\mu_0\varepsilon_0 c = E_0^2/\eta_0$ (onde $\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 376{,}7\,\Omega$ é a impedância intrínseca do vácuo):

\vec{S}(z,t) = \frac{E_0 B_0}{\mu_0}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat z = \frac{E_0^2}{\mu_0 c}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat z = \frac{E_0^2}{\eta_0}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat z

Com $E_0 = 500\,\text{V/m}$ e $\eta_0 \approx 376{,}7\,\Omega$:

S_{\text{pico}} = \frac{E_0^2}{\eta_0} = \frac{(500)^2}{376{,}7} \approx \frac{250000}{376{,}7} \approx 663{,}6\,\text{W/m}^2

Resposta (b): $\boxed{\vec{S}(z,t) \approx (663{,}6\,\text{W/m}^2)\cos^2(kz-\omega t)\,\hat z}$

Passo 3: Calcular a intensidade média $I$.
A intensidade média é o valor médio do vetor de Poynting no tempo. Como a média de $\cos^2(kz-\omega t)$ no tempo é $1/2$:

I = \langle S \rangle = \frac{1}{2}\frac{E_0^2}{\eta_0} = \frac{S_{\text{pico}}}{2}

I = \frac{663{,}6\,\text{W/m}^2}{2} \approx 331{,}8\,\text{W/m}^2

Ou, usando a fórmula $I = \frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2$:

I = \frac{1}{2}(8{,}854\times10^{-12}\,\text{F/m})(3\times10^8\,\text{m/s})(500\,\text{V/m})^2

= \frac{1}{2}(8{,}854\times10^{-12})(3\times10^8)(250000) \approx 331{,}9\,\text{W/m}^2

Resposta (c): $\boxed{I \approx 332\,\text{W/m}^2}$

8.12 Resumo do Capítulo

8.12.1 Fórmulas-Chave

Conceito	Fórmula	Aplicações
Equação de onda (vácuo)	$\nabla^2\vec{E} = \mu_0\varepsilon_0\,\dfrac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}$	Propagação de ondas
Velocidade da luz	$c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \approx 3\times10^8\,\text{m/s}$	Velocidade no vácuo
Velocidade em meio material	$v = \dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} = \dfrac{c}{n}$	Índice de refração $n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$
Onda plana monocromática	$\vec{E}(z,t) = \vec{E}_0\cos(kz-\omega t + \phi)$	Solução geral
Número de onda	$k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{\omega}{v}$	Relação espacial
Impedância intrínseca	$\eta = \sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}$, $\eta_0 \approx 376{,}7\,\Omega$	Relação $E/H$
Relação $E/B$	$E = vB = cB$ (vácuo)	Campos em onda plana
Vetor de Poynting	$\vec{S} = \dfrac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}$	Fluxo de energia
Intensidade média	$I = \langle S \rangle = \dfrac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2$	Potência por área

8.12.2 Propriedades das Ondas Planas no Vácuo

Propriedade	Descrição
Transversalidade	$\vec E \perp \vec B \perp \text{direção de propagação}$
Fase	$\vec E$ e $\vec B$ estão em fase no vácuo
Relação de amplitudes	$E_0 = cB_0$
Impedância	$\eta_0 = \dfrac{E_0}{H_0} \approx 376{,}7\,\Omega$

8.12.3 Conceitos-Chave

Equação de onda: Derivada das equações de Maxwell; descreve propagação de perturbações nos campos.
Velocidade da luz: $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ — as ondas eletromagnéticas são a luz.
Onda plana monocromática: Solução com frequência única e frente de onda plana.
Transversalidade: Campos $\vec E$ e $\vec B$ são perpendiculares à direção de propagação.
Impedância intrínseca: $\eta = E/H$ — determina a reflexão e transmissão em interfaces.
Vetor de Poynting: Descreve o fluxo de energia eletromagnética.

8.13 Lista de Exercícios Propostos

Use, quando necessário, $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\;\text{H/m}$, $\varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\;\text{F/m}$, $c \approx 2{,}998\times10^8\;\text{m/s} \approx 3\times10^8\;\text{m/s}$ e $\eta_0 \approx 376{,}7\;\Omega \approx 120\pi\;\Omega$.

E1 — Partindo das equações de Maxwell no vácuo sem fontes, deduza a equação de onda para o campo $\vec{B}$ (em vez de $\vec{E}$), mostrando explicitamente cada passo (rotacional de que equação, qual substituição, qual identidade vetorial).

E2 — Mostre, a partir de $\dfrac{1}{v^2}=\mu_0\varepsilon_0$, que uma variação de $1\%$ em $\varepsilon_0$ (mantendo $\mu_0$ fixo) produz uma variação de aproximadamente $-0{,}5\%$ em $v$. Generalize para uma variação percentual pequena arbitrária $\delta$.

E3 — Um meio dielétrico tem $\varepsilon_r = 6{,}25$ e $\mu_r=1$. Calcule (a) o índice de refração $n$; (b) a velocidade de fase $v$; (c) a impedância intrínseca $\eta$.

E4 — Uma onda plana monocromática se propaga no vácuo com comprimento de onda $\lambda = 600\;\text{nm}$ (luz visível, laranja-avermelhada). Calcule (a) a frequência $f$; (b) o número de onda $k$; (c) a frequência angular $\omega$.

E5 — Uma onda de rádio no vácuo tem frequência $f = 100\;\text{MHz}$ (FM). Calcule (a) o comprimento de onda $\lambda$; (b) o número de onda $k$.

E6 — Uma onda plana no vácuo tem comprimento de onda $\lambda = 300\;\text{nm}$ (ultravioleta). Calcule $k$ e $f$, e verifique numericamente que $k = \omega/c$.

E7 — O teflon (PTFE) tem $\varepsilon_r \approx 2{,}1$ e $\mu_r\approx1$. Calcule (a) o índice de refração $n$; (b) a velocidade de fase $v$; (c) a impedância intrínseca $\eta$.

E8 — Uma onda plana no vácuo tem amplitude do campo elétrico $E_0 = 50\;\text{V/m}$. Calcule (a) a amplitude $B_0$ do campo magnético; (b) a amplitude $H_0$; (c) a intensidade média $\langle S\rangle$.

E9 (desafio) — Uma onda plana monocromática viaja em um dielétrico não magnético ($\mu_r=1$) com $\varepsilon_r = 4$, e tem amplitude de campo elétrico $E_0 = 20\;\text{V/m}$. Calcule (a) o índice de refração $n$ e a velocidade de fase $v$; (b) a impedância intrínseca $\eta$ do meio; (c) a amplitude $B_0$ do campo magnético (compare com o valor que essa mesma onda teria no vácuo, com o mesmo $E_0$); (d) a intensidade média $\langle S\rangle$.

E10 — Um laser no vácuo tem intensidade média $\langle S\rangle = 1000\;\text{W/m}^2$. Calcule a amplitude do campo elétrico $E_0$.

E11 — Uma onda plana monocromática se propaga em um vidro com $\varepsilon_r = 2{,}25$, $\mu_r=1$. (a) Calcule $n$ e $v$. (b) Se a frequência da onda é $f = 5\times10^{14}\;\text{Hz}$, calcule o número de onda $k$ dentro do vidro. (c) Compare com o número de onda que a mesma onda (mesma frequência) teria no vácuo.

E12 (desafio) — Considere o campo elétrico complexo (fasorial)

\vec{E}(z,t) = E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{x} + E_0\sin(kz-\omega t)\,\hat{y}

propagando-se no vácuo em $+\hat{z}$ — uma onda com duas componentes transversais simultâneas (polarização circular). (a) Verifique que $\nabla\cdot\vec{E}=0$. (b) Use a lei de Faraday para deduzir $\vec{B}(z,t)$ a partir de $\vec{E}(z,t)$. (c) Verifique que o par $(\vec{E},\vec{B})$ satisfaz a lei de Ampère-Maxwell, com a mesma condição $k=\omega/c$ já obtida para a onda de uma componente. (d) Mostre que, em todo instante, $\vec{B} = \dfrac{1}{c}\,\hat{z}\times\vec{E}$, isto é, a relação geral da Seção “Dedução da relação entre as amplitudes” vale também para esta onda de duas componentes.

E13 — Um forno de micro-ondas opera em $f = 2{,}45\;\text{GHz}$ no ar (vácuo, para fins práticos). Calcule (a) o comprimento de onda $\lambda$; (b) o número de onda $k$; (c) o período $T$ da oscilação.

E14 (desafio) — Um meio não magnético ($\mu_r=1$) desconhecido tem impedância intrínseca medida $\eta = 250\;\Omega$. (a) Determine o índice de refração $n$ e a permissividade relativa $\varepsilon_r$ do meio. (b) Determine a velocidade de fase $v$. (c) Se uma onda plana nesse meio tem $E_0 = 10\;\text{V/m}$, calcule $B_0$ e a intensidade média $\langle S\rangle$, e verifique que $\langle S\rangle = \tfrac12 E_0 H_0$.

8.14 Gabarito

8.14.1 E1

Partimos de (III) e (IV) do vácuo sem fontes:

\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \qquad\text{(III)}, \qquad \nabla\times\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\qquad\text{(IV)}

Tomamos o rotacional de (IV):

\nabla\times(\nabla\times\vec{B}) = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{E})

Substituindo $\nabla\times\vec{E}$ por (III):

\nabla\times(\nabla\times\vec{B}) = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\left(-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\right) = -\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}

Usamos a identidade vetorial no lado esquerdo: $\nabla\times(\nabla\times\vec{B}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{B}) - \nabla^2\vec{B}$. Pela equação (II), $\nabla\cdot\vec{B}=0$ (sempre, mesmo com fontes), logo:

\nabla\times(\nabla\times\vec{B}) = -\nabla^2\vec{B}

Igualando:

-\nabla^2\vec{B} = -\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}

\boxed{\nabla^2\vec{B} - \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2} = 0}

Idêntica em forma à equação de onda para $\vec E$, confirmando que $\vec B$ também se propaga com $v=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=c$.

8.14.2 E2

Temos $v = (\mu_0\varepsilon_0)^{-1/2} = \mu_0^{-1/2}\varepsilon_0^{-1/2}$. Tomando o logaritmo:

\ln v = -\tfrac12\ln\mu_0 - \tfrac12\ln\varepsilon_0

Diferenciando (com $\mu_0$ fixo, $d\mu_0=0$):

\frac{dv}{v} = -\frac12\,\frac{d\varepsilon_0}{\varepsilon_0}

Ou seja, para uma variação percentual pequena $\delta \equiv d\varepsilon_0/\varepsilon_0$:

\boxed{\frac{dv}{v} = -\frac{\delta}{2}}

Com $\delta = 1\% = 0{,}01$: $dv/v = -0{,}005 = -0{,}5\%$. Confirmado: um aumento de $1\%$ em $\varepsilon_0$ produz uma redução de aproximadamente $0{,}5\%$ em $v$ (o sinal negativo reflete que $v$ decresce quando $\varepsilon_0$ cresce, e o fator $1/2$ vem do expoente $-1/2$ na raiz quadrada).

8.14.3 E3

Dados: $\varepsilon_r = 6{,}25$, $\mu_r=1$.

(a) Índice de refração:

n = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5

(b) Velocidade de fase:

v = \frac{c}{n} = \frac{2{,}998\times10^8}{2{,}5} \approx 1{,}199\times10^8\;\text{m/s}

\eta = \frac{\eta_0}{n} = \frac{376{,}7}{2{,}5} \approx 150{,}7\;\Omega

\boxed{n=2{,}5,\quad v\approx1{,}20\times10^8\;\text{m/s},\quad \eta\approx150{,}7\;\Omega}

8.14.4 E4

Dado $\lambda = 600\;\text{nm} = 6\times10^{-7}\;\text{m}$, no vácuo ($v=c$).

(a) Frequência:

f = \frac{c}{\lambda} = \frac{2{,}998\times10^8}{6\times10^{-7}} \approx 4{,}997\times10^{14}\;\text{Hz}

(b) Número de onda:

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{6\times10^{-7}} \approx 1{,}047\times10^{7}\;\text{rad/m}

\omega = 2\pi f = ck \approx 2\pi\times4{,}997\times10^{14} \approx 3{,}139\times10^{15}\;\text{rad/s}

\boxed{f\approx5{,}00\times10^{14}\;\text{Hz},\quad k\approx1{,}047\times10^7\;\text{rad/m},\quad \omega\approx3{,}14\times10^{15}\;\text{rad/s}}

8.14.5 E5

Dado $f = 100\;\text{MHz} = 10^8\;\text{Hz}$, no vácuo.

(a) Comprimento de onda:

\lambda = \frac{c}{f} = \frac{2{,}998\times10^8}{10^8} \approx 3{,}00\;\text{m}

(b) Número de onda:

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{3{,}00} \approx 2{,}096\;\text{rad/m}

\boxed{\lambda\approx3{,}00\;\text{m},\quad k\approx2{,}10\;\text{rad/m}}

8.14.6 E6

Dado $\lambda = 300\;\text{nm} = 3\times10^{-7}\;\text{m}$, no vácuo.

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{3\times10^{-7}} \approx 2{,}094\times10^{7}\;\text{rad/m}

f = \frac{c}{\lambda} = \frac{2{,}998\times10^8}{3\times10^{-7}} \approx 9{,}993\times10^{14}\;\text{Hz}

Verificação de $k=\omega/c$: $\omega = 2\pi f \approx 6{,}279\times10^{15}\;\text{rad/s}$, e

\frac{\omega}{c} = \frac{6{,}279\times10^{15}}{2{,}998\times10^8} \approx 2{,}094\times10^7\;\text{rad/m} = k \quad\checkmark

\boxed{k\approx2{,}09\times10^7\;\text{rad/m},\quad f\approx9{,}99\times10^{14}\;\text{Hz}}

8.14.7 E7

Dados: $\varepsilon_r \approx 2{,}1$ (teflon), $\mu_r\approx1$.

(a) Índice de refração:

n = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}449

(b) Velocidade de fase:

v = \frac{c}{n} = \frac{2{,}998\times10^8}{1{,}449} \approx 2{,}069\times10^8\;\text{m/s}

\eta = \frac{\eta_0}{n} = \frac{376{,}7}{1{,}449} \approx 260{,}0\;\Omega

\boxed{n\approx1{,}45,\quad v\approx2{,}07\times10^8\;\text{m/s},\quad\eta\approx260\;\Omega}

8.14.8 E8

Dado $E_0 = 50\;\text{V/m}$ no vácuo.

(a) Amplitude de $B$:

B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{50}{2{,}998\times10^8} \approx 1{,}668\times10^{-7}\;\text{T}

(b) Amplitude de $H$:

H_0 = \frac{B_0}{\mu_0} = \frac{E_0}{\eta_0} = \frac{50}{376{,}7} \approx 0{,}1327\;\text{A/m}

\langle S\rangle = \frac{E_0^2}{2\eta_0} = \frac{50^2}{2\times376{,}7} = \frac{2500}{753{,}4} \approx 3{,}318\;\text{W/m}^2

\boxed{B_0\approx1{,}67\times10^{-7}\;\text{T},\quad H_0\approx0{,}133\;\text{A/m},\quad\langle S\rangle\approx3{,}32\;\text{W/m}^2}

8.14.9 E9 (desafio)

Dados: $\varepsilon_r=4$, $\mu_r=1$, $E_0 = 20\;\text{V/m}$ (no dielétrico).

(a) Índice de refração e velocidade de fase:

n = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} = \sqrt{4} = 2

v = \frac{c}{n} = \frac{2{,}998\times10^8}{2} \approx 1{,}499\times10^8\;\text{m/s}

(b) Impedância intrínseca:

\eta = \frac{\eta_0}{n} = \frac{376{,}7}{2} \approx 188{,}4\;\Omega

B_0 = \frac{E_0}{v} = \frac{20}{1{,}499\times10^8} \approx 1{,}334\times10^{-7}\;\text{T}

Comparação com o vácuo: se a mesma onda (mesmo $E_0=20\;\text{V/m}$) estivesse no vácuo, teríamos $B_0^{\text{vácuo}} = E_0/c \approx 6{,}671\times10^{-8}\;\text{T}$. Logo:

\frac{B_0^{\text{meio}}}{B_0^{\text{vácuo}}} = \frac{c}{v} = n = 2

isto é, para o mesmo $E_0$, o campo $B$ é duas vezes maior no dielétrico — consequência direta de $B_0=E_0/v$ e $v=c/n$.

(d) Intensidade média:

\langle S\rangle = \frac{E_0^2}{2\eta} = \frac{20^2}{2\times188{,}4} = \frac{400}{376{,}7} \approx 1{,}062\;\text{W/m}^2

\boxed{n=2,\quad v\approx1{,}50\times10^8\;\text{m/s},\quad \eta\approx188{,}4\;\Omega,\quad B_0\approx1{,}33\times10^{-7}\;\text{T}\;(=2\,B_0^{\text{vácuo}}),\quad \langle S\rangle\approx1{,}06\;\text{W/m}^2}

8.14.10 E10

Dado $\langle S\rangle = 1000\;\text{W/m}^2$ no vácuo. Da fórmula $\langle S\rangle = E_0^2/(2\eta_0)$:

E_0 = \sqrt{2\eta_0\langle S\rangle} = \sqrt{2\times376{,}7\times1000} = \sqrt{753\,400} \approx 868{,}0\;\text{V/m}

\boxed{E_0 \approx 868\;\text{V/m}}

(Valor tipicamente encontrado em lasers industriais de potência moderada focalizados — magnitude bem maior que a de uma onda de rádio, mas ainda muito menor que o campo de ruptura dielétrica do ar, $\sim3\times10^6\;\text{V/m}$.)

8.14.11 E11

Dados: $\varepsilon_r = 2{,}25$, $\mu_r=1$ (vidro), $f = 5\times10^{14}\;\text{Hz}$.

(a) Índice de refração e velocidade:

n = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5

v = \frac{c}{n} = \frac{2{,}998\times10^8}{1{,}5} \approx 1{,}999\times10^8\;\text{m/s}

(b) Número de onda no vidro: como a frequência é a mesma dentro e fora do meio (imposta pela fonte), usamos $k = \omega/v = 2\pi f/v$:

k_{\text{vidro}} = \frac{2\pi f}{v} = \frac{2\pi\times5\times10^{14}}{1{,}999\times10^8} \approx 1{,}572\times10^{7}\;\text{rad/m}

k_{\text{vácuo}} = \frac{2\pi f}{c} = \frac{2\pi\times5\times10^{14}}{2{,}998\times10^8} \approx 1{,}048\times10^{7}\;\text{rad/m}

Note que $k_{\text{vidro}}/k_{\text{vácuo}} = c/v = n = 1{,}5$ — o número de onda (e portanto o comprimento de onda, inversamente) muda no meio material, mas a frequência (imposta pela fonte) permanece a mesma. Este é o motivo pelo qual definimos $n$ a partir da razão de velocidades (ou de números de onda), e não da razão de frequências.

\boxed{n=1{,}5,\quad v\approx2{,}00\times10^8\;\text{m/s},\quad k_{\text{vidro}}\approx1{,}57\times10^7\;\text{rad/m},\quad k_{\text{vácuo}}\approx1{,}05\times10^7\;\text{rad/m}}

8.14.12 E12 (desafio)

Temos $\vec{E}(z,t) = E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{x} + E_0\sin(kz-\omega t)\,\hat{y}$, com $E_z=0$ e nenhuma dependência em $x$ ou $y$.

(a) Divergência. Como $E_x$ e $E_y$ dependem apenas de $z$ (e $t$), e $E_z=0$:

\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0+0+0 = 0 \quad\checkmark

(b) Campo $\vec B$ via lei de Faraday. Para um campo da forma $\vec{E}=(E_x(z,t),E_y(z,t),0)$, o rotacional é:

\nabla\times\vec{E} = \left(-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right)\hat{x} + \left(\frac{\partial E_x}{\partial z}\right)\hat{y}

Calculando as derivadas:

\frac{\partial E_x}{\partial z} = -E_0k\sin(kz-\omega t), \qquad \frac{\partial E_y}{\partial z} = E_0k\cos(kz-\omega t)

Logo:

\nabla\times\vec{E} = -E_0k\cos(kz-\omega t)\,\hat{x} - E_0k\sin(kz-\omega t)\,\hat{y}

Pela lei de Faraday, $\nabla\times\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t$, ou seja $\partial\vec{B}/\partial t = -\nabla\times\vec{E}$:

\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} = E_0k\cos(kz-\omega t)\,\hat{x} + E_0k\sin(kz-\omega t)\,\hat{y}

Integrando em $t$ (sem constante de integração, pois buscamos a solução oscilante particular, sem campo estático sobreposto):

\boxed{\vec{B}(z,t) = -\frac{E_0k}{\omega}\sin(kz-\omega t)\,\hat{x} + \frac{E_0k}{\omega}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}}

(c) Verificação da lei de Ampère-Maxwell. Calculamos $\nabla\times\vec{B}$ do mesmo modo:

\nabla\times\vec{B} = \left(-\frac{\partial B_y}{\partial z}\right)\hat{x} + \left(\frac{\partial B_x}{\partial z}\right)\hat{y}

\frac{\partial B_x}{\partial z} = -\frac{E_0k^2}{\omega}\cos(kz-\omega t), \qquad \frac{\partial B_y}{\partial z} = -\frac{E_0k^2}{\omega}\sin(kz-\omega t)

\nabla\times\vec{B} = \frac{E_0k^2}{\omega}\sin(kz-\omega t)\,\hat{x} - \frac{E_0k^2}{\omega}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}

O lado direito de (IV) é $\mu_0\varepsilon_0\,\partial\vec{E}/\partial t$:

\frac{\partial E_x}{\partial t} = E_0\omega\sin(kz-\omega t), \qquad \frac{\partial E_y}{\partial t} = -E_0\omega\cos(kz-\omega t)

\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \mu_0\varepsilon_0E_0\omega\sin(kz-\omega t)\,\hat{x} - \mu_0\varepsilon_0E_0\omega\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}

Igualando componente a componente com $\nabla\times\vec{B}$, ambas as equações ($\hat x$ e $\hat y$) exigem a mesma condição:

\frac{E_0k^2}{\omega} = \mu_0\varepsilon_0E_0\omega \quad\Rightarrow\quad k^2 = \mu_0\varepsilon_0\omega^2 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{\omega}{c}

que é exatamente a mesma relação de dispersão já obtida para a onda de uma componente (Seção “Forma geral da solução”) — confirmando que a lei de Ampère-Maxwell é satisfeita com $k=\omega/c$. Além disso, $\nabla\cdot\vec B = \partial B_x/\partial x+\partial B_y/\partial y = 0$ trivialmente, e (III) foi usada por construção. Logo as quatro equações de Maxwell são satisfeitas.

(d) Forma compacta $\vec{B}=\tfrac1c\hat z\times\vec E$. Usando $k/\omega = 1/c$ (do item anterior):

\vec{B}(z,t) = \frac{1}{c}\Big[-E_0\sin(kz-\omega t)\,\hat{x} + E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}\Big]

Calculamos $\hat{z}\times\vec{E}$ usando $\hat z\times\hat x=\hat y$ e $\hat z\times\hat y=-\hat x$:

\hat{z}\times\vec{E} = E_0\cos(kz-\omega t)\,(\hat z\times\hat x) + E_0\sin(kz-\omega t)\,(\hat z\times\hat y) = E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{y} - E_0\sin(kz-\omega t)\,\hat{x}

que é idêntico à expressão de $\vec B$ multiplicada por $c$. Logo:

\boxed{\vec{B}(z,t) = \frac{1}{c}\,\hat{z}\times\vec{E}(z,t)}

confirmando, para esta onda de duas componentes (polarização circular), a mesma relação geral $\vec B = \frac1v\hat k\times\vec E$ deduzida na Seção “Dedução da relação entre as amplitudes” para a onda de uma componente. O resultado generaliza: a relação $\vec B=\frac1v\hat k\times\vec E$ vale para qualquer superposição linear de componentes transversais de uma onda plana com o mesmo $k$ e $\omega$, não apenas para a onda linearmente polarizada mais simples.

8.14.13 E13

Dado $f = 2{,}45\;\text{GHz} = 2{,}45\times10^9\;\text{Hz}$, no ar (vácuo).

(a) Comprimento de onda:

\lambda = \frac{c}{f} = \frac{2{,}998\times10^8}{2{,}45\times10^9} \approx 0{,}1224\;\text{m} = 12{,}24\;\text{cm}

(b) Número de onda:

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}1224} \approx 51{,}35\;\text{rad/m}

T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2{,}45\times10^9} \approx 4{,}082\times10^{-10}\;\text{s} \approx 0{,}408\;\text{ns}

\boxed{\lambda\approx12{,}2\;\text{cm},\quad k\approx51{,}3\;\text{rad/m},\quad T\approx0{,}408\;\text{ns}}

8.14.14 E14 (desafio)

Dado $\eta = 250\;\Omega$, meio não magnético ($\mu_r=1$).

(a) Como $\eta=\eta_0/n$ (Seção “Impedância intrínseca do meio”):

n = \frac{\eta_0}{\eta} = \frac{376{,}7}{250} \approx 1{,}507

Como $\mu_r=1$, $n=\sqrt{\varepsilon_r}$, logo:

\varepsilon_r = n^2 \approx 1{,}507^2 \approx 2{,}271

(b) Velocidade de fase:

v = \frac{c}{n} = \frac{2{,}998\times10^8}{1{,}507} \approx 1{,}989\times10^8\;\text{m/s}

B_0 = \frac{E_0}{v} = \frac{10}{1{,}989\times10^8} \approx 5{,}028\times10^{-8}\;\text{T}

\langle S\rangle = \frac{E_0^2}{2\eta} = \frac{10^2}{2\times250} = \frac{100}{500} = 0{,}200\;\text{W/m}^2

Verificação via $\langle S\rangle = \tfrac12E_0H_0$: primeiro, $H_0 = E_0/\eta = 10/250 = 0{,}0400\;\text{A/m}$. Então:

\tfrac12E_0H_0 = \tfrac12\times10\times0{,}0400 = 0{,}200\;\text{W/m}^2 \quad\checkmark

concordando exatamente com o valor calculado por $E_0^2/(2\eta)$, como deveria ser (pois $\eta=E_0/H_0$ por definição).

\boxed{n\approx1{,}51,\ \varepsilon_r\approx2{,}27,\quad v\approx1{,}99\times10^8\;\text{m/s},\quad B_0\approx5{,}03\times10^{-8}\;\text{T},\quad \langle S\rangle\approx0{,}200\;\text{W/m}^2}