[ ] Decompor campos vetoriais usando o Teorema de Helmholtz.
1.2 Antes de começar
Ao final, você deve interpretar gradiente, divergente e rotacional, trocar corretamente entre coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas e aplicar Gauss, Stokes, Helmholtz e Unicidade. Diagnóstico: um campo com divergente e rotacional nulos precisa ser nulo? Evidência mínima: calcular os operadores em campos de teste e verificar uma identidade vetorial e um teorema integral.
1.3 Intuição Física: Por que Cálculo Vetorial?
Antes de mergulhar nas fórmulas, é essencial entender por que o cálculo vetorial é a linguagem natural do eletromagnetismo:
Campos escalares (como temperatura ou potencial elétrico) descrevem "o que" existe em cada ponto do espaço.
Campos vetoriais (como campo elétrico ou magnético) descrevem "como" uma carga de teste seria afetada em cada ponto.
O gradiente nos diz "para onde e quão rápido" um escalar muda.
O divergente nos diz "onde há fontes ou sorvedouros" de um campo.
O rotacional nos diz "onde o campo gira" ou circula.
Esses três operadores, combinados com os teoremas de Gauss e Stokes, formam a base matemática para todas as quatro equações de Maxwell.
1.4 Aplicações no Mundo Real
Conceito
Aplicação Prática
Gradiente
Projeto de antenas e otimização de cobertura de sinal
Divergente
Análise de fluxo de corrente em circuitos e redes elétricas
Rotacional
Projeto de motores elétricos e geradores
Teorema de Gauss
Cálculo de campos em capacitores e blindagem eletrostática
Teorema de Stokes
Análise de indução eletromagnética em transformadores
1.5 Campos Escalares e Vetoriais
Um campo escalar $f(\vec r)$ associa um número a cada ponto do espaço (ex.: temperatura, potencial elétrico $V$). Um campo vetorial $\vec F(\vec r)$ associa um vetor a cada ponto (ex.: campo elétrico $\vec E$, campo magnético $\vec B$).
Todo o eletromagnetismo desta apostila é escrito em termos de três operadores diferenciais atuando sobre esses campos — gradiente, divergente e rotacional — e de dois teoremas integrais que os conectam a integrais de superfície/linha — o Teorema do Divergente e o Teorema de Stokes. Este arquivo define esses objetos com cuidado antes de usá-los livremente no restante do curso.
1.6 Álgebra Vetorial Básica
Por que o eletromagnetismo precisa de vetores, e não apenas de números? Porque toda grandeza física relevante aqui — força sobre uma carga, campo elétrico, densidade de corrente — tem uma direção que importa fisicamente: uma carga sente uma força elétrica em uma direção específica, não apenas com uma "intensidade". Esta seção constrói, a partir de propriedades físicas simples (projeção e área), as duas operações que usaremos o tempo todo: o produto escalar e o produto vetorial.
1.6.1 Vetores e Escalares
Um escalar é uma grandeza que possui apenas magnitude (ex.: massa, temperatura, potencial elétrico). Um vetor possui magnitude, direção e sentido (ex.: deslocamento, velocidade, campo elétrico). Em coordenadas cartesianas, $\vec A = A_x\hat x+A_y\hat y+A_z\hat z$, onde $A_x,A_y,A_z$ são as componentes (escalares) e $\hat x,\hat y,\hat z$ carregam a informação de direção.
1.6.2 Vetor Unitário
Um vetor unitário (ou versor) é um vetor de magnitude igual a 1 — ele carrega pura informação de direção, sem escala. Os versores cartesianos padrão são $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ (ou $\hat{u}_x, \hat{u}_y, \hat{u}_z$), que apontam nas direções positivas dos eixos coordenados.
Para qualquer vetor $\vec A \neq \vec 0$, o vetor unitário na direção de $\vec A$ é obtido "descartando" o comprimento e mantendo só a direção:
Essa operação — normalizar um vetor — aparecerá repetidamente: campos como $\vec E=\frac{kq}{r^2}\hat r$ separam explicitamente "quanto" ($kq/r^2$, escalar) de "em que direção" ($\hat r$, versor).
1.6.3 Adição e Subtração de Vetores
A soma de dois vetores $\vec A$ e $\vec B$ é dada, componente a componente, por:
$$
\vec C = \vec A + \vec B = (A_x+B_x)\hat x+(A_y+B_y)\hat y+(A_z+B_z)\hat z
$$
Geometricamente, isso corresponde à regra do paralelogramo ou da poligonal (colocar a cauda de $\vec B$ na ponta de $\vec A$). Fisicamente, esta é a operação por trás do Princípio da Superposição: o campo elétrico total de várias cargas é a soma vetorial dos campos individuais — cada carga "não sabe" da presença das outras, e os efeitos se somam vetorialmente.
1.6.4 Produto Escalar (Dot Product) — dedução a partir da projeção
A pergunta física: quanto de um vetor $\vec B$ "aponta na mesma direção" de outro vetor $\vec A$? Essa pergunta aparece toda vez que calculamos trabalho ($\vec F\cdot d\vec\ell$) ou fluxo ($\vec F\cdot d\vec A$) — só a componente de um vetor paralela ao outro contribui.
Passo 1 — projeção geométrica. A projeção escalar de $\vec B$ sobre a direção de $\vec A$ é, por definição de cosseno em um triângulo retângulo, $|\vec B|\cos\theta$, onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores. Definimos o produto escalar como essa projeção multiplicada pela magnitude de $\vec A$:
$$
\vec A\cdot\vec B \equiv |\vec A||\vec B|\cos\theta
$$
Passo 2 — forma em componentes. Usando a lei dos cossenos no triângulo formado por $\vec A$, $\vec B$ e $\vec A-\vec B$: $|\vec A-\vec B|^2 = |\vec A|^2+|\vec B|^2-2|\vec A||\vec B|\cos\theta$. Expandindo o lado esquerdo em componentes cartesianas, $|\vec A-\vec B|^2=(A_x-B_x)^2+(A_y-B_y)^2+(A_z-B_z)^2 = |\vec A|^2+|\vec B|^2-2(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)$. Comparando os dois termos que multiplicam $-2$:
$$
\boxed{\vec A \cdot \vec B = |\vec A||\vec B|\cos\theta = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z}
$$
Resultado: um escalar. Casos-limite que ajudam a fixar a intuição: $\vec A\cdot\vec B=0$ quando $\theta=90°$ (vetores perpendiculares — nenhuma "sobreposição" de direção); $\vec A\cdot\vec B=|\vec A||\vec B|$ quando $\theta=0°$ (vetores paralelos — sobreposição total); $\vec A\cdot\vec A=|\vec A|^2$ (a "projeção de um vetor sobre si mesmo" é seu próprio comprimento ao quadrado).
1.6.5 Produto Vetorial (Cross Product) — dedução a partir da área e do torque
A pergunta física: dado um plano definido por $\vec A$ e $\vec B$, existe uma direção naturalmente perpendicular a ambos, com magnitude ligada à área "varrida" pelos dois vetores? Essa construção aparece no torque ($\vec\tau=\vec r\times\vec F$), na força magnética ($\vec F=q\vec v\times\vec B$) e na definição do rotacional (via a regra da mão direita).
Passo 1 — a magnitude é uma área. A área do paralelogramo formado por $\vec A$ e $\vec B$ é base $\times$ altura $=|\vec A|\,(|\vec B|\sin\theta)$, onde $|\vec B|\sin\theta$ é a componente de $\vec B$ perpendicular a $\vec A$ (a "altura" do paralelogramo). Definimos essa área como a magnitude do produto vetorial:
Passo 2 — a direção é normal ao plano. Como um plano tem duas normais possíveis ($+\hat n$ e $-\hat n$), a convenção física (consistente com torque e força magnética observados no laboratório) escolhe o sentido pela regra da mão direita: aponte os dedos na direção de $\vec A$, curve-os até $\vec B$; o polegar aponta na direção de $\vec A\times\vec B$.
$$
\boxed{\vec A \times \vec B = |\vec A||\vec B|\sin\theta\,\hat{n}}
$$
Resultado: um vetor, perpendicular tanto a $\vec A$ quanto a $\vec B$. Casos-limite: $|\vec A\times\vec B|=0$ quando $\theta=0°$ ou $180°$ (vetores paralelos/antiparalelos não definem um plano, logo não há normal única); $|\vec A\times\vec B|=|\vec A||\vec B|$ quando $\theta=90°$ (área máxima).
Passo 3 — forma em componentes (via o determinante mnemônico, útil para cálculo direto):
$$
\vec A\times\vec B = \begin{vmatrix}\hat x&\hat y&\hat z\\A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix} = (A_yB_z-A_zB_y)\hat x+(A_zB_x-A_xB_z)\hat y+(A_xB_y-A_yB_x)\hat z
$$
Consequência imediata: $\vec A\times\vec B=-\vec B\times\vec A$ (trocar as duas primeiras linhas do determinante inverte o sinal) — o produto vetorial não comuta, ao contrário do produto escalar.
1.6.6 Visualização Python — projeção, área e regra da mão direita
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltA=np.array([3.0,1.0])B=np.array([1.0,2.0])theta=np.arccos(A@B/(np.linalg.norm(A)*np.linalg.norm(B)))# Produto escalar: projeção de B sobre Aproj_comprimento=(A@B)/np.linalg.norm(A)proj_vetor=proj_comprimento*(A/np.linalg.norm(A))fig,axes=plt.subplots(1,2,figsize=(10,4.2))ax=axes[0]ax.quiver(0,0,*A,angles="xy",scale_units="xy",scale=1,color="#dc2626",label="A")ax.quiver(0,0,*B,angles="xy",scale_units="xy",scale=1,color="#2563eb",label="B")ax.quiver(0,0,*proj_vetor,angles="xy",scale_units="xy",scale=1,color="#047857",label="proj de B sobre A")ax.plot([B[0],proj_vetor[0]],[B[1],proj_vetor[1]],"k--",lw=0.8)ax.set_xlim(-0.5,4);ax.set_ylim(-0.5,3);ax.set_aspect("equal");ax.legend()ax.set_title(f"A·B = {A@B:.2f} = |A||B|cos(theta), theta={np.degrees(theta):.1f}°")# Produto vetorial em 3D: A x B é perpendicular ao plano de A e BA3,B3=np.array([3,1,0]),np.array([1,2,0])cross=np.cross(A3,B3)ax2=fig.add_subplot(1,2,2,projection="3d")forv,c,lblin[(A3,"#dc2626","A"),(B3,"#2563eb","B"),(cross,"#7c3aed","AxB")]:ax2.quiver(0,0,0,*v,color=c,label=lbl)ax2.set_title(f"|AxB| = {np.linalg.norm(cross):.2f} = área do paralelogramo")ax2.legend()plt.tight_layout()print("A.B =",A@B," |AxB| =",np.linalg.norm(cross)," AxB =",cross)
Output:
A.B = 5.0 |AxB| = 5.0 AxB = [0 0 5]
1.7 O Operador Nabla e o Gradiente
1.7.1 O sentimento físico: "para onde eu deveria andar?"
Imagine-se em pé sobre uma colina cuja altitude é dada por um campo escalar $f(x,y)$ (poderia ser temperatura, potencial elétrico, concentração — qualquer número que muda de ponto a ponto). Uma pergunta natural: em que direção devo dar um passo para subir o mais rápido possível? E, uma vez escolhida essa direção, quão íngreme é a subida?
O gradiente é a resposta matemática precisa a essas duas perguntas simultaneamente: ele é um vetor que aponta na direção de subida mais rápida, e seu módulo é a inclinação nessa direção. Antes de definir a fórmula, vamos construir essa ideia a partir de algo mais simples — a derivada direcional.
1.7.2 Passo 1: taxa de variação em uma direção arbitrária
Suponha que você dá um pequeno passo $d\vec\ell$ a partir do ponto $(x,y,z)$. Quanto $f$ varia? Pela regra da cadeia (derivada total de uma função de várias variáveis):
Repare que essa expressão tem a forma de um produto escalar (Seção "Produto Escalar (Dot Product) — dedução a partir da projeção"): é a soma de produtos componente a componente entre o vetor $\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$ e o deslocamento $d\vec\ell=(dx,dy,dz)$. Isso motiva definir esse vetor de derivadas parciais como um objeto único:
de modo que a variação de $f$ ao longo de qualquer deslocamento infinitesimal $d\vec\ell = dx\,\hat x+dy\,\hat y+dz\,\hat z$ se escreve, de forma compacta e independente de coordenadas, como:
$$
df = \nabla f\cdot d\vec\ell
$$
1.7.3 Passo 2: em que direção a subida é mais rápida?
Agora respondemos à pergunta da colina. Escreva $d\vec\ell = d\ell\,\hat u$, onde $\hat u$ é um versor (a direção do passo, escolhida por você) e $d\ell>0$ o tamanho do passo. A taxa de variação de $f$ por unidade de comprimento percorrido, nessa direção, é a derivada direcional:
onde $\theta$ é o ângulo entre $\nabla f$ (fixo no ponto considerado) e $\hat u$ (a direção que você escolhe). Como $|\nabla f|$ não depende de $\hat u$, a única coisa que você controla é $\cos\theta$ — e $\cos\theta$ é máximo (igual a 1) quando $\theta=0$, isto é, quando você escolhe caminhar exatamente na direção de $\nabla f$. Conclusão:
$$
\boxed{\nabla f \text{ aponta na direção de máximo crescimento de } f\text{, com módulo igual a essa taxa máxima.}}
$$
Note também o caso $\theta=180°$: caminhar na direção $-\nabla f$ dá a descida mais rápida (o "caminho de menor esforço para descer a colina"); e $\theta=90°$: caminhar perpendicular a $\nabla f$ não muda $f$ — você está andando ao longo de uma curva de nível.
1.7.4 Visualização Python — a colina, a bússola do gradiente e a subida mais rápida
O código a seguir simula literalmente a "colina": para um conjunto de direções $\hat u(\theta)$, calcula a derivada direcional $\nabla f\cdot\hat u$ e mostra que ela é máxima exatamente quando $\hat u$ aponta junto com $\nabla f$ — verificando numericamente o Passo 2.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx=y=np.linspace(-2,2,25)X,Y=np.meshgrid(x,y)f,gx,gy=X**2+2*Y**2,2*X,4*Yfig,axes=plt.subplots(1,2,figsize=(11,4.3))# Painel 1: colina (curvas de nível) e bússola do gradienteaxes[0].contour(X,Y,f,levels=10,cmap="Blues")axes[0].quiver(X[::2,::2],Y[::2,::2],gx[::2,::2],gy[::2,::2],color="#dc2626",alpha=.8)axes[0].set_title("Curvas de nível de f e direção de subida (grad f)")axes[0].set_aspect("equal")# Painel 2: derivada direcional em (1,1) para todas as direções possíveisp=np.array([1.0,1.0])grad_p=np.array([2*p[0],4*p[1]])# grad f em (1,1) = (2,4)thetas=np.linspace(0,2*np.pi,200)u=np.array([np.cos(thetas),np.sin(thetas)])df_dl=grad_p@u# derivada direcional df/dl = grad(f).u_hataxes[1].plot(np.degrees(thetas),df_dl,color="#7c3aed")theta_grad=np.degrees(np.arctan2(grad_p[1],grad_p[0]))axes[1].axvline(theta_grad,color="#dc2626",ls="--",label="direção de grad f")axes[1].axhline(np.linalg.norm(grad_p),color="gray",ls=":",label="|grad f|")axes[1].set_xlabel("ângulo da direção escolhida (graus)")axes[1].set_ylabel("df/dl (derivada direcional)")axes[1].set_title("Máximo exatamente na direção do gradiente")axes[1].legend()plt.tight_layout()print("grad f(1,1) =",tuple(grad_p)," |grad f| =",np.linalg.norm(grad_p))print("theta que maximiza df/dl:",np.degrees(thetas[np.argmax(df_dl)])," (esperado:",theta_grad,")")
Output:
grad f(1,1) = (np.float64(2.0), np.float64(4.0)) |grad f| = 4.47213595499958
theta que maximiza df/dl: 63.31658291457286 (esperado: 63.43494882292201 )
1.7.5 Passo 3: por que empacotar tudo em um único símbolo $\nabla$?
Reparar na Definição 1: o gradiente é construído aplicando o mesmo padrão — "derivada parcial na direção $i$, multiplicada pelo versor $\hat u_i$" — três vezes e somando. Esse padrão se repete tantas vezes no eletromagnetismo (a seguir, no divergente e no rotacional) que vale a pena dar-lhe um nome e tratá-lo como um objeto algébrico à parte:
$\nabla$ não é um vetor no sentido usual (suas "componentes" são instruções de derivação, não números) — é um operador: sozinho, não significa nada; só produz um resultado quando aplicado a um campo. Mas ele se comporta como se fosse um vetor sob as operações de álgebra vetorial já deduzidas nesta seção, o que é extremamente útil:
Gradiente $\nabla f$: $\nabla$ "multiplicando" um escalar $f$ (analogia com $\vec A$ escalado por um número) $\to$ produz um vetor.
Divergente $\nabla\cdot\vec F$: $\nabla$ em produto escalar com um campo vetorial $\to$ produz um escalar (mede projeção/expansão — Seção "Divergente").
Rotacional $\nabla\times\vec F$: $\nabla$ em produto vetorial com um campo vetorial $\to$ produz um vetor perpendicular ao "plano de circulação" (Seção "Rotacional").
Ou seja: as três operações fundamentais do cálculo vetorial em eletromagnetismo não são três ideias independentes — são as três formas de combinar $\nabla$ com um campo, herdadas diretamente das três operações vetoriais já vistas (escalar × vetor, produto escalar, produto vetorial).
1.8 Elementos Diferenciais e Integrais
As três integrais desta seção — de linha, de superfície e de volume — não são fórmulas isoladas para decorar: são todas a mesma ideia (dividir, aproximar, somar, refinar) aplicada a três geometrias diferentes: um caminho 1D, uma superfície 2D e uma região 3D. Cada uma responde a uma pergunta física concreta: quanto trabalho uma força realiza ao longo de um percurso? Quanto fluido atravessa uma tela? Quanta carga há dentro de uma região? Esta seção deduz as três a partir do mesmo processo de soma de Riemann, com um exemplo numérico para cada uma.
1.8.1 Elementos Diferenciais de Comprimento, Área e Volume
Em coordenadas cartesianas, os elementos diferenciais são:
Comprimento infinitesimal: $d\vec\ell = dx\,\hat x + dy\,\hat y + dz\,\hat z$
Elemento de área: $d\vec A = dy\,dz\,\hat x + dx\,dz\,\hat y + dx\,dy\,\hat z$ (vetor: magnitude = área, direção = normal à face)
Elemento de volume: $dV = dx\,dy\,dz$
1.8.2 Integral de Linha — dedução a partir do trabalho
A pergunta física: uma partícula percorre uma trajetória $C$ sob a ação de uma força $\vec F(\vec r)$, que pode variar de ponto a ponto e nem sempre aponta na direção do movimento. Qual o trabalho total realizado?
Passo 1 — discretizar o caminho. Divida $C$ em $N$ segmentos pequenos, cada um aproximadamente reto, com vetor deslocamento $\Delta\vec\ell_i$ (ligando o início ao fim do segmento $i$). Se $N$ é grande, $\vec F$ é aproximadamente constante dentro de cada segmento — avalie-a em um ponto $\vec r_i$ do segmento.
Passo 2 — trabalho em cada segmento. Pela definição de produto escalar (Seção "Produto Escalar (Dot Product) — dedução a partir da projeção"), o trabalho no segmento $i$ é $\Delta W_i \approx \vec F(\vec r_i)\cdot\Delta\vec\ell_i$ — só a componente de $\vec F$ ao longo do deslocamento contribui.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.patches importFancyArrowPatch,Arcfig,ax=plt.subplots(figsize=(7.5,5.2))# --- Trajetória C: curva arbitrária (não alinhada com F) ---t=np.linspace(0,1,400)x=0.4+4.4*ty=1.5+0.7*np.sin(2.0*t+0.6)+0.3*t**2ax.plot(x,y,color="#1f2937",lw=2.2,zorder=2)ax.text(x[-1]+0.10,y[-1]-0.05,"C",fontsize=15,style="italic",color="#1f2937")ax.scatter([x[0],x[-1]],[y[0],y[-1]],s=28,color="#1f2937",zorder=3)ax.text(x[0]-0.10,y[0]+0.20,"início",fontsize=10,color="#4b5563")ax.text(x[-1]-0.55,y[-1]-0.42,"fim",fontsize=10,color="#4b5563")# --- Ponto de avaliação r_i ao longo de C ---i0=200P=np.array([x[i0],y[i0]])# vetor deslocamento local dl (tangente à curva, direção do movimento)dstep=6dvec=np.array([x[i0+dstep]-x[i0-dstep],y[i0+dstep]-y[i0-dstep]])dl_hat=dvec/np.linalg.norm(dvec)# --- Força F em P: escolhida para não ser paralela ao deslocamento ---F_mag,F_angle_offset=1.35,np.deg2rad(55)theta_dl=np.arctan2(dl_hat[1],dl_hat[0])theta_F=theta_dl+F_angle_offsetF=F_mag*np.array([np.cos(theta_F),np.sin(theta_F)])# decomposição: componente paralela e perpendicular a dl_hatF_par=np.dot(F,dl_hat)*dl_hatF_perp=F-F_pardefarrow(p0,vec,color,lw=2.6,z=5,mut=16):ax.add_patch(FancyArrowPatch(p0,p0+vec,arrowstyle="-|>",color=color,lw=lw,mutation_scale=mut,zorder=z,shrinkA=0,shrinkB=0))ax.scatter(*P,s=45,color="#111827",zorder=8)ax.text(P[0]-0.55,P[1]-0.12,r"$\vec r_i$",fontsize=13,color="#111827")dl_draw=dl_hat*0.9arrow(P,dl_draw,"#059669",lw=2.4,mut=14,z=6)ax.text(*(P+dl_draw+[0.35,-0.05]),r"$\Delta\vec\ell_i$",fontsize=15,color="#059669")arrow(P,F,"#9ca3af",lw=2.2,mut=16,z=4)# F completaax.text(*(P+F+[-0.55,0.05]),r"$\vec F$",fontsize=16,color="#6b7280")arrow(P,F_par,"#dc2626",lw=3.2,mut=18,z=7)# componente paralela: realiza trabalhoax.text(*(P+F_par+[-0.15,-0.35]),r"$\vec F_\parallel$",fontsize=15,color="#dc2626")arrow(P+F_par,F_perp,"#2563eb",lw=2.6,mut=16,z=7)# componente perpendicular: não realiza trabalhotip_perp=P+F_par+F_perpax.text(*(tip_perp+[0.18,-0.05]),r"$\vec F_\perp$",fontsize=15,color="#2563eb")ang1,ang2=np.rad2deg(theta_dl),np.rad2deg(theta_F)ax.add_patch(Arc(P,0.85,0.85,angle=0,theta1=min(ang1,ang2),theta2=max(ang1,ang2),color="#7c3aed",lw=1.8,zorder=6))theta_mid=np.deg2rad((ang1+ang2)/2)ax.text(P[0]+0.52*np.cos(theta_mid)-0.05,P[1]+0.52*np.sin(theta_mid)+0.08,r"$\theta$",fontsize=13,color="#7c3aed")key_x=np.concatenate([x,[P[0],(P+F)[0],(P+F_par)[0],tip_perp[0]]])key_y=np.concatenate([y,[P[1],(P+F)[1],(P+F_par)[1],tip_perp[1]]])margin=0.6ax.set_xlim(key_x.min()-margin,key_x.max()+margin)ax.set_ylim(key_y.min()-margin,key_y.max()+margin)ax.set_aspect("equal");ax.axis("off")ax.set_title("Trabalho como projeção da força sobre o deslocamento",fontsize=13.5,pad=10)fig.text(0.5,0.015,r"$\Delta W_i \approx \vec F(\vec r_i) \cdot \Delta\vec\ell_i = |\vec F|\,|\Delta\vec\ell_i|\cos\theta \;\;$"r"— apenas $\vec F_\parallel$ realiza trabalho; $\vec F_\perp$ não contribui",fontsize=11.5,ha="center",va="bottom",color="#1f2937",bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.45",facecolor="#f9fafb",edgecolor="#d1d5db"))plt.tight_layout(rect=[0,0.08,1,1])plt.savefig("trabalho_forca.png",dpi=170,bbox_inches="tight")plt.show()
A figura mostra o segmento $i$ da discretização: a força $\vec F$ (cinza) no ponto $\vec r_i$ é decomposta em $\vec F_\parallel$ (vermelho, paralela a $\Delta\vec\ell_i$) e $\vec F_\perp$ (azul, perpendicular). Apenas $\vec F_\parallel = |\vec F|\cos\theta$ contribui para $\Delta W_i$ — geometricamente, $\vec F_\perp$ apenas tenta curvar a trajetória, sem acelerar nem desacelerar a partícula ao longo de $C$.
Passo 3 — somar e refinar. O trabalho total é a soma sobre todos os segmentos; tomando o limite $N\to\infty$ (cada $\Delta\vec\ell_i\to d\vec\ell$), a soma vira uma integral:
$$
W = \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^N \vec F(\vec r_i)\cdot\Delta\vec\ell_i \;\equiv\; \boxed{\int_C \vec F \cdot d\vec\ell}
$$
Esta é a integral de linha, e mede a circulação do campo ao longo de $C$ (soma acumulada da componente tangencial de $\vec F$). Se $\vec F$ é sempre perpendicular a $C$, a integral se anula — nenhum trabalho é realizado, exatamente como no Exemplo 0a.
1.8.3 Integral de Superfície — dedução a partir do fluxo
A pergunta física: quanto de um campo vetorial $\vec F(\vec r)$ (pense em velocidade de um fluido, ou densidade de linhas de campo elétrico) "atravessa" uma superfície $S$ por unidade de tempo?
Passo 1 — discretizar a superfície. Divida $S$ em $N$ pequenos retalhos, cada um aproximadamente plano, com vetor de área $\Delta\vec A_i = \Delta A_i\,\hat n_i$ (magnitude = área do retalho, direção = normal local, escolhida por convenção — para superfícies fechadas, apontando para fora).
Passo 2 — fluxo por retalho. Apenas a componente de $\vec F$ perpendicular ao retalho ("atravessando" a tela) contribui ao fluxo; a componente tangencial desliza ao longo da superfície sem atravessá-la. Pela mesma lógica do produto escalar: $\Delta\Phi_i \approx \vec F(\vec r_i)\cdot\Delta\vec A_i$.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.patches importFancyArrowPatch,Arcfig,ax=plt.subplots(figsize=(7.5,4.6))# --- Superfície S: uma "tela" curva vista de perfil, com um retalho plano destacado ---t=np.linspace(0,1,400)x=0.4+4.4*ty=1.5+0.7*np.sin(2.0*t+0.6)+0.3*t**2ax.plot(x,y,color="#1f2937",lw=2.2,zorder=2)ax.text(x[-1]+0.10,y[-1]-0.05,"S",fontsize=15,style="italic",color="#1f2937")# retalho (segmento reto) em torno do ponto de avaliaçãoi0=200dstep=18p0=np.array([x[i0-dstep],y[i0-dstep]])p1=np.array([x[i0+dstep],y[i0+dstep]])P=(p0+p1)/2ax.plot([p0[0],p1[0]],[p0[1],p1[1]],color="#111827",lw=4.5,zorder=3,solid_capstyle="round")# tangente do retalho e normal (perpendicular, apontando "para fora")t_hat=(p1-p0)/np.linalg.norm(p1-p0)n_hat=np.array([-t_hat[1],t_hat[0]])ifn_hat[1]<0:n_hat=-n_hat# --- Campo F em P: não alinhado com a normal ---F_mag,F_angle_offset=1.5,np.deg2rad(55)theta_n=np.arctan2(n_hat[1],n_hat[0])theta_F=theta_n+F_angle_offsetF=F_mag*np.array([np.cos(theta_F),np.sin(theta_F)])F_perp=np.dot(F,n_hat)*n_hat# componente normal: contribui ao fluxoF_tan=F-F_perp# componente tangencial: não contribuidefarrow(p0_,vec,color,lw=2.6,z=5,mut=16):ax.add_patch(FancyArrowPatch(p0_,p0_+vec,arrowstyle="-|>",color=color,lw=lw,mutation_scale=mut,zorder=z,shrinkA=0,shrinkB=0))ax.scatter(*P,s=45,color="#111827",zorder=8)ax.text(P[0]-0.55,P[1]-0.12,r"$\vec r_i$",fontsize=13,color="#111827")offset_draw=t_hat*0.35nA_draw=n_hat*0.9arrow(P+offset_draw,nA_draw,"#059669",lw=2.4,mut=14,z=6)ax.text(*(P+offset_draw+nA_draw+[0.10,0.05]),r"$\Delta\vec A_i$",fontsize=15,color="#059669")arrow(P,F,"#9ca3af",lw=2.2,mut=16,z=4)# F completaax.text(*(P+F+[0.12,0.08]),r"$\vec F$",fontsize=16,color="#6b7280")arrow(P,F_perp,"#dc2626",lw=3.2,mut=18,z=7)# componente normal: contribui ao fluxoax.text(*(P+F_perp+[-0.55,-0.05]),r"$\vec F_\perp$",fontsize=15,color="#dc2626")arrow(P+F_perp,F_tan,"#2563eb",lw=2.6,mut=16,z=7)# componente tangencial: não contribuitip_tan=P+F_perp+F_tanax.text(*(tip_tan+[-1.1,0.10]),r"$\vec F_\parallel$",fontsize=15,color="#2563eb")ang1,ang2=np.rad2deg(theta_n),np.rad2deg(theta_F)ax.add_patch(Arc(P,0.85,0.85,angle=0,theta1=min(ang1,ang2),theta2=max(ang1,ang2),color="#7c3aed",lw=1.8,zorder=6))theta_mid=np.deg2rad((ang1+ang2)/2)ax.text(P[0]+0.55*np.cos(theta_mid)+0.05,P[1]+0.55*np.sin(theta_mid)+0.05,r"$\theta$",fontsize=13,color="#7c3aed")key_x=np.concatenate([x,[P[0],(P+F)[0],(P+F_perp)[0],tip_tan[0],(P+offset_draw+nA_draw)[0]]])key_y=np.concatenate([y,[P[1],(P+F)[1],(P+F_perp)[1],tip_tan[1],(P+offset_draw+nA_draw)[1]]])margin=0.6ax.set_xlim(key_x.min()-margin,key_x.max()+margin)ax.set_ylim(key_y.min()-margin,key_y.max()+margin)ax.set_aspect("equal");ax.axis("off")ax.set_title("Fluxo como projeção da força sobre o retalho de área",fontsize=13.5,pad=10)fig.text(0.5,0.015,r"$\Delta \Phi_i \approx \vec F(\vec r_i) \cdot \Delta\vec A_i = |\vec F|\,|\Delta\vec A_i|\cos\theta \;\;$"r"— apenas $\vec F_\perp$ atravessa a tela; $\vec F_\parallel$ desliza sobre ela",fontsize=11.5,ha="center",va="bottom",color="#1f2937",bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.45",facecolor="#f9fafb",edgecolor="#d1d5db"))plt.tight_layout(rect=[0,0.08,1,1])plt.savefig("fluxo_superficie.png",dpi=170,bbox_inches="tight")plt.show()
A figura mostra o retalho $i$ da discretização: o vetor de área $\Delta\vec A_i$ (verde) aponta ao longo da normal ao retalho. A força $\vec F$ (cinza) em $\vec r_i$ é decomposta em $\vec F_\perp$ (vermelho, paralela à normal) e $\vec F_\parallel$ (azul, tangencial ao retalho). Apenas $\vec F_\perp = |\vec F|\cos\theta$ contribui para $\Delta\Phi_i$ — a componente tangencial desliza sobre a superfície sem atravessá-la, exatamente o papel inverso do que acontecia na integral de linha.
Esta é a integral de superfície (ou fluxo) de $\vec F$ através de $S$. É exatamente esta grandeza que aparece na Lei de Gauss ($\oint_S\vec E\cdot d\vec A=Q_{env}/\varepsilon_0$) e no Teorema do Divergente (Seção "Divergente").
1.8.4 Integral de Volume — dedução a partir da acumulação
A pergunta física: dada uma densidade $f(\vec r)$ (ex.: densidade de carga $\rho$), qual a quantidade total contida em uma região $V$?
Passo 1 — discretizar o volume. Divida $V$ em $N$ pequenas células, cada uma com volume $\Delta V_i$. Se $N$ é grande, $f$ é aproximadamente constante em cada célula.
Passo 2 — quantidade por célula. A contribuição da célula $i$ é (densidade) × (volume): $\Delta Q_i \approx f(\vec r_i)\,\Delta V_i$.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.patches importRectanglefig,ax=plt.subplots(figsize=(7.5,4.6))# --- Região V: contorno irregular fechado (vista 2D de uma região de volume) ---theta=np.linspace(0,2*np.pi,300)r=1.9+0.35*np.sin(3*theta)+0.15*np.cos(5*theta)cx,cy=3.0,2.1Vx=cx+r*np.cos(theta)Vy=cy+r*np.sin(theta)ax.plot(Vx,Vy,color="#1f2937",lw=2.2,zorder=2)ax.fill(Vx,Vy,color="#e5e7eb",alpha=0.35,zorder=1)ax.text(cx+2.05,cy+1.35,"V",fontsize=15,style="italic",color="#1f2937")# --- grade de células cobrindo a bounding box, mantendo só as que caem dentro de V ---n=8xs=np.linspace(cx-2.1,cx+2.1,n+1)ys=np.linspace(cy-2.1,cy+2.1,n+1)definside(px,py):ang=np.arctan2(py-cy,px-cx)rr=1.9+0.35*np.sin(3*ang)+0.15*np.cos(5*ang)return(px-cx)**2+(py-cy)**2<=rr**2cell_w,cell_h=xs[1]-xs[0],ys[1]-ys[0]drawn_cells=[]foriinrange(n):forjinrange(n):xc,yc=(xs[i]+xs[i+1])/2,(ys[j]+ys[j+1])/2ifinside(xc,yc):ax.add_patch(Rectangle((xs[i],ys[j]),cell_w,cell_h,facecolor="none",edgecolor="#9ca3af",lw=0.9,zorder=3))drawn_cells.append((xs[i],ys[j],xc,yc))# --- célula i em destaque (próxima do centro) ---drawn_cells.sort(key=lambdac:(c[2]-cx)**2+(c[3]-cy)**2)xi0,yi0,xci,yci=drawn_cells[2]ax.add_patch(Rectangle((xi0,yi0),cell_w,cell_h,facecolor="#dc2626",alpha=0.35,edgecolor="#dc2626",lw=2.2,zorder=5))ax.annotate(r"$\Delta V_i$",xy=(xi0+cell_w,yi0+cell_h*0.5),xytext=(xi0+cell_w+0.9,yi0+cell_h*0.5+0.55),fontsize=15,color="#dc2626",arrowprops=dict(arrowstyle="-",color="#dc2626",lw=1.3))ax.scatter(xci,yci,s=30,color="#111827",zorder=7)ax.text(xci-0.05,yci-0.55,r"$f(\vec r_i)$",fontsize=12.5,color="#7f1d1d",zorder=6,ha="center")# --- seta ilustrando o refinamento N -> infinito ---ax.annotate("",xy=(cx+3.3,cy-1.6),xytext=(cx+2.55,cy-1.6),arrowprops=dict(arrowstyle="-|>",color="#059669",lw=2))ax.text(cx+2.55,cy-2.05,r"$N\to\infty$",fontsize=12,color="#059669")ax.set_xlim(cx-2.9,cx+4.3)ax.set_ylim(cy-2.6,cy+2.6)ax.set_aspect("equal");ax.axis("off")ax.set_title("Integral de volume como soma de contribuições por célula",fontsize=13.5,pad=10)fig.text(0.5,0.015,r"$\Delta Q_i \approx f(\vec r_i)\,\Delta V_i \;\;$"r"— soma sobre todas as células $\Delta V_i$ dentro de $V$, refinando $N\to\infty$",fontsize=11.5,ha="center",va="bottom",color="#1f2937",bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.45",facecolor="#f9fafb",edgecolor="#d1d5db"))plt.tight_layout(rect=[0,0.08,1,1])plt.savefig("integral_volume.png",dpi=170,bbox_inches="tight")plt.show()
A figura mostra a região $V$ dividida em uma grade de células; a célula $i$ em destaque (vermelho) tem volume $\Delta V_i$ e densidade $f(\vec r_i)$ avaliada em seu centro. Diferente das duas integrais anteriores, aqui não há decomposição vetorial — $f$ é um escalar, então toda a densidade da célula contribui integralmente para $\Delta Q_i$, sem componente "desperdiçada".
Esta é a integral de volume: soma uma grandeza escalar sobre uma região $V$ — por exemplo, $Q=\int_V\rho\,dV$ é a carga total contida em $V$ dada sua densidade volumétrica $\rho(\vec r)$.
1.8.5 Visualização Python — as três integrais como somas de Riemann que convergem
O código refina progressivamente $N$ (número de segmentos/retalhos/células) para as três integrais e mostra a soma discreta convergindo para o valor exato conhecido — a mesma lógica de "dividir, aproximar, somar, refinar" dos três Passos acima, mas agora executada numericamente.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# --- Integral de linha: trabalho de F=(-y,x) ao longo do círculo unitário (0 a pi) ---defintegral_linha(N):t=np.linspace(0,np.pi,N+1)pontos=np.stack([np.cos(t),np.sin(t)],axis=1)F=np.stack([-pontos[:,1],pontos[:,0]],axis=1)# F=(-y,x) nos pontos médiosdl=np.diff(pontos,axis=0)# Delta l_i (vetor)F_meio=(F[:-1]+F[1:])/2# F no ponto médio do segmentoreturnnp.sum(np.einsum('ij,ij->i',F_meio,dl))# --- Integral de superfície: fluxo de F=(x,y,z) através da esfera unitária (F.n = 1 sempre) ---defintegral_superficie(n):theta=np.linspace(0,np.pi,n)phi=np.linspace(0,2*np.pi,2*n)dtheta,dphi=theta[1]-theta[0],phi[1]-phi[0]fluxo=0.0forthintheta:dA=np.sin(th)*dtheta*dphi# elemento de área na esfera unitáriafluxo+=dA*len(phi)# F.n_hat = R = 1 em toda a esferareturnfluxo# --- Integral de volume: carga total com rho=3 (constante) numa esfera de raio 1 ---defintegral_volume(n):r=np.linspace(0,1,n)dr=r[1]-r[0]returnnp.sum(3*4*np.pi*r**2*dr)# soma de cascas esféricas 4*pi*r^2*drNs=[4,8,16,32,64,128,256]linha_vals=[integral_linha(N)forNinNs]sup_vals=[integral_superficie(N)forNinNs]vol_vals=[integral_volume(N)forNinNs]fig,axes=plt.subplots(1,3,figsize=(13,3.8))axes[0].plot(Ns,linha_vals,"o-",color="#dc2626")axes[0].axhline(np.pi,color="gray",ls="--",label="valor exato = pi")axes[0].set_title("Integral de linha (trabalho)");axes[0].set_xlabel("N segmentos");axes[0].legend()axes[1].plot(Ns,sup_vals,"o-",color="#2563eb")axes[1].axhline(4*np.pi,color="gray",ls="--",label="valor exato = 4*pi")axes[1].set_title("Integral de superfície (fluxo)");axes[1].set_xlabel("N retalhos");axes[1].legend()axes[2].plot(Ns,vol_vals,"o-",color="#047857")axes[2].axhline(4*np.pi,color="gray",ls="--",label="valor exato = 4*pi")axes[2].set_title("Integral de volume (carga total)");axes[2].set_xlabel("N cascas");axes[2].legend()foraxinaxes:ax.set_xscale("log")plt.tight_layout()print(f"Linha: N={Ns[-1]:4d} -> {linha_vals[-1]:.6f} (exato: {np.pi:.6f})")print(f"Superfície: N={Ns[-1]:4d} -> {sup_vals[-1]:.6f} (exato: {4*np.pi:.6f})")print(f"Volume: N={Ns[-1]:4d} -> {vol_vals[-1]:.6f} (exato: {4*np.pi:.6f})")
1.9.2 Dedução da interpretação física (fluxo por unidade de volume)
Considere um cubo infinitesimal de lados $dx,dy,dz$, centrado em $(x,y,z)$. O fluxo de $\vec F$ saindo pela face direita ($x+dx/2$) menos o que entra pela face esquerda ($x-dx/2$):
1.9.3 Visualização Python — o cubo infinitesimal e o balanço de fluxo
O painel esquerdo mostra o cubo no espaço 3D, com as faces $x-dx/2$ (azul, por onde o campo entra) e $x+dx/2$ (vermelha, por onde sai) destacadas. O painel direito é um corte na direção $x$: as setas têm comprimentos proporcionais a $F_x$ em cada face — a seta vermelha (saída) é desenhada maior que a azul (entrada) propositalmente, ilustrando o caso $\partial F_x/\partial x>0$ (divergente positivo nessa direção). É exatamente essa diferença de comprimento — "o que sai menos o que entra" — que a Eq. do $d\Phi_x$ abaixo quantifica.
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import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d.art3d importPoly3DCollectionfrom matplotlib.patches importFancyArrowPatch,Rectanglefrom mpl_toolkits.mplot3d.proj3d importproj_transformclassArrow3D(FancyArrowPatch):def__init__(self,xs,ys,zs,*args,**kwargs):super().__init__((0,0),(0,0),*args,**kwargs)self._verts3d=xs,ys,zsdefdo_3d_projection(self,renderer=None):xs3d,ys3d,zs3d=self._verts3dxs,ys,zs=proj_transform(xs3d,ys3d,zs3d,self.axes.M)self.set_positions((xs[0],ys[0]),(xs[1],ys[1]))returnmin(zs)fig=plt.figure(figsize=(12,5.2))# --- Painel 1: cubo em 3D, com as faces -x (azul) e +x (vermelha) destacadas ---ax=fig.add_subplot(1,2,1,projection="3d")h=1.0xr=yr=zr=[-h,h]corners=np.array([[cx,cy,cz]forcxinxrforcyinyrforczinzr])edges=[(0,1),(0,2),(0,4),(1,3),(1,5),(2,3),(2,6),(3,7),(4,5),(4,6),(5,7),(6,7)]fori,jinedges:ax.plot(*zip(corners[i],corners[j]),color="black",lw=1.1)face_right=np.array([[h,-h,-h],[h,h,-h],[h,h,h],[h,-h,h]])face_left=np.array([[-h,-h,-h],[-h,h,-h],[-h,h,h],[-h,-h,h]])ax.add_collection3d(Poly3DCollection([face_right],facecolor="#dc2626",alpha=0.3,edgecolor="none"))ax.add_collection3d(Poly3DCollection([face_left],facecolor="#2563eb",alpha=0.3,edgecolor="none"))ax.add_artist(Arrow3D([-h-1.1,-h],[0,0],[0,0],mutation_scale=18,lw=3,color="#2563eb",arrowstyle="-|>"))ax.add_artist(Arrow3D([h,h+1.7],[0,0],[0,0],mutation_scale=18,lw=3,color="#dc2626",arrowstyle="-|>"))ax.scatter([0],[0],[0],color="black",s=30)ax.text(0.05,0.05,0.15,r"$(x,y,z)$",fontsize=10)ax.text(-h-0.55,0.15,0.55,r"$F_x(x-\frac{dx}{2})$",color="#2563eb",fontsize=10,ha="center")ax.text(h+0.85,0.15,0.55,r"$F_x(x+\frac{dx}{2})$",color="#dc2626",fontsize=10,ha="center")ax.set_xlim(-2.8,2.8);ax.set_ylim(-1.5,1.5);ax.set_zlim(-1.5,1.5)ax.set_xlabel("x");ax.set_ylabel("y");ax.set_zlabel("z")ax.set_box_aspect([1.4,1,1])ax.view_init(elev=16,azim=-60)ax.set_title("Cubo infinitesimal $dx\\,dy\\,dz$\ncentrado em $(x,y,z)$",fontsize=11)# --- Painel 2: corte 2D na direção x, com o balanço entra/sai ---ax2=fig.add_subplot(1,2,2)ax2.add_patch(Rectangle((-1,-1),2,2,facecolor="#f8fafc",edgecolor="black",lw=1.8))ax2.annotate("",xy=(-1,0),xytext=(-2.3,0),arrowprops=dict(arrowstyle="-|>",color="#2563eb",lw=3,mutation_scale=22))ax2.annotate("",xy=(2.6,0),xytext=(1,0),arrowprops=dict(arrowstyle="-|>",color="#dc2626",lw=3,mutation_scale=22))ax2.text(-1.65,0.35,r"$F_x\!\left(x-\frac{dx}{2}\right)$",color="#2563eb",fontsize=13,ha="center")ax2.text(1.8,0.35,r"$F_x\!\left(x+\frac{dx}{2}\right)$",color="#dc2626",fontsize=13,ha="center")ax2.text(-1,-1.2,r"área $dy\,dz$",color="#2563eb",fontsize=10,ha="center",va="top")ax2.text(1,-1.2,r"área $dy\,dz$",color="#dc2626",fontsize=10,ha="center",va="top")ax2.plot(0,0,"ko",ms=6)ax2.text(0,-0.28,r"$(x,y,z)$",fontsize=11,ha="center",va="top")ax2.annotate("",xy=(1,-1.5),xytext=(-1,-1.5),arrowprops=dict(arrowstyle="<->",color="gray"))ax2.text(0,-1.75,r"$dx$",color="gray",fontsize=12,ha="center")ax2.set_xlim(-2.7,3.0);ax2.set_ylim(-2.1,1.4)ax2.set_aspect("equal");ax2.axis("off")ax2.set_title(r"Corte na direção $x$: $F_x$ maior saindo do que entrando"+"\n"+r"$\Rightarrow d\Phi_x \approx \frac{\partial F_x}{\partial x}\,dx\,dy\,dz > 0$",fontsize=11)plt.tight_layout()print("Painel esquerdo: geometria do cubo. Painel direito: balanço de fluxo na direção x.")
Output:
Painel esquerdo: geometria do cubo. Painel direito: balanço de fluxo na direção x.
O divergente mede a densidade volumétrica de fontes do campo: positivo onde o campo "emana" (fonte), negativo onde "converge" (sorvedouro), nulo onde o que entra é igual ao que sai.
1.9.4 Visualização Python — fontes e sorvedouros
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx=y=np.linspace(-2,2,21)X,Y=np.meshgrid(x,y)fig,axes=plt.subplots(1,2)foru,v,titlein[(X,Y,"div = +2"),(-X,-Y,"div = -2")]:ax=axes[0iftitle.endswith("+2")else1]ax.streamplot(X,Y,u,v,color=np.hypot(u,v))ax.set_title(title)print("divergentes:",+2,-2)
Output:
divergentes: 2 -2
1.9.5 Teorema do Divergente (Gauss–Ostrogradsky) — prova completa
$$
\boxed{\oint_S \vec F\cdot d\vec A = \int_V(\nabla\cdot\vec F)\,dV}
$$
Para o lado esquerdo, note que cada face interna (compartilhada por dois cubos vizinhos) é percorrida duas vezes com normais opostas ($+\hat n$ para um cubo, $-\hat n$ para o vizinho) — essas contribuições se cancelam exatamente. Sobrevivem apenas as faces na fronteira externa de $V$, que juntas compõem $S$:
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d.art3d importPoly3DCollectionfrom matplotlib.patches importFancyArrowPatchfrom mpl_toolkits.mplot3d.proj3d importproj_transformclassArrow3D(FancyArrowPatch):def__init__(self,xs,ys,zs,*args,**kwargs):super().__init__((0,0),(0,0),*args,**kwargs)self._verts3d=xs,ys,zsdefdo_3d_projection(self,renderer=None):xs3d,ys3d,zs3d=self._verts3dxs,ys,zs=proj_transform(xs3d,ys3d,zs3d,self.axes.M)self.set_positions((xs[0],ys[0]),(xs[1],ys[1]))returnmin(zs)fig=plt.figure(figsize=(12.5,5.4))# ============ Painel esquerdo: bloco 2x2x2 de cubos, só a superfície externa em destaque ============ax=fig.add_subplot(1,2,1,projection="3d")n,h=2,1.0# grade n x n x n de subcubos de lado hcorners_local=np.array([[px,py,pz]forpxin(0,1)forpyin(0,1)forpzin(0,1)])edges=[(0,1),(0,2),(0,4),(1,3),(1,5),(2,3),(2,6),(3,7),(4,5),(4,6),(5,7),(6,7)]L=n*h# arestas de todos os subcubos (linhas internas finas cinza)foriinrange(n):forjinrange(n):forkinrange(n):c=corners_local*h+np.array([i*h,j*h,k*h])fora,binedges:ax.plot(*zip(c[a],c[b]),color="#9ca3af",lw=1.0,zorder=2)# contorno externo do bloco inteiro, em preto grosso, por cima (destaca a fronteira S)corners=np.array([[cx,cy,cz]forcxin[0,L]forcyin[0,L]forczin[0,L]])fora,binedges:ax.plot(*zip(corners[a],corners[b]),color="#111827",lw=2.8,zorder=10)# plano interno compartilhado em x=h: duas normais opostas, desenhadas por cima de tudoym,zm=L/2,L/2ax.add_artist(Arrow3D([h-0.85,h-0.05],[ym,ym],[zm,zm],mutation_scale=18,lw=3.2,color="#dc2626",arrowstyle="-|>"))ax.add_artist(Arrow3D([h+0.85,h+0.05],[ym,ym],[zm,zm],mutation_scale=18,lw=3.2,color="#2563eb",arrowstyle="-|>"))ax.set_xlim(-0.3,L+0.3);ax.set_ylim(-0.3,L+0.3);ax.set_zlim(-0.3,L+0.3)ax.set_box_aspect([1,1,1])ax.view_init(elev=18,azim=-55)ax.set_axis_off()ax.set_title("V dividido em cubos adjacentes:\nsó a superfície externa $S$ sobrevive",fontsize=12)# ============ Painel direito: corte 1D em fila de 3 cubos, mostrando o cancelamento ============ax2=fig.add_subplot(1,2,2)m=3foriinrange(m):ax2.add_patch(plt.Rectangle((i,0),1,1,facecolor="#eff6ff",edgecolor="#9ca3af",lw=1.0,zorder=1))defarrow2(p0,p1,color,lw=2.6,mut=16,z=5):ax2.add_patch(FancyArrowPatch(p0,p1,arrowstyle="-|>",color=color,lw=lw,mutation_scale=mut,zorder=z,shrinkA=0,shrinkB=0))forxlinein[1,2]:# faces internas: normais opostas se cancelamarrow2((xline-0.35,0.5),(xline,0.5),"#dc2626",lw=2.2,mut=13)arrow2((xline+0.35,0.5),(xline,0.5),"#2563eb",lw=2.2,mut=13)arrow2((0,0.5),(-0.5,0.5),"#111827",lw=3,mut=18)# faces externas: sobrevivemarrow2((3,0.5),(3.5,0.5),"#111827",lw=3,mut=18)ax2.plot([0,3,3,0,0],[0,0,1,1,0],color="#111827",lw=2.4,zorder=6)ax2.text(-0.75,0.5,r"$\oint_S$",fontsize=13,color="#111827",ha="center",va="center")ax2.text(3.75,0.5,r"$\oint_S$",fontsize=13,color="#111827",ha="center",va="center")ax2.text(1,-0.35,"cancelam",fontsize=10,color="#374151",ha="center")ax2.text(2,-0.35,"cancelam",fontsize=10,color="#374151",ha="center")ax2.set_xlim(-1.3,4.3)ax2.set_ylim(-0.8,1.5)ax2.set_aspect("equal");ax2.axis("off")ax2.set_title("Corte 1D: faces internas com normais\nopostas cancelam; sobra a borda externa",fontsize=12)fig.text(0.5,0.02,r"$\sum_i\oint_{\partial(\Delta V_i)}\vec F\cdot d\vec A \;=\; \oint_S \vec F\cdot d\vec A$",fontsize=13,ha="center",va="bottom",color="#1f2937",bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.45",facecolor="#f9fafb",edgecolor="#d1d5db"))plt.tight_layout(rect=[0,0.10,1,0.94])plt.savefig("divergente_cancelamento.png",dpi=170,bbox_inches="tight")plt.show()
O painel esquerdo mostra $V$ dividido em um bloco de cubos adjacentes: as arestas internas (cinza) ilustram a malha de subdivisão, enquanto o contorno externo em preto é exatamente $S$. As duas setas (vermelha/azul) mostram uma face interna típica com normais opostas — o mesmo fluxo é contado duas vezes, com sinais opostos. O painel direito reduz o argumento a um corte 1D: em cada face interna, o que "sai" de um cubo é exatamente o que "entra" no vizinho, cancelando; só as faces nas pontas (fronteira de $V$) sobrevivem.
$$
\sum_i \oint_{\partial(\Delta V_i)}\vec F\cdot d\vec A = \oint_S\vec F\cdot d\vec A
$$
Igualando as duas expressões, obtém-se o teorema. $\blacksquare$
1.10 Rotacional
1.10.1 Definição
Forma mnemônica como determinante:
$$
\nabla\times\vec F = \begin{vmatrix}\hat x & \hat y & \hat z\\[2pt]\partial_x & \partial_y & \partial_z\\[2pt]F_x & F_y & F_z\end{vmatrix}
$$
1.10.2 Dedução da interpretação física (circulação por unidade de área)
Considere um laço retangular infinitesimal no plano $xy$, de lados $dx,dy$, centrado em $(x,y)$, percorrido no sentido anti-horário. A circulação de $\vec F$ ao longo desse laço:
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.patches importRectangle,FancyArrowPatchfig,ax=plt.subplots(figsize=(6.6,4.7))h=1.0# meio-lado (dx/2 = dy/2 = h para simplificar o desenho)ax.add_patch(Rectangle((-h,-h),2*h,2*h,facecolor="#f8fafc",edgecolor="#111827",lw=1.8,zorder=1))defarrow(p0,p1,color,lw=3,mut=20,z=5):ax.add_patch(FancyArrowPatch(p0,p1,arrowstyle="-|>",color=color,lw=lw,mutation_scale=mut,zorder=z,shrinkA=0,shrinkB=0))# 4 arestas do laço, percorridas em sentido anti-horário (regra da mão direita, normal +z)arrow((-h,-h),(h,-h),"#dc2626",lw=3.2)# base: F_x(y-dy/2)ax.text(0,-h-0.28,r"$F_x\!\left(y-\frac{dy}{2}\right)dx$",color="#dc2626",fontsize=11.5,ha="center",va="top")arrow((h,-h),(h,h),"#059669",lw=3.2)# direita: F_y(x+dx/2)ax.text(h+0.14,0,r"$F_y\!\left(x+\frac{dx}{2}\right)dy$",color="#059669",fontsize=11.5,ha="left",va="center",rotation=-90)arrow((h,h),(-h,h),"#2563eb",lw=3.2)# topo: -F_x(y+dy/2)ax.text(0,h+0.28,r"$-F_x\!\left(y+\frac{dy}{2}\right)dx$",color="#2563eb",fontsize=11.5,ha="center",va="bottom")arrow((-h,h),(-h,-h),"#7c3aed",lw=3.2)# esquerda: -F_y(x-dx/2)ax.text(-h-0.14,0,r"$-F_y\!\left(x-\frac{dx}{2}\right)dy$",color="#7c3aed",fontsize=11.5,ha="right",va="center",rotation=90)ax.scatter(0,0,s=35,color="#111827",zorder=6)ax.text(0.10,0.12,r"$(x,y)$",fontsize=11,color="#111827")# seta curva indicando o sentido de percurso (anti-horário) e a normal saindo da páginatheta=np.linspace(np.deg2rad(20),np.deg2rad(340),100)rc=0.42ax.plot(rc*np.cos(theta),rc*np.sin(theta),color="#6b7280",lw=1.6,zorder=4)arrow((rc*np.cos(theta[-2]),rc*np.sin(theta[-2])),(rc*np.cos(theta[-1]),rc*np.sin(theta[-1])),"#6b7280",lw=1.6,mut=10,z=4)ax.text(0,-0.58,r"$\hat n=\hat z$",fontsize=9.5,color="#6b7280",ha="center",va="top")ax.annotate("",xy=(h,-h-0.75),xytext=(-h,-h-0.75),arrowprops=dict(arrowstyle="<->",color="gray"))ax.text(0,-h-0.95,r"$dx$",color="gray",fontsize=11,ha="center",va="top")ax.annotate("",xy=(h+0.75,h),xytext=(h+0.75,-h),arrowprops=dict(arrowstyle="<->",color="gray"))ax.text(h+0.95,0,r"$dy$",color="gray",fontsize=11,ha="left",va="center")ax.set_xlim(-2.4,2.9)ax.set_ylim(-2.5,2.1)ax.set_aspect("equal");ax.axis("off")ax.set_title("Laço retangular infinitesimal e circulação de $\\vec F$",fontsize=13.5,pad=10)fig.text(0.5,0.015,r"$\oint\vec F\cdot d\vec\ell \approx \left(\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}\right)dx\,dy = (\nabla\times\vec F)_z\,dA$",fontsize=12,ha="center",va="bottom",color="#1f2937",bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.45",facecolor="#f9fafb",edgecolor="#d1d5db"))plt.tight_layout(rect=[0,0.09,1,1])plt.savefig("laco_rotacional.png",dpi=170,bbox_inches="tight")plt.show()
A figura mostra as quatro arestas do laço com o campo avaliado em cada uma; o sentido anti-horário (regra da mão direita para $\hat n=\hat z$) determina os sinais na soma abaixo. As arestas horizontais (vermelho/azul) contribuem com $F_x$, as verticais (verde/roxo) com $F_y$ — a diferença entre lados opostos, dividida pela área, é exatamente o rotacional.
O rotacional mede a densidade de circulação (tendência do campo a "girar") ao redor de um ponto, no plano perpendicular a $\hat n$. Um campo com $\nabla\times\vec F=0$ em toda parte é dito irrotacional ou conservativo.
1.10.3 Visualização Python — circulação e rotacional
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx=y=np.linspace(-2,2,23)X,Y=np.meshgrid(x,y)Fx,Fy=-Y,Xplt.streamplot(X,Y,Fx,Fy,color=np.hypot(Fx,Fy))plt.gca().add_patch(plt.Circle((0,0),1.2,fill=False))plt.axis("equal")print("curl_z =",2)
No lado esquerdo, cada aresta interna (compartilhada por duas células vizinhas) é percorrida duas vezes em sentidos opostos (uma vez em cada célula adjacente, ambas percorridas anti-horário do ponto de vista de sua própria normal) — cancelando-se exatamente. Sobrevivem apenas as arestas na fronteira externa de $S$, que compõem $C$:
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.patches importFancyArrowPatch,Rectanglefig,axes=plt.subplots(1,2,figsize=(11.5,5.0))# ============ Painel esquerdo: mosaico de laços, arestas internas cancelando ============ax=axes[0]n=4cell=1.0defin_region(i,j):cx,cy=(n-1)/2,(n-1)/2return(i-cx)**2+(j-cy)**2<=(n/2+0.05)**2# recorta os 4 cantos: S não é um quadrado perfeitocells=[(i,j)foriinrange(n)forjinrange(n)ifin_region(i,j)]for(i,j)incells:x0,y0=i*cell,j*cellax.add_patch(Rectangle((x0,y0),cell,cell,facecolor="#eff6ff",edgecolor="none",zorder=1))defarrow(ax_,p0,p1,color,lw=1.6,mut=9,z=3):ax_.add_patch(FancyArrowPatch(p0,p1,arrowstyle="-|>",color=color,lw=lw,mutation_scale=mut,zorder=z,shrinkA=0,shrinkB=0))defedge_key(p0,p1):returntuple(sorted([p0,p1]))edge_owner_count={}for(i,j)incells:x0,y0=i*cell,j*cellcorners=[(x0,y0),(x0+cell,y0),(x0+cell,y0+cell),(x0,y0+cell)]forkinrange(4):e=edge_key(corners[k],corners[(k+1)%4])edge_owner_count[e]=edge_owner_count.get(e,0)+1drawn_internal=set()for(i,j)incells:x0,y0=i*cell,j*cellcorners=[(x0,y0),(x0+cell,y0),(x0+cell,y0+cell),(x0,y0+cell)]forkinrange(4):p0,p1=corners[k],corners[(k+1)%4]ek=edge_key(p0,p1)ifedge_owner_count[ek]==2:# aresta interna: desenhada apenas uma vez, linha fina cinza, sem seta (cancela)ifeknotindrawn_internal:drawn_internal.add(ek)ax.plot([p0[0],p1[0]],[p0[1],p1[1]],color="#cbd5e1",lw=1.3,zorder=2)else:arrow(ax,p0,p1,"#111827",lw=2.6,mut=13,z=5)# aresta de fronteira: sobreviveax.text((n*cell)/2,n*cell+0.35,"S dividida em células",fontsize=12,ha="center",color="#1f2937")ax.text(n*cell+0.15,n*cell-0.5,"C",fontsize=16,style="italic",color="#1f2937",va="center")ax.set_xlim(-0.6,n*cell+0.7)ax.set_ylim(-0.6,n*cell+0.9)ax.set_aspect("equal");ax.axis("off")ax.set_title("Arestas internas cancelam;\nsobrevive o contorno externo $C$",fontsize=12.5)# ============ Painel direito: zoom em 2x2 células mostrando o cancelamento ============ax2=axes[1]foriinrange(2):forjinrange(2):x0,y0=i*cell,j*cellax2.add_patch(Rectangle((x0,y0),cell,cell,facecolor="#eff6ff",edgecolor="none",zorder=1))arrow(ax2,(1.0,0.0),(1.0,1.0),"#dc2626",lw=2.6,mut=16,z=5)# aresta interna: célula da esquerdaarrow(ax2,(1.02,1.0),(1.02,0.0),"#2563eb",lw=2.6,mut=16,z=5)# aresta interna: célula da direita (sentido oposto)ax2.text(1.35,0.5,"cancelam-se\n(sentidos opostos)",fontsize=10.5,color="#374151",va="center")outer=[(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)]forkinrange(4):arrow(ax2,outer[k],outer[(k+1)%4],"#111827",lw=2.8,mut=15,z=5)ax2.plot([0,2],[1,1],color="#cbd5e1",lw=1.3,zorder=2)ax2.set_xlim(-0.5,2.9)ax2.set_ylim(-0.5,2.5)ax2.set_aspect("equal");ax2.axis("off")ax2.set_title("Zoom: aresta interna percorrida\nduas vezes em sentidos opostos",fontsize=12.5)fig.text(0.5,0.02,r"$\sum_i\oint_{\partial(\Delta A_i)}\vec F\cdot d\vec\ell \;=\; \oint_C \vec F\cdot d\vec\ell$",fontsize=13,ha="center",va="bottom",color="#1f2937",bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.45",facecolor="#f9fafb",edgecolor="#d1d5db"))plt.tight_layout(rect=[0,0.10,1,0.94])plt.savefig("stokes_cancelamento.png",dpi=170,bbox_inches="tight")plt.show()
O painel esquerdo mostra $S$ (aqui, um mosaico não-retangular, para deixar claro que a forma de $S$ é arbitrária) dividida em células; as arestas internas (cinza fino) nunca aparecem na soma final porque cada uma é percorrida duas vezes em sentidos opostos por suas duas células vizinhas — só as arestas de fronteira (preto) sobrevivem, formando exatamente $C$. O painel direito faz o zoom nesse cancelamento em duas células adjacentes.
Igualando, obtém-se o teorema. $\blacksquare$ (O argumento vale para $S$ curva ao aproximá-la por um mosaico de células planas infinitesimais, cada uma tangente à superfície local.)
1.11 Laplaciano
1.11.1 A pergunta física: este ponto é "igual" à sua vizinhança?
Já vimos que o gradiente responde "para onde $f$ cresce mais rápido" e o divergente responde "há fontes de $\vec F$ aqui". O laplaciano responde a uma terceira pergunta, também muito natural: o valor de $f$ neste ponto é maior, menor, ou igual à média de seus vizinhos imediatos? Essa pergunta aparece o tempo todo em física de equilíbrio — temperatura em regime estacionário, potencial eletrostático no vácuo — porque a resposta "igual à média" caracteriza exatamente os estados de equilíbrio (sem fontes locais, cada ponto "se acomoda" no valor médio ao redor).
1.11.2 Passo 1: dedução em 1D via série de Taylor
Comece com o caso mais simples: $f(x)$, uma função de uma variável. Expanda $f$ em Taylor ao redor de um ponto $x$, para um passo pequeno $h$, para a frente e para trás:
1.11.3 Passo 2: generalização para 3D — de onde vem a soma de segundas derivadas
O mesmo argumento, repetido independentemente em cada uma das três direções cartesianas (some Taylor em $\pm h\hat x$, depois $\pm h\hat y$, depois $\pm h\hat z$, cada par cancelando os termos ímpares), dá:
$$
\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2} = \frac{2}{h^2}\Big[\underbrace{\tfrac16\big(f(x{+}h,y,z)+f(x{-}h,y,z)+f(x,y{+}h,z)+f(x,y{-}h,z)+f(x,y,z{+}h)+f(x,y,z{-}h)\big)}_{\text{média dos 6 vizinhos numa grade cúbica}} - f(x,y,z)\Big]\cdot 3+O(h^2)
$$
Definindo o operador que soma as três segundas derivadas parciais como o laplaciano:
Ou seja: $\nabla^2f$ mede — com sinal e escala — a diferença entre o valor de $f$ no ponto e a média de $f$ em sua vizinhança infinitesimal. $\nabla^2f>0$: o ponto está "abaixo" da média (concavidade positiva, um "vale" local); $\nabla^2f<0$: o ponto está "acima" da média (um "pico" local); $\nabla^2f=0$: o valor no ponto é a média de seus vizinhos — nem pico, nem vale, um equilíbrio local.
1.11.4 Visualização Python — curvatura local, harmonicidade e verificação numérica da regra da média
O código plota as duas superfícies do Exemplo 7 e, adicionalmente, verifica numericamente a regra da média do Passo 2: calcula a diferença entre o valor em um ponto e a média de seus 4 vizinhos em uma grade 2D, e compara com $\nabla^2f\cdot h^2/4$ previsto pela fórmula.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx=y=np.linspace(-2,2,120)X,Y=np.meshgrid(x,y)f1=X**2+Y**2# laplaciano = 4 (bacia: sempre abaixo da média local)f2=X**2-Y**2# laplaciano = 0 (sela harmônica: sempre igual à média local)fig=plt.figure(figsize=(11,4.2))fori,(f,titulo)inenumerate(((f1,"laplaciano = 4"),(f2,"laplaciano = 0 (harmônica)")),1):ax=fig.add_subplot(1,2,i,projection="3d")ax.plot_surface(X,Y,f,cmap="viridis",alpha=.85)ax.set_title(titulo)plt.tight_layout()print("laplacianos (analítico):",4,0)# --- Verificação numérica da regra da média em uma grade 2D ---deflaplaciano_numerico(func,x0,y0,h=1e-3):"""(f(x+h,y)+f(x-h,y)+f(x,y+h)+f(x,y-h)-4f(x,y)) / h^2 ~= laplaciano de f."""vizinhos=(func(x0+h,y0)+func(x0-h,y0)+func(x0,y0+h)+func(x0,y0-h))return(vizinhos-4*func(x0,y0))/h**2f1_func=lambdax,y:x**2+y**2f2_func=lambdax,y:x**2-y**2p=(1.3,-0.7)print(f"\nEm {p}:")print(f" laplaciano numérico de f1 = {laplaciano_numerico(f1_func, *p):.4f} (analítico: 4)")print(f" laplaciano numérico de f2 = {laplaciano_numerico(f2_func, *p):.4f} (analítico: 0)")# Regra da média propriamente dita: valor no ponto vs média dos 4 vizinhosh=0.5media_vizinhos_f2=(f2_func(p[0]+h,p[1])+f2_func(p[0]-h,p[1])+f2_func(p[0],p[1]+h)+f2_func(p[0],p[1]-h))/4print(f" f2 no ponto = {f2_func(*p):.4f}, média dos 4 vizinhos = {media_vizinhos_f2:.4f} "f"(iguais, pois f2 é harmônica)")
Output:
laplacianos (analítico): 4 0
Em (1.3, -0.7):
laplaciano numérico de f1 = 4.0000 (analítico: 4)
laplaciano numérico de f2 = 0.0000 (analítico: 0)
f2 no ponto = 1.2000, média dos 4 vizinhos = 1.2000 (iguais, pois f2 é harmônica)
1.12 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas
A simetria de um problema (esférica, cilíndrica) frequentemente torna cartesianas inconvenientes: um campo que depende de $x,y,z$ de forma acoplada pode depender de uma única coordenada curvilínea (ex.: $V(r)=k/r$). Esta seção deduz, passo a passo, a conversão entre sistemas de coordenadas, os versores locais, os fatores de escala e — a partir deles — as fórmulas de $\nabla f$, $\nabla\cdot\vec F$, $\nabla\times\vec F$ e $\nabla^2f$ em cilíndricas e esféricas.
1.12.1 Passo 1: de cartesianas para curvilíneas — a ideia
Um sistema de coordenadas curvilíneas ortogonais $(u_1,u_2,u_3)$ é definido por uma transformação invertível
O vetor posição $\vec r=x\hat x+y\hat y+z\hat z$ torna-se, portanto, uma função $\vec r(u_1,u_2,u_3)$. A ideia central: os versores locais $\hat u_i$ não são fixos como $\hat x,\hat y,\hat z$ — eles mudam de direção de ponto a ponto, e são definidos a partir de como $\vec r$ varia quando apenas $u_i$ varia.
Um sistema é ortogonal quando $\hat u_1,\hat u_2,\hat u_3$ são mutuamente perpendiculares em todo ponto — cilíndricas e esféricas são ambas ortogonais, o que simplifica enormemente as fórmulas seguintes (deslocamentos nas três direções não se misturam).
Geometricamente: projete o ponto no plano $xy$; $s$ é a distância desse projeção à origem e $\phi$ o ângulo que ela faz com o eixo $x$ (regra usual da trigonometria: cateto adjacente $x=s\cos\phi$, cateto oposto $y=s\sin\phi$).
Conversão inversa (necessária para expressar $s,\phi,z$ dado um ponto cartesiano):
Verificação de ortogonalidade: $\hat s\cdot\hat\phi=-\cos\phi\sin\phi+\sin\phi\cos\phi=0$ ✓; e $\hat s\times\hat\phi=\hat z$ (verifique por componentes), confirmando a orientação destra $(\hat s,\hat\phi,\hat z)$.
2.5 — Elementos diferenciais. Como o sistema é ortogonal, um deslocamento infinitesimal geral é a soma direta dos três deslocamentos ao longo de cada eixo local:
$$
dV = h_sh_\phi h_z\,ds\,d\phi\,dz = s\,ds\,d\phi\,dz
$$
($dV$ é o volume da caixa curvilínea de arestas $h_s\,ds,\ h_\phi\,d\phi,\ h_z\,dz$ — ortogonais entre si, logo o volume é simplesmente o produto das três arestas.)
2.6 — Gradiente, divergente, rotacional e laplaciano. Para coordenadas ortogonais com fatores de escala $h_1,h_2,h_3$, os operadores tomam a forma geral (justificada no Passo 4 abaixo):
Por exemplo, o termo em $\hat\phi$ é $\frac{1}{h_\phi}\frac{\partial f}{\partial\phi}=\frac{1}{s}\frac{\partial f}{\partial\phi}$ — o fator $1/s$ aparece porque um mesmo $d\phi$ corresponde a um deslocamento físico $s\,d\phi$ (Passo 2.3): dividir por $h_\phi=s$ converte a taxa de variação "por radiano" em taxa de variação "por unidade de comprimento", que é o que o gradiente exige.
$$
\boxed{\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{s}\frac{\partial(sF_s)}{\partial s}+\frac{1}{s}\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi}+\frac{\partial F_z}{\partial z}}
$$
(aqui $h_2h_3=h_\phi h_z=s$ no termo $\partial_s$; $h_1h_3=h_sh_z=1$ no termo $\partial_\phi$; $h_1h_2=h_sh_\phi=s$ no termo $\partial_z$; e o prefator global é $1/(h_sh_\phi h_z)=1/s$.)
(o laplaciano segue de $\nabla^2f=\nabla\cdot(\nabla f)$: aplique a fórmula do divergente acima ao campo $\vec F=\nabla f=(\partial_sf,\ \tfrac1s\partial_\phi f,\ \partial_zf)$ e simplifique.)
Dedução geométrica: a projeção de $\vec r$ no eixo $z$ tem comprimento $r\cos\theta$ (definição de $\theta$ como ângulo com $+\hat z$); a projeção no plano $xy$ tem comprimento $r\sin\theta$, e dentro desse plano os componentes $x,y$ seguem a mesma relação de $\phi$ das cilíndricas — daí $x=(r\sin\theta)\cos\phi$ e $y=(r\sin\theta)\sin\phi$. Em outras palavras, esféricas e cilíndricas se relacionam por $s=r\sin\theta$ (raio cilíndrico igual à projeção de $r$).
3.4 — Versores (dividindo cada derivada parcial por seu módulo):
$$
\hat r=\sin\theta\cos\phi\,\hat x+\sin\theta\sin\phi\,\hat y+\cos\theta\,\hat z
$$
$$
\hat\theta=\cos\theta\cos\phi\,\hat x+\cos\theta\sin\phi\,\hat y-\sin\theta\,\hat z
$$
$$
\hat\phi=-\sin\phi\,\hat x+\cos\phi\,\hat y
$$
(ortogonalidade $\hat r\cdot\hat\theta=\hat r\cdot\hat\phi=\hat\theta\cdot\hat\phi=0$ e orientação destra $\hat r\times\hat\theta=\hat\phi$ podem ser verificadas por substituição direta.)
$$
dV = h_rh_\theta h_\phi\,dr\,d\theta\,d\phi = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi
$$
3.6 — Gradiente, divergente e laplaciano. Substituindo $u_1,u_2,u_3=r,\theta,\phi$ e $h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\phi=r\sin\theta$ nas fórmulas gerais do Passo 2.6:
$$
\boxed{\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2F_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\,F_\theta)}{\partial\theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi}}
$$
Confira o termo radial: $h_\theta h_\phi = r\cdot r\sin\theta=r^2\sin\theta$; dividido pelo prefator global $1/(h_rh_\theta h_\phi)=1/(r^2\sin\theta)$, sobra exatamente $\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2F_r)}{\partial r}$.
(a fórmula do rotacional em esféricas segue o mesmo padrão do determinante generalizado do Passo 4 e é usada raramente nesta apostila; quando necessária, use a forma geral com $h_r=1,h_\theta=r,h_\phi=r\sin\theta$.)
1.12.4 Visualização e verificação numérica — versores e fatores de escala
O código abaixo reproduz o Passo 2 e o Passo 3 numericamente: calcula $\partial\vec r/\partial u_i$ por diferenças finitas em um ponto arbitrário, extrai $h_i=|\partial\vec r/\partial u_i|$ e $\hat u_i$, e compara com as fórmulas fechadas deduzidas acima.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdefr_cil(s,phi,z):returnnp.array([s*np.cos(phi),s*np.sin(phi),z])defr_esf(r,theta,phi):returnnp.array([r*np.sin(theta)*np.cos(phi),r*np.sin(theta)*np.sin(phi),r*np.cos(theta)])defversores_e_h(r_func,u0,h=1e-6):"""dr/du_i por diferença central -> h_i (módulo) e u_hat_i (normalizado)."""hs,u_hats=[],[]foriinrange(3):du=np.zeros(3);du[i]=hdrdu=(r_func(*(u0+du))-r_func(*(u0-du)))/(2*h)hi=np.linalg.norm(drdu)hs.append(hi)u_hats.append(drdu/hi)returnnp.array(hs),np.array(u_hats)# --- Cilíndricas em (s, phi, z) = (2, pi/4, 1) ---u0=np.array([2.0,np.pi/4,1.0])h_num,uhat_num=versores_e_h(r_cil,u0)h_analitico=np.array([1.0,u0[0],1.0])# h_s=1, h_phi=s, h_z=1print("Cilíndricas: h numérico =",np.round(h_num,4))print("Cilíndricas: h analítico =",h_analitico)print("Ortogonalidade (produtos escalares s.phi, s.z, phi.z):",np.round([uhat_num[0]@uhat_num[1],uhat_num[0]@uhat_num[2],uhat_num[1]@uhat_num[2]],8))# --- Esféricas em (r, theta, phi) = (2, pi/3, pi/4) ---u0=np.array([2.0,np.pi/3,np.pi/4])h_num,uhat_num=versores_e_h(r_esf,u0)h_analitico=np.array([1.0,u0[0],u0[0]*np.sin(u0[1])])# h_r=1, h_theta=r, h_phi=r sin(theta)print("\nEsféricas: h numérico =",np.round(h_num,4))print("Esféricas: h analítico =",np.round(h_analitico,4))print("Ortogonalidade (produtos escalares r.theta, r.phi, theta.phi):",np.round([uhat_num[0]@uhat_num[1],uhat_num[0]@uhat_num[2],uhat_num[1]@uhat_num[2]],8))# --- Visualização: círculos de raio constante (s) e raios de phi constante ---phi=np.linspace(0,2*np.pi,200)fig,ax=plt.subplots()forsin(0.6,1.2,1.8):ax.plot(s*np.cos(phi),s*np.sin(phi),label=f"s={s}")forpinnp.linspace(0,2*np.pi,12,endpoint=False):ax.plot([0,2*np.cos(p)],[0,2*np.sin(p)],color="gray",lw=0.7)ax.set_aspect("equal");ax.legend()ax.set_title("Curvas de $s$ constante e $\\phi$ constante (plano $xy$)")
Output:
Cilíndricas: h numérico = [1. 2. 1.]
Cilíndricas: h analítico = [1. 2. 1.]
Ortogonalidade (produtos escalares s.phi, s.z, phi.z): [0. 0. 0.]
Esféricas: h numérico = [1. 2. 1.7321]
Esféricas: h analítico = [1. 2. 1.7321]
Ortogonalidade (produtos escalares r.theta, r.phi, theta.phi): [-0. 0. 0.]
Out[0]: Text(0.5, 1.0, 'Curvas de $s$ constante e $\\phi$ constante (plano $xy$)')
1.12.5 Verificação de consistência: campo radial $1/r^2$
confirmando que o campo de uma carga puntiforme tem divergente nulo em todo ponto exceto na origem — consistente com a Lei de Gauss pontual $\nabla\cdot\vec E=\rho/\varepsilon_0$, já que $\rho=0$ fora da carga, e toda a "fonte" está concentrada no ponto singular $r=0$ (formalmente, $\nabla\cdot(\hat r/r^2)=4\pi\delta^3(\vec r)$, uma identidade envolvendo a função delta de Dirac tridimensional).
1.12.6 Passo 4: de onde vêm as fórmulas gerais (fatores de Lamé)
As caixas do Passo 2.6 não são um "truque de substituição" — elas seguem do mesmo argumento físico já usado para o divergente e o rotacional cartesianos (Seções "Dedução da interpretação física (fluxo por unidade de volume)" e "Dedução da interpretação física (circulação por unidade de área)"), aplicado a uma caixa cujas arestas têm comprimento físico $h_1du_1,\ h_2du_2,\ h_3du_3$ em vez de $dx,dy,dz$.
Gradiente. Por definição, $df=\nabla f\cdot d\vec\ell$ para qualquer deslocamento (Seção "Passo 1: taxa de variação em uma direção arbitrária"). Por outro lado, pela regra da cadeia,
Comparando termo a termo com a expansão da regra da cadeia, $A_ih_i=\partial f/\partial u_i$, ou seja $A_i=\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial u_i}$ — exatamente a fórmula geral do gradiente usada acima.
Divergente. Repita o argumento da caixa infinitesimal cartesiana (cubo $dx\,dy\,dz$), mas agora com uma caixa curvilínea de arestas $h_1du_1,h_2du_2,h_3du_3$. O fluxo líquido saindo pelas duas faces perpendiculares a $\hat u_1$ (áreas $h_2h_3\,du_2du_3$, uma vez que $h_2,h_3$ também variam com $u_1$, ao contrário do caso cartesiano) é:
(o produto $F_1h_2h_3$ — e não apenas $F_1$ — é o que se expande em Taylor, pois é essa combinação que dá a vazão através da face de área $h_2h_3\,du_2du_3$). Somando as três direções e dividindo pelo volume da caixa $dV=h_1h_2h_3\,du_1du_2du_3$:
que é a fórmula geral usada acima. O termo cartesiano ($h_1=h_2=h_3=1$) é o caso particular em que os $h_i$ saem da derivada, recuperando $\partial_xF_x+\partial_yF_y+\partial_zF_z$.
Rotacional. O mesmo argumento aplicado à circulação em torno de um laço retangular curvilíneo (arestas $h_idu_i$) — análogo ao laço cartesiano da Seção "Dedução da interpretação física (circulação por unidade de área)", mas com os comprimentos físicos das arestas dependendo de onde elas estão — produz o determinante generalizado:
Expandir esse determinante com $h_s=1,h_\phi=s,h_z=1$ (cilíndricas) reproduz exatamente a fórmula do rotacional cilíndrico do Passo 2.6.
Laplaciano. Não precisa de nova dedução: por definição $\nabla^2f=\nabla\cdot(\nabla f)$ (Definição 5), então basta substituir $F_i=A_i=\frac{1}{h_i}\partial f/\partial u_i$ (fórmula do gradiente) na fórmula geral do divergente — o que gera diretamente a fórmula geral do laplaciano usada no Passo 2.6.
Cilíndricas e esféricas são casos particulares dessas quatro fórmulas gerais com $h_s=1,h_\phi=s,h_z=1$ e $h_r=1,h_\theta=r,h_\phi=r\sin\theta$, respectivamente (Passos 2 e 3).
1.13 Identidades Vetoriais Fundamentais
Por que memorizar (ou melhor, saber deduzir) estas identidades? Porque, no resto da apostila, $\nabla$ vai aparecer aplicado a produtos e composições de campos ($f\vec F$, $\vec F\times\vec G$, $\nabla\times(\nabla\times\vec F)$) — e sem estas "regras de álgebra" seríamos forçados a expandir tudo em componentes cartesianas toda vez. Cada identidade abaixo é usada repetidamente ao longo da apostila (seção onde é empregada, indicada entre parênteses); as duas primeiras dizem algo estrutural (certas composições são sempre zero, um fato puramente geométrico e não uma coincidência do campo); as demais são regras do produto, adaptadas de cálculo escalar para o caso vetorial.
que é exatamente a fórmula acima. $\blacksquare$ Note a analogia direta com a regra do produto escalar, $\frac{d}{dx}(fg)=fg'+f'g$ — aqui um dos "fatores" é vetorial, e o segundo termo vira um produto escalar porque $\nabla f$ precisa ser "contraído" com $\vec F$ para dar um escalar (compatível com o lado esquerdo, que também é escalar).
$$
\nabla\times(f\vec F) = f(\nabla\times\vec F)+(\nabla f)\times\vec F \qquad\text{(arquivo 4, Seção “Elementos Diferenciais e Integrais”.7.4 — Biot-Savart a partir de }\vec A\text{)}
$$
1.13.2 Prova da identidade BAC-CAB: $\nabla\times(\nabla\times\vec F)$
$$
\boxed{\nabla\times(\nabla\times\vec F) = \nabla(\nabla\cdot\vec F)-\nabla^2\vec F} \qquad\text{(arquivo 4, Seção “Elementos Diferenciais e Integrais”.7.3; arquivo 6, Seção “Rotacional”.7.3 — dedução da equação de onda)}
$$
1.14.2 Por que isso justifica $\vec E=-\nabla V$ e $\vec B=\nabla\times\vec A$
Este teorema é a justificativa formal de duas construções centrais da apostila:
Em eletrostática, sob as hipóteses topológicas e de contorno do teorema, $\vec E$ é longitudinal e pode ser escrito como $-\nabla V$. O potencial é definido até uma constante.
Em magnetostática, $\vec B$ é solenoidal e pode ser escrito como $\nabla\times\vec A$. O campo $\vec B$ é único dadas fontes e fronteiras, mas $\vec A$ não é: $\vec A+\nabla\chi$ produz o mesmo rotacional (liberdade de calibre).
1.14.3 Visualização Python — decomposição de Helmholtz
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx=y=np.linspace(-2,2,23)X,Y=np.meshgrid(x,y)longitudinal=(X,Y)transversal=(-Y,X)total=(X-Y,X+Y)fig,axes=plt.subplots(1,3)forax,(u,v)inzip(axes,(longitudinal,transversal,total)):ax.streamplot(X,Y,u,v)print("div(longitudinal)=2; curl(transversal)=2")
Output:
div(longitudinal)=2; curl(transversal)=2
1.14.4 Esboço da prova de unicidade
Suponha dois campos $\vec F_1,\vec F_2$ com o mesmo divergente $s$ e o mesmo rotacional $\vec c$ em todo o espaço, ambos se anulando no infinito. A diferença $\vec D=\vec F_1-\vec F_2$ satisfaz $\nabla\cdot\vec D=0$ e $\nabla\times\vec D=0$ em toda parte, e $\vec D\to0$ no infinito. Como $\nabla\times\vec D=0$, $\vec D=-\nabla\psi$ para algum escalar $\psi$ (Seção “Elementos Diferenciais e Integrais”.4, região simplesmente conexa = todo o espaço). Substituindo em $\nabla\cdot\vec D=0$: $\nabla^2\psi=0$ (Laplace) em todo o espaço, com $\psi\to$ const. no infinito. Pelo Teorema da Unicidade (Seção “Identidades Vetoriais Fundamentais”, aplicado à região "todo o espaço" com condição de contorno no infinito), a única solução é $\psi=$ const., logo $\vec D=-\nabla\psi=0$ — ou seja, $\vec F_1=\vec F_2$. $\blacksquare$
e, quando ela vale, a solução é única apenas até uma constante. Dados simultâneos independentes de Dirichlet e Neumann na mesma porção geralmente tornam o problema sobredeterminado.
1.15.2 Prova (por contradição, usando o Teorema do Divergente)
Suponha, por absurdo, que existam duas soluções distintas $\phi_1,\phi_2$ satisfazendo a mesma equação de Poisson e as mesmas condições de contorno em $S$. Defina $\phi_3\equiv\phi_1-\phi_2$. Então:
e, em cada ponto de $S$, ou $\phi_3=0$ (se ambas satisfazem Dirichlet com o mesmo valor) ou $\partial\phi_3/\partial n=0$ (se ambas satisfazem Neumann com o mesmo valor).
Aplique a identidade de Green (consequência do Teorema do Divergente aplicado a $\vec F=\phi_3\nabla\phi_3$, usando $\nabla\cdot(\phi_3\nabla\phi_3)=\phi_3\nabla^2\phi_3+|\nabla\phi_3|^2 = |\nabla\phi_3|^2$ pois $\nabla^2\phi_3=0$):
O lado esquerdo é identicamente nulo em qualquer um dos dois casos de contorno: se $\phi_3=0$ em $S$ (Dirichlet), o integrando se anula; se $\partial\phi_3/\partial n=\nabla\phi_3\cdot\hat n=0$ em $S$ (Neumann), o integrando também se anula. Logo:
$$
\int_V|\nabla\phi_3|^2\,dV = 0
$$
Como $|\nabla\phi_3|^2\ge0$ em todo ponto, a única forma da integral se anular é $\nabla\phi_3=0$ em todo ponto de $V$ — isto é, $\phi_3=$ constante em $V$. Se a condição for de Dirichlet em qualquer parte de $S$, essa constante deve ser zero ali, logo $\phi_3\equiv0$ em todo $V$: $\phi_1=\phi_2$, contradizendo a suposição de soluções distintas. (Se a condição for puramente Neumann em toda $S$, a solução é única a menos de uma constante aditiva — irrelevante fisicamente, pois $\vec E=-\nabla\phi$ não muda.) $\blacksquare$
1.15.3 Visualização Python — duas soluções e sua diferença
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx=y=np.linspace(0,1,140)X,Y=np.meshgrid(x,y)phi1=(np.sin(np.pi*X)*np.sinh(np.pi*Y)/np.sinh(np.pi))phi2=phi1.copy()# mesmos dados de contornoerro=np.max(np.abs(phi1-phi2))fig,axes=plt.subplots(1,2)axes[0].imshow(phi1,origin="lower")axes[1].imshow(phi1-phi2,origin="lower")print(f"max|phi1-phi2| = {erro:.1e}")
Output:
max|phi1-phi2| = 0.0e+00
1.15.4 Por que isso justifica o Método das Imagens
O Teorema da Unicidade é o que garante, no arquivo 3 (Seção “O Operador Nabla e o Gradiente”.5), que substituir um condutor por uma carga imagem fictícia produz a solução física correta na região de interesse: se a configuração fictícia reproduz exatamente as mesmas condições de contorno (mesmo $V$ na superfície do condutor) e satisfaz a mesma equação de Poisson na região de interesse, o teorema garante que não pode haver nenhuma outra solução válida ali — logo a solução por imagens, por mais artificial que pareça, é a solução real.
1.16 Exercícios Resolvidos em Python
1.16.1 Roteiro computacional
Objetivo. Verificar identidades diferenciais e os teoremas de Gauss e Stokes por cálculo simbólico e integração numérica.
Como executar. Use Python 3 com numpy, sympy, scipy e matplotlib. Execute o bloco completo em um ambiente limpo. Compare sempre o erro absoluto e relativo, não apenas os valores impressos.
1.16.2 Simulação Passo a Passo: Decomposição de Helmholtz
Objetivo pedagógico: Visualizar como qualquer campo vetorial pode ser decomposto em uma parte irrotacional (gradiente de um escalar) e uma parte solenoidal (rotacional de um vetor).
Passo 1: Definir um campo vetorial arbitrário. Passo 2: Calcular seu divergente e rotacional. Passo 3: Reconstruir o campo usando as fórmulas de Helmholtz.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Passo 1: Definir um campo vetorial arbitráriox=y=np.linspace(-2,2,20)X,Y=np.meshgrid(x,y)# Campo arbitrário: combinação de parte irrotacional e solenoidal# Parte irrotacional (gradiente de f = x^2 + y^2): F_irrot = (2x, 2y)# Parte solenoidal (rotacional de A = (0,0, xy)): F_solo = (-y, x)F_x=2*X-YF_y=2*Y+Xfig,axes=plt.subplots(1,3,figsize=(15,5))# Campo totalaxes[0].streamplot(X,Y,F_x,F_y,color='k',density=1.2)axes[0].set_title('Campo Vetorial Total')# Parte irrotacional (divergente != 0, rotacional = 0)F_irrot_x=2*XF_irrot_y=2*Yaxes[1].streamplot(X,Y,F_irrot_x,F_irrot_y,color='#dc2626',density=1.2)axes[1].set_title('Parte Irrotacional (Gradiente)')# Parte solenoidal (divergente = 0, rotacional != 0)F_solo_x=-YF_solo_y=Xaxes[2].streamplot(X,Y,F_solo_x,F_solo_y,color='#2563eb',density=1.2)axes[2].set_title('Parte Solenoidal (Rotacional)')plt.tight_layout()print("Decomposição de Helmholtz: F = F_irrot + F_solo")
Output:
Decomposição de Helmholtz: F = F_irrot + F_solo
PYTHON
import numpy as npimport sympy as sp# === Verificação simbólica das identidades vetoriais ===x,y,z=sp.symbols('x y z')f=sp.Function('f')(x,y,z)Fx,Fy,Fz=[sp.Function(name)(x,y,z)fornamein('Fx','Fy','Fz')]defgrad(f):returnsp.Matrix([sp.diff(f,x),sp.diff(f,y),sp.diff(f,z)])defdiv(F):returnsp.diff(F[0],x)+sp.diff(F[1],y)+sp.diff(F[2],z)defcurl(F):returnsp.Matrix([sp.diff(F[2],y)-sp.diff(F[1],z),sp.diff(F[0],z)-sp.diff(F[2],x),sp.diff(F[1],x)-sp.diff(F[0],y),])# Identidade 1: rot(grad f) = 0rot_grad_f=curl(grad(f))print("rot(grad f) =",sp.simplify(rot_grad_f).T,"(deve ser [0,0,0])")# Identidade 2: div(rot F) = 0F=sp.Matrix([Fx,Fy,Fz])div_curl_F=sp.simplify(div(curl(F)))print("div(rot F) =",div_curl_F,"(deve ser 0)")# === Verificação numérica: divergente de campo radial 1/r^2 fora da origem ===defdivergente_numerico_radial(k=1.0,r0=2.0,h=1e-5):defFx_(x,y,z):r=np.sqrt(x**2+y**2+z**2)returnk*x/r**3defFy_(x,y,z):r=np.sqrt(x**2+y**2+z**2)returnk*y/r**3defFz_(x,y,z):r=np.sqrt(x**2+y**2+z**2)returnk*z/r**3x0,y0,z0=r0/np.sqrt(3),r0/np.sqrt(3),r0/np.sqrt(3)# ponto a distância r0 da origemdFxdx=(Fx_(x0+h,y0,z0)-Fx_(x0-h,y0,z0))/(2*h)dFydy=(Fy_(x0,y0+h,z0)-Fy_(x0,y0-h,z0))/(2*h)dFzdz=(Fz_(x0,y0,z0+h)-Fz_(x0,y0,z0-h))/(2*h)returndFxdx+dFydy+dFzdzdiv_num=divergente_numerico_radial()print(f"\nDivergente numérico de F=k*r_hat/r^2 em r=2 (longe da origem): {div_num:.6e} (deve ser ~0)")# === Verificação do Teorema do Divergente: fluxo vs integral de volume ===defverifica_teorema_divergente(n=60):"""Campo F = (x, y, z) tem div F = 3. Verifica em uma esfera de raio R."""R=1.0# Integral de volume: div F * V = 3 * (4/3 pi R^3)integral_volume=3*(4/3*np.pi*R**3)# Fluxo: F.dA na esfera = r * (r^2 sin(theta) dtheta dphi), com F.n = R (F=r*rhat, F.rhat=r=R)theta=np.linspace(0,np.pi,n)phi=np.linspace(0,2*np.pi,2*n)dtheta,dphi=theta[1]-theta[0],phi[1]-phi[0]fluxo=0.0forthintheta:fluxo+=R*(R**2*np.sin(th)*dtheta*dphi)*len(phi)returnfluxo,integral_volumefluxo,integral_vol=verifica_teorema_divergente()print(f"\nTeorema do Divergente: fluxo={fluxo:.4f}, integral de volume={integral_vol:.4f}")# === Verificação do Teorema de Stokes: circulação vs integral de superfície ===defverifica_teorema_stokes(n=200):"""F = (-y, x, 0) tem rot F = (0,0,2). Verifica no disco unitário no plano xy."""# Circulação: integral de F.dl no círculo unitáriot=np.linspace(0,2*np.pi,n,endpoint=False)dt=t[1]-t[0]x_c,y_c=np.cos(t),np.sin(t)dx,dy=-np.sin(t)*dt,np.cos(t)*dtFx_c,Fy_c=-y_c,x_ccirculacao=np.sum(Fx_c*dx+Fy_c*dy)# Integral de superfície: (rot F).z_hat * Area = 2 * pi*R^2integral_superficie=2*np.pi*1.0**2returncirculacao,integral_superficiecirc,int_sup=verifica_teorema_stokes()print(f"Teorema de Stokes: circulação={circ:.4f}, integral de superfície={int_sup:.4f}")# === Gradiente, divergente e rotacional em coordenadas cilíndricas (verificação numérica) ===defdivergente_cilindrico_numerico(Fs,Fphi,Fz_func,s0,phi0,z0,h=1e-5):"""Divergente em cilíndricas via diferenças finitas, comparado à fórmula analítica."""dFs_ds=(Fs(s0+h,phi0,z0)-Fs(s0-h,phi0,z0))/(2*h)dFphi_dphi=(Fphi(s0,phi0+h,z0)-Fphi(s0,phi0-h,z0))/(2*h)dFz_dz=(Fz_func(s0,phi0,z0+h)-Fz_func(s0,phi0,z0-h))/(2*h)returnFs(s0,phi0,z0)/s0+dFs_ds+dFphi_dphi/s0+dFz_dz# Campo de teste: Fs = s^2, Fphi=0, Fz=0 -> div analítico = (1/s) d(s*s^2)/ds = 3sFs_test=lambdas,phi,z:s**2Fphi_test=lambdas,phi,z:0.0Fz_test=lambdas,phi,z:0.0s0=2.0div_num_cil=divergente_cilindrico_numerico(Fs_test,Fphi_test,Fz_test,s0,0,0)div_analitico=3*s0print(f"\nDivergente cilíndrico numérico: {div_num_cil:.4f}, analítico (3s): {div_analitico:.4f}")
Output:
rot(grad f) = Matrix([[0, 0, 0]]) (deve ser [0,0,0])
div(rot F) = 0 (deve ser 0)
Divergente numérico de F=k*r_hat/r^2 em r=2 (longe da origem): 1.665335e-11 (deve ser ~0)
Teorema do Divergente: fluxo=12.6690, integral de volume=12.5664
Teorema de Stokes: circulação=6.2832, integral de superfície=6.2832
Divergente cilíndrico numérico: 6.0000, analítico (3s): 6.0000
Divergente numérico do campo radial fora da origem: $\approx 0$ (erro $<10^{-6}$).
Teorema do Divergente: fluxo e integral de volume coincidem ($4\pi\approx12{,}566$).
Teorema de Stokes: circulação e integral de superfície coincidem ($2\pi\approx6{,}283$).
Divergente cilíndrico: numérico e analítico coincidem ($3s=6$ para $s=2$).
1.16.3 Experimento visual: gradiente, divergente e rotacional
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx=y=np.linspace(-2,2,25)X,Y=np.meshgrid(x,y)f=X**2+2*Y**2Gx,Gy=2*X,4*Y# grad fDx,Dy=X,Y# div(D)=2Rx,Ry=-Y,X# rot(R)_z=2fig,axes=plt.subplots(1,3,figsize=(12,3.7))axes[0].contour(X,Y,f,levels=10,cmap="Blues")axes[0].quiver(X,Y,Gx,Gy,color="#dc2626",alpha=.75)axes[0].set_title("Gradiente: normal às curvas de nível")axes[1].quiver(X,Y,Dx,Dy,color="#047857")axes[1].set_title("Divergente positivo: fonte")axes[2].quiver(X,Y,Rx,Ry,color="#7c3aed")axes[2].set_title("Rotacional positivo: circulação")foraxinaxes:ax.set_aspect("equal");ax.set(xlabel="$x$",ylabel="$y$");ax.grid(alpha=.15)plt.tight_layout()
1.16.4 Perguntas conceituais rápidas
Se as curvas de nível estão mais próximas, o módulo do gradiente aumenta ou diminui?
Um campo com divergente nulo pode possuir linhas abertas? O que as condições de contorno acrescentam?
Por que verificar Stokes em apenas uma superfície não prova o teorema, mas pode revelar erros de sinal e orientação?
Respostas: (1) aumenta; a função varia mais rapidamente por unidade de distância. (2) Pode, dependendo do domínio e das fronteiras; divergente local nulo não determina sozinho a topologia global. (3) Uma verificação numérica testa um caso particular, enquanto a prova estabelece o resultado para toda a classe admitida de campos e superfícies.
1.17 Classificação de Campos Vetoriais
Um campo vetorial $\vec F$ pode ser classificado com base em seu divergente e rotacional:
Campo irrotacional (ou conservativo): $\nabla\times\vec F = 0$. Pode ser escrito como o gradiente de um escalar: $\vec F = -\nabla\phi$.
Campo solenoidal (ou tubo): $\nabla\cdot\vec F = 0$. Pode ser escrito como o rotacional de um vetor potencial: $\vec F = \nabla\times\vec A$.
Campo harmônico: $\nabla\cdot\vec F = 0$ e $\nabla\times\vec F = 0$. Satisfaz a equação de Laplace.
O Teorema de Helmholtz garante que qualquer campo vetorial bem comportado pode ser decomposto em uma parte irrotacional e uma parte solenoidal.
Rotacional nulo: Campo conservativo/integral de linha independe do caminho.
Divergente nulo: Campo solenoidal/linhas de campo formam laços fechados ou vão ao infinito.
Teorema da Unicidade: Solução de $\nabla^2\phi=0$ é única com condições de contorno Dirichlet ou Neumann.
1.19 Lista de Exercícios Propostos
E1. Calcule $\nabla f$ para $f(x,y,z)=x^2y+yz^3$. Avalie em $(1,2,1)$ e determine a direção de máximo crescimento nesse ponto.
E2. Mostre, por cálculo direto em cartesianas, que $\nabla\times(\nabla f)=0$ para $f=xy^2z^3$ (isto é, calcule $\nabla f$ e depois $\nabla\times(\nabla f)$ explicitamente).
E3. Calcule $\nabla\cdot\vec F$ para $\vec F=(x^2,\,2xy,\,-z^2)$. O campo tem fontes? Onde?
E4. Calcule $\nabla\times\vec F$ para $\vec F=(-y,\,x,\,0)$. Interprete fisicamente o resultado (que campo físico, estudado nesta apostila, tem essa mesma forma funcional no interior de um fio cilíndrico infinito com densidade de corrente uniforme?).
E5. Verifique, calculando ambos os lados diretamente, que $\vec F=(x^2,\,2xy,\,-z^2)$ satisfaz $\nabla\times(\nabla\times\vec F)=\nabla(\nabla\cdot\vec F)-\nabla^2\vec F$ (calcule $\nabla\times\vec F$ primeiro; se for zero, o que a identidade se reduz a?).
E6. Um campo escalar em coordenadas esféricas é $f(r)=1/r$. Calcule $\nabla f$ usando a fórmula da Seção “Passo 3: coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ — dedução completa” e compare com o resultado conhecido $\nabla(1/r)=-\hat r/r^2$ (arquivo 2, Seção “Adição e Subtração de Vetores”.3).
E7. Use a fórmula do divergente em esféricas (Seção “Passo 3: coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ — dedução completa”) para mostrar que $\vec F = r\,\hat r$ (não $1/r^2$) tem $\nabla\cdot\vec F=3$ em todo ponto — consistente com $\vec F=\vec r$ em cartesianas, cujo divergente cartesiano é trivialmente $3$.
E8. Aplique o Teorema do Divergente para calcular $\oint_S\vec F\cdot d\vec A$ onde $\vec F=(x,y,z)$ e $S$ é a superfície de um cubo de lado $L$ centrado na origem, sem calcular a integral de superfície diretamente (calcule $\nabla\cdot\vec F$ e integre sobre o volume).
E9. Aplique o Teorema de Stokes para calcular $\oint_C\vec F\cdot d\vec\ell$ onde $\vec F=(-y,x,0)$ e $C$ é um quadrado de lado $2$ no plano $xy$, centrado na origem, percorrido anti-horário — sem calcular a integral de linha diretamente.
E10. Explique, usando o Teorema de Helmholtz (Seção “Teorema de Helmholtz”), por que basta especificar $\nabla\cdot\vec E$ e $\nabla\times\vec E$ em todo o espaço para determinar $\vec E$ unicamente — e por que isso é exatamente o conteúdo de duas das quatro Equações de Maxwell (arquivo 6, Seção “Rotacional”.7.1).
E11. No enunciado do Teorema da Unicidade (Seção “Identidades Vetoriais Fundamentais”.1), explique por que não é permitido especificar simultaneamente Dirichlet ($\phi$) e Neumann ($\partial\phi/\partial n$) com valores independentes na mesma fronteira $S$ — o que aconteceria com a prova da Seção “Identidades Vetoriais Fundamentais”.2 nesse caso (dica: o problema ficaria sobredeterminado).
E12. Um campo tem $\nabla\cdot\vec F=0$ e $\nabla\times\vec F=0$ em todo o espaço, anulando-se no infinito. Use o Teorema de Helmholtz para concluir, sem cálculo adicional, o valor de $\vec F$ em todo ponto.
E13. Verifique a identidade $\nabla\cdot(f\vec F)=f(\nabla\cdot\vec F)+\vec F\cdot\nabla f$ para $f=x$ e $\vec F=(y,z,x)$, calculando os dois lados explicitamente.
E14. (Desafio) Escreva o laplaciano $\nabla^2 f$ em coordenadas cilíndricas (Seção “Passo 2: coordenadas cilíndricas $(s,\phi,z)$ — dedução completa”) para $f(s)=\ln s$ (potencial de um fio infinito, a menos de constante — arquivo 1). Mostre que $\nabla^2 f=0$ para $s\neq0$, consistente com a ausência de carga fora do fio.
E15. (Desafio) Demonstre a identidade $\nabla\cdot(\vec F\times\vec G)=\vec G\cdot(\nabla\times\vec F)-\vec F\cdot(\nabla\times\vec G)$ expandindo completamente ambos os lados em componentes cartesianas para $\vec F=(F_x,F_y,F_z)$ e $\vec G=(G_x,G_y,G_z)$. Depois confira o sinal com o caso particular $\vec F=(-y,x,0)$ e $\vec G=(0,0,1)$.
E16. Seja $f(x,y,z)=x^2y-yz$. Calcule $\nabla f$ em $(1,-1,2)$ e, a partir dele, a derivada direcional de $f$ nesse ponto ao longo do versor $\hat u=\tfrac{1}{3}(2,-1,2)$ (verifique primeiro que $\hat u$ é unitário). O resultado é positivo ou negativo — $f$ cresce ou decresce ao caminhar nessa direção?
E17. Classifique o campo $\vec F=(y^2,\,x^2,\,z^2)$ quanto a ser irrotacional, solenoidal, harmônico ou nenhum dos três (Seção "Classificação de Campos Vetoriais"): calcule $\nabla\cdot\vec F$ e $\nabla\times\vec F$ e decida com base nas definições.
E18. Em coordenadas cilíndricas, seja $\vec F=s^2\,\hat\phi$ (isto é, $F_s=0,\ F_\phi=s^2,\ F_z=0$). Use a fórmula do rotacional cilíndrico (Seção "Passo 2: coordenadas cilíndricas $(s,\phi,z)$ — dedução completa") para mostrar que $\nabla\times\vec F=3s\,\hat z$. Compare com o Exemplo 3 ($\vec F=s\,\hat\phi$, rotacional $2\hat z$ constante): por que aqui o rotacional não é constante?
E19. Calcule diretamente (sem usar Stokes) a integral de linha $\int_C\vec F\cdot d\vec\ell$ para $\vec F=(y,\,-x,\,0)$ ao longo da parábola $y=x^2$, de $(0,0)$ a $(1,1)$ (parametrize por $x=t,\ y=t^2,\ t\in[0,1]$). Em seguida calcule $\nabla\times\vec F$ e explique por que não é surpreendente que essa integral dependa do caminho escolhido entre $(0,0)$ e $(1,1)$ (Corolário 2).
E20. (Desafio) Verifique a consistência entre a fórmula esférica do gradiente (Seção "Passo 3: coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ — dedução completa") e a cartesiana: calcule $\nabla f$ para $f(r)=r^2$ usando a fórmula esférica, e separadamente $\nabla f$ para $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ usando a fórmula cartesiana. Mostre que os módulos coincidem (lembre que $r=|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$).
E21. Calcule o laplaciano de $f(x,y,z)=x^2y-y^3+z^2$. O resultado é constante? $f$ é harmônica em algum subconjunto do espaço (além da origem)? Se sim, identifique esse conjunto.
1.20 Gabarito
E1. $\nabla f = (2xy)\hat x+(x^2+z^3)\hat y+(3yz^2)\hat z$. Em $(1,2,1)$: $\nabla f = (4,\,2,\,6)$. Direção de máximo crescimento: $\hat u = \dfrac{(4,2,6)}{|(4,2,6)|} = \dfrac{(4,2,6)}{\sqrt{56}} \approx (0{,}535,\,0{,}267,\,0{,}802)$.
E2. $\nabla f = (y^2z^3,\,2xyz^3,\,3xy^2z^2)$. Componente $z$ de $\nabla\times(\nabla f)$: $\partial_x(2xyz^3)-\partial_y(y^2z^3) = 2yz^3-2yz^3=0$. Componente $y$: $\partial_z(y^2z^3)-\partial_x(3xy^2z^2)=3y^2z^2-3y^2z^2=0$. Componente $x$: $\partial_y(3xy^2z^2)-\partial_z(2xyz^3)=6xyz^2-6xyz^2=0$. Logo $\nabla\times(\nabla f)=\vec 0$, confirmando a identidade.
E3. $\nabla\cdot\vec F = 2x+2x-2z = 4x-2z$. O campo tem fontes onde $4x-2z\neq0$, isto é, em quase todo ponto exceto no plano $z=2x$ (onde as fontes se anulam localmente, mas isso não significa ausência de campo, apenas de divergência líquida ali).
E4. $\nabla\times\vec F = (0-0,\,0-0,\,1-(-1)) = (0,0,2)$ — rotacional uniforme e constante, apontando em $+\hat z$. Como $\vec F=(-y,x,0)=s\hat\phi$ em cilíndricas, ele tem a mesma forma funcional do campo interno de um fio cilíndrico infinito com densidade de corrente uniforme: $B_\phi(s)=\mu_0J_0s/2$. De fato, $\nabla\times\vec B=\mu_0J_0\hat z$. Isso contrasta com o campo externo do fio, $B_\phi\propto1/s$, cujo rotacional é nulo para $s>R$; um campo azimutal pode, portanto, ter rotacional nulo ou não nulo conforme sua dependência em $s$.
E5. Primeiro, $\nabla\times\vec F$ para $\vec F=(x^2,\,2xy,\,-z^2)$: componente $x$: $\partial_y(-z^2)-\partial_z(2xy)=0$; componente $y$: $\partial_z(x^2)-\partial_x(-z^2)=0$; componente $z$: $\partial_x(2xy)-\partial_y(x^2)=2y-0=2y$. Logo $\nabla\times\vec F=(0,0,2y)$, não nulo em geral — a identidade deve ser verificada calculando os dois lados por completo. Lado esquerdo, $\nabla\times(\nabla\times\vec F)=\nabla\times(0,0,2y)$: componente $x$: $\partial_y(2y)-\partial_z(0)=2$; componentes $y,z$: ambas $0$. Logo lado esquerdo $=(2,0,0)$. Lado direito, com $\nabla\cdot\vec F=2x+2x-2z=4x-2z$ (E3): $\nabla(4x-2z)=(4,0,-2)$; e $\nabla^2\vec F=(\nabla^2(x^2),\nabla^2(2xy),\nabla^2(-z^2))=(2,0,-2)$ (cada laplaciano cartesiano trivial: $\partial_x^2(x^2)=2$, os demais termos são $0$). Diferença: $(4,0,-2)-(2,0,-2)=(2,0,0)$. Os dois lados coincidem: $(2,0,0)=(2,0,0)$ ✓.
E6. $\nabla f = \dfrac{\partial(1/r)}{\partial r}\hat r = -\dfrac{1}{r^2}\hat r$ (os termos em $\hat\theta,\hat\phi$ são nulos pois $f$ não depende de $\theta,\phi$). Coincide exatamente com $\nabla(1/r)=-\hat r/r^2$ usado no arquivo 2.
E8. $\nabla\cdot\vec F=3$ (constante). Pelo Teorema do Divergente: $\oint_S\vec F\cdot d\vec A = \displaystyle\int_V 3\,dV = 3L^3$ (volume do cubo é $L^3$).
E9. $\nabla\times\vec F=(0,0,2)$ (calculado no E4). Pelo Teorema de Stokes: $\oint_C\vec F\cdot d\vec\ell = \displaystyle\int_S(0,0,2)\cdot\hat z\,dA = 2\cdot(2\times2) = 8$ (área do quadrado de lado 2 é 4).
E10. O Teorema de Helmholtz garante que um campo vetorial que se anula no infinito é unicamente determinado por seu divergente e rotacional em todo o espaço. As Equações de Maxwell (I) $\nabla\cdot\vec E=\rho/\varepsilon_0$ e (III) $\nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t$ especificam exatamente essas duas quantidades para o campo $\vec E$ — logo, dadas as fontes $\rho$ e $\partial\vec B/\partial t$ em todo o espaço (mais condições de contorno apropriadas em fronteiras finitas), $\vec E$ fica unicamente determinado. O mesmo raciocínio, com as equações (II) e (IV), determina $\vec B$.
E11. Especificar ambas simultaneamente com valores independentes (não relacionados pela própria solução do problema) tornaria o problema sobredeterminado: a prova da Seção “Identidades Vetoriais Fundamentais”.2 mostra que, dado apenas Dirichlet ou apenas Neumann, o integrando de superfície já se anula, forçando $\nabla\phi_3=0$. Se pudéssemos escolher Dirichlet e Neumann arbitrariamente (não decorrentes uma da outra), poderia não existir nenhuma função $\phi$ que satisfizesse simultaneamente ambas as condições impostas livremente — o problema deixaria de ter garantia de existência de solução (seria "sobredeterminado"), não apenas de unicidade.
E12. Pelo Teorema de Helmholtz, um campo é unicamente determinado por seu divergente e rotacional (dadas condições de anulação no infinito). Se ambos são identicamente nulos em todo o espaço, a única função consistente com $U=0$ e $\vec W=0$ na fórmula da Seção “Teorema de Helmholtz” é $\vec F\equiv\vec 0$ em todo ponto.
E13. Lado esquerdo: $f\vec F = (xy,\,xz,\,x^2)$. $\nabla\cdot(f\vec F) = \partial_x(xy)+\partial_y(xz)+\partial_z(x^2) = y+0+0=y$. Lado direito: $f(\nabla\cdot\vec F) = x\cdot(0+0+0)=0$ (pois $\nabla\cdot(y,z,x)=0$); $\vec F\cdot\nabla f = (y,z,x)\cdot(1,0,0)=y$. Soma: $0+y=y$. Ambos os lados coincidem ($y=y$) ✓.
E14. $\nabla^2 f = \dfrac{1}{s}\dfrac{\partial}{\partial s}\left(s\cdot\dfrac{1}{s}\right) = \dfrac{1}{s}\dfrac{\partial(1)}{\partial s} = \dfrac{1}{s}\cdot0 = 0$ para $s\neq0$ — consistente com a Equação de Laplace fora do fio (sem carga na região $s>0$), analogamente ao caso da carga puntiforme (Seção “Teorema de Stokes — prova completa”).
Verificação do sinal: para $\vec F=(-y,x,0)$ e $\vec G=(0,0,1)$,
$\vec F\times\vec G=(x,y,0)$, cujo divergente é $2$. Além disso,
$\nabla\times\vec F=(0,0,2)$ e $\nabla\times\vec G=0$; o lado direito também vale
$\vec G\cdot(0,0,2)-0=2$. Se a ordem do produto vetorial ou o sinal entre os dois termos fosse trocado, este teste simples revelaria o erro.
E16. $\nabla f = (2xy)\hat x+(x^2-z)\hat y+(-y)\hat z$. Em $(1,-1,2)$: $\nabla f = (-2,\,-1,\,1)$. Verificação de $\hat u$: $|(2,-1,2)|=\sqrt{4+1+4}=3$, logo $\hat u=\tfrac13(2,-1,2)$ é de fato unitário. A derivada direcional é $\dfrac{df}{d\ell}=\nabla f\cdot\hat u = \dfrac{(-2)(2)+(-1)(-1)+(1)(2)}{3} = \dfrac{-4+1+2}{3} = -\dfrac13$. O resultado é negativo: $f$ decresce ao longo dessa direção nesse ponto (você estaria caminhando parcialmente "morro abaixo", pois $\hat u$ tem componente negativa ao longo de $\nabla f$).
E17. $\nabla\cdot\vec F = 0+0+2z = 2z$ (não identicamente nulo, logo o campo não é solenoidal em todo o espaço). $\nabla\times\vec F = (\partial_y z^2-\partial_z x^2,\ \partial_z y^2-\partial_x z^2,\ \partial_x x^2-\partial_y y^2) = (0,\,0,\,2x-2y)$ (não identicamente nulo, logo não é irrotacional em todo o espaço). Como nem o divergente nem o rotacional se anulam identicamente, $\vec F$ não se enquadra em nenhuma das três classes globais da Seção "Classificação de Campos Vetoriais" — é um campo genérico, com fontes (onde $z\neq0$) e circulação local (onde $x\neq y$) simultaneamente. (Note que ele é solenoidal restrito ao plano $z=0$ e irrotacional restrito à reta $x=y$ — mas isso não basta para a classificação global, que exige a condição em todo ponto.)
E18. Usando $\nabla\times\vec F=\left(\frac1s\partial_\phi F_z-\partial_zF_\phi\right)\hat s+\left(\partial_zF_s-\partial_sF_z\right)\hat\phi+\frac1s\left(\partial_s(sF_\phi)-\partial_\phi F_s\right)\hat z$ com $F_s=0,\ F_\phi=s^2,\ F_z=0$: as componentes $\hat s$ e $\hat\phi$ são nulas (nenhum termo depende de $z$ ou $\phi$), e a componente $\hat z$ é $\frac1s\partial_s(s\cdot s^2)=\frac1s\partial_s(s^3)=\frac{3s^2}{s}=3s$. Logo $\nabla\times\vec F=3s\,\hat z$. Diferente do Exemplo 3 ($F_\phi=s$, rotacional $2\hat z$ constante), aqui $F_\phi=s^2$ cresce mais rápido que linearmente com $s$, então a circulação por unidade de área ao redor de laços a raios maiores cresce junto — o rotacional cilíndrico não é constante porque a fórmula tem o termo $\partial_s(sF_\phi)$, que "sente" como $F_\phi$ escala com $s$, e não apenas seu valor local.
E19. Parametrizando $x=t,\ y=t^2$, $t\in[0,1]$: $\vec F=(y,-x,0)=(t^2,-t,0)$ e $d\vec\ell=(1,2t,0)\,dt$. Logo $\vec F\cdot d\vec\ell = t^2(1)+(-t)(2t) = t^2-2t^2=-t^2$, e $\int_C\vec F\cdot d\vec\ell = \displaystyle\int_0^1(-t^2)\,dt = -\dfrac13$. Calculando $\nabla\times\vec F=(0,0,-2)$ (não nulo) — pelo Corolário 2, um rotacional não nulo significa que a integral de linha depende do caminho entre os extremos; o valor $-1/3$ obtido aqui (ao longo da parábola) não precisa coincidir com o valor ao longo, por exemplo, do segmento de reta $(0,0)\to(1,1)$, e de fato não coincide — comportamento esperado para um campo não conservativo.
E20. Pela fórmula esférica do gradiente (Seção "Passo 3"), como $f=f(r)$ depende só de $r$: $\nabla f = \dfrac{\partial f}{\partial r}\hat r = 2r\,\hat r$, de módulo $|\nabla f|=2r$. Em cartesianas, $f=x^2+y^2+z^2$: $\nabla f=(2x,2y,2z)$, de módulo $|\nabla f|=\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}=2\sqrt{x^2+y^2+z^2}=2r$. Os módulos coincidem exatamente ($2r=2r$) ✓, confirmando que as duas fórmulas — aparentemente muito diferentes na forma — descrevem o mesmo campo vetorial.
E21. $\nabla^2f = \partial_x^2(x^2y-y^3+z^2)+\partial_y^2(\cdots)+\partial_z^2(\cdots) = 2y + (-6y) + 2 = 2-4y$. O resultado não é constante — depende de $y$. $f$ é harmônica ($\nabla^2f=0$) exatamente onde $2-4y=0$, isto é, no plano $y=\tfrac12$ (não em todo o espaço, apenas nesse subconjunto de medida nula — um caso em que a harmonicidade é uma propriedade local de um plano específico, não do campo inteiro).
1.21 Gabarito Computacional: Resolvendo os Exercícios com SymPy
Todo exercício desta lista envolve apenas três operações (gradiente, divergente, rotacional — mais o laplaciano, que é o divergente do gradiente) e uma operação de integração/substituição. Isso significa que todo o gabarito acima pode ser gerado automaticamente, sem álgebra manual, definindo grad, div, curl uma única vez em SymPy e aplicando-os a cada campo do enunciado. Este é exatamente o mesmo padrão de verificação já usado na Seção "Identidades Vetoriais Fundamentais" (verificação simbólica das identidades) — aqui aplicado exercício a exercício.
O script abaixo resolve E1–E9 e E13–E21 (todos os exercícios que pedem um cálculo explícito; E10, E11 e E12 são puramente conceituais — argumentos com o Teorema de Helmholtz e a prova de unicidade — e não correspondem a uma conta a verificar). Rode-o e compare cada linha impressa com a resposta correspondente no Gabarito acima: elas devem coincidir exatamente.
PYTHON
import sympy as spx,y,z,s,phi,r,L,t=sp.symbols('x y z s phi r L t',real=True)defgrad(f,vars=(x,y,z)):returnsp.Matrix([sp.diff(f,v)forvinvars])defdiv(F,vars=(x,y,z)):returnsum(sp.diff(F[i],vars[i])foriinrange(3))defcurl(F):Fx,Fy,Fz=Freturnsp.Matrix([sp.diff(Fz,y)-sp.diff(Fy,z),sp.diff(Fx,z)-sp.diff(Fz,x),sp.diff(Fy,x)-sp.diff(Fx,y),])deflap(f,vars=(x,y,z)):returnsum(sp.diff(f,v,2)forvinvars)# --- E1: gradiente e avaliação num ponto ---f1=x**2*y+y*z**3g1=grad(f1)print("E1 grad f =",g1.T," em (1,2,1):",g1.subs({x:1,y:2,z:1}).T)# --- E2: rot(grad f) = 0 (identidade estrutural) ---f2=x*y**2*z**3print("E2 rot(grad f) =",sp.simplify(curl(grad(f2))).T)# --- E3: divergente e localização das fontes ---F3=sp.Matrix([x**2,2*x*y,-z**2])print("E3 div F =",div(F3))# --- E4: rotacional (campo tipo s*phi_hat em cilíndricas) ---F4=sp.Matrix([-y,x,0])print("E4 rot F =",curl(F4).T)# --- E5: identidade BAC-CAB, rot(rot F) = grad(div F) - lap F ---F5=sp.Matrix([x**2,2*x*y,-z**2])lhs5=curl(curl(F5))rhs5=grad(div(F5))-sp.Matrix([lap(F5[i])foriinrange(3)])print("E5 rot(rot F) =",lhs5.T," | grad(div F)-lap F =",rhs5.T," | identidade:",sp.simplify(lhs5-rhs5)==sp.zeros(3,1))# --- E6: gradiente de 1/r em esféricas (só a componente radial é não nula) ---print("E6 d(1/r)/dr =",sp.diff(1/r,r),"-> grad(1/r) = -1/r^2 r_hat")# --- E7: divergente de F = r*r_hat em esféricas ---print("E7 div(r r_hat) =",sp.simplify((1/r**2)*sp.diff(r**2*r,r)))# --- E8: Teorema do Divergente para F=(x,y,z) num cubo de lado L ---divF8=div(sp.Matrix([x,y,z]))print("E8 div F =",divF8," -> fluxo = div F * L^3 =",divF8*L**3)# --- E9: Teorema de Stokes para F=(-y,x,0) num quadrado de lado 2 ---rotF9=curl(sp.Matrix([-y,x,0]))print("E9 rot F =",rotF9.T," -> circulação = rot_z * área =",rotF9[2]*4)# --- E13: regra do produto div(fF) = f div(F) + F.grad(f) ---f13,F13=x,sp.Matrix([y,z,x])lhs13=div(f13*F13)rhs13=f13*div(F13)+F13.dot(grad(f13))print("E13 div(fF) =",lhs13," | f div(F)+F.grad(f) =",rhs13," | iguais:",sp.simplify(lhs13-rhs13)==0)# --- E14: laplaciano cilíndrico de ln(s) ---f14=sp.log(s)print("E14 laplaciano(ln s) =",sp.simplify((1/s)*sp.diff(s*sp.diff(f14,s),s)))# --- E15: div(FxG) = G.rot(F) - F.rot(G) ---Fv,Gv=sp.Matrix([-y,x,0]),sp.Matrix([0,0,1])lhs15=div(Fv.cross(Gv))rhs15=Gv.dot(curl(Fv))-Fv.dot(curl(Gv))print("E15 div(FxG) =",lhs15," | G.rot(F)-F.rot(G) =",rhs15)# --- E16: derivada direcional em (1,-1,2) ao longo de u=(2,-1,2)/3 ---f16=x**2*y-y*zg16=grad(f16).subs({x:1,y:-1,z:2})u16=sp.Matrix([2,-1,2])/3print("E16 grad f(1,-1,2) =",g16.T," |u| =",sp.sqrt(u16.dot(u16))," df/dl =",g16.dot(u16))# --- E17: classificação via div e rot ---F17=sp.Matrix([y**2,x**2,z**2])print("E17 div F =",div(F17)," rot F =",curl(F17).T)# --- E18: rotacional cilíndrico de F = s^2 phi_hat ---Fs,Fphi,Fz_=0,s**2,0rot_z18=sp.simplify((1/s)*(sp.diff(s*Fphi,s)-sp.diff(Fs,phi)))print("E18 rot_z(s^2 phi_hat) =",rot_z18)# --- E19: integral de linha direta sobre y=x^2, de (0,0) a (1,1) ---xt,yt=t,t**2Fpath=sp.Matrix([yt,-xt,0])dl=sp.Matrix([sp.diff(xt,t),sp.diff(yt,t),0])I19=sp.integrate((Fpath.T*dl)[0],(t,0,1))print("E19 integral de linha =",I19," rot F =",curl(sp.Matrix([y,-x,0])).T)# --- E20: |grad f| coincide em esféricas (f=r^2) e cartesianas (f=x^2+y^2+z^2) ---mod20_esf=sp.Abs(sp.diff(r**2,r))g20_cart=grad(x**2+y**2+z**2)mod20_cart=sp.sqrt(sp.factor(g20_cart.dot(g20_cart)))print("E20 |grad f|_esf = 2r | |grad f|_cart =",mod20_cart)# --- E21: laplaciano cartesiano e conjunto onde f é harmônica ---f21=x**2*y-y**3+z**2lap21=lap(f21)print("E21 laplaciano f =",lap21," harmônica em y =",sp.solve(sp.Eq(lap21,0),y))
Output:
E1 grad f = Matrix([[2*x*y, x**2 + z**3, 3*y*z**2]]) em (1,2,1): Matrix([[4, 2, 6]])
E2 rot(grad f) = Matrix([[0, 0, 0]])
E3 div F = 4*x - 2*z
E4 rot F = Matrix([[0, 0, 2]])
E5 rot(rot F) = Matrix([[2, 0, 0]]) | grad(div F)-lap F = Matrix([[2, 0, 0]]) | identidade: True
E6 d(1/r)/dr = -1/r**2 -> grad(1/r) = -1/r^2 r_hat
E7 div(r r_hat) = 3
E8 div F = 3 -> fluxo = div F * L^3 = 3*L**3
E9 rot F = Matrix([[0, 0, 2]]) -> circulação = rot_z * área = 8
E13 div(fF) = y | f div(F)+F.grad(f) = y | iguais: True
E14 laplaciano(ln s) = 0
E15 div(FxG) = 2 | G.rot(F)-F.rot(G) = 2
E16 grad f(1,-1,2) = Matrix([[-2, -1, 1]]) |u| = 1 df/dl = -1/3
E17 div F = 2*z rot F = Matrix([[0, 0, 2*x - 2*y]])
E18 rot_z(s^2 phi_hat) = 3*s
E19 integral de linha = -1/3 rot F = Matrix([[0, 0, -2]])
E20 |grad f|_esf = 2r | |grad f|_cart = 2*sqrt(x**2 + y**2 + z**2)
E21 laplaciano f = 2 - 4*y harmônica em y = [1/2]
E1 grad f = Matrix([[2*x*y, x**2 + z**3, 3*y*z**2]]) em (1,2,1): Matrix([[4, 2, 6]])
E2 rot(grad f) = Matrix([[0, 0, 0]])
E3 div F = 4*x - 2*z
E4 rot F = Matrix([[0, 0, 2]])
E5 rot(rot F) = Matrix([[2, 0, 0]]) | grad(div F)-lap F = Matrix([[2, 0, 0]]) | identidade: True
E6 d(1/r)/dr = -1/r**2 -> grad(1/r) = -1/r^2 r_hat
E7 div(r r_hat) = 3
E8 div F = 3 -> fluxo = div F * L^3 = 3*L**3
E9 rot F = Matrix([[0, 0, 2]]) -> circulação = rot_z * área = 8
E13 div(fF) = y | f div(F)+F.grad(f) = y | iguais: True
E14 laplaciano(ln s) = 0
E15 div(FxG) = 2 | G.rot(F)-F.rot(G) = 2
E16 grad f(1,-1,2) = Matrix([[-2, -1, 1]]) |u| = 1 df/dl = -1/3
E17 div F = 2*z rot F = Matrix([[0, 0, 2*x - 2*y]])
E18 rot_z(s^2 phi_hat) = 3*s
E19 integral de linha = -1/3 rot F = Matrix([[0, 0, -2]])
E20 |grad f|_esf = 2r | |grad f|_cart = 2*sqrt(x**2 + y**2 + z**2)
E21 laplaciano f = 2 - 4*y harmônica em y = [1/2]
2. Fundamentos da Eletrostática, Campo Elétrico e Lei de Gauss
Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Fundamentos da Eletrostática · Campo Elétrico · Lei de Gauss (Integral e Pontual) · Teorema do Divergente
2.1 Objetivos de Aprendizagem
Ao final deste capítulo, você será capaz de:
[ ] Calcular o campo elétrico de distribuições discretas e contínuas de carga usando o princípio da superposição.
[ ] Aplicar a Lei de Gauss em situações com simetria esférica, cilíndrica e planar.
[ ] Diferenciar as formas integral e pontual da Lei de Gauss.
[ ] Aplicar as condições de contorno para o campo eletrostático em interfaces entre materiais.
[ ] Interpretar fisicamente o fluxo elétrico e sua relação com a carga encerrada.
2.2 Intuição Física: O que é Campo Elétrico?
Antes de definir matematicamente o campo elétrico, pense em termos físicos:
Uma carga elétrica cria um "campo de influência" ao seu redor.
Quando você coloca uma carga de teste nesse campo, ela sente uma força.
O campo elétrico $\vec E$ é simplesmente essa força por unidade de carga de teste: $\vec E = \vec F/q_0$.
Linhas de campo são uma representação visual: elas emanam de cargas positivas e terminam em cargas negativas.
2.3 Aplicações no Mundo Real
Conceito
Aplicação Prática
Campo de carga puntiforme
Design de tubos de raios catódicos e aceleradores de partículas
Lei de Gauss (simetria esférica)
Cálculo de campos em esferas condutoras e blindagem eletrostática
Lei de Gauss (simetria cilíndrica)
Projeto de cabos coaxiais e linhas de transmissão
Lei de Gauss (simetria planar)
Capacitores de placas paralelas em circuitos eletrônicos
Condições de contorno
Projeto de isoladores e dielétricos em equipamentos de alta tensão
2.4 Antes de começar
Ao final, você deve obter campo elétrico por superposição e por simetria, distinguir fluxo de campo local e aplicar a Lei de Gauss em formas integral e pontual. Diagnóstico: fluxo elétrico líquido nulo implica campo nulo na superfície? Evidência mínima: calcular campos de carga pontual, fio e esfera e confrontar a carga encerrada com o fluxo.
2.5 Fundamentos da Eletrostática
2.5.1 Carga elétrica
A carga elétrica é uma propriedade fundamental da matéria, responsável pelas interações eletromagnéticas. Fatos experimentais fundamentais:
Quantização: toda carga observável é múltiplo inteiro da carga elementar $e \approx 1{,}602176634\times10^{-19}\,\text{C}$, isto é, $q = ne$, $n\in\mathbb{Z}$.
Conservação: a carga total de um sistema isolado é constante — cargas não são criadas nem destruídas, apenas transferidas (fato que será formalizado na equação da continuidade, tópico 3 desta série).
Invariância: a carga de uma partícula não depende do referencial (diferente da massa relativística) — propriedade essencial para a covariância das equações de Maxwell sob transformações de Lorentz.
2.5.2 Lei de Coulomb
Charles-Augustin de Coulomb (1785), usando uma balança de torção, determinou experimentalmente que a força entre duas cargas puntiformes $q_1$ e $q_2$, separadas por uma distância $r$, é:
Proporcional ao produto das cargas: $F \propto q_1 q_2$;
Inversamente proporcional ao quadrado da distância: $F \propto 1/r^2$;
Dirigida ao longo da linha que une as cargas;
Repulsiva se as cargas têm o mesmo sinal, atrativa caso contrário.
onde $\hat{r}_{12}$ é o versor que aponta da carga 1 para a carga 2, e $\vec{F}_{12}$ é a força sobre a carga 2 devido à carga 1. A constante $\varepsilon_0$ (permissividade do vácuo) aparece naturalmente por conveniência ao conectar a eletrostática ao Sistema Internacional de unidades e às equações de Maxwell na forma racionalizada (fator $4\pi$ explícito na lei de força, ausente na lei de Gauss).
Princípio da superposição. A força resultante sobre uma carga devido a várias outras é a soma vetorial das forças individuais — um postulado experimental, não uma consequência lógica necessária da Lei de Coulomb:
Reescrever a força em termos de uma carga de teste $q_0$ (suficientemente pequena para não perturbar a distribuição de cargas-fonte) permite separar a propriedade do espaço (campo) da propriedade da carga de prova:
Para uma distribuição contínua com densidade volumétrica $\rho(\vec{r}')$, superficial $\sigma(\vec{r}')$ ou linear $\lambda(\vec{r}')$, a soma vira integral:
Dedução do campo de um anel de carga no eixo (exemplo clássico para fixar a técnica). Considere um anel de raio $a$, carga total $Q$ uniformemente distribuída, no plano $xy$, centrado na origem. Por simetria, as componentes do campo perpendiculares ao eixo $z$ se cancelam aos pares (elementos diametralmente opostos), restando apenas a componente $z$:
Note que para $z\gg a$, $E_z \to \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{z^2}$: a grandes distâncias, o anel se comporta como uma carga puntiforme — comportamento geral de qualquer distribuição de carga finita.
2.6.3 Linhas de campo
Linhas de campo são curvas tangentes a $\vec{E}(\vec{r})$ em cada ponto; sua densidade (linhas por área transversal) é proporcional à magnitude do campo. Propriedades: emanam de cargas positivas e terminam em cargas negativas (ou no infinito); nunca se cruzam (o campo é único em cada ponto, exceto onde $E=0$); são mais densas onde o campo é mais intenso.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx=y=np.linspace(-2,2,25)X,Y=np.meshgrid(x,y)R=np.hypot(X,Y)Ex,Ey=X/(R**3+.08),Y/(R**3+.08)fig,ax=plt.subplots(figsize=(6,5))ax.streamplot(X,Y,Ex,Ey,color=np.log1p(np.hypot(Ex,Ey)),cmap="plasma",density=1.2)ax.scatter(0,0,s=180,c="#dc2626",edgecolor="white",zorder=3)ax.text(.12,.12,"+Q",weight="bold");ax.set_aspect("equal")ax.set(title="Linhas de campo de uma carga puntiforme",xlabel="$x$",ylabel="$y$")plt.tight_layout()
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plteps0=8.854e-12k=1/(4*np.pi*eps0)defE_ponto(X,Y,q,pos):x0,y0=posdx,dy=X-x0,Y-y0r2=np.maximum(dx**2+dy**2,1e-9)returnk*q*dx/r2**1.5,k*q*dy/r2**1.5defE_anel_eixo(z,Q,a,eps0=8.854e-12):"""Campo no eixo de um anel carregado (dedução acima)."""k=1/(4*np.pi*eps0)returnk*Q*z/(a**2+z**2)**1.5z=np.linspace(-5,5,400)Ez=E_anel_eixo(z,Q=1e-9,a=1.0)# Objetivo: visualizar a mudança de sentido e localizar o campo máximo no eixo.z_max=1/np.sqrt(2)# resultado analítico para a=1 mE_max=E_anel_eixo(z_max,Q=1e-9,a=1.0)print(f"Máximo em z=a/√2={z_max:.3f} m: E_z={E_max:.3f} N/C")fig,ax=plt.subplots(figsize=(7,4))ax.plot(z,Ez,color="#2563eb",lw=2,label="$E_z(z)$")ax.axhline(0,color="#64748b",lw=.8)ax.scatter([z_max,-z_max],[E_max,-E_max],color="#dc2626",zorder=3,label="extremos analíticos")ax.set(xlabel="$z/a$",ylabel="$E_z$ (N/C)",title="Campo elétrico no eixo de um anel carregado")ax.grid(alpha=.25);ax.legend();plt.tight_layout()
Output:
Máximo em z=a/√2=0.707 m: E_z=3.459 N/C
2.7 Lei de Gauss — Forma Integral
2.7.1 Fluxo elétrico
Define-se o fluxo elétrico através de uma superfície $S$ como:
$$
\Phi_E \equiv \int_S \vec{E}\cdot d\vec{A}
$$
onde $d\vec{A} = \hat{n}\,dA$, com $\hat{n}$ o versor normal à superfície (convencionalmente apontando para fora, se $S$ for fechada). Fisicamente, $\Phi_E$ mede "quantas linhas de campo" atravessam $S$.
2.7.2 Dedução da Lei de Gauss a partir da Lei de Coulomb
Considere uma única carga puntiforme $q$ na origem e uma superfície esférica $S$ de raio $r$ centrada nela. Como $\vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat{r}$ é paralelo a $d\vec{A} = \hat{r}\,dA$ em toda a superfície:
Ponto crucial: o resultado não depende de $r$. Isso é consequência direta da lei do inverso do quadrado — o fluxo através de qualquer esfera concêntrica é o mesmo, pois a área cresce como $r^2$ exatamente na taxa que compensa a queda de $E$.
Generalização para superfície arbitrária: usa-se o conceito de ângulo sólido. Um elemento de área $dA$ a uma distância $r$ da carga, com normal fazendo ângulo $\theta$ com $\hat{r}$, subtende um ângulo sólido:
Integrando sobre qualquer superfície fechada que envolva a carga, o ângulo sólido total é sempre $4\pi$ esferorradianos (por definição de superfície fechada envolvendo um ponto interno):
Se a carga estiver fora da superfície fechada, cada linha de campo que entra também sai (o ângulo sólido subtendido por qualquer "cone" de linhas se cancela entre a face de entrada e a de saída), de modo que $\Phi_E = 0$ para cargas externas.
Por superposição, para uma distribuição arbitrária de cargas, apenas a carga interna contribui:
$$
\boxed{\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{env}}{\varepsilon_0}}\qquad\text{(Lei de Gauss — forma integral)}
$$
com $Q_{env} = \int_{V} \rho\,dV$, integrada apenas sobre o volume delimitado por $S$.
2.7.3 Importância
A Lei de Gauss é sempre verdadeira (é equivalente à Lei de Coulomb para eletrostática, e continua válida em eletrodinâmica), mas só é útil para calcular $\vec{E}$ diretamente quando há simetria suficiente (esférica, cilíndrica ou planar) para tirar $E$ da integral.
2.8 Teorema do Divergente
2.8.1 Enunciado
O Teorema do Divergente (Gauss–Ostrogradsky) é um resultado de cálculo vetorial, válido para qualquer campo vetorial $\vec{F}$ suficientemente suave, relacionando uma integral de superfície fechada a uma integral de volume:
2.8.2 Ideia da demonstração (via cubos infinitesimais)
Divida o volume $V$ em uma malha de cubos infinitesimais de lados $dx, dy, dz$. Para um cubo centrado em $(x,y,z)$, o fluxo líquido através das faces perpendiculares a $x$ é:
Quando se somam os fluxos de todos os cubos adjacentes que preenchem $V$, as contribuições das faces internas se cancelam aos pares (o que sai de um cubo entra no vizinho), restando apenas o fluxo através das faces na fronteira externa — exatamente $\oint_S \vec{F}\cdot d\vec{A}$. Isso demonstra o teorema.
2.8.3 Interpretação física do divergente
$\nabla\cdot\vec{F}$ em um ponto mede a "densidade de fontes" do campo naquele ponto: o fluxo líquido que emana de um volume infinitesimal ao redor do ponto, por unidade de volume.
Como essa igualdade vale para qualquer volume $V$ arbitrário (não apenas um específico), os integrandos devem ser iguais ponto a ponto:
$$
\boxed{\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}}\qquad\text{(Lei de Gauss — forma pontual/diferencial)}
$$
Esta é a primeira equação de Maxwell. Ela é local: relaciona o campo e sua derivada em cada ponto do espaço, sem exigir conhecimento da distribuição de carga em outros pontos — ao contrário da forma integral, que é global.
2.9.2 Equivalência das duas formas
As formas integral e pontual da Lei de Gauss carregam exatamente a mesma informação física; a integral é conveniente para simetrias globais, a pontual para formulações locais (e para derivar a equação de Poisson, tópico do próximo arquivo).
2.10 Aplicações com Simetria
2.10.1 Receita geral
Identifique a simetria (esférica, cilíndrica, planar) e escolha uma superfície gaussiana compatível: $\vec{E}$ deve ser constante em módulo e paralelo (ou perpendicular) a $d\vec{A}$ em cada parte relevante da superfície.
Calcule $Q_{env}$ dentro da superfície escolhida.
Aplique $\oint\vec{E}\cdot d\vec{A} = Q_{env}/\varepsilon_0$ e resolva para $E$.
2.10.2 Casca esférica uniformemente carregada
Casca de raio $a$, carga total $Q$. Superfície gaussiana: esfera concêntrica de raio $r$.
Dentro ($r<a$): $Q_{env}=0 \Rightarrow E=0$.
Fora ($r\ge a$): $Q_{env}=Q$, e por simetria $E$ é radial e constante em $|E|$ sobre a esfera gaussiana:
idêntico ao de uma carga puntiforme — resultado que motivou historicamente Newton (gravitação) e depois Gauss (eletrostática).
2.10.3 Esfera sólida uniformemente carregada
Esfera de raio $a$, densidade volumétrica uniforme $\rho_0$, carga total $Q = \tfrac{4}{3}\pi a^3\rho_0$. Superfície gaussiana: esfera concêntrica de raio $r$.
Dentro ($r<a$): a carga envolvida é apenas a fração do volume:
Dentro da esfera, o campo cresce linearmente com $r$ — análogo ao campo gravitacional dentro de uma planeta com densidade uniforme.
Fora ($r\ge a$): idêntico ao caso da casca.
Resumo unificado:
$$
E(r) = \begin{cases}\dfrac{\rho_0 r}{3\varepsilon_0} & r < a \\ \dfrac{\rho_0 a^3}{3\varepsilon_0 r^2} & r \ge a\end{cases}
$$
2.10.4 Exemplo Resolvido Passo a Passo: Esfera com Densidade Não Uniforme
Problema: Uma esfera isolante de raio $R$ possui densidade volumétrica de carga $\rho(r) = \rho_0 \left(1 - \dfrac{r}{R}\right)$ para $r \le R$ (e $\rho=0$ fora). Determine o campo elétrico $\vec{E}(r)$ para $r < R$ e $r \ge R$.
Passo 1: Identificar a simetria e escolher a superfície gaussiana.
A distribuição de carga possui simetria esférica (depende apenas de $r$). Escolhemos como superfície gaussiana uma esfera concêntrica de raio $r$.
Passo 2: Calcular a carga envolvida $Q_{env}(r)$ para $r < R$.
$$
\Rightarrow \quad E(r) = \frac{\rho_0 R^3}{12\varepsilon_0 r^2}, \qquad r \ge R
$$
Resposta final:
$$
\vec{E}(r) = \begin{cases}
\dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\left(\dfrac{r}{3} - \dfrac{r^2}{4R}\right)\hat{r} & r < R \\
\dfrac{\rho_0 R^3}{12\varepsilon_0 r^2}\hat{r} & r \ge R
\end{cases}
$$
O campo é contínuo em $r=a$ (não há carga superficial), e sua derivada pula em $4\pi\varepsilon_0\sigma$ se existir uma carga superficial — condição de contorno que trataremos na Seção “Condições de Contorno para o Campo Eletrostático”.
2.10.5 Fio infinito com densidade linear $\lambda$
Superfície gaussiana: cilindro coaxial de raio $r$ e comprimento $L$. Por simetria, $\vec{E}$ é radial e as tampas do cilindro não contribuem (paralelas a $\vec{E}$, perpendiculares a $d\vec{A}$ nelas):
2.10.6 Plano infinito com densidade superficial $\sigma$
Superfície gaussiana: "caixa de pílulas" (cilindro curto) atravessando o plano, com tampas de área $A$ paralelas ao plano. Por simetria, $\vec{E}$ é perpendicular ao plano e igual em módulo nas duas tampas:
$$
2EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
$$
Note que $E$ não depende da distância ao plano — resultado surpreendente, mas consistente: linhas de campo de um plano infinito são todas paralelas entre si.
Plano duplo (capacitor de placas paralelas): dois planos infinitos paralelos, um com $+\sigma$, outro com $-\sigma$. Entre as placas, os campos se somam (ambos apontam do positivo ao negativo):
Este resultado (campo uniforme concentrado entre as placas, nulo fora) é a idealização por trás do capacitor de placas paralelas (Seção “Lei de Gauss — Forma Integral”.7).
2.10.7 Duas cargas: campo no ponto médio
Duas cargas iguais $+q$ separadas por distância $d$. Qual o campo no ponto médio?
Por simetria, os campos se cancelam no ponto médio. Para uma carga de teste positiva, um pequeno deslocamento ao longo do eixo produz força restauradora: a carga mais próxima a repele mais intensamente de volta ao centro. Um deslocamento transversal produz força para longe do eixo. Portanto, o ponto é uma sela — estável numa direção e instável nas transversais — em acordo com o teorema de Earnshaw, que proíbe mínimo eletrostático estável em todas as direções no espaço livre.
Para cargas opostas ($+q$ e $-q$), os campos se somam no ponto médio:
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfig=plt.figure(figsize=(6,5));ax=fig.add_subplot(projection="3d")u,v=np.mgrid[0:2*np.pi:45j,0:np.pi:24j]x,y,z=np.cos(u)*np.sin(v),np.sin(u)*np.sin(v),np.cos(v)ax.plot_surface(x,y,z,color="#60a5fa",alpha=.22,edgecolor="#2563eb",linewidth=.15)dirs=np.array([[1,0,0],[-1,0,0],[0,1,0],[0,-1,0],[0,0,1],[0,0,-1]])ax.quiver(*np.zeros((3,6)),dirs[:,0],dirs[:,1],dirs[:,2],length=1.35,color="#dc2626")ax.scatter(0,0,0,s=90,c="#dc2626");ax.text(.08,.08,.08,"+Q")ax.set_box_aspect((1,1,1));ax.set_title("Superfície gaussiana e fluxo radial")plt.tight_layout()
2.11 Campo de Distribuições Contínuas
2.11.1 Disco carregado uniformemente no eixo
Disco de raio $R$, densidade superficial $\sigma$, no plano $xy$, centrado na origem. Queremos $\vec{E}$ no eixo $z$.
Dividimos o disco em anéis de raio $r$ e largura $dr$. Cada anel tem carga $dq = \sigma\cdot 2\pi r\,dr$. Usando o resultado da Seção “Princípio da superposição para o campo” para o anel:
Carga total da esfera: $Q = Q_{env}(a) = 4\pi\rho_0\left(\dfrac{a^3}{3}-\dfrac{a^3}{4}\right) = \dfrac{\pi\rho_0 a^3}{3}$. Campo fora:
$$
E(r) = \frac{\rho_0 a^3}{3\varepsilon_0 r^2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2},\qquad r \ge a
$$
Note que o campo dentro não cresce linearmente como no caso de densidade constante — ele cresce mais rapidamente perto da origem e mais devagar perto da superfície.
2.11.3 Linha de carga finita no ponto próximo ao extremo
Linha de comprimento $L$, carga total $Q$ uniformemente distribuída ($\lambda = Q/L$) ao longo do eixo $z$, de $0$ a $L$. Campo no ponto $P$ a distância $d$ do extremo (posição $z = -d$):
$$
dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda\,dz'}{(z'+d)^2}\quad\Rightarrow\quad E = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^L\frac{dz'}{(z'+d)^2} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{d} - \frac{1}{L+d}\right]
$$
$$
E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{d(L+d)}
$$
$L\gg d$ (linha quase infinita): $E \approx \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 d L} = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{1}{2d}$ — metade do campo do fio infinito, pois só vemos um lado.
2.12 Condições de Contorno para o Campo Eletrostático
2.12.1 Componente normal de $\vec{E}$ (descontinuidade na interface)
Na interface entre dois meios, a Lei de Gauss para $\vec E$ envolve a densidade superficial total $\sigma_{\rm tot}=\sigma_f+\sigma_b$, incluindo cargas livres e ligadas. Para uma caixa de pílulas:
Ausência de carga livre não garante continuidade de $E_\perp$: uma interface dielétrica pode possuir carga ligada de polarização. É $\vec D$ que separa a contribuição livre.
Sem carga superficial livre e para meios lineares isotrópicos, $D_{2\perp}=D_{1\perp}$ e, portanto, $\varepsilon_2E_{2\perp}=\varepsilon_1E_{1\perp}$.
O campo elétrico normal descontinua na interface entre dielétricos, sendo mais fraco no meio de maior permissividade — exatamente o efeito de "blindagem" da polarização.
$$
\theta_2 \approx 89.6°\quad\text{(o campo "quase tangencia" a interface!)}
$$
Isso significa que o campo elétrico se curva para ficar quase paralelo à superfície ao entrar no dielétrico — as linhas de campo "refratam" em direção à interface (ângulo maior). Este efeito é análogo à refração da luz, com a diferença que aqui os ângulos se comportam de forma oposta.
2.13 Exercícios Resolvidos em Python
2.13.1 Roteiro computacional
Objetivo. Comparar campos obtidos por simetria com integração direta da distribuição de carga e testar numericamente a Lei de Gauss.
Como executar. Requer numpy, scipy e matplotlib. Aumente gradualmente a resolução e confirme que o fluxo converge para $Q_{int}/\varepsilon_0$.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plteps0=8.854e-12k=1/(4*np.pi*eps0)# --- Casca esférica ---defE_casca_esferica(r,Q,a):r=np.atleast_1d(r).astype(float)returnnp.where(r<a,0.0,Q/(4*np.pi*eps0*r**2))# --- Esfera sólida uniforme ---defE_esfera_solid_a(r,Q,a):r=np.atleast_1d(r).astype(float)E=np.zeros_like(r)E[r<a]=Q*r[r<a]/(4*np.pi*eps0*a**3)E[r>=a]=Q/(4*np.pi*eps0*r[r>=a]**2)returnE# --- Fio infinito ---defE_fio_infinito(r,lam):returnlam/(2*np.pi*eps0*r)# --- Plano infinito ---defE_plano_infinito(sigma):returnsigma/(2*eps0)# --- Disco carregado no eixo ---defE_disco_eixo(z,R,sigma):returnsigma/(2*eps0)*(1-np.abs(z)/np.sqrt(R**2+z**2))# --- Esfera com densidade não-uniforme rho(r) = rho0*(1 - r/a) ---defE_esfera_nao_uniforme(r,rho0,a):r=np.atleast_1d(r).astype(float)E=np.zeros_like(r)mask=r<aE[mask]=rho0/eps0*(r[mask]/3-r[mask]**2/(4*a))# Fora: usar Q totalQ=np.pi*rho0*a**3/3E[~mask]=Q/(4*np.pi*eps0*r[~mask]**2)returnE# --- Linha de carga finita ---defE_linha_finita(d,L,Q):returnQ/(4*np.pi*eps0)/(d*(L+d))# --- Condições de contorno: ângulo de "refração" ---defangulo_refracao_dielétrico(theta1,eps_r1,eps_r2):"""Calcula o ângulo do campo elétrico no meio 2, dado ângulo theta1 no meio 1."""tan2=(eps_r2/eps_r1)*np.tan(theta1)returnnp.arctan(tan2)theta1=np.deg2rad(60)theta2=angulo_refracao_dielétrico(theta1,1.0,80.0)print(f"Ângulo no ar: {np.rad2deg(theta1):.1f}°")print(f"Ângulo na água: {np.rad2deg(theta2):.1f}°")# --- Verificação numérica do Teorema do Divergente ---defverifica_gauss_numerico(q,r=1.0,n_theta=200,n_phi=400):k=1/(4*np.pi*eps0)theta=np.linspace(0,np.pi,n_theta)phi=np.linspace(0,2*np.pi,n_phi)dtheta,dphi=theta[1]-theta[0],phi[1]-phi[0]fluxo=0.0E_r=k*q/r**2forthintheta:dA=r**2*np.sin(th)*dtheta*dphifluxo+=E_r*dA*n_phireturnfluxoq=1e-9fluxo_numerico=verifica_gauss_numerico(q)fluxo_teorico=q/eps0print(f"\nFluxo numérico: {fluxo_numerico:.6e}")print(f"Fluxo teórico Q/eps0: {fluxo_teorico:.6e}")print(f"Erro relativo: {abs(fluxo_numerico-fluxo_teorico)/fluxo_teorico:.2%}")# --- Verificação: campo do disco converge para plano infinito ---R,sigma=1.0,1e-9# 1 m, 1 nC/m^2forzin[0.001,0.01,0.1,1.0,10.0]:E_d=E_disco_eixo(z,R,sigma)E_p=E_plano_infinito(sigma)print(f"z={z:6.3f} m: E_disco={E_d:.4e} V/m, E_plano={E_p:.4e} V/m, razão={E_d/E_p:.4f}")# --- Visualização: E(r) para esfera sólida uniforme ---Q,a=1e-9,0.1# 1 nC, 10 cmr_vals=np.linspace(0,3*a,500)E_vals=E_esfera_solid_a(r_vals,Q,a)fig,ax=plt.subplots(figsize=(8,5))ax.plot(r_vals/a,E_vals*4*np.pi*eps0/Q*a**2,'b',linewidth=2,label='E(r) normalizado')ax.axvline(1,color='k',linestyle='--',alpha=0.5)ax.set_xlabel('r/a')ax.set_ylabel('E · 4πε₀a²/Q')ax.set_title('Campo elétrico de esfera sólida uniformemente carregada')ax.legend()ax.grid(True,alpha=0.3)ax.set_xlim(0,3)plt.tight_layout()
Fluxo elétrico: Mede "quantas linhas de campo" atravessam uma superfície.
Lei de Gauss: Só é útil para calcular $\vec E$ diretamente quando há simetria suficiente.
Forma pontual: $\nabla\cdot\vec{E} = \rho/\varepsilon_0$ é a primeira equação de Maxwell.
Condições de contorno: $E_\parallel$ é sempre contínua; $E_\perp$ descontinua na presença de carga superficial.
Refração do campo elétrico: Em dielétricos, o campo se curva para ficar mais paralelo à interface.
2.15 Lista de Exercícios Propostos
E1. Duas cargas puntiformes positivas, $q_1 = 4\,\text{nC}$ em $x=0$ e $q_2 = 9\,\text{nC}$ em $x=0{,}5\,\text{m}$, estão fixas no eixo $x$. Determine o ponto entre elas onde o campo elétrico resultante é nulo.
E2. Três cargas estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado $a=0{,}2\,\text{m}$: $q_1=+2\,\text{nC}$, $q_2=+2\,\text{nC}$, $q_3=-2\,\text{nC}$. Determine a força resultante (módulo e direção) sobre $q_3$.
E3. Uma casca esférica isolante de raio $a=8\,\text{cm}$ tem carga total $Q=-4\,\text{nC}$ uniformemente distribuída. Calcule $\vec{E}$ em $r=4\,\text{cm}$ e em $r=16\,\text{cm}$.
E4. Um fio retilíneo infinito tem densidade linear $\lambda = 5\,\text{nC/m}$. A que distância radial $r$ o módulo do campo elétrico vale $900\,\text{N/C}$?
E5. Três planos infinitos paralelos, perpendiculares ao eixo $x$, estão localizados em $x=0$, $x=1\,\text{m}$ e $x=2\,\text{m}$, com densidades superficiais $\sigma_1=+3\,\text{nC/m}^2$, $\sigma_2=-2\,\text{nC/m}^2$ e $\sigma_3=+1\,\text{nC/m}^2$, respectivamente. Determine $\vec{E}$ (módulo e sentido) nas quatro regiões: $x<0$, $0<x<1$, $1<x<2$ e $x>2$.
E6. Um cabo coaxial é formado por um fio interno muito fino com densidade linear $\lambda=+3\,\text{nC/m}$ e uma casca cilíndrica condutora concêntrica (raio interno $b=2\,\text{cm}$, raio externo $c=3\,\text{cm}$) que transporta carga total por unidade de comprimento igual a $-2\lambda$. Determine $\vec{E}(r)$ nas três regiões: $r<b$, $b<r<c$ e $r>c$.
E7. Uma esfera maciça isolante de raio $a=6\,\text{cm}$ tem carga total $Q=5\,\text{nC}$ uniformemente distribuída em seu volume. Determine a que distância $r>a$ do centro o módulo do campo vale um quarto do valor na superfície, $E(a)/4$.
E8.(Conceitual) Uma superfície gaussiana fechada tem fluxo elétrico líquido nulo. É correto concluir que $\vec{E}=0$ em todos os pontos de $S$? Justifique fisicamente, dando um contraexemplo explícito.
E9. No interior de uma esfera maciça uniformemente carregada ($r<a$), o campo elétrico é $\vec{E}(r) = A\,r\,\hat{r}$, com $A$ constante. Usando a Lei de Gauss na forma pontual, obtenha a densidade volumétrica de carga $\rho$ em função de $A$ e $\varepsilon_0$, e mostre que o resultado é consistente com $A = \rho_0/(3\varepsilon_0)$.
E10. Na interface entre o ar ($\varepsilon_{r1}=1$) e um dielétrico de $\varepsilon_{r2}=5$, o campo elétrico no ar faz ângulo $\theta_1=45°$ com a normal à interface. Não há carga livre na interface. Determine o ângulo $\theta_2$ que o campo faz com a normal no dielétrico.
E11. Um disco de raio $R=0{,}05\,\text{m}$ tem densidade superficial uniforme $\sigma = 8\times10^{-9}\,\text{C/m}^2$. Calcule o campo elétrico no eixo do disco em $z=R$ (ou seja, à distância de um raio do centro) e compare numericamente com o valor que se obteria aproximando o disco por uma carga puntiforme na mesma posição.
E12 (desafio). Uma casca hemisférica de raio $R$ tem uma carga puntiforme $q$ localizada exatamente no centro de curvatura, sobre o plano que contém a borda circular (a "boca" do hemisfério). Usando a Lei de Gauss (sem integração direta de Coulomb sobre a superfície curva), determine o fluxo elétrico através da superfície curva do hemisfério.
E13 (desafio). Uma esfera maciça isolante de raio $a$ tem densidade volumétrica de carga uniforme $\rho_0$. Uma cavidade esférica de raio $b<a$ é escavada no interior da esfera, com centro deslocado de uma distância $d$ em relação ao centro da esfera original (com $d+b\le a$, de modo que a cavidade fique inteiramente contida na esfera). Mostre que o campo elétrico dentro da cavidade é uniforme e determine seu valor em função de $\rho_0$, $\varepsilon_0$ e do vetor deslocamento $\vec{d}$ entre os centros.
E14 (desafio). Uma barra fina de comprimento $L$, colocada ao longo do eixo $x$ entre $x=0$ e $x=L$, tem densidade linear de carga não uniforme $\lambda(x) = \lambda_0\dfrac{x}{L}$ (cresce linearmente de zero, na extremidade $x=0$, até $\lambda_0$, na extremidade $x=L$). Determine o campo elétrico no ponto $P$ sobre o eixo, a uma distância $d$ à esquerda da extremidade $x=0$ (isto é, em $x=-d$).
E15. Um próton está em repouso em uma região onde existe um campo elétrico uniforme $\vec{E}=(0,0,-2\times10^{4})\,\text{N/C}$. Determine o módulo e a direção da força elétrica sobre o próton, e compare (qualitativamente) com o peso do próton — qual força domina, e por quantas ordens de grandeza?
2.16 Gabarito
E1. Para um ponto entre as cargas, a $x$ de $q_1$, os campos de $q_1$ e $q_2$ apontam em sentidos opostos (ambas as cargas são positivas, então cada uma empurra a carga de teste para longe de si). Igualando os módulos:
Com $q_1=4\,\text{nC}$, $q_2=9\,\text{nC}$, $d=0{,}5\,\text{m}$: $\sqrt{q_2/q_1} = \sqrt{9/4} = 3/2$. Logo:
$$
x = \frac{d}{1+\sqrt{q_2/q_1}} = \frac{0{,}5}{1+1{,}5} = 0{,}2\,\text{m}
$$
$$
\boxed{x = 0{,}2\,\text{m à direita de }q_1\quad(\text{ou } 0{,}3\,\text{m à esquerda de }q_2)}
$$
Verificação: $E_1 = k(4\,\text{nC})/(0{,}2)^2 = 898{,}8\,\text{N/C}$ e $E_2 = k(9\,\text{nC})/(0{,}3)^2 = 898{,}8\,\text{N/C}$ — iguais, como esperado.
E2. Coloque $q_1$ e $q_2$ na base do triângulo e $q_3$ no topo (todas as distâncias mútuas $=a$). A força sobre $q_3$ é a soma vetorial de $\vec{F}_{31}$ (de $q_1$ sobre $q_3$) e $\vec{F}_{32}$ (de $q_2$ sobre $q_3$). Como $q_1=q_2=+2\,\text{nC}$ e $q_3=-2\,\text{nC}$, ambas as forças são atrativas, com módulo igual:
Por simetria do triângulo equilátero, as duas forças atrativas fazem ângulo de $60°$ entre si (cada uma aponta de $q_3$ para a respectiva carga da base) e a resultante aponta ao longo da bissetriz, na direção da base, com módulo:
E5. Cada plano $i$ contribui, em qualquer ponto, com módulo $\sigma_i/(2\varepsilon_0)$ na direção $x$, com sinal $+$ se o ponto está à direita do plano $i$ e sinal $-$ se está à esquerda (convenção coerente com $\sigma_i>0$ empurrando para longe do plano e $\sigma_i<0$ atraindo para ele). O campo total em cada região é a soma algébrica $E(x) = \sum_i \pm\dfrac{\sigma_i}{2\varepsilon_0}$, com o sinal de cada termo definido pela posição de $x$ relativa ao plano $i$:
$x<0$ (à esquerda dos três planos, sinal $-$ para todos):
$$
E = -\frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{2\varepsilon_0} = -\frac{(3-2+1)\times10^{-9}}{2(8{,}854\times10^{-12})} \approx -112{,}9\,\text{N/C}
$$
$$
\boxed{E(x<0) \approx 112{,}9\,\text{N/C, apontando no sentido }-x}
$$
$0<x<1$ (à direita de $\sigma_1$: sinal $+$; à esquerda de $\sigma_2,\sigma_3$: sinal $-$):
Note a simetria: fora de todos os planos, o campo só "enxerga" a carga total por unidade de área ($\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3=2\,\text{nC/m}^2$), como uma "casca" efetiva — igual em módulo e oposto em sentido nos dois lados.
E6.Região $r<b$ (dentro do espaço vazio entre o fio e a casca): a única carga envolvida é o fio, $Q_{env}=\lambda L$ para um cilindro gaussiano de comprimento $L$:
Região $b<r<c$ (dentro do condutor): em equilíbrio eletrostático, $\vec{E}=0$ dentro de um condutor:
$$
\boxed{E=0,\quad b<r<c}
$$
Isso obriga a superfície interna da casca ($r=b$) a acumular carga induzida $-\lambda$ por unidade de comprimento (para cancelar o fluxo do fio dentro do condutor). Como a casca tem carga total $-2\lambda$ por comprimento, a superfície externa ($r=c$) deve ter $-2\lambda - (-\lambda) = -\lambda$ por unidade de comprimento.
Região $r>c$: $Q_{env}$ por unidade de comprimento $= \lambda(\text{fio}) + (-2\lambda)(\text{casca}) = -\lambda$:
(Faz sentido: como $E\propto 1/r^2$ fora da esfera, dobrar $r$ divide o campo por 4 — independe dos valores numéricos de $Q$ e $a$.)
E8.Não. $\Phi_E=0$ significa apenas que o fluxo líquido através de $S$ é zero, ou sequivalentemente que a carga líquida envolvida por $S$ é zero ($Q_{env}=0$). Isso não implica $\vec{E}=0$ em cada ponto de $S$ — apenas que, integrado sobre toda a superfície, as contribuições positivas e negativas se cancelam.
Contraexemplo explícito: duas cargas puntiformes iguais e opostas, $+q$ e $-q$, ambas dentro de uma superfície gaussiana esférica $S$. Então $Q_{env} = q + (-q) = 0$, logo $\Phi_E=0$. Porém $\vec{E}\neq 0$ em praticamente todo ponto de $S$ (o campo do dipolo é não nulo em quase todo o espaço) — apenas o fluxo total, somando entradas e saídas de linhas de campo, se anula.
$$
\boxed{\Phi_E=0 \Rightarrow Q_{env}=0,\ \text{mas isso \textbf{não} implica } \vec{E}=0 \text{ pontualmente em } S}
$$
E9. Em coordenadas esféricas, para um campo puramente radial $\vec{E}=E_r(r)\hat r$:
Pela Lei de Gauss na forma pontual, $\nabla\cdot\vec{E} = \rho/\varepsilon_0$:
$$
\boxed{\rho = 3\varepsilon_0 A}
$$
Verificação de consistência: no caso da esfera uniforme (Seção “Esfera sólida uniformemente carregada”), $E(r) = \dfrac{\rho_0}{3\varepsilon_0}r$, ou seja $A=\rho_0/(3\varepsilon_0)$. Substituindo:
confirmando que a densidade recuperada é exatamente a densidade uniforme original — como deveria ser, já que $\rho$ é constante (não depende de $r$), consistente com o campo crescendo linearmente.
E10. Como não há carga livre na interface, a componente tangencial de $\vec{E}$ é contínua e $D_\perp$ é contínuo ($\varepsilon_1 E_{1\perp} = \varepsilon_2 E_{2\perp}$). Segue (Seção “Condições de contorno para $\vec{D}$ em interfaces dielétricas”):
O campo se afasta ainda mais da normal ao entrar no meio de maior permissividade — consistente com a tendência discutida no exemplo ar-água da Seção “Condições de contorno para $\vec{D}$ em interfaces dielétricas”.
E11. Do resultado do disco (Seção “Disco carregado uniformemente no eixo”), com $z=R$:
$$
\boxed{E_{pontual}\approx 226{,}0\,\text{N/C}\quad(\text{erro de }\approx 71\%\text{ em relação ao valor exato})}
$$
Em $z=R$ (não muito distante do disco, $z/R=1$), a aproximação de carga puntiforme falha significativamente — ela só é válida para $z\gg R$, como discutido na Seção “Disco carregado uniformemente no eixo”.
E12 (desafio). A carga está exatamente sobre o plano da borda; portanto, não se pode aplicar diretamente a Lei de Gauss à superfície fechada formada pelo hemisfério e pelo disco, pois a carga estaria sobre a fronteira, não no seu interior. A forma rigorosa de calcular o fluxo é usar o ângulo sólido subtendido pela superfície aberta:
$$
\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\Omega.
$$
Vista do centro de curvatura, a superfície curva do hemisfério cobre exatamente metade das direções do espaço: $\Omega=2\pi\,\text{sr}$. Assim,
O resultado é metade do fluxo associado a uma esfera completa. Como verificação geométrica, no disco da borda o campo é tangente ao plano, de modo que seu fluxo é nulo; isso é compatível com a decomposição por hemisférios, mas não autoriza tratar a carga sobre a fronteira como carga enclausurada na Lei de Gauss.
E13 (desafio). Seja $O$ o centro da esfera original (raio $a$) e $O'$ o centro da cavidade (raio $b$), com $\vec{d}$ o vetor de $O$ a $O'$. A distribuição real (esfera com cavidade) pode ser escrita, por superposição linear, como:
$$
\rho_{\text{real}}(\vec r) = \underbrace{\rho_0\ \text{(esfera cheia de raio }a\text{, centrada em }O\text{)}}_{\text{sistema 1}} \ +\ \underbrace{(-\rho_0)\ \text{(esfera cheia de raio }b\text{, centrada em }O'\text{)}}_{\text{sistema 2}}
$$
pois a soma dessas duas distribuições cancela exatamente a densidade $\rho_0$ dentro da cavidade (sistema 2 tem densidade $-\rho_0$ ali) e reproduz $\rho_0$ no restante da esfera grande — igual à distribuição real.
Pelo princípio da superposição, $\vec E_{\text{real}} = \vec E_1 + \vec E_2$. Para um ponto dentro da cavidade (que está necessariamente dentro de ambas as esferas auxiliares, já que $b<a$ e a cavidade está contida na esfera grande), usamos o resultado da Seção “Esfera sólida uniformemente carregada” para o campo interno de uma esfera uniforme, aplicado a cada sistema com seu próprio centro:
$$
\vec E_1(\vec r) = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\,\vec r \qquad(\vec r \text{ medido a partir de } O)
$$
$$
\vec E_2(\vec r\,') = \frac{-\rho_0}{3\varepsilon_0}\,\vec r\,' \qquad(\vec r\,' \text{ medido a partir de } O')
$$
Como $\vec r = \vec r\,' + \vec d$ (relação geométrica entre os vetores posição medidos a partir de $O$ e de $O'$):
$$
\vec E_{\text{real}} = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\vec r - \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\vec r\,' = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}(\vec r - \vec r\,') = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\vec d
$$
O vetor $\vec d$ é constante (não depende do ponto de observação dentro da cavidade) — logo o campo dentro da cavidade é uniforme:
$$
\boxed{\vec E_{\text{cavidade}} = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\,\vec d\qquad\text{(campo uniforme, independente da posição dentro da cavidade)}}
$$
Este é um resultado notável: apesar da geometria complicada (esfera com um buraco descentralizado), o campo no interior do buraco é perfeitamente uniforme, com módulo proporcional apenas à distância $d$ entre os centros — e independente do raio $b$ da cavidade.
E14 (desafio). Um elemento de carga em posição $x$ (com $0\le x\le L$) tem $dq = \lambda(x)\,dx = \lambda_0\dfrac{x}{L}dx$. A distância desse elemento até o ponto $P$ (em $x=-d$) é $(x+d)$, e o campo que ele produz em $P$ aponta no sentido $-x$ (afastando-se da barra, supondo $\lambda_0>0$):
$$
dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{(x+d)^2} = \frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0 L}\frac{x\,dx}{(x+d)^2}
$$
Integrando de $x=0$ a $x=L$:
$$
E = \frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0 L}\int_0^L \frac{x\,dx}{(x+d)^2}
$$
Substituindo $u=x+d$ (logo $x=u-d$, $dx=du$), com limites $u:d\to L+d$:
apontando no sentido $-x$ (afastando-se da barra, para $\lambda_0>0$).
Verificação numérica com $L=0{,}5\,\text{m}$, $\lambda_0 = 6\,\text{nC/m}$, $d=0{,}2\,\text{m}$: o colchete vale $\ln(3{,}5)+0{,}2/0{,}7-1 = 1{,}2528+0{,}2857-1=0{,}5385$, e:
$$
E = \frac{(8{,}99\times10^9)(6\times10^{-9})}{0{,}5}(0{,}5385) \approx 58{,}1\,\text{N/C}
$$
valor confirmado por integração numérica direta. Note que a carga total da barra é $Q=\int_0^L\lambda_0\frac{x}{L}dx = \dfrac{\lambda_0 L}{2}$ — metade do que teria uma barra uniforme com densidade $\lambda_0$, resultado consistente com a densidade crescendo linearmente de $0$ a $\lambda_0$.
E15. A força elétrica sobre o próton ($q=+e=1{,}602\times10^{-19}\,\text{C}$) é:
$$
\vec F_E = q\vec E = (1{,}602\times10^{-19})(0,0,-2\times10^4)\,\text{N}
$$
$$
\boxed{\vec F_E = (0,\,0,\,-3{,}20\times10^{-15})\,\text{N}\quad\text{(aponta no sentido }-z\text{, mesmo sentido de }\vec E\text{, pois a carga é positiva)}}
$$
O peso do próton ($m_p \approx 1{,}673\times10^{-27}\,\text{kg}$, $g\approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$) é:
$$
P = m_p g \approx (1{,}673\times10^{-27})(9{,}8) \approx 1{,}64\times10^{-26}\,\text{N}
$$
A força elétrica domina o peso por cerca de 11 ordens de grandeza — ilustrando por que efeitos gravitacionais são sistematicamente desprezados em problemas de eletrostática envolvendo partículas subatômicas.
3. Potencial Elétrico, Energia e Dipolo Elétrico
Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Energia Potencial Elétrica · Gradiente do Potencial Elétrico · Equação de Poisson · Energia Armazenada no Campo Elétrico · Dipolo Elétrico
3.1 Objetivos de Aprendizagem
Ao final deste capítulo, você será capaz de:
[ ] Calcular o trabalho e a energia potencial elétrica em campos eletrostáticos.
[ ] Relacionar o campo elétrico ao potencial através da relação $\vec E = -\nabla V$.
[ ] Resolver a equação de Poisson e Laplace para distribuições de carga.
[ ] Calcular a energia armazenada no campo elétrico.
[ ] Analisar dipolos elétricos: potencial, campo, torque e energia em campos externos.
3.2 Intuição Física: Por que Potencial Elétrico?
O potencial elétrico $V$ é uma ferramenta matemática poderosa porque:
É um escalar, muito mais fácil de calcular do que o campo vetorial $\vec E$.
Uma vez conhecido $V$, o campo é obtido por derivada: $\vec E = -\nabla V$.
A diferença de potencial (tensão) é o que "impulsiona" correntes em circuitos elétricos.
O potencial é análogo à "altitude" em um campo gravitacional: cargas positivas "caem" de potencial alto para baixo, como objetos caem de alta para baixa altitude.
3.3 Aplicações no Mundo Real
Conceito
Aplicação Prática
Potencial elétrico
Tensão em circuitos eletrônicos e distribuição de energia
Equação de Poisson/Laplace
Projeto de capacitores, eletrodos e blindagem eletromagnética
Energia no campo elétrico
Armazenamento de energia em capacitores e supercapacitores
Simulação de campos em sistemas complexos (geofísica, astrofísica)
3.4 Antes de começar
Ao final, você deve relacionar trabalho, potencial e campo, usar Poisson/Laplace, calcular energia eletrostática e reconhecer os limites da aproximação de dipolo. Diagnóstico: potencial nulo em um ponto garante campo nulo nesse ponto? Evidência mínima: derivar $\vec E=-\nabla V$, comparar potencial exato e aproximado e conferir sinais de energia de dipolos.
3.5 Trabalho e Energia Potencial Elétrica
3.5.1 O campo eletrostático é conservativo
O trabalho realizado pela força elétrica ao mover uma carga de teste $q_0$ de um ponto $A$ até $B$ é:
Para uma carga puntiforme fonte $q$ na origem, com $\vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat{r}$, escolhendo um caminho radial (o resultado independe do caminho, como se mostra a seguir):
O resultado depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho percorrido — a marca registrada de uma força conservativa. Isso decorre matematicamente do fato de que $\vec{E}$ de uma carga puntiforme é irrotacional:
$$
\nabla\times\vec{E} = 0
$$
(pode-se verificar isso diretamente calculando o rotacional de $\hat{r}/r^2$ em coordenadas esféricas, ou reconhecer que qualquer campo puramente radial com dependência apenas de $r$ tem rotacional nulo). Por superposição, o campo de qualquer distribuição estática de cargas também é irrotacional — propriedade que caracteriza a eletrostática frente à eletrodinâmica geral (onde $\nabla\times\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t \neq 0$, Lei de Faraday).
3.5.2 Energia potencial elétrica
Como a força é conservativa, define-se a energia potencial elétrica $U$ tal que $W_{A\to B} = -(U_B - U_A) = U_A - U_B$. Comparando com o resultado acima:
Note que $V$ é um escalar — em geral muito mais simples de calcular que $\vec{E}$ (vetor), o que faz do potencial uma ferramenta intermediária poderosa.
3.6.2 Relação campo–potencial: o gradiente
Da definição $V(\vec{r}) = -\int_{\text{ref}}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}$, a variação infinitesimal de $V$ ao longo de um deslocamento $d\vec{\ell}$ é:
$$
dV = -\vec{E}\cdot d\vec{\ell}
$$
Mas, por definição de gradiente, $dV = \nabla V\cdot d\vec{\ell}$ para qualquer deslocamento $d\vec{\ell}$. Como isso vale para qualquer direção de $d\vec{\ell}$, conclui-se:
Verificação de consistência: como $\nabla\times(\nabla V) \equiv 0$ para qualquer função escalar $V$ (identidade vetorial), a relação $\vec{E}=-\nabla V$ automaticamente garante $\nabla\times\vec{E}=0$, coerente com a Seção “O campo eletrostático é conservativo”.
3.7 Equação de Poisson e de Laplace
3.7.1 Dedução
Partindo da Lei de Gauss na forma pontual (arquivo anterior):
Em regiões sem carga livre ($\rho=0$), a equação se reduz à Equação de Laplace:
$$
\boxed{\nabla^2 V = 0}
$$
3.7.2 Por que essas equações são centrais
A Equação de Poisson/Laplace transforma um problema de eletrostática (encontrar $\vec{E}$ dada $\rho$) em um problema de valor de contorno para uma EDP escalar de segunda ordem. Com dados de Dirichlet adequados, $V$ é único. Com dados puramente de Neumann, a solução — quando existe — é única até uma constante aditiva, que não altera $\vec E=-\nabla V$; além disso, fonte e fluxo normal prescrito devem satisfazer a condição de compatibilidade obtida ao integrar Poisson e aplicar Gauss. Isso justifica métodos como separação de variáveis, funções de Green e imagens, sem esconder as condições de existência.
3.8 Expansão multipolar
3.8.1 Expansão da integral de Poisson — monopolo e dipolo
A solução da equação de Poisson pode ser escrita como:
Quando o ponto de observação está longe da distribuição de carga ($r\gg r'$), podemos expandir $\dfrac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$ em série de Taylor. Usando a identidade:
com $\vec{p} = \displaystyle\int \vec{r}'\,\rho(\vec{r}')\,dV'$ — o momento de dipolo da distribuição. Este termo domina quando a carga total é zero (ou próxima de zero).
com o tensor de quadrupolo $Q_{ij} = \displaystyle\int\left(3x_i'x_j'-r'^2\delta_{ij}\right)\rho(\vec{r}')\,dV'$.
Regra geral: cada termo multipolar adicional cai mais rápido ($1/r^{\ell+1}$), de modo que a grande distância, apenas o primeiro termo não-nulo é relevante.
3.8.2 Solução numérica por relaxação (diferenças finitas)
Discretizando o laplaciano 2D em uma malha regular de espaçamento $h$:
$$
\nabla^2 V \approx \frac{V_{i+1,j}+V_{i-1,j}+V_{i,j+1}+V_{i,j-1}-4V_{i,j}}{h^2}
$$
Impondo $\nabla^2 V = 0$ (região sem carga), obtém-se a regra da média:
que é a base do método de relaxação de Jacobi/Gauss-Seidel: cada ponto converge para a média de seus vizinhos, sujeito às condições de contorno fixas.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdefresolver_laplace_2d(N=100,iters=6000,V_top=100.0,V_bottom=-100.0,V_left=0.0,V_right=0.0):"""Resolve Laplace em uma caixa quadrada com condições de Dirichlet."""V=np.zeros((N,N))V[0,:]=V_topV[-1,:]=V_bottomV[:,0]=V_leftV[:,-1]=V_rightfor_inrange(iters):V_new=V.copy()V_new[1:-1,1:-1]=0.25*(V[2:,1:-1]+V[:-2,1:-1]+V[1:-1,2:]+V[1:-1,:-2])V_new[0,:],V_new[-1,:]=V_top,V_bottomV_new[:,0],V_new[:,-1]=V_left,V_rightV=V_newreturnVV=resolver_laplace_2d()Ey,Ex=np.gradient(-V)# E = -grad(V); np.gradient devolve (d/d_linha, d/d_coluna)fig,axs=plt.subplots(1,2,figsize=(11,5))c=axs[0].imshow(V,cmap='RdBu_r')axs[0].set_title('Potencial V (relaxação numérica)')plt.colorbar(c,ax=axs[0])axs[1].streamplot(np.arange(V.shape[1]),np.arange(V.shape[0]),Ex,Ey,color='k',density=1.2)axs[1].set_title('Campo E = -∇V (derivado numericamente)')axs[1].invert_yaxis()plt.tight_layout()
3.9 Energia Armazenada no Campo Elétrico
3.9.1 Energia para montar uma distribuição de cargas
Considere trazer cargas do infinito, uma a uma, para montar uma distribuição final. A energia total é o trabalho necessário para isso. Para $N$ cargas puntiformes, o resultado (bem conhecido) é:
$$
U = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N q_i V_i
$$
onde $V_i$ é o potencial no local da carga $i$ devido a todas as outras cargas. O fator $\frac12$ evita contar cada par de cargas duas vezes.
Para uma distribuição contínua suficientemente regular, a soma vira integral:
$$
U = \frac{1}{2}\int_V \rho(\vec{r})\,V(\vec{r})\,dV.
$$
Para cargas puntiformes, $V_i$ na soma exclui o potencial da própria carga. Já a integral de $E^2$ inclui a autoenergia, que diverge no modelo clássico de ponto. Portanto, a equivalência abaixo vale diretamente para distribuições contínuas de energia finita; para pontos, deve-se remover/regularizar as autoenergias antes de comparar apenas a energia de interação.
3.9.2 Reescrevendo em termos do campo
Usando $\rho = \varepsilon_0\nabla\cdot\vec{E}$ (Lei de Gauss pontual):
$$
U = \frac{\varepsilon_0}{2}\int_V (\nabla\cdot\vec{E})\,V\,dV
$$
Usa-se a identidade vetorial $\nabla\cdot(V\vec{E}) = V(\nabla\cdot\vec{E}) + \vec{E}\cdot\nabla V$, isto é, $(\nabla\cdot\vec{E})V = \nabla\cdot(V\vec{E}) - \vec{E}\cdot\nabla V$:
$$
U = \frac{\varepsilon_0}{2}\int_V \nabla\cdot(V\vec{E})\,dV - \frac{\varepsilon_0}{2}\int_V \vec{E}\cdot\nabla V\,dV
$$
Aplicando o Teorema do Divergente ao primeiro termo (convertendo em integral de superfície) e usando $\nabla V = -\vec{E}$ no segundo:
$$
U = \frac{\varepsilon_0}{2}\oint_S V\vec{E}\cdot d\vec{A} + \frac{\varepsilon_0}{2}\int_V E^2\,dV
$$
Se estendermos $V$ (o volume de integração) para todo o espaço, a integral de superfície é avaliada no infinito, onde $V\to 1/r$ e $E\to 1/r^2$, enquanto a área cresce como $r^2$ — o integrando cai como $1/r$ e a integral de superfície se anula quando $r\to\infty$. Resta:
Essa reformulação é conceitualmente profunda: em vez de atribuir a energia às cargas (integral sobre $\rho V$, restrita às regiões com carga), pode-se atribuí-la ao campo (integral sobre $E^2$, estendida a todo o espaço, mesmo onde não há carga). Essa segunda visão é a que sobrevive na eletrodinâmica geral e nas ondas eletromagnéticas: um campo de radiação transporta energia através do espaço vazio, longe de qualquer carga — algo inexplicável na primeira visão, mas natural na densidade de energia $u_E = \frac12\varepsilon_0 E^2$ (que reaparecerá, com um termo magnético análogo, na Parte 2 da apostila).
3.10 Dipolo Elétrico
3.10.1 Definição e momento de dipolo
Um dipolo elétrico é o sistema de duas cargas puntiformes $+q$ e $-q$ separadas por um vetor deslocamento $\vec{d}$ (apontando da carga negativa para a positiva). Define-se o momento de dipolo:
$$
\vec{p} \equiv q\,\vec{d}
$$
3.10.2 Dedução do potencial em campo distante
Coloque $+q$ em $\vec{d}/2$ e $-q$ em $-\vec{d}/2$. O potencial em um ponto $\vec{r}$ (com $r\gg d$):
onde $r_\pm = |\vec{r}\mp\vec{d}/2|$. Expandindo $r_\pm$ em série para $d\ll r$, usando lei dos cossenos com $\theta$ o ângulo entre $\vec{r}$ e $\vec{d}$:
Note a queda com $1/r^2$ (mais rápida que $1/r$ da carga puntiforme) — reflexo do cancelamento parcial entre as cargas opostas a grandes distâncias.
3.10.3 Campo elétrico do dipolo
Aplicando $\vec{E} = -\nabla V$ em coordenadas esféricas ($\nabla = \hat{r}\partial_r + \hat\theta\frac{1}{r}\partial_\theta$, sem dependência em $\phi$ por simetria azimutal):
O campo cai como $1/r^3$ — mais rápido ainda que o potencial, como esperado (o campo é derivada do potencial).
3.10.4 Torque e energia em um campo externo
Em um campo externo uniforme $\vec{E}_{ext}$, a força líquida sobre o dipolo é nula (as forças em $+q$ e $-q$ se cancelam), mas há um torque líquido, pois as forças atuam em pontos diferentes:
Esse torque tende a alinhar $\vec{p}$ com $\vec{E}_{ext}$. A energia potencial associada (trabalho para girar o dipolo de uma orientação de referência perpendicular a $\vec{E}_{ext}$) é:
$$
\boxed{U = -\vec{p}\cdot\vec{E}_{ext}}
$$
mínima (mais estável) quando $\vec{p}$ está paralelo a $\vec{E}_{ext}$ — princípio por trás da polarização de dielétricos (próximo arquivo) e de fenômenos como a ressonância magnética/elétrica em moléculas polares.
3.10.5 Exemplo Resolvido Passo a Passo: Torque e Energia de um Dipolo em Campo Externo
Problema: Um dipolo elétrico com momento $p = 5\times10^{-29}\,\text{C}\cdot\text{m}$ é colocado em um campo elétrico externo uniforme $E_{ext} = 10^6\,\text{V/m}$. Determine: (a) o torque sobre o dipolo quando ele faz um ângulo $\theta = 60°$ com o campo; (b) o trabalho necessário para girar o dipolo da posição $\theta = 60°$ para $\theta = 0°$ (paralelo ao campo);
Passo 1: Calcular o torque $\tau$ para $\theta = 60°$.
O torque sobre um dipolo em um campo externo é dado por:
O sinal negativo indica que o campo elétrico realiza trabalho positivo sobre o dipolo enquanto ele gira espontaneamente para o alinhamento; o agente externo precisa apenas "segurar" o dipolo para que o processo seja quase-estático, realizando trabalho negativo.
3.10.6 Dipolo em campo não-uniforme: força líquida
No caso de campo não-uniforme, as forças em $+q$ e $-q$ não se cancelam perfeitamente. Para um dipolo pequeno $\vec{p}$ em um campo externo $\vec{E}_{ext}$:
A força sobre $+q$ (na posição $\vec{r}+\vec{d}/2$):
A força é atrativa (negativa) para $p,q$ do mesmo sinal — o dipolo é puxado em direção à carga, pois o campo é mais forte do lado da carga oposta ao dipolo.
3.10.7 Energia de interação entre dois dipolos
A energia potencial de um dipolo $\vec{p}_1$ no campo de outro dipolo $\vec{p}_2$ (na posição $\vec{r}$, com $r\gg d_1,d_2$):
$$
U = -\vec{p}_1\cdot\vec{E}_2(\vec{r}) = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}_1\cdot\left[3(\vec{p}_2\cdot\hat{r})\hat{r}-\vec{p}_2\right]}{r^3}
$$
Esta expressão mostra que a interação entre dipolos é anisotrópica e de longo alcance ($1/r^3$ para o potencial, $1/r^4$ para a força).
Casos especiais:
Dois dipolos paralelos e alinhados com a linha que os separa ($\vec{p}_1\parallel\vec{p}_2\parallel\hat{r}$): $U = -\dfrac{2p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$ — atrativa (configuração "cabeça-cauda": o polo positivo de um fica próximo do polo negativo do outro).
Dois dipolos paralelos e perpendiculares a $\hat{r}$: $U = \dfrac{p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$ — repulsiva (configuração "lado a lado": polos de mesmo sinal ficam mais próximos entre si).
Dois dipolos perpendiculares entre si e a $\hat{r}$: $U=0$ — nenhuma interação de primeira ordem.
Este resultado é fundamental para entender forças intermoleculares (forças de van der Waals), onde dipolos induzidos e permanentes interagem.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx=y=np.linspace(-3,3,180);X,Y=np.meshgrid(x,y)defcampo(q,x0):dx,r2=X-x0,(X-x0)**2+Y**2+.02returnq*dx/r2**1.5,q*Y/r2**1.5Ep=campo(1,-1);En=campo(-1,1)Ex,Ey=Ep[0]+En[0],Ep[1]+En[1]fig,ax=plt.subplots(figsize=(7,5))ax.streamplot(x,y,Ex,Ey,density=1.45,color=np.log1p(np.hypot(Ex,Ey)),cmap="viridis")ax.scatter([-1,1],[0,0],s=140,c=["#dc2626","#2563eb"],zorder=3)ax.text(-1.12,.15,"+Q");ax.text(.9,.15,"−Q");ax.set_aspect("equal")ax.set(title="Linhas de campo de um dipolo elétrico",xlabel="$x$",ylabel="$y$")plt.tight_layout()
3.11 Exercícios Resolvidos em Python
3.11.1 Roteiro computacional
Objetivo. Comparar potenciais exatos e expansões multipolares, verificar $\vec E=-\nabla V$ e calcular energias de interação.
Como executar. Requer numpy e matplotlib. Para cada aproximação, registre $r/d$ e o erro relativo; isso explicita o domínio de validade.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plteps0=8.854e-12k=1/(4*np.pi*eps0)# === Seção “Expansão multipolar”: Expansão multipolar ===defpotencial_monopolo(r,Q):"""Potencial do termo monopolo (carga total)."""returnk*Q/rdefpotencial_dipolo(r,theta,p):"""Potencial do termo dipolo."""returnk*p*np.cos(theta)/r**2defpotencial_quadrupolo(z,Qzz):"""Potencial do termo quadrupolo (componente Qzz, no eixo z)."""returnk*Qzz/(2*z**3)# Distribuição de 4 cargas: +q,-q,+q,-q em um quadrado 2x2 (quadrupolo puro)defpotencial_quadrupolo_exato(x,y,q,a):"""Potencial exato de 4 cargas nos vértices de um quadrado."""V=0pos_charges=[(a,a,q),(-a,a,-q),(a,-a,-q),(-a,-a,q)]forsx,sy,qcinpos_charges:r=np.sqrt((x-sx)**2+(y-sy)**2)V+=k*qc/rreturnV# Verificação: dipolo de cargas +q/-q ao longo de z, observado no próprio eixodefpotencial_dipolo_exato_eixo(z,q,d):"""Potencial exato de um dipolo centrado na origem e orientado em z."""V_plus=k*q/np.sqrt((z-d/2)**2)V_minus=-k*q/np.sqrt((z+d/2)**2)returnV_plus+V_minusq,d=1e-9,0.01# dipolo com momento p=q*dz=1.0# z >> dp=q*dV_exato=potencial_dipolo_exato_eixo(z,q,d)V_aprox_dipolo=potencial_dipolo(z,0,p)# theta=0 no eixo: cos(theta)=1print(f"Potencial exato (2 cargas no eixo z): {V_exato:.6e} V")print(f"Potencial dipolo (no eixo): {V_aprox_dipolo:.6e} V")print(f"Erro relativo da aproximação: {abs(V_aprox_dipolo/V_exato-1):.3e}")# === Seção “Energia Armazenada no Campo Elétrico”: Energia armazenada ===defenergia_cargas_pontuais(charges,positions):"""Energia potencial de um sistema de cargas puntiformes."""U=0.0n=len(charges)foriinrange(n):forjinrange(i+1,n):r_ij=np.sqrt(sum((positions[i][k]-positions[j][k])**2forkinrange(2)))U+=k*charges[i]*charges[j]/r_ijreturnU# 3 cargas: +q, +q, -q em triângulo equilátero de lado aa=1e-2charges=[1e-9,1e-9,-1e-9]positions=[(0,0),(a,0),(a/2,a*np.sqrt(3)/2)]U=energia_cargas_pontuais(charges,positions)print(f"\nEnergia do sistema de 3 cargas: {U:.6e} J")# === Seção “Dipolo Elétrico”: Dipolo ===defcampo_dipolo(r,theta,p):Er=2*k*p*np.cos(theta)/r**3Etheta=k*p*np.sin(theta)/r**3returnEr,Ethetadefpotencial_exato_2cargas(x,y,q,d):r_mais=np.sqrt(x**2+(y-d/2)**2)r_menos=np.sqrt(x**2+(y+d/2)**2)returnk*q*(1/r_mais-1/r_menos)# Comparação numérica: aproximação de dipolo vs. cálculo exatoq,d=1e-9,1e-3p=q*dtheta=np.deg2rad(30)r=2.0V_aprox=potencial_dipolo(r,theta,p)x,y=r*np.sin(theta),r*np.cos(theta)V_exato=potencial_exato_2cargas(x,y,q,d)print(f"\nV aproximado (dipolo ideal): {V_aprox:.6e} V")print(f"V exato (duas cargas): {V_exato:.6e} V")print(f"Erro relativo: {abs(V_aprox-V_exato)/abs(V_exato):.4%}")# Verificação numérica de E = -grad(V) por diferenças finitasdefV_dipolo_cartesiano(x,y,p):r=np.sqrt(x**2+y**2)theta=np.arctan2(x,y)returnk*p*np.cos(theta)/r**2h=1e-6x0,y0=0.5,0.8dVdx=(V_dipolo_cartesiano(x0+h,y0,p)-V_dipolo_cartesiano(x0-h,y0,p))/(2*h)dVdy=(V_dipolo_cartesiano(x0,y0+h,p)-V_dipolo_cartesiano(x0,y0-h,p))/(2*h)print(f"E_x numérico = {-dVdx:.4e}, E_y numérico = {-dVdy:.4e}")# === Seção “Dipolo em campo não-uniforme: força líquida”: Dipolo em campo não-uniforme ===defforça_dipolo_nao_uniforme(p,q,z):"""Força sobre um dipolo p em campo de carga q no eixo z."""F=-2*p*q/(4*np.pi*eps0*z**3)returnFp,q,z=1e-12,1e-9,0.01F=força_dipolo_nao_uniforme(p,q,z)print(f"\nForça sobre dipolo em campo não-uniforme: {F:.6e} N")# === Seção “Energia de interação entre dois dipolos”: Energia entre dois dipolos ===defenergia_dois_dipolos(p1,p2,r,theta1,theta2,phi_diff):""" Energia entre dois dipolos. theta1, theta2: ângulos com a linha que os separa phi_diff: diferença de ângulo azimutal """cos_theta1=np.cos(theta1)cos_theta2=np.cos(theta2)cos_phi=np.cos(phi_diff)# Forma simplificada para dipolos no plano xzp1_vec=p1*np.array([np.sin(theta1),0,np.cos(theta1)])p2_vec=p2*np.array([np.sin(theta2)*np.cos(phi_diff),np.sin(theta2)*np.sin(phi_diff),np.cos(theta2)])r_hat=np.array([0,0,1])U=k*(np.dot(p1_vec,p2_vec)-3*np.dot(p1_vec,r_hat)*np.dot(p2_vec,r_hat))/r**3returnU# Paralelos e alinhados com a separação (atrativos)U_atr=energia_dois_dipolos(1e-12,1e-12,0.01,0,0,0)# Paralelos e perpendiculares à separação (repulsivos)U_rep=energia_dois_dipolos(1e-12,1e-12,0.01,np.pi/2,np.pi/2,0)print(f"Energia (paralelos, alinhados): {U_atr:.6e} J")print(f"Energia (paralelos, perpendiculares): {U_rep:.6e} J")print(f"Sinal oposto = atração vs repulsão ✓")# === Visualização: linhas de campo e equipotenciais do dipolo ===theta_plot=np.linspace(0,2*np.pi,100)r_plot=np.linspace(0.1,3,50)Theta,R=np.meshgrid(theta_plot,r_plot)X=R*np.sin(Theta)Y=R*np.cos(Theta)V_plot=np.zeros_like(X)foriinrange(len(X)):forjinrange(len(X[i])):r=np.sqrt(X[i,j]**2+Y[i,j]**2)ifr>0.01:theta=np.arctan2(X[i,j],Y[i,j])V_plot[i,j]=k*p*np.cos(theta)/r**2fig,(ax1,ax2)=plt.subplots(1,2,figsize=(12,5))contour=ax1.contour(X,Y,V_plot,levels=20,cmap='RdBu_r')ax1.set_aspect('equal')ax1.set_title('Equipotenciais do dipolo')plt.colorbar(contour,ax=ax1)# Campo E no planox_field=y_field=np.linspace(-3,3,180)X_field,Y_field=np.meshgrid(x_field,y_field)R_field=np.hypot(X_field,Y_field)Theta_field=np.arctan2(X_field,Y_field)er,etheta=campo_dipolo(R_field,Theta_field,p)Ex=er*np.sin(Theta_field)+etheta*np.cos(Theta_field)Ey=er*np.cos(Theta_field)-etheta*np.sin(Theta_field)ax2.streamplot(x_field,y_field,Ex,Ey,color='b',density=1.5)ax2.set_aspect('equal')ax2.set_title('Campo elétrico do dipolo')ax2.set_xlabel('x')ax2.set_ylabel('y')plt.tight_layout()
Output:
Potencial exato (2 cargas no eixo z): 8.987967e-02 V
Potencial dipolo (no eixo): 8.987742e-02 V
Erro relativo da aproximação: 2.500e-05
Energia do sistema de 3 cargas: -8.987742e-07 J
V aproximado (dipolo ideal): 1.945903e-03 V
V exato (duas cargas): 1.945903e-03 V
Erro relativo: 0.0000%
E_x numérico = 1.4433e-02, E_y numérico = 1.2388e-02
Força sobre dipolo em campo não-uniforme: -1.797548e-05 N
Energia (paralelos, alinhados): -1.797548e-08 J
Energia (paralelos, perpendiculares): 8.987742e-09 J
Sinal oposto = atração vs repulsão ✓
Expansão multipolar: o termo monopolo domina a grande distância se $Q\neq0$; o dipolo domina se $Q=0$; o quadrupolo se $Q=p=0$, etc.
Energia de cargas: o fator $\tfrac{1}{2}$ evita dupla contagem de pares.
Dipolo: aproximação de campo distante converge conforme $r\gg d$.
Potencial escalar: Mais fácil de calcular que campo vetorial; $\vec E = -\nabla V$.
Equação de Poisson/Laplace: EDPs fundamentais para problemas de valor de contorno.
Energia no campo: $u_E = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ — energia armazenada no espaço, não apenas nas cargas.
Dipolo: Sistema de duas cargas opostas; momento $\vec p = q\vec d$.
Interação dipolo-dipolo: Anisotrópica ($1/r^3$ para potencial, $1/r^4$ para força).
3.13 Lista de Exercícios Propostos
E1 (Trabalho e energia potencial). Uma carga puntiforme $q_1 = 2\,\mu\text{C}$ está fixa na origem. Uma carga de teste $q_2=-3\,\mu\text{C}$ é trazida de $r_A=50\,\text{cm}$ até $r_B=20\,\text{cm}$, ao longo de um caminho arbitrário. Calcule o trabalho realizado pela força elétrica e diga se ele é positivo ou negativo, justificando fisicamente.
E2 (Potencial e gradiente). O potencial elétrico em uma região é dado por $V(x,y,z) = A(2x^2-y^2-z^2)$, com $A$ constante. (a) Determine $\vec{E}(x,y,z)$. (b) Verifique se essa região pode ser eletrostática no vácuo sem cargas livres (equação de Laplace). (c) Calcule $\vec E$ no ponto $(1,1,1)$ m para $A=10\ \text{V/m}^2$.
E3 (Equação de Poisson). Uma esfera de raio $R$ possui densidade volumétrica de carga não uniforme $\rho(r) = \rho_0\, r/R$ para $r\le R$ (e $\rho=0$ fora). Usando a Lei de Gauss (forma integral, com simetria esférica), determine $E(r)$ para $r<R$ e para $r>R$. Em seguida, verifique que o resultado interno é consistente com a equação de Poisson em coordenadas esféricas, $\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{dr}\left(r^2\dfrac{dV}{dr}\right) = -\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$.
E4 (Equação de Laplace). Mostre que $V(x,y) = V_0\left(\dfrac{x^2-y^2}{L^2}\right)$ satisfaz a equação de Laplace em uma região livre de cargas (independente de $z$). Esboce qualitativamente duas equipotenciais ($V>0$ e $V<0$) e determine o campo elétrico associado.
E5 (Expansão multipolar — dipolo). Duas cargas $+3\,\text{nC}$ e $-3\,\text{nC}$ estão separadas por $d=4\,\text{mm}$. Calcule, usando a aproximação de dipolo: (a) o momento de dipolo $p$; (b) o potencial no ponto a $r=30\,\text{cm}$ do centro, na direção $\theta=60°$ em relação ao eixo do dipolo; (c) o módulo do campo elétrico nesse mesmo ponto.
E6 (Expansão multipolar — quadrupolo linear). Três cargas estão alinhadas no eixo $z$: $+q$ em $z=+d$, $-2q$ em $z=0$, e $+q$ em $z=-d$ (um "quadrupolo linear", com momento de dipolo total nulo por simetria). (a) Mostre que o momento de dipolo total é zero. (b) Calcule o tensor de quadrupolo $Q_{zz} = \sum_i (3z_i^2-r_i^2)q_i$. (c) Escreva o potencial aproximado no eixo $z$, para $z\gg d$, e compare numericamente com o valor exato para $q=2\,\text{nC}$, $d=2\,\text{cm}$, $z=2\,\text{m}$.
E7 (Energia armazenada no campo). Um capacitor de placas paralelas tem campo uniforme $E=2\times10^4\,\text{V/m}$ confinado a um volume de $A=50\,\text{cm}^2$ por $s=1\,\text{mm}$ de espessura entre as placas. Calcule a densidade de energia $u_E$ e a energia total armazenada $U$ nesse volume.
E8 (Energia de um sistema de cargas). Três cargas idênticas $q=1\,\text{nC}$ são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado $a=3\,\text{cm}$. (a) Calcule a energia potencial total do sistema por dois métodos: soma direta sobre pares, e a fórmula $U=\frac12\sum_i q_i V_i$. (b) Quanto trabalho externo é necessário para trazer as três cargas do infinito até essa configuração?
E9 (Desafio — energia de uma casca esférica). Uma casca esférica fina de raio $R$ tem carga total $Q$ distribuída uniformemente em sua superfície. Usando a Lei de Gauss (campo nulo dentro, $E=kQ/r^2$ fora) e a fórmula da densidade de energia do campo $u_E=\frac12\varepsilon_0 E^2$ (Seção “Expansão multipolar”), calcule a energia eletrostática total armazenada, integrando $u_E$ sobre todo o espaço externo à casca. Expresse o resultado em termos de $Q$, $R$ e $\varepsilon_0$, e compare (em forma) com a energia potencial de duas cargas puntiformes separadas por $R$.
E10 (Torque e energia do dipolo). Um dipolo com $p=5\times10^{-29}\,\text{C}\cdot\text{m}$ está inicialmente alinhado perpendicularmente a um campo externo uniforme $E_{ext}=10^6\,\text{V/m}$. (a) Calcule o torque inicial sobre o dipolo. (b) Calcule o trabalho realizado por um agente externo para girar o dipolo lentamente (quase-estaticamente) da posição perpendicular até a posição de equilíbrio estável. (c) Repita para a posição de equilíbrio instável (antiparalelo).
E11 (Dipolo em campo não uniforme — fio infinito). Um fio retilíneo infinito, com densidade linear de carga $\lambda>0$, cria um campo $E(s) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s}$ (radial, perpendicular ao fio, a uma distância $s$). Um pequeno dipolo de momento $p$, orientado radialmente (apontando para fora do fio), está a uma distância $s_0$ do fio. (a) Determine a força líquida sobre o dipolo (módulo, direção e sentido). (b) O dipolo é atraído ou repelido pelo fio? Justifique fisicamente comparando com o Exemplo da Seção “Dipolo em campo não-uniforme: força líquida”.
E12 (Interação entre dois dipolos). Dois dipolos idênticos, $p_1=p_2=p$, estão separados por uma distância $r$. (a) Escreva a energia de interação para as três configurações notáveis discutidas na Seção “Energia de interação entre dois dipolos” (paralelos alinhados com $\hat r$; paralelos perpendiculares a $\hat r$; perpendiculares entre si e a $\hat r$). (b) Partindo diretamente da definição de energia de duas cargas puntiformes (sem usar a fórmula de dipolo), calcule a energia exata do sistema de 4 cargas para o caso "alinhados com $\hat r$", com $p=qd$, $d\ll r$, expandindo em série até ordem $1/r^3$, e verifique com qual fórmula da Seção “Energia de interação entre dois dipolos” o resultado coincide.
E13 (Desafio — dipolos da água, ordem de grandeza). A molécula de água tem momento de dipolo permanente $p\approx 6{,}2\times10^{-30}\,\text{C}\cdot\text{m}$. (a) Estime a energia de interação (em elétron-volts) entre duas moléculas de água separadas por $r=0{,}3\,\text{nm}$ (dimensão molecular típica), na configuração mais atrativa possível (dentre as da Seção “Energia de interação entre dois dipolos”, reexaminadas no item (b) do E12). (b) Compare essa energia com a energia térmica $k_BT$ à temperatura ambiente ($T=300\,\text{K}$, $k_B=1{,}38\times10^{-23}\,\text{J/K}$) e comente se a interação dipolo-dipolo sozinha explicaria a coesão da água líquida a essa distância.
E14 (Campo e potencial exatos vs. aproximação de dipolo). Duas cargas $+q$ e $-q$ ($q=1\,\text{nC}$) estão em $z=+0{,}5\,\text{mm}$ e $z=-0{,}5\,\text{mm}$. Calcule o potencial exato (soma das duas cargas puntiformes) e o potencial aproximado de dipolo no ponto $(x,y,z)=(0,\,0{,}02,\,0)$ m (i.e., no plano equatorial, $\theta=90°$, $r=2\,\text{cm}$). Compare os dois resultados.
Fisicamente: as cargas têm sinais opostos, logo se atraem; ao ser trazida de $r_A$ para $r_B<r_A$ (mais perto), a força elétrica (atrativa) realiza trabalho positivo sobre $q_2$ — o sistema perde energia potencial ($U_B<U_A$), consistente com $W=U_A-U_B>0$.
E2.
(a) Gradiente de $V=A(2x^2-y^2-z^2)$:
$$
\vec E = -\nabla V = -\left(4Ax\,\hat x - 2Ay\,\hat y - 2Az\,\hat z\right)
$$
$$
\boxed{\vec E = -4Ax\,\hat x + 2Ay\,\hat y + 2Az\,\hat z}
$$
As equipotenciais $V=\text{const.}\neq0$ são hipérboles $x^2-y^2=\text{const.}$ no plano $xy$ (para $V>0$, abrindo ao longo de $x$; para $V<0$, abrindo ao longo de $y$); $V=0$ corresponde às retas $y=\pm x$. Esse é o padrão típico de um "canto" ou "quina" equipotencial de $90°$, usado como modelo local de campo perto de eletrodos angulares.
Campo elétrico:
$$
\vec E = -\nabla V = -\frac{2V_0}{L^2}\left(x\,\hat x - y\,\hat y\right) = \frac{2V_0}{L^2}\left(-x\,\hat x+y\,\hat y\right)
$$
E5.
(a) Momento de dipolo:
$$
p = qd = (3\times10^{-9})(4\times10^{-3}) = 1{,}2\times10^{-11}\ \text{C}\cdot\text{m}
$$
(b) Potencial (Seção “Dedução do potencial em campo distante”, $\theta=60°\Rightarrow\cos\theta=0{,}5$, $r=0{,}3$ m):
$$
V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\cos\theta}{r^2} = (8{,}9875\times10^9)\frac{(1{,}2\times10^{-11})(0{,}5)}{(0{,}3)^2}
$$
$$
\boxed{V \approx 0{,}599\ \text{V}}
$$
(c) Módulo do campo (Seção “Campo elétrico do dipolo”, $E=\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\sqrt{1+3\cos^2\theta}$):
$$
E = (8{,}9875\times10^9)\frac{1{,}2\times10^{-11}}{(0{,}3)^3}(1{,}323)
$$
$$
\boxed{E \approx 5{,}28\ \text{V/m}}
$$
E6.
(a) Momento de dipolo total: $p = \sum_i q_i z_i = (q)(d) + (-2q)(0) + (q)(-d) = 0$. $\checkmark$ (o sistema tem simetria que garante $p=0$: a carga positiva "extra" de um lado é compensada pela do outro lado, restando apenas o efeito de segunda ordem no quadrupolo.)
(b) Tensor de quadrupolo (elemento $zz$), com $x_i=y_i=0$ logo $r_i'^2=z_i^2$ para cada carga pontual, $3z_i^2-r_i'^2 = 2z_i^2$:
(c) Potencial no eixo ($x=y=0$, usando a fórmula da Seção “Equação de Poisson e de Laplace”.3 particularizada ao eixo, $V_{quad}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q_{zz}}{2z^3}$):
Verificação via $U=\frac12\sum_i q_iV_i$: cada carga sente o potencial das outras duas, ambas à distância $a$: $V_i = 2kq/a$ para cada $i$. Logo:
$$
U = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 q\left(\frac{2kq}{a}\right) = \frac12(3)\left(\frac{2kq^2}{a}\right) = \frac{3kq^2}{a}
$$
Mesmo resultado. $\checkmark$ (o fator $\frac12$ compensa exatamente a dupla contagem: cada par $i,j$ contribui a $V_i$ e a $V_j$.)
(b) O trabalho externo necessário para montar a configuração a partir do infinito é, por definição, igual à energia potencial final (partindo de $U=0$ no infinito):
$$
\boxed{W_{ext} = U \approx 8{,}99\times10^{-7}\ \text{J}}
$$
E9.
Fora da casca ($r>R$), por Gauss, $E(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$; dentro ($r<R$), $E=0$ (Lei de Gauss com carga interna nula). A energia total é a integral de $u_E$ sobre todo o espaço; como $E=0$ dentro, só a região externa contribui:
Esse resultado tem a mesma forma que a energia potencial de duas cargas puntiformes $U=kq_1q_2/r$, mas com um fator extra $\frac12$ e $Q^2$ no lugar de $q_1q_2$ — reflexo de que, ao trazer a carga da casca "de si mesma" desde o infinito, cada elemento de carga interage com todos os outros já depositados, e não há duas cargas distintas separadas por $R$ como no caso de duas cargas puntiformes.
(negativo: o campo realiza trabalho positivo sobre o dipolo enquanto ele gira espontaneamente para o alinhamento; para que o processo seja quase-estático, o agente externo precisa "segurar" o dipolo, realizando trabalho negativo sobre ele.)
(c) De $\theta=90°$ ($U_i=0$) até $\theta=180°$ (antiparalelo, equilíbrio instável, $U_f=+pE_{ext}$):
(positivo: o agente externo deve fornecer energia para forçar o dipolo contra a tendência natural de alinhamento.)
E11.
(a) A força sobre um dipolo é $\vec F = (\vec p\cdot\nabla)\vec E_{ext}$ (Seção “Dipolo em campo não-uniforme: força líquida”). Com $\vec p = p\,\hat s$ (radial, para fora do fio) e $\vec E_{ext}(s) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s}\,\hat s$, e como o campo só depende de $s$:
$$
\boxed{\vec F = -\frac{\lambda p}{2\pi\varepsilon_0 s_0^2}\,\hat s}
$$
(b) O sinal negativo (para $\lambda, p>0$) indica força na direção $-\hat s$, ou seja, em direção ao fio — o dipolo é atraído. Fisicamente: a carga $-q$ do dipolo (mais próxima do fio, já que $\vec p$ aponta para fora, da carga negativa à positiva) sente um campo mais intenso (o campo do fio cai como $1/s$) do que a carga $+q$ (mais distante); a atração eletrostática da carga próxima domina sobre a repulsão da carga distante, resultando em força atrativa líquida — o mesmo mecanismo qualitativo do Exemplo da Seção “Dipolo em campo não-uniforme: força líquida” (dipolo atraído por uma carga puntiforme), mas com campo caindo como $1/s$ em vez de $1/z^2$.
E12.
(a) Da Seção “Energia de interação entre dois dipolos”, com $U_0\equiv \dfrac{p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0 r^3}=\dfrac{kp^2}{r^3}$:
Paralelos, alinhados com $\hat r$: $U = -2U_0 = -\dfrac{2kp^2}{r^3}$
Paralelos, perpendiculares a $\hat r$: $U=+U_0 = +\dfrac{kp^2}{r^3}$
Perpendiculares entre si e a $\hat r$: $U=0$
(b) Configuração "alinhados com $\hat r$": dipolo 1 em $z=0$ com cargas $+q$ em $z=d/2$ e $-q$ em $z=-d/2$; dipolo 2 em $z=r$ com $+q$ em $z=r+d/2$ e $-q$ em $z=r-d/2$ (ambos momentos apontando em $+\hat z=\hat r$). A energia exata (soma dos 4 pares de cargas):
Ou seja, o cálculo direto com as 4 cargas dá $U=-2kp^2/r^3$ para a configuração "alinhados com $\hat r$" — atrativa, consistente com a Seção “Energia de interação entre dois dipolos”.
Confirmação pela fórmula em caixa da Seção “Energia de interação entre dois dipolos”, $U = k[\vec p_1\cdot\vec p_2 - 3(\vec p_1\cdot\hat r)(\vec p_2\cdot\hat r)]/r^3$: com $\vec p_1=\vec p_2=p\hat r$, $\vec p_1\cdot\vec p_2=p^2$ e $(\vec p_1\cdot\hat r)(\vec p_2\cdot\hat r)=p^2$, logo $U=k[p^2-3p^2]/r^3=-2kp^2/r^3$ — idêntico ao cálculo exato de 4 cargas.
E13.
(a) Configuração mais atrativa (mínimo de energia): pela análise do E12(b), a configuração "alinhados com $\hat r$" tem $U=-2kp^2/r^3$ (atrativa), enquanto a "perpendicular a $\hat r$" tem $U=+kp^2/r^3$ (repulsiva); portanto a configuração mais atrativa dentre as três é a alinhada, $U=-2kp^2/r^3$.
$$
U = -\frac{2kp^2}{r^3} = -2(8{,}9875\times10^9)\frac{(6{,}2\times10^{-30})^2}{(0{,}3\times10^{-9})^3}
$$
A energia de interação dipolo-dipolo é da mesma ordem de grandeza (poucas vezes maior) que a energia térmica — ela contribui de forma relevante para a coesão da água líquida, mas não é isoladamente dominante: sendo apenas alguns múltiplos de $k_BT$, a agitação térmica é capaz de romper e reformar continuamente essas ligações, consistente com o caráter dinâmico das pontes de hidrogênio na água líquida (que, na realidade, envolvem também contribuições quânticas e de repulsão de troca não capturadas neste modelo clássico simplificado de dipolo puntiforme).
E14.
Potencial exato: com $+q$ em $(0,0,0{,}0005)$ e $-q$ em $(0,0,-0{,}0005)$, ponto de observação $(0;\,0{,}02;\,0)$:
Como o ponto está no plano equatorial (mesma distância à carga positiva e à negativa, $\theta=90°$ em relação ao eixo do dipolo), $r_+=r_-$ exatamente, logo:
Ambas as previsões coincidem exatamente (nulas) no plano equatorial: no plano perpendicular ao eixo do dipolo passando pelo seu centro, o potencial de um dipolo (exato ou aproximado) é sempre zero, pois os potenciais de $+q$ e $-q$ se cancelam exatamente (mesma distância às duas cargas, independentemente de $d$). Este resultado serve como verificação de consistência: o plano equatorial de um dipolo é sempre uma superfície equipotencial com $V=0$.
4. Corrente Elétrica, Materiais e Capacitância
Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Corrente Elétrica · Conservação da Carga (Equação da Continuidade) · Condutores, Dielétricos, Isolantes e Semicondutores · Lei de Ohm Pontual · Método das Imagens · Materiais Dielétricos · Polarização e Permissividade Elétrica · Capacitância
4.1 Objetivos de Aprendizagem
Ao final deste capítulo, você será capaz de:
[ ] Calcular corrente elétrica e densidade de corrente em distribuições contínuas.
[ ] Aplicar a equação da continuidade para conservação de carga.
[ ] Diferenciar condutores, dielétricos, isolantes e semicondutores.
[ ] Aplicar a Lei de Ohm na forma pontual e calcular resistência elétrica.
[ ] Usar o método das imagens para resolver problemas com condutores.
[ ] Calcular capacitância de sistemas com dielétricos.
4.2 Intuição Física: O que é Corrente Elétrica?
Antes de definir matematicamente a corrente elétrica, pense em termos físicos:
Corrente elétrica é o fluxo de cargas elétricas através de um material.
Em condutores metálicos, os portadores de carga são elétrons livres.
A densidade de corrente $\vec J$ descreve localmente quanta carga passa por unidade de área por unidade de tempo.
A tensão (diferença de potencial) é o que "impulsiona" a corrente, assim como uma diferença de altitude impulsiona o fluxo de água.
4.3 Aplicações no Mundo Real
Conceito
Aplicação Prática
Corrente e densidade de corrente
Projeto de fios, cabos e circuitos impressos
Equação da continuidade
Análise de fluxo de carga em dispositivos semicondutores
Lei de Ohm pontual
Projeto de resistores e materiais condutores
Método das imagens
Cálculo de capacitância em linhas de transmissão e blindagem
Dielétricos e polarização
Isoladores em linhas de alta tensão, capacitores em circuitos
Capacitância
Armazenamento de energia, filtros em circuitos eletrônicos
4.4 Antes de começar
Ao final, você deve aplicar continuidade de carga, Lei de Ohm pontual, condições eletrostáticas em condutores e dielétricos, método das imagens e definições de capacitância. Diagnóstico: campo elétrico nulo no interior de um condutor significa ausência de carga em suas superfícies? Evidência mínima: verificar conservação de carga, calcular um campo por imagens e obter a energia de um capacitor.
4.5 Corrente Elétrica e Densidade de Corrente
4.5.1 Definição macroscópica
A corrente elétrica $I$ através de uma superfície é a taxa de transporte de carga:
$$
I \equiv \frac{dQ}{dt}
$$
medida em ampères (1 A = 1 C/s). Por convenção, o sentido da corrente é o do movimento das cargas positivas (mesmo em condutores metálicos, onde os portadores reais são elétrons de carga negativa movendo-se em sentido oposto).
4.5.2 Densidade de corrente
Para descrever o transporte de carga localmente (não apenas o total através de uma seção), define-se a densidade de corrente $\vec{J}$ (A/m²): se $n$ é a densidade volumétrica de portadores de carga $q$ movendo-se com velocidade de deriva $\vec{v}_d$:
$$
\vec{J} = nq\vec{v}_d
$$
A corrente total através de uma superfície $S$ é o fluxo de $\vec{J}$:
$$
I = \int_S \vec{J}\cdot d\vec{A}
$$
Dedução microscópica: considere um condutor de seção $A$; em um intervalo $dt$, os portadores em um "cilindro" de comprimento $v_d\,dt$ atravessam a seção. A carga que passa é $dQ = nq(A\,v_d\,dt)$, logo $I = dQ/dt = nqv_dA = JA$ (para $\vec{J}$ uniforme e paralelo à normal da seção) — confirmando $\vec{J}=nq\vec{v}_d$.
4.6 Conservação da Carga — Equação da Continuidade
4.6.1 Dedução física
A conservação da carga é um princípio experimental fundamental: a carga em uma região só muda pelo fluxo através de sua fronteira (não há criação/destruição local). Para um volume $V$ fixo, delimitado por $S$:
O sinal negativo expressa que, se há corrente saindo líquida através de $S$ ($\oint\vec{J}\cdot d\vec{A}>0$), a carga interna deve diminuir. Escrevendo $Q_{env}=\int_V\rho\,dV$:
$$
\boxed{\nabla\cdot\vec{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0}\qquad\text{(Equação da Continuidade)}
$$
4.6.2 Regime estacionário
Em regime estacionário (corrente contínua, sem acúmulo de carga em nenhum ponto), $\partial\rho/\partial t=0$, e a equação se reduz a:
$$
\nabla\cdot\vec{J} = 0
$$
Fisicamente, em regime estacionário toda corrente que entra em um volume sai dele. Em regime variável, $\nabla\cdot\vec J$ pode ser não nulo sem violar conservação: a diferença acumula carga segundo a equação da continuidade. É a lei de Ampère magnetostática, não a continuidade, que se torna incompleta e recebe de Maxwell o termo de corrente de deslocamento.
4.7 Condutores, Isolantes, Dielétricos e Semicondutores
A resposta de um material a um campo elétrico externo depende de quão livremente seus elétrons podem se mover — comportamento descrito, em nível macroscópico, pela condutividade $\sigma$ (ou sua recíproca, a resistividade $\rho_{res}=1/\sigma$).
Categoria
Condutividade típica (S/m)
Mecanismo
Condutores (metais)
$10^6$ – $10^8$
Elétrons de condução quase livres na banda de condução
Semicondutores
$10^{-6}$ – $10^{4}$
Poucos portadores livres; $\sigma$ altamente sensível a $T$, dopagem, campo
Isolantes / Dielétricos
$10^{-10}$ ou menor
Elétrons fortemente ligados; sem portadores livres, apenas polarização
4.7.1 Condutores em equilíbrio eletrostático
Em um condutor em equilíbrio eletrostático (sem correntes), os elétrons livres se rearranjam até que:
$\vec{E}=0$ no interior do condutor (caso contrário, haveria força sobre as cargas livres, gerando corrente — contradizendo o equilíbrio);
Toda carga em excesso reside na superfície (consequência de $\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_0=0$ no interior);
O condutor é uma equipotencial ($\vec{E}=-\nabla V=0 \Rightarrow V=$ const.);
Imediatamente fora da superfície, $\vec{E}$ é perpendicular a ela (caso contrário, a componente tangencial moveria cargas superficiais).
4.7.2 Isolantes e dielétricos
Em isolantes, os elétrons estão ligados aos átomos/moléculas; não há condução apreciável, mas a nuvem eletrônica se deforma sob campo externo, criando dipolos induzidos (ou alinhando dipolos permanentes) — fenômeno da polarização, detalhado na Seção “Materiais Dielétricos: Polarização e Permissividade”.
4.7.3 Semicondutores
Materiais como silício e germânio possuem um gap de energia pequeno entre as bandas de valência e condução, de modo que a agitação térmica (ou dopagem com impurezas doadoras/aceitadoras) libera um número controlável de portadores (elétrons e "buracos"). Isso permite condutividade ajustável por temperatura, luz, campo elétrico ou dopagem — base de diodos, transistores e toda a eletrônica de estado sólido.
Semicondutor intrínseco (puro, sem dopagem): a concentração de elétrons $n$ na banda de condução é igual à de buracos $p$ na banda de valência:
$$
n = p = n_i = \sqrt{N_c N_v}\,e^{-E_g/(2k_B T)}
$$
onde $E_g$ é a energia do gap (Si: $\approx1{,}12\,\text{eV}$ a 300 K; Ge: $\approx0{,}67\,\text{eV}$), $N_c$ e $N_v$ são as densidades efetivas de estados nas bandas, e $k_B$ é a constante de Boltzmann. Note a dependência exponencial com $T$ — a condutividade de um semicondutor intrínseco cresce drasticamente com a temperatura (comportamento oposto ao dos metais).
Semicondutor extrínseco (dopado):
Tipo n: impurezas doadoras (ex.: fósforo no Si) adicionam elétrons extras. $n \gg p$.
Tipo p: impurezas aceitadoras (ex.: boro no Si) criam buracos. $p \gg n$.
A condutividade em semicondutores é:
$$
\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)
$$
onde $\mu_n$ e $\mu_p$ são as mobilidades de elétrons e buracos (típicas: $\mu_n\approx1400\,\text{cm}^2/\text{V·s}$, $\mu_p\approx450\,\text{cm}^2/\text{V·s}$ no Si a 300 K).
Efeito Hall em semicondutores: o sinal do coeficiente de Hall $R_H = 1/(nq)$ (ou $-1/(pq)$) revela se o material é tipo n ou tipo p — técnica padrão de caracterização de wafer. A mobilidade se obtém combinando Hall e resistividade: $\mu = |R_H|/\rho_{res}$.
4.8 Lei de Ohm na Forma Pontual
4.8.1 Modelo de Drude — detalhes e limitações
No modelo de Drude (1900), elétrons livres de massa $m$ e carga $-e$ sofrem colisões com a rede cristalina em um tempo médio de relaxação $\tau$. Entre colisões, sob campo $\vec{E}$, a equação de movimento (desprezando efeitos térmicos aleatórios, que se cancelam em média) é:
onde o segundo termo modela o "atrito" efetivo das colisões. Em regime estacionário ($d\vec{v}_d/dt=0$):
$$
\vec{v}_d = -\frac{e\tau}{m}\vec{E}
$$
Tempo de relaxação e comprimento de livre caminho. Em metais a temperatura ambiente, $\tau \approx 10^{-14}\,\text{s}$ e o comprimento médio de livre caminho $\ell = v_F\tau$ (onde $v_F \approx 10^6\,\text{m/s}$ é a velocidade de Fermi) é da ordem de dezenas de ångströms — comparável à distância interatômica. Isso significa que elétrons colidem com a cada poucos espaçamentos da rede.
A condutividade é então:
$$
\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}
$$
Dependência com a temperatura:
Metais: $\tau \propto 1/T$ (dispersão por fônons), logo $\rho_{res} \propto T$. A resistividade aumenta linearmente com $T$ a temperaturas moderadas — lei experimental bem estabelecida.
Semicondutores: $n \propto e^{-E_g/(2k_BT)}$ domina sobre a variação de $\tau$, então $\rho_{res}$ diminui exponencialmente com $T$.
Mobilidade eletrônica: define-se $\mu_e = |\vec{v}_d|/E = e\tau/m$. Para o cobre a 300 K: $\mu_e \approx 43\,\text{cm}^2/\text{V·s}$.
Limitações do modelo de Drude:
Não explica por que o calor específico dos elétrons em metais é $\sim 100\times$ menor que o previsto (resolve-se com a estatística de Fermi-Dirac).
Não explica diamagnetismo/paramagnetismo (resolve-se com o spin e a mecânica quântica).
Prediz corretamente a lei de Ohm e a relação $\sigma = ne^2\tau/m$, e a relação de Wiedemann-Franz ($\kappa/\sigma T \approx 2{,}44\times10^{-8}\,\text{W}\Omega/\text{K}^2$).
4.8.2 Derivação microscópica pelo modelo de Drude
Em um condutor ôhmico, elétrons livres de massa $m$ e carga $-e$ sofrem colisões com a rede cristalina em um tempo médio de relaxação $\tau$. Entre colisões, sob campo $\vec{E}$, a equação de movimento (desprezando efeitos térmicos aleatórios, que se cancelam em média) é:
4.8.3 Forma constitutiva, hipóteses e domínio de validade
Definindo a condutividade $\sigma \equiv \dfrac{ne^2\tau}{m}$, obtém-se a Lei de Ohm na forma pontual:
$$
\boxed{\vec{J} = \sigma\vec{E}}
$$
válida localmente em qualquer ponto de um material ôhmico (linear, isotrópico), em contraste com a forma macroscópica $V=RI$, que só se aplica a um condutor inteiro com geometria definida.
4.8.4 Dedução da forma macroscópica a partir da pontual
Para um condutor cilíndrico de comprimento $\ell$, seção $A$, com campo uniforme $E$ ao longo do eixo e corrente uniforme $J=I/A$:
$$
J = \sigma E \;\Rightarrow\; \frac{I}{A} = \sigma\frac{V}{\ell} \;\Rightarrow\; V = \left(\frac{\ell}{\sigma A}\right) I \equiv RI
$$
com $R = \dfrac{\ell}{\sigma A} = \dfrac{\rho_{res}\ell}{A}$ — a resistência macroscópica, recuperando a Lei de Ohm usual de circuitos.
PYTHON
sigma_cobre=5.96e7# S/msigma_silicio_dopado=1e3# S/m (ordem de grandeza, depende da dopagem)defcampo_para_corrente(J,sigma):"""Lei de Ohm pontual: E = J/sigma"""returnJ/sigmadefresistencia(l,A,sigma):returnl/(sigma*A)R_fio=resistencia(l=1.0,A=1e-6,sigma=sigma_cobre)# fio de 1m, 1mm^2print(f"Resistência do fio de cobre: {R_fio*1e3:.4f} mΩ")
Output:
Resistência do fio de cobre: 16.7785 mΩ
4.9 Método das Imagens
4.9.1 Ideia central
O método das imagens resolve a Equação de Laplace/Poisson (Seção “Conservação da Carga — Equação da Continuidade”.3) para problemas com condutores, explorando o Teorema da Unicidade: se conseguirmos encontrar qualquer configuração de cargas fictícias que reproduza as mesmas condições de contorno do problema original na região de interesse, essa configuração fornece a solução correta ali — mesmo que a distribuição fictícia (as "cargas imagem") não exista fisicamente na região onde o campo é calculado.
4.9.2 Dedução: carga puntiforme sobre plano condutor aterrado
Considere uma carga $+q$ a uma altura $d$ acima de um plano condutor infinito aterrado (o plano $z=0$, condutor ocupando $z<0$, aterrado logo $V=0$ em $z=0$). Queremos $V(x,y,z)$ para $z\ge 0$.
Proposta de solução por imagem: substitua o condutor por uma carga fictícia $-q$ em $z=-d$ (a "imagem espelhada"), e calcule o potencial de ambas as cargas, ignorando o condutor:
Em $z=0$: os dois termos têm denominadores iguais ($\sqrt{x^2+y^2+d^2}$), logo $V(x,y,0)=0$ ✓ — reproduz o plano aterrado.
Para $z>0$, a única carga real na região é $+q$; a carga imagem está em $z=-d<0$, fora da região de interesse, então não viola a equação de Poisson na região física ($\nabla^2V=0$ exceto no ponto onde está $+q$) ✓.
Por unicidade, essa é a única solução válida para $z\ge0$.
4.9.3 Carga induzida na superfície do condutor
O campo elétrico logo acima da superfície do condutor determina a densidade de carga induzida, $\sigma_{ind} = \varepsilon_0 E_z|_{z=0^+}$ (componente normal do campo na superfície de um condutor). Calculando $E_z=-\partial V/\partial z$ em $z=0$:
Integrando $\sigma_{ind}$ sobre todo o plano (usando coordenadas polares $r^2=x^2+y^2$), obtém-se carga total induzida $Q_{ind}=-q$ — todo o "fluxo" da carga real termina na carga induzida, como esperado fisicamente (a carga imagem tem exatamente a carga total que a distribuição induzida real produziria, vista de $z>0$).
4.9.4 Força sobre a carga real
A força sobre $+q$ é a mesma que a carga imagem exerceria (Lei de Coulomb entre $+q$ e $-q$ separadas por $2d$), sempre atrativa em direção ao plano:
$$
F = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{(2d)^2}\hat{z}
$$
4.9.5 Método das imagens: carga externa a uma esfera condutora aterrada
Problema: carga $q$ a distância $d > a$ do centro de uma esfera condutora aterrada de raio $a$. A solução exige uma única carga imagem:
$$
q'=-q\frac{a}{d},\qquad b=\frac{a^2}{d},
$$
colocada dentro da esfera, na linha que liga o centro à carga real. Essa imagem garante $V=0$ em toda a superfície. A esfera aterrada pode trocar carga com a Terra, portanto sua carga induzida total não precisa ser nula. Uma segunda imagem $q''=-q'$ no centro seria necessária para uma esfera isolada e inicialmente neutra, que é um problema de contorno diferente.
A força sobre $q$ é:
$$
F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\,q'}{(d-b)^2}
$$
$$
F \approx -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2a}{d^3}.
$$
O sinal negativo indica atração em direção à esfera. O limite $1/d^3$ é próprio da esfera aterrada; a esfera isolada e neutra possui o limite dipolar $1/d^5$.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx=np.linspace(-3,3,180);y=np.linspace(0.03,3,120);X,Y=np.meshgrid(x,y);a=1.2defc(q,y0):dx,dy=X,Y-y0;r2=dx*dx+dy*dy+.015returnq*dx/r2**1.5,q*dy/r2**1.5E1,E2=c(1,a),c(-1,-a);Ex,Ey=E1[0]+E2[0],E1[1]+E2[1]fig,ax=plt.subplots(figsize=(7,4.5));ax.streamplot(X,Y,Ex,Ey,density=1.35,color="#2563eb")ax.axhline(0,color="#475569",lw=6);ax.scatter(0,a,s=130,c="#dc2626",zorder=3)ax.scatter(0,-a,s=130,c="#2563eb",alpha=.35,clip_on=False)ax.text(.12,a,"+q real");ax.text(.12,-a,"−q imagem",alpha=.65,clip_on=False)ax.set(xlim=(-3,3),ylim=(-1.6,3),title="Carga diante de um plano condutor aterrado",xlabel="$x$",ylabel="$y$")plt.tight_layout()
4.10 Materiais Dielétricos: Polarização e Permissividade
4.10.1 Polarização microscópica
Sob campo elétrico externo $\vec{E}$, átomos e moléculas de um dielétrico desenvolvem (ou têm reforçado, se já polares) um momento de dipolo. Define-se o vetor polarização $\vec{P}$ como o momento de dipolo por unidade de volume:
Pode-se mostrar (por um argumento de "corte" do material em fatias, análogo ao usado para a corrente de continuidade) que uma polarização não-uniforme produz uma densidade volumétrica de carga ligada:
$$
\rho_b = -\nabla\cdot\vec{P}
$$
e, na superfície de um dielétrico, uma densidade superficial de carga ligada:
$$
\sigma_b = \vec{P}\cdot\hat{n}
$$
Ideia da dedução (esboço): em um dielétrico polarizado, dentro de qualquer volume interno, o "fim" de um dipolo cancela o "início" do dipolo vizinho, exceto onde $\vec{P}$ varia — sobra carga líquida proporcional a $-\nabla\cdot\vec{P}$; na superfície externa, os dipolos "cortados" pela fronteira deixam carga descoberta $\sigma_b=\vec{P}\cdot\hat n$.
4.10.3 O vetor deslocamento elétrico $\vec{D}$
A Lei de Gauss pontual, agora incluindo toda a carga (livre $\rho_f$ e ligada $\rho_b$):
Essa é a grande utilidade de $\vec{D}$: sua fonte é apenas a carga livre (controlável externamente), o que simplifica problemas com dielétricos — não é preciso conhecer $\rho_b$ a priori.
4.10.4 Materiais lineares: susceptibilidade e permissividade relativa
Para dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos (LIH), a polarização responde linearmente ao campo local:
$$
\vec{P} = \varepsilon_0\chi_e\vec{E}
$$
onde $\chi_e$ é a susceptibilidade elétrica (adimensional). Substituindo em $\vec{D}$:
$\varepsilon_r$ (permissividade relativa, ou constante dielétrica) varia de $1$ (vácuo) a dezenas ou centenas (ex.: $\varepsilon_r\approx80$ para água, à temperatura ambiente e baixas frequências) — quantifica o quanto o material "amortece" o campo elétrico interno em relação ao vácuo, para a mesma carga livre.
4.11 Capacitância
4.11.1 Definição
A capacitância de um sistema de dois condutores com cargas $+Q$ e $-Q$ mede quanta carga é necessária para gerar uma diferença de potencial unitária entre eles:
$$
C \equiv \frac{Q}{V}
$$
Em materiais lineares, com geometria e estado constitutivo fixos, $C$ depende da geometria e da permissividade, não de $Q$ ou $V$ separadamente. Dielétricos não lineares, ferroelétricos, dependência com frequência, temperatura ou tensão podem tornar a capacitância incremental dependente do ponto de operação.
4.11.2 Dedução: capacitor de placas paralelas
Duas placas de área $A$, separadas por distância $d\ll\sqrt{A}$ (aproximação de placas infinitas), com cargas $+Q$ e $-Q$ ($\sigma=Q/A$), preenchidas por dielétrico $\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$.
Usando o resultado da Seção “Corrente Elétrica e Densidade de Corrente”.6.4 (campo de um plano infinito, agora com $\varepsilon$ no lugar de $\varepsilon_0$ dentro do dielétrico) e somando os campos de ambas as placas (que se reforçam entre elas e se cancelam fora):
$$
E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{Q}{\varepsilon A}
$$
A diferença de potencial entre as placas:
$$
V = \int_0^d E\,dz = \frac{Qd}{\varepsilon A}
$$
Dois cilindros coaxiais de raios $a<b$ e comprimento $L$, carga $\pm Q$. Pela Lei de Gauss cilíndrica (Seção “Corrente Elétrica e Densidade de Corrente”.6.3), o campo entre os cilindros ($a<r<b$):
$$
E(r) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon L r}
$$
A diferença de potencial:
$$
V = \int_a^b E\,dr = \frac{Q}{2\pi\varepsilon L}\ln\left(\frac{b}{a}\right)
$$
Esse resultado é a base do cálculo de capacitância (e impedância) de cabos coaxiais, relevante para linhas de transmissão (Parte 2 — Ondas e Propagação).
4.11.4 Exemplo Resolvido Passo a Passo: Capacitância de um Cabo Coaxial
Problema: Um cabo coaxial tem raio interno $a = 1{,}0\,\text{mm}$, raio externo $b = 3{,}0\,\text{mm}$, e o espaço entre os cilindros é preenchido com um dielétrico de permissividade relativa $\varepsilon_r = 2{,}2$ (polietileno). O comprimento do cabo é $L = 100\,\text{m}$. Determine a capacitância $C$ do cabo.
Passo 1: Identificar a fórmula da capacitância para um capacitor cilíndrico.
Para dois cilindros coaxiais de raios $a$ e $b$ ($a<b$), comprimento $L$, e permissividade $\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0$, a capacitância é:
$$
C = \frac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)} = \frac{2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}
$$
Da Seção “Conservação da Carga — Equação da Continuidade”.4, $U=\frac12\int\varepsilon E^2\,dV$ (generalizando $\varepsilon_0\to\varepsilon$ em meio dielétrico linear). Para o capacitor de placas paralelas, com $E$ uniforme no volume $V_{vol}=Ad$:
$$
U = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 (Ad) = \frac{1}{2}\varepsilon\left(\frac{Q}{\varepsilon A}\right)^2 Ad = \frac{Q^2 d}{2\varepsilon A} = \frac{Q^2}{2C}
$$
Para o mesmo campo — ou a mesma tensão e geometria — o dielétrico aumenta $u_E$ por $\varepsilon_r$. Para um capacitor isolado, porém, $Q$ é fixo: inserir o dielétrico aumenta $C$, reduz $E$ e reduz $U=Q^2/(2C)$. Se ele permanece ligado a uma fonte ideal, $V$ é fixo, a fonte fornece carga adicional e $U=CV^2/2$ aumenta. Declarar o que fica fixo é essencial.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfig,ax=plt.subplots(figsize=(7,4));x=np.linspace(-2.5,2.5,15)ax.plot([-3,3],[1,1],lw=9,color="#dc2626");ax.plot([-3,3],[-1,-1],lw=9,color="#2563eb")forxiinx:ax.annotate("",(xi,-.82),(xi,.82),arrowprops=dict(arrowstyle="->",color="#374151",lw=1.5))forxiinnp.linspace(-2.7,2.7,12):ax.text(xi,1.18,"+",color="#dc2626",ha="center",weight="bold")ax.text(xi,-1.35,"−",color="#2563eb",ha="center",weight="bold")ax.text(0,0,"$\\vec E$ uniforme",ha="center",bbox=dict(fc="white",ec="none",alpha=.8))ax.set(xlim=(-3.4,3.4),ylim=(-1.7,1.7),aspect="equal",title="Campo entre placas paralelas");ax.axis("off")plt.tight_layout()
4.12 Exercícios Resolvidos em Python
4.12.1 Roteiro computacional
Objetivo. Calcular capacitâncias, energia, parâmetros de transporte e respostas RC, preservando unidades e geometria.
Como executar. Requer numpy, scipy e matplotlib. Converta todas as dimensões para metros antes dos cálculos e confronte a integração de $u_E$ com $CV^2/2$.
PYTHON
import numpy as npeps0=8.854e-12mu0=4*np.pi*1e-7e=1.602e-19m_e=9.109e-31# --- Capacitores ---defC_placas_paralelas(A,d,eps_r=1.0):returneps_r*eps0*A/ddefC_cilindrico(a,b,L,eps_r=1.0):return2*np.pi*eps_r*eps0*L/np.log(b/a)defC_esferico(a,b):return4*np.pi*eps0*a*b/(b-a)defC_esfera_isolada(r):return4*np.pi*eps0*rdefenergia_capacitor(Q=None,V=None,C=None):ifCisNone:C=Q/VifQisnotNone:returnQ**2/(2*C)return0.5*C*V**2# Capacitor de placas paralelas com dielétrico de vidro (eps_r ~ 4.5)C1=C_placas_paralelas(A=1e-4,d=1e-3,eps_r=4.5)print(f"C (placas paralelas, vidro): {C1*1e12:.3f} pF")# Cabo coaxial RG-58 (aprox.): a=0.45mm, b=1.5mm, dielétrico PE eps_r~2.3C2=C_cilindrico(a=0.45e-3,b=1.5e-3,L=1.0,eps_r=2.3)print(f"C por metro (coaxial tipo RG-58): {C2*1e12:.2f} pF/m")# Esfera isolada (Terra)C_terra=C_esfera_isolada(6.371e6)print(f"C da Terra: {C_terra:.2f} F")# Energia armazenadaU=energia_capacitor(V=12.0,C=C1)print(f"Energia armazenada em C1 a 12V: {U*1e9:.4f} nJ")# Verificação numérica: integrar a densidade de energia u_E = 1/2 eps E^2A,d,eps_r=1e-4,1e-3,4.5eps=eps_r*eps0Q=1e-9E_field=Q/(eps*A)U_campo=0.5*eps*E_field**2*(A*d)U_formula=Q**2/(2*C_placas_paralelas(A,d,eps_r))print(f"U via integral do campo: {U_campo:.6e} J")print(f"U via Q^2/2C: {U_formula:.6e} J")# --- Drude model ---n_cobre=8.5e28# elétrons/m^3sigma_cobre=5.96e7# tau = m*sigma/(n*e^2)tau=m_e*sigma_cobre/(n_cobre*e**2)v_F=1.57e6# velocidade de Fermi do cobre (m/s)ell=v_F*tau# livre caminho médioprint(f"\nDrude - Cobre:")print(f" tau = {tau*1e15:.2f} fs")print(f" livre caminho médio = {ell*1e10:.2f} Å")# --- Semicondutor intrínseco ---# n_i para Si a 300K ~ 1.5e16 m^-3gap_Si=1.12# eVkT=8.617e-5*300# eVn_i_Si=1.5e16sigma_si=e*n_i_Si*(1400e-4+450e-4)# S/m (mobilidade em m^2/Vs)print(f"\nSi intrínseco (300K):")print(f" n_i = {n_i_Si:.2e} m^-3")print(f" sigma = {sigma_si:.4e} S/m")print(f" rho = {1/sigma_si:.2e} Ω·m")# --- Efeito Hall em semicondutor ---defcoeficiente_hall(n,q):return1/(n*q)n_n=1e21# semicondutor tipo nRH=coeficiente_hall(n_n,e)print(f"\nCoeficiente Hall (tipo n): {RH:.2e} m^3/C")# --- Capacitores em série ---C1_val,C2_val=2e-6,4e-6C_eq_series=1/(1/C1_val+1/C2_val)C_eq_parallel=C1_val+C2_valprint(f"\nC_eq série (2uF + 4uF): {C_eq_series*1e6:.4f} uF")print(f"C_eq paralelo (2uF + 4uF): {C_eq_parallel*1e6:.4f} uF")# --- Verificação numérica: integrar campo do capacitor cilíndrico ---defenergia_cilindrica(Q,a,b,L,eps):"""Integra u_E = 1/2 eps E^2 no volume entre cilindros."""r=np.linspace(a,b,1000)E=Q/(2*np.pi*eps*L*r)u_E=0.5*eps*E**2# dV = 2*pi*r*L*drdV=2*np.pi*r*L*np.gradient(r)returnnp.sum(u_E*dV)Q,a,b,L=1e-9,0.45e-3,1.5e-3,1.0eps=2.3*eps0U_int=energia_cilindrica(Q,a,b,L,eps)U_formula=Q**2/(2*C_cilindrico(a,b,L,2.3))print(f"\nEnergia cilindrica: integral={U_int:.6e} J, formula={U_formula:.6e} J")
Output:
C (placas paralelas, vidro): 3.984 pF
C por metro (coaxial tipo RG-58): 106.27 pF/m
C da Terra: 0.00 F
Energia armazenada em C1 a 12V: 0.2869 nJ
U via integral do campo: 1.254926e-07 J
U via Q^2/2C: 1.254926e-07 J
Drude - Cobre:
tau = 24.89 fs
livre caminho médio = 390.73 Å
Si intrínseco (300K):
n_i = 1.50e+16 m^-3
sigma = 4.4455e-04 S/m
rho = 2.25e+03 Ω·m
Coeficiente Hall (tipo n): 6.24e-03 m^3/C
C_eq série (2uF + 4uF): 1.3333 uF
C_eq paralelo (2uF + 4uF): 6.0000 uF
Energia cilindrica: integral=4.710716e-09 J, formula=4.704782e-09 J
Si intrínseco: $\sigma\approx2{,}7\times10^{-4}\,\text{S/m}$ — muito menor que o cobre
Capacitores série: 1,33 µF; paralelo: 6 µF
Energia cilindrica: integral e fórmula coincidem
4.13 Ruptura Dielétrica
Todo dielétrico possui um campo de ruptura (ou rigidez dielétrica) acima do qual o material perde suas propriedades isolantes — elétrons são arrancados dos átomos, gerando uma descarga condutora. Valores típicos:
Material
Rigidez dielétrica (MV/m)
Ar (STP)
~3
Ar (seco)
~3,3
Papel impregnado
~16
Óleo mineral
~15
Vidro
~20–40
Mica
~118
Policarbonato
~500
Teflon
~60
Capacitor com campo máximo: para um capacitor de placas paralelas com dielétrico de rigidez $E_{\text{max}}$, a tensão máxima é $V_{\text{max}} = E_{\text{max}}\,d$ e a energia máxima armazenada é:
Note que $U_{\text{max}}$ é proporcional ao volume do dielétrico ($Ad$) e ao quadrado da rigidez. Para maximizar a energia armazenada, escolhe-se materiais de alta $\varepsilon_r$ e alta $E_{\text{max}}$ — o que motiva o uso de polipropileno, policarbonato e cerâmicas de alta permissividade em capacitores de potência.
Descarga no ar: o ar ioniza quando o campo excede ~3 MV/m, produzindo faíscas. Esta é a base das centelhas de motores de combustão e dos raios (onde a diferença de potencial entre nuvem e solo gera campos da ordem de $10^6$–$10^7$ V/m).
4.14 Circuitos RC — Carga e Descarga
4.14.1 Circuito RC em série com fonte DC
Um capacitor $C$ em série com resistor $R$, conectado a uma fonte de tensão $\mathcal{E}$. Pela lei de Kirchhoff das malhas:
A potência instantânea fornecida pela fonte é $P_{\text{fonte}}(t) = \mathcal{E}\,I(t)$, e a potência dissipada no resistor é $P_R(t) = I(t)^2 R$. Integrando:
Mas a energia armazenada é $\tfrac12C\mathcal E^2$: neste modelo de fonte de tensão ideal, capacitor inicialmente descarregado e resistência série, exatamente metade é dissipada, independentemente do valor positivo de $R$.
Não é uma lei universal de qualquer carregamento. Conversores com indutores, recuperação de energia ou carga adiabática com tensão lentamente variável podem reduzir a dissipação; uma fonte de corrente ideal, sozinha, não garante menor perda sem especificar o circuito e sua tensão.
4.15 Resumo do Capítulo
4.15.1 Fórmulas-Chave
Conceito
Fórmula
Aplicações
Corrente elétrica
$I = dQ/dt$
Fluxo de carga em circuitos
Densidade de corrente
$\vec J = nq\vec v_d$
Transporte local de carga
Equação da continuidade
$\nabla\cdot\vec J + \partial\rho/\partial t = 0$
Conservação de carga
Lei de Ohm pontual
$\vec J = \sigma\vec E$
Condutores e resistores
Resistência
$R = \rho L/A = L/(\sigma A)$
Fios e resistores
Método das imagens
Carga imagem para condutor plano
Cálculo de campo e capacitância
Polarização dielétrica
$\vec P = \chi_e\varepsilon_0\vec E$
Materiais dielétricos
Deslocamento elétrico
$\vec D = \varepsilon\vec E = \varepsilon_0\vec E + \vec P$
Campos em dielétricos
Capacitância
$C = Q/V$
Armazenamento de carga
Energia no capacitor
$U = \tfrac{1}{2}CV^2 = \tfrac{1}{2}QV$
Energia armazenada
Constante de tempo RC
$\tau = RC$
Carga e descarga de capacitores
4.15.2 Classificação de Materiais
Material
Condutividade $\sigma$ (S/m)
Mecanismo dominante
Condutores (metais)
$10^6$–$10^8$
Elétrons livres
Semicondutores
$10^{-6}$–$10^4$
Elétrons e buracos
Isolantes/Dielétricos
$10^{-10}$–$10^{-16}$
Polarização sem fluxo
4.15.3 Conceitos-Chave
Corrente e densidade de corrente: $I = \int \vec J\cdot d\vec A$.
Equação da continuidade: Expressa conservação local de carga.
Lei de Ohm pontual: $\vec J = \sigma\vec E$ — válida para materiais ôhmicos.
Método das imagens: Substitui condutor por carga fictícia para satisfazer condições de contorno.
Dielétricos e polarização: Materiais que se polarizam em campo elétrico, aumentando a capacitância.
Capacitância: Medida da capacidade de armazenar carga por unidade de tensão.
4.16 Lista de Exercícios Propostos
Os problemas a seguir cobrem todos os tópicos de Corrente, materiais e capacitância. Os três marcados como Desafio exigem combinar mais de uma técnica (imagens, integração de campo não uniforme, capacitores em camadas), mas usam apenas resultados já deduzidos neste capítulo e nos anteriores.
E1 — Um fio de cobre ($n=8{,}5\times10^{28}\,\text{m}^{-3}$) de raio $0{,}8\,\text{mm}$ conduz uma corrente de $15\,\text{A}$. Calcule (a) a área da seção transversal; (b) a densidade de corrente $J$; (c) a velocidade de deriva média dos elétrons.
E2 — A densidade de corrente é $\vec J=J_0e^{-t/\tau_0}\hat r/r^2$ para $r>0$. Use continuidade para obter $\partial\rho/\partial t$ numa casca $r_1<r<r_2$, determine a carga da casca e o fluxo de corrente por uma esfera. Explique onde está a fonte/sumidouro singular e por que o fator temporal do fluxo não implica que a carga da casca decaia.
E3 — Classifique cada material como condutor, semicondutor ou isolante a partir da condutividade informada, e explique o mecanismo microscópico dominante em cada caso: (a) $\sigma = 6{,}3\times10^{7}\,\text{S/m}$; (b) $\sigma = 2{,}5\times10^{-2}\,\text{S/m}$; (c) $\sigma = 10^{-13}\,\text{S/m}$.
E4 — O germânio possui $E_g = 0{,}67\,\text{eV}$ e concentração intrínseca $n_i = 2{,}4\times10^{13}\,\text{cm}^{-3}$ a $300\,\text{K}$, com mobilidades $\mu_n = 3900\,\text{cm}^2/\text{V·s}$ e $\mu_p = 1900\,\text{cm}^2/\text{V·s}$. Calcule a condutividade intrínseca $\sigma_i$ do Ge a $300\,\text{K}$ e compare (em ordem de grandeza) com o resultado do Si intrínseco obtido na Seção “Exercícios Resolvidos em Python” ($\sigma_{Si}\approx2{,}7\times10^{-4}\,\text{S/m}$).
E5 — Uma amostra de silício tipo n é dopada com $N_d = 10^{16}\,\text{cm}^{-3}$ de átomos doadores, todos ionizados ($n\approx N_d$). Usando $\mu_n = 1350\,\text{cm}^2/\text{V·s}$ (despreze a contribuição de buracos, $p\ll n$), calcule a condutividade $\sigma_n$ e a resistividade $\rho_{res}$ da amostra.
E6 — Uma amostra semicondutora é submetida a um ensaio de efeito Hall, obtendo-se $R_H = 4{,}5\times10^{-4}\,\text{m}^3/\text{C}$ (sinal indicando portadores majoritários negativos) e resistividade $\rho_{res}=0{,}05\,\Omega\cdot\text{m}$. Determine (a) a concentração de portadores $n$; (b) a mobilidade $\mu$; (c) o tipo de semicondutor (n ou p).
E7 — Para o alumínio ($n=1{,}81\times10^{29}\,\text{m}^{-3}$, $\sigma = 3{,}5\times10^{7}\,\text{S/m}$, velocidade de Fermi $v_F = 2{,}03\times10^{6}\,\text{m/s}$), use o modelo de Drude para calcular (a) o tempo de relaxação $\tau$; (b) o livre caminho médio $\ell$.
E8 — Um fio de alumínio (mesmo $\sigma$ do E7) tem comprimento $2\,\text{m}$ e diâmetro $1{,}5\,\text{mm}$. Calcule sua resistência $R$ usando a Lei de Ohm pontual integrada ao longo do fio.
E9 — Uma carga puntiforme $q=5\,\text{nC}$ está a $d=3\,\text{cm}$ de um plano condutor aterrado infinito. Calcule (a) a força sobre $q$ pelo método das imagens; (b) a densidade superficial de carga induzida no ponto do plano mais próximo da carga (diretamente "abaixo" dela).
E10 — Uma carga $q=8\,\text{nC}$ está a $d=20\,\text{cm}$ do centro de uma esfera condutora aterrada de raio $a=5\,\text{cm}$. Determine (a) a carga imagem $q'$ e sua posição $b$; (b) a força entre a carga e a esfera, sem aproximações.
E11 — Um dielétrico linear com $\varepsilon_r = 5$ preenche a região entre as placas de um capacitor, onde o campo elétrico vale $E = 2\times10^{5}\,\text{V/m}$. Calcule (a) a polarização $P$; (b) o deslocamento elétrico $D$; (c) a densidade superficial de carga ligada $\sigma_b$ na face do dielétrico voltada para a placa positiva.
E12 — Um capacitor de placas paralelas tem área $A = 25\,\text{cm}^2$, separação $d=0{,}5\,\text{mm}$, preenchido com dielétrico de $\varepsilon_r=6{,}0$ (mica). Calcule sua capacitância.
E13 — Um cabo coaxial tem raio interno $a=1\,\text{mm}$, raio externo $b=6\,\text{mm}$, comprimento $L=0{,}8\,\text{m}$, dielétrico de polietileno ($\varepsilon_r=2{,}1$). Calcule a capacitância do cabo.
E14 — Duas cascas esféricas condutoras concêntricas, de raios $a=2\,\text{cm}$ e $b=5\,\text{cm}$, estão separadas por vácuo. Calcule a capacitância do sistema.
E15 — Três capacitores, $C_1=3\,\mu\text{F}$, $C_2=6\,\mu\text{F}$ e $C_3=2\,\mu\text{F}$, são combinados: $C_1$ e $C_2$ em série, e essa combinação em paralelo com $C_3$. Calcule a capacitância equivalente total.
E16 — Um capacitor de placas paralelas com $A=10\,\text{cm}^2$, $d=2\,\text{mm}$, dielétrico de vidro ($\varepsilon_r=4$, rigidez dielétrica $E_{\text{max}}=25\,\text{MV/m}$), é carregado até o limiar de ruptura. Calcule (a) a capacitância; (b) a tensão máxima suportada; (c) a energia máxima armazenada.
E17 — Um circuito RC em série tem $R=2{,}2\,\text{k}\Omega$, $C=100\,\mu\text{F}$ e fonte $\mathcal{E}=9\,\text{V}$. No instante $t=0{,}3\,\text{s}$ após o fechamento da chave (capacitor inicialmente descarregado), calcule (a) a constante de tempo $\tau$; (b) a carga $Q(t)$; (c) a corrente $I(t)$.
E18 (Desafio) — Três dielétricos lineares são empilhados entre as placas de um capacitor de área $A=20\,\text{cm}^2$, formando três camadas em série (mesma área, espessuras e permissividades diferentes): camada 1 ($d_1=0{,}5\,\text{mm}$, $\varepsilon_{r1}=3{,}0$), camada 2 ($d_2=0{,}3\,\text{mm}$, $\varepsilon_{r2}=5{,}0$), camada 3 ($d_3=0{,}2\,\text{mm}$, $\varepsilon_{r3}=2{,}5$). Mostre que o sistema equivale a três capacitores de placas paralelas em série e calcule a capacitância equivalente.
E19 (Desafio) — Uma barra semicondutora de comprimento $L=2\,\text{mm}$ e seção transversal constante $A_{bar}=1\,\text{mm}^2$ possui dopagem tipo n não uniforme ao longo do comprimento: $N_d(x) = N_{d0}\left(1+\dfrac{x}{L}\right)$, com $N_{d0}=10^{16}\,\text{cm}^{-3}$, $x\in[0,L]$, mobilidade $\mu_n=1350\,\text{cm}^2/\text{V·s}$ constante (despreze buracos). Escreva $\sigma(x)$, monte a integral para a resistência total $R=\int_0^L \dfrac{dx}{\sigma(x)A_{bar}}$ e calcule seu valor numérico.
E20 (Desafio) — Uma carga puntiforme $q=6\,\text{nC}$ está posicionada no canto formado por dois planos condutores aterrados semi-infinitos, perpendiculares entre si (um no plano $x=0$, outro no plano $y=0$, ambos ocupando a região $x,y\ge0$ para $z$ qualquer). A carga está em $(x_0,y_0) = (4\,\text{cm},\,3\,\text{cm})$. Usando três cargas-imagem (generalização do método da Seção “Dedução: carga puntiforme sobre plano condutor aterrado” por superposição — duas imagens negativas e uma positiva), calcule o vetor força resultante sobre $q$.
4.17 Gabarito
E1 —
Área da seção: $A=\pi r^2 = \pi(0{,}8\times10^{-3})^2 = 2{,}011\times10^{-6}\,\text{m}^2$.
Densidade de corrente: $J = I/A = 15/(2{,}011\times10^{-6})$.
Note como a velocidade de deriva é minúscula frente às velocidades térmicas/Fermi dos elétrons — o sinal elétrico se propaga rapidamente (campo), mas o transporte líquido de carga é extremamente lento.
E2 —
Da equação da continuidade (Seção “Dedução física”):
Ou seja, para $r>0$ o divergente de $\vec{J}$ é nulo (a forma $\hat r/r^2$ é a mesma do campo de uma fonte puntiforme, divergente livre fora da origem — análogo ao campo de Coulomb). Logo:
Isso significa que toda a dependência temporal de $\rho$ está concentrada na origem ($r=0$, uma fonte/sumidouro puntiforme de carga cuja intensidade decai como $e^{-t/\tau_0}$); em qualquer casca finita $r_1<r<r_2$ (que exclui a origem), não há acúmulo local de carga — a corrente que entra na casca é igual à que sai, em cada instante. Consequentemente, a carga contida em qualquer casca $[r_1,r_2]$ permanece constante no tempo (não decai com $\tau_0$; apenas o fluxo através de cada superfície esférica decai, pois $I(r,t) = \oint\vec J\cdot d\vec A = 4\pi J_0 e^{-t/\tau_0}$, sendo o mesmo para qualquer $r$ — consistente com $\nabla\cdot\vec J=0$ fora da origem).
$$
\boxed{Q_{[r_1,r_2]}(t) = \text{constante}, \qquad I(r,t) = 4\pi J_0\,e^{-t/\tau_0}\ \text{(mesmo valor em qualquer } r>0)}
$$
E3 —
Comparando com a tabela da Seção “Condutores, Isolantes, Dielétricos e Semicondutores”:
(a) $\sigma = 6{,}3\times10^{7}\,\text{S/m}$ está na faixa $10^6$–$10^8\,\text{S/m}$ →
$$
\boxed{\text{Condutor (metal)} - \text{elétrons de condução quase livres na banda de condução}}
$$
(valor próximo ao da prata, o melhor condutor metálico usual).
(b) $\sigma = 2{,}5\times10^{-2}\,\text{S/m}$ está na faixa $10^{-6}$–$10^{4}\,\text{S/m}$ →
$$
\boxed{\text{Semicondutor} - \text{poucos portadores livres, gerados termicamente ou por dopagem; } \sigma \text{ sensível a } T}
$$
(c) $\sigma = 10^{-13}\,\text{S/m}$ está abaixo de $10^{-10}\,\text{S/m}$ →
$$
\boxed{\text{Isolante/dielétrico} - \text{elétrons fortemente ligados; sem portadores livres, só polarização}}
$$
E4 —
Condutividade intrínseca: $\sigma_i = e\,n_i(\mu_n+\mu_p)$, com $n_i$ em m$^{-3}$ e mobilidades em m²/V·s.
Comparando com $\sigma_{Si}\approx2{,}7\times10^{-4}\,\text{S/m}$: o germânio intrínseco é cerca de quatro ordens de grandeza mais condutor que o silício intrínseco à mesma temperatura — consequência direta do gap de energia menor do Ge ($0{,}67\,\text{eV}$ vs. $1{,}12\,\text{eV}$ do Si), que aparece no expoente $e^{-E_g/2k_BT}$ e domina a concentração intrínseca de portadores.
E5 —
Com $n\approx N_d = 10^{16}\,\text{cm}^{-3} = 10^{22}\,\text{m}^{-3}$ e $\mu_n = 1350\,\text{cm}^2/\text{V·s}=0{,}135\,\text{m}^2/\text{V·s}$, e desprezando buracos ($p\ll n$):
Note como essa dopagem moderada eleva a condutividade em ~6 ordens de grandeza acima do Si intrínseco (E4 dá contexto de escala), ilustrando por que a dopagem controlada é a base de toda a eletrônica de semicondutores.
E6 —
(a) Da relação do coeficiente de Hall $R_H = 1/(nq)$ (Seção “Semicondutores”), isolando $n$:
$$
n = \frac{1}{R_H\,e} = \frac{1}{(4{,}5\times10^{-4})(1{,}602\times10^{-19})}
$$
Compatível com a ordem de grandeza citada na Seção “Modelo de Drude — detalhes e limitações” (dezenas de Å) para metais em temperatura ambiente.
E8 —
Área da seção do fio: $A = \pi(d/2)^2 = \pi(0{,}75\times10^{-3})^2 = 1{,}767\times10^{-6}\,\text{m}^2$.
Usando $R = \dfrac{\ell}{\sigma A}$ (Seção “Dedução da forma macroscópica a partir da pontual”), com $\ell=2\,\text{m}$ e $\sigma=3{,}5\times10^{7}\,\text{S/m}$ (E7):
$$
R = \frac{2{,}0}{(3{,}5\times10^{7})(1{,}767\times10^{-6})}
$$
Posição da imagem: $b = a^2/d = (0{,}05)^2/0{,}20$:
$$
\boxed{b = 0{,}0125\,\text{m} = 1{,}25\,\text{cm} \text{ do centro}}
$$
(b) Como a esfera é aterrada, existe apenas a imagem $q'$. A força sobre a carga real é igual à força de Coulomb exercida por essa imagem:
$$
F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\,q'}{(d-b)^2}
$$
Com $d-b = 0{,}20-0{,}0125 = 0{,}1875\,\text{m}$:
$$
F = \frac{1}{4\pi(8{,}854\times10^{-12})}\frac{(8\times10^{-9})(-2\times10^{-9})}{(0{,}1875)^2}
$$
$$
\boxed{F \approx -4{,}09\times10^{-6}\,\text{N}\ \text{(sinal negativo: atrativa, em direção à esfera)}}
$$
Verificação algébrica: substituindo $q'=-qa/d$ e $d-b=(d^2-a^2)/d$, obtém-se diretamente $F=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2ad}{(d^2-a^2)^2}$, a expressão da Seção “Método das imagens: carga externa a uma esfera condutora aterrada”.
E11 —
(a) Polarização em dielétrico linear (Seção “Materiais lineares: susceptibilidade e permissividade relativa”): $P = \varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E$:
$$
P = (8{,}854\times10^{-12})(5-1)(2\times10^{5})
$$
(Verificação: $D = \varepsilon_0 E + P = 8{,}854\times10^{-12}\times2\times10^5 + 7{,}083\times10^{-6} = 1{,}771\times10^{-6}+7{,}083\times10^{-6}=8{,}854\times10^{-6}\,\text{C/m}^2$ ✓.)
(c) Carga ligada superficial $\sigma_b = \vec P\cdot\hat n$ (Seção “Cargas de polarização (ligadas)”); na face voltada para a placa positiva, $\hat n$ aponta contra o campo aplicado pela placa (a face do dielétrico ali é negativa, atraída pela placa positiva), mas em módulo:
$$
\boxed{|\sigma_b| = P \approx 7{,}083\times10^{-6}\,\text{C/m}^2}
$$
E12 —
Capacitor de placas paralelas (Seção “Dedução: capacitor de placas paralelas”): $C = \dfrac{\varepsilon_r\varepsilon_0 A}{d}$, com $A=25\times10^{-4}\,\text{m}^2$, $d=0{,}5\times10^{-3}\,\text{m}$:
$$
C = \frac{(6{,}0)(8{,}854\times10^{-12})(25\times10^{-4})}{0{,}5\times10^{-3}}
$$
Cada camada, isolada, comporta-se como um capacitor de placas paralelas com a mesma área $A$ das demais (a superfície entre camadas é equipotencial só na direção do campo — não há mudança de área). A carga livre $Q$ nas placas externas é igual à carga superficial ligada acumulada em cada interface, e cada camada suporta uma queda de tensão parcial $V_i = Q\,d_i/(\varepsilon_{ri}\varepsilon_0 A)$; a tensão total é a soma:
$$
V = \sum_i V_i = \frac{Q}{\varepsilon_0 A}\sum_i \frac{d_i}{\varepsilon_{ri}}
$$
Logo $C_{eq}=Q/V$ tem exatamente a forma de três capacitores de placas paralelas $C_i=\varepsilon_{ri}\varepsilon_0A/d_i$ em série:
(Equivalentemente, $C_{eq} = \varepsilon_0 A\Big/\big(\sum_i d_i/\varepsilon_{ri}\big)$, que fornece o mesmo valor — forma útil para generalizar a $N$ camadas.)
E19 (Desafio) —
Com dopagem não uniforme $N_d(x) = N_{d0}(1+x/L)$ e mobilidade constante, a condutividade local é:
A barra pode ser vista como uma sequência de resistores infinitesimais em série (mesma seção $A_{bar}$, mas $\sigma$ variando com $x$), cada um com resistência $dR = \dfrac{dx}{\sigma(x)A_{bar}}$. A resistência total:
$$
R = \int_0^L \frac{dx}{e\,\mu_n\,N_{d0}\left(1+\dfrac{x}{L}\right)A_{bar}} = \frac{1}{e\mu_n N_{d0}A_{bar}}\int_0^L\frac{dx}{1+x/L}
$$
$$
R = \frac{(2\times10^{-3})(0{,}6931)}{(1{,}602\times10^{-19})(0{,}135)(10^{22})(1\times10^{-6})}
$$
$$
\boxed{R \approx 6{,}41\,\Omega}
$$
Como verificação, a resistência de uma barra com dopagem uniforme igual a $N_{d0}$ (extremidade menos dopada) seria $R_0 = L/(e\mu_nN_{d0}A_{bar}) \approx 9{,}25\,\Omega$; como a dopagem real cresce ao longo de $x$ (barra mais condutora na média), é esperado $R<R_0$, o que se confirma ($6{,}41\,\Omega < 9{,}25\,\Omega$).
E20 (Desafio) —
Para satisfazer $V=0$ simultaneamente nos dois planos aterrados ($x=0$ e $y=0$), usa-se a superposição de três imagens (extensão direta da ideia da Seção “Dedução: carga puntiforme sobre plano condutor aterrado”, aplicada duas vezes):
$-q$ em $(-x_0, y_0)$ — anula $V$ no plano $x=0$;
$-q$ em $(x_0, -y_0)$ — anula $V$ no plano $y=0$;
$+q$ em $(-x_0, -y_0)$ — necessária para que as duas imagens anteriores não violem a condição de contorno uma da outra (a superposição das quatro cargas garante $V=0$ nos dois planos simultaneamente).
Com $q=6\,\text{nC}$, $x_0=0{,}04\,\text{m}$, $y_0=0{,}03\,\text{m}$, calcula-se a força resultante sobre $q$ somando vetorialmente as três interações coulombianas:
onde $r_1$ é a distância até a imagem em $(-x_0,y_0)$ (igual a $2x_0=0{,}08\,\text{m}$, força puramente em $-\hat x$), $r_2$ é a distância até a imagem em $(x_0,-y_0)$ (igual a $2y_0=0{,}06\,\text{m}$, força puramente em $-\hat y$), e $r_3=2\sqrt{x_0^2+y_0^2}=2(0{,}05)=0{,}10\,\text{m}$ é a distância até a imagem diagonal em $(-x_0,-y_0)$ (força repulsiva, ao longo da direção que une as duas cargas, apontando para longe da origem).
e decompondo a repulsão diagonal $F_3=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2}{r_3^2}$ nas direções $\hat x,\hat y$ proporcionalmente a $(x_0,y_0)/\sqrt{x_0^2+y_0^2}$, a soma vetorial resulta em:
O sinal negativo em ambas as componentes confirma que a força resultante aponta para dentro do canto (em direção aos dois planos), ou seja, a carga é atraída simultaneamente pelas duas superfícies condutoras aterradas — generalização natural do resultado de atração vista no caso de um único plano (Seção “Força sobre a carga real”).
5. Magnetostática: Fundamentos
Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Força de Lorentz · Lei de Biot-Savart · Lei Circuital de Ampère (Integral e Pontual) · Teorema de Stokes · Potencial Vetorial Magnético
5.1 Objetivos de Aprendizagem
Ao final deste capítulo, você será capaz de:
[ ] Calcular a força de Lorentz sobre cargas em movimento em campos eletromagnéticos.
[ ] Aplicar a Lei de Biot-Savart para calcular campos magnéticos de distribuições de corrente.
[ ] Usar a Lei de Ampère em situações com simetria adequada.
[ ] Relacionar corrente e potencial vetor magnético.
[ ] Calcular a energia armazenada no campo magnético.
5.2 Intuição Física: O que é Campo Magnético?
Antes de definir matematicamente o campo magnético, pense em termos físicos:
Campo magnético $\vec B$ é criado por cargas em movimento (correntes elétricas).
A força magnética atua apenas sobre cargas em movimento e é sempre perpendicular à velocidade e ao campo.
Diferente do campo elétrico, o campo magnético não realiza trabalho sobre cargas — ele apenas muda a direção da velocidade, não a energia cinética.
Linhas de campo magnético formam laços fechados — não existem "cargas magnéticas" isoladas (monopolos magnéticos).
5.3 Aplicações no Mundo Real
Conceito
Aplicação Prática
Força de Lorentz
Aceleradores de partículas, tubos de raios catódicos, espectrômetros de massa
Lei de Biot-Savart
Projeto de bobinas, solenoides e eletroímans
Lei de Ampère
Cálculo de campos em transformadores e motores elétricos
Potencial vetor magnético
Formulação avançada de eletrodinâmica e teoria quântica
Energia do campo magnético
Indutores, transformadores e armazenamento de energia magnética
5.4 Antes de começar
Ao final, você deve usar Lorentz, Biot–Savart e Ampère para obter campos e forças magnéticas, além de relacionar corrente, potencial vetor e energia magnética. Diagnóstico: rotacional nulo de $\vec B$ fora de um fio contradiz a Lei de Ampère? Evidência mínima: calcular campos de fio, espira e solenoide e verificar Stokes/Ampère em um caso simples.
5.5 Força de Lorentz
5.5.1 Enunciado
A força total exercida por campos elétrico e magnético sobre uma carga puntiforme $q$ movendo-se com velocidade $\vec{v}$ é:
conhecida como Força de Lorentz. O primeiro termo é a força eletrostática já estudada; o segundo, a força magnética, depende da velocidade da carga e é perpendicular tanto a $\vec{v}$ quanto a $\vec{B}$.
5.5.2 Propriedades da força magnética
Não realiza trabalho: como $\vec{F}_{mag}=q\vec{v}\times\vec{B}$ é sempre perpendicular a $\vec{v}$,
(pois $(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{v}=0$ — o produto misto com dois vetores repetidos é sempre nulo). A força magnética altera apenas a direção de $\vec{v}$, nunca sua magnitude ou a energia cinética da partícula.
Movimento circular em campo uniforme: para $\vec{B}$ uniforme e $\vec{v}\perp\vec{B}$, a força magnética atua como força centrípeta:
$$
qvB = \frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{mv}{qB}
$$
com frequência angular (frequência de cíclotron) $\omega_c = qB/m$, independente de $v$ — princípio de operação de cíclotrons e espectrômetros de massa.
Para uma distribuição de corrente (em vez de uma carga puntiforme), a força magnética por unidade de volume é $\vec{J}\times\vec{B}$, e a força total sobre um elemento de corrente $Id\vec{\ell}$ é $Id\vec{\ell}\times\vec{B}$.
PYTHON
import numpy as npdefforca_lorentz(q,E,v,B):returnq*(np.array(E)+np.cross(v,B))defraio_ciclotron(m,v,q,B):returnm*v/(q*B)# elétron em campo magnético de 0.5 T, movendo a 1e6 m/s perpendicular a Bm_e,q_e=9.109e-31,1.602e-19r=raio_ciclotron(m_e,1e6,q_e,0.5)print(f"Raio da trajetória circular: {r*1e6:.3f} µm")F=forca_lorentz(q=q_e,E=[0,0,0],v=[1e6,0,0],B=[0,0,0.5])print(f"Força magnética: {F} N")
Output:
Raio da trajetória circular: 11.372 µm
Força magnética: [ 0.00e+00 -8.01e-14 0.00e+00] N
5.6 Lei de Biot-Savart
5.6.1 Enunciado
Análoga à Lei de Coulomb, mas para fontes de corrente, a Lei de Biot-Savart (obtida experimentalmente por Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, 1820) descreve o campo magnético gerado por um elemento de corrente $I\,d\vec{\ell}'$:
Fio ao longo do eixo $z$, corrente $I$ em $+\hat{z}$. Ponto de observação a distância perpendicular $s$ do fio. Um elemento $d\vec{\ell}'=dz'\,\hat{z}$ na posição $z'$ produz campo (usando $\vec{r}-\vec{r}'$ com componente perpendicular $s$ e componente ao longo do eixo $-z'$):
O campo circula ao redor do fio (regra da mão direita), com magnitude caindo como $1/s$ — resultado que será obtido de forma muito mais direta pela Lei de Ampère (Seção “Lei Circuital de Ampère — Forma Integral”), aproveitando a simetria cilíndrica do problema.
5.6.3 Campo no eixo de uma espira circular
Espira de raio $a$ no plano $xy$, corrente $I$, ponto de observação no eixo $z$. Por simetria, apenas a componente $B_z$ sobrevive (as componentes radiais se cancelam entre elementos diametralmente opostos, como no cálculo do campo elétrico do anel, arquivo 2):
$$
\boxed{B_z(z) = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}}
$$
No centro da espira ($z=0$): $B_z = \mu_0 I/(2a)$.
5.6.4 Bobinas de Helmholtz — campo uniforme
Duas espiras idênticas de raio $a$, separadas por distância $d=a$, percorridas pela mesma corrente $I$ no mesmo sentido, produzem um campo quase uniforme na região central. Este arranjo é chamado de bobinas de Helmholtz.
No ponto médio entre as espiras ($z=0$): cada espira contribui com $\mu_0 I a^2/[2(a^2+(a/2)^2)^{3/2}] = \mu_0 I a^2/(2(5a^2/4)^{3/2})$. Duas espiras:
Por que $d=a$?: O segundo derivado de $B_z$ em relação a $z$ se anula exatamente quando $d=a$, tornando o campo mais uniforme perto do centro do que em qualquer outra separação. O terceiro derivado é zero por simetria. O primeiro desvio quadrático é de apenas ~1% para $z\lesssim0{,}1a$.
As bobinas de Helmholtz são amplamente usadas em laboratórios para gerar campos magnéticos conhecidos e uniformes (ex.: cancelamento do campo terrestre, experiências de ressonância magnética).
5.6.5 Experimentos Python: espira circular e verificação de Biot–Savart
Objetivo: visualizar a geometria tridimensional do campo de uma espira e confrontar a integração direta de Biot–Savart com a fórmula fechada no eixo. A concordância numérica funciona como teste independente da dedução analítica.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfig=plt.figure(figsize=(7,5));ax=fig.add_subplot(projection="3d")t=np.linspace(0,2*np.pi,240);ax.plot(np.cos(t),np.sin(t),0,lw=4,color="#d97706")forz0innp.linspace(-1.7,1.7,9):radius=.18+0.62*(abs(z0)/1.7)**1.5tt=np.linspace(0,2*np.pi,120)ax.plot(radius*np.cos(tt),radius*np.sin(tt),np.full_like(tt,z0),color="#2563eb",alpha=.7)ax.quiver(0,0,-1.8,0,0,3.5,color="#dc2626",arrow_length_ratio=.08)ax.text(1.05,0,0,"$I$",color="#b45309");ax.text(.08,.08,1.6,"$\\vec B$")ax.set_box_aspect((1,1,1.8));ax.set_title("Campo magnético de uma espira circular");ax.set_axis_off()plt.tight_layout()
PYTHON
import numpy as npmu0=4*np.pi*1e-7defB_fio_infinito(s,I):returnmu0*I/(2*np.pi*s)defB_espira_eixo(z,I,a):returnmu0*I*a**2/(2*(a**2+z**2)**1.5)defB_espira_biot_savart_numerico(X,Z,a=1.0,I=1.0,n=400):"""Integração numérica direta da Lei de Biot-Savart (verificação)."""phi=np.linspace(0,2*np.pi,n,endpoint=False)dphi=phi[1]-phi[0]Bx=np.zeros_like(X);Bz=np.zeros_like(X)forpinphi:xs,ys=a*np.cos(p),a*np.sin(p)dlx,dly=-a*np.sin(p)*dphi,a*np.cos(p)*dphirx,ry,rz=X-xs,-ys,Zr3=np.maximum((rx**2+ry**2+rz**2)**1.5,1e-9)Bx+=(dly*rz)/r3Bz+=(dlx*ry-dly*rx)/r3returnmu0*I/(4*np.pi)*Bx,mu0*I/(4*np.pi)*Bz# Verificação: campo numérico no eixo (X=0) vs fórmula fechadaZ=np.linspace(-3,3,50)X=np.zeros_like(Z)_,Bz_num=B_espira_biot_savart_numerico(X,Z)Bz_formula=B_espira_eixo(Z,I=1.0,a=1.0)print("Erro máximo numérico vs. fórmula fechada:",np.max(np.abs(Bz_num-Bz_formula)))
Output:
Erro máximo numérico vs. fórmula fechada: 5.505714157152952e-21
5.7 Teorema de Stokes
5.7.1 Enunciado
O Teorema de Stokes relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de um contorno fechado $C$ com o fluxo de seu rotacional através de qualquer superfície aberta $S$ delimitada por $C$:
com a orientação de $d\vec{A}$ dada pela regra da mão direita em relação ao sentido de percurso de $C$.
5.7.2 Ideia da demonstração (via malha de laços infinitesimais)
Divida a superfície $S$ em uma malha de pequenos laços retangulares. Para um laço infinitesimal no plano $xy$, de lados $dx,dy$, a circulação de $\vec{F}$ em torno dele é:
Somando sobre todos os laços que compõem $S$: as arestas internas compartilhadas por laços vizinhos são percorridas em sentidos opostos e se cancelam, restando apenas a contribuição das arestas na fronteira externa — exatamente $\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{\ell}$. Isso demonstra o teorema (generalização análoga vale para superfícies curvas, decompondo-as em elementos planos infinitesimais).
5.7.3 Interpretação física do rotacional
$(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}$ mede a circulação de $\vec{F}$ por unidade de área ao redor de um ponto, no plano perpendicular a $\hat{n}$:
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfig=plt.figure(figsize=(7,5));ax=fig.add_subplot(projection="3d")r=np.linspace(0,1,24);t=np.linspace(0,2*np.pi,90);R,T=np.meshgrid(r,t)X,Y=R*np.cos(T),R*np.sin(T);Z=.25*(1-R**2)*np.cos(2*T)ax.plot_surface(X,Y,Z,color="#60a5fa",alpha=.45,edgecolor="none")tb=np.linspace(0,2*np.pi,240);ax.plot(np.cos(tb),np.sin(tb),np.zeros_like(tb),color="#7c3aed",lw=4)ax.quiver(0,0,0,0,0,1,color="#dc2626",length=.9);ax.text(.06,.06,.85,"$\\hat n$")ax.text(.15,.15,.05,"$S$",fontsize=14);ax.text(1.03,0,0,"$C=\\partial S$",fontsize=12)ax.set_box_aspect((1,1,.65));ax.set_title("Teorema de Stokes: superfície e contorno");ax.set_axis_off()plt.tight_layout()
5.8 Lei Circuital de Ampère — Forma Integral
5.8.1 Dedução a partir de Biot-Savart (fio infinito)
Já obtivemos (Seção “Dedução: campo de um fio retilíneo infinito”) que o campo de um fio infinito é $B_\phi(s)=\mu_0 I/(2\pi s)$. Calcule a circulação de $\vec{B}$ ao longo de um caminho circular de raio $s$, centrado no fio, no plano perpendicular a ele:
O resultado não depende de $s$ — assim como no caso do fluxo elétrico da Lei de Gauss, isso sugere um resultado geral. De fato, para qualquer caminho fechado ao redor do fio (não apenas circular) e para qualquer distribuição de correntes, vale a Lei Circuital de Ampère:
onde $I_{env}$ é a corrente total que atravessa qualquer superfície delimitada por $C$ (o resultado independe de qual superfície se escolhe, desde que compartilhe o contorno $C$ — consequência de $\nabla\cdot\vec{J}=0$ em regime estacionário, Seção “Ideia da demonstração (via malha de laços infinitesimais)”.2, que veremos formalmente ser condição para a consistência da própria Lei de Ampère).
5.8.2 Aplicações com simetria
Assim como a Lei de Gauss, a Lei de Ampère só é diretamente útil para calcular $\vec{B}$ quando há simetria suficiente para tirar $B$ da integral (fio reto, solenoide, toroide).
5.8.3 Exemplo Resolvido Passo a Passo: Campo de um Toroide
Problema: Um toroide tem $N$ espiras, raio médio $R$, e é percorrido por corrente $I$. Determine o campo magnético $\vec{B}$ no interior e no exterior do toroide.
Passo 1: Identificar a simetria e escolher o caminho amperiano.
O toroide possui simetria axial (em torno do eixo $z$). O campo magnético deve ser azimutal ($\vec{B} = B_\phi(r)\hat{\phi}$) e depender apenas da distância $r$ ao eixo $z$. Escolhemos como caminho amperiano $C$ um círculo de raio $r$, centrado na origem, no plano $xy$.
Passo 2: Calcular a circulação $\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{\ell}$.
Ao longo do círculo de raio $r$:
Se o caminho está dentro do buraco do toroide ($r < R - a$, onde $a$ é o raio da seção transversal): nenhuma corrente atravessa a superfície delimitada por $C$, logo $I_{env} = 0$.
Se o caminho está dentro do núcleo do toroide ($R - a < r < R + a$): o caminho atravessa as $N$ espiras, cada uma com corrente $I$. O sentido da corrente é tal que todas as $N$ espiras contribuem com o mesmo sinal. Logo, $I_{env} = NI$.
Se o caminho está fora do toroide ($r > R + a$): o caminho atravessa as $N$ espiras no sentido positivo e as $N$ espiras de retorno no sentido negativo (ou, equivalentemente, a corrente líquida através da superfície é zero, pois cada fio que entra também sai). Logo, $I_{env} = 0$.
Passo 4: Aplicar a Lei de Ampère para cada região.
$$
B \approx \dfrac{\mu_0 N I}{2\pi R} = \mu_0 n I
$$
onde $n = N/(2\pi R)$ é o número de espiras por unidade de comprimento — análogo ao solenoide infinito.
Solenoide ideal (infinito, $n$ espiras por unidade de comprimento, corrente $I$): usando um caminho retangular amperiano com um lado dentro do solenoide (comprimento $L$) e o lado oposto fora (onde $B\approx0$):
$$
\oint_C\vec{B}\cdot d\vec{\ell} = B\cdot L = \mu_0(nL)I \quad\Rightarrow\quad \boxed{B = \mu_0 n I}
$$
(uniforme dentro, nulo fora — para um solenoide idealmente infinito).
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfig,ax=plt.subplots(figsize=(8,4));t=np.linspace(0,14*np.pi,900)x=np.linspace(-3,3,len(t));y=.75*np.sin(t)ax.plot(x,y,color="#d97706",lw=2.5)foryyinnp.linspace(-.52,.52,5):ax.annotate("",(2.65,yy),(-2.65,yy),arrowprops=dict(arrowstyle="->",color="#2563eb",lw=1.7))ax.text(0,.05,"$\\vec B\\simeq\\mu_0nI$",ha="center",bbox=dict(fc="white",alpha=.85,ec="none"))ax.set(xlim=(-3.4,3.4),ylim=(-1.15,1.15),title="Campo aproximadamente uniforme no solenoide");ax.axis("off")plt.tight_layout()
5.9 Lei de Ampère — Forma Pontual
5.9.1 Dedução
Partindo da forma integral e escrevendo $I_{env}=\int_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$:
Como isso vale para qualquer superfície $S$ (arbitrária, desde que compartilhe o contorno $C$, e $C$ também é arbitrário):
$$
\boxed{\nabla\times\vec{B} = \mu_0\vec{J}}\qquad\text{(Lei de Ampère — forma pontual, válida em magnetostática)}
$$
5.9.2 Consistência com a conservação da carga
Tomando o divergente de ambos os lados (o divergente de um rotacional é sempre identicamente nulo, $\nabla\cdot(\nabla\times\vec{B})\equiv0$):
$$
0 = \mu_0\,\nabla\cdot\vec{J}
$$
Ou seja, a Lei de Ampère nesta forma exige $\nabla\cdot\vec{J}=0$ — válida apenas em regime estacionário (Seção “Ideia da demonstração (via malha de laços infinitesimais)”.2). Em situações não estacionárias (por exemplo, um capacitor sendo carregado, onde $\rho$ varia no tempo entre as placas), essa forma da Lei de Ampère é inconsistente, e precisará da correção de Maxwell (corrente de deslocamento), que será deduzida no arquivo sobre eletrodinâmica.
5.10 Força entre Fios Paralelos
5.10.1 Dedução
Considere dois fios paralelos infinitos, separados por distância $d$, percorridos por correntes $I_1$ e $I_2$ no mesmo sentido.
O fio 1 produz no local do fio 2 o campo $B_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$ (perpendicular ao fio 2). A força por unidade de comprimento sobre o fio 2:
Mesmo sentido → atração; sentidos opostos → repulsão. Este é o resultado histórico que levou à definição original do ampère (corrente que produz $2\times10^{-7}\,\text{N/m}$ de força entre fios separados por 1 m).
5.10.2 Aplicação: busbar e forças eletrodinâmicas
Em curto-circuito, correntes da ordem de 50 kA podem fluir entre barras condutoras (busbars). Para $I_1=I_2=50\,\text{kA}$ e $d=10\,\text{cm}$:
Isso equivale a 50 toneladas por metro de força mecânica — requer fixação robusta das barras condutoras. Em subestações, este é um dos critérios de projeto mecânico mais críticos.
5.11 Potencial Vetorial Magnético
5.11.1 Existência garantida por $\nabla\cdot\vec{B}=0$
Diferentemente do campo elétrico, o campo magnético nunca tem fontes puntiformes (não existem monopolos magnéticos observados): $\nabla\cdot\vec{B}=0$ sempre (Lei de Gauss magnética, que será formalizada como uma das equações de Maxwell). Como o divergente de um rotacional é sempre nulo, essa condição garante (por um teorema de cálculo vetorial, análogo ao teorema de Helmholtz) que $\vec{B}$ pode sempre ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial, o potencial vetor magnético $\vec{A}$:
$$
\boxed{\vec{B} = \nabla\times\vec{A}}
$$
Isso satisfaz automaticamente $\nabla\cdot\vec{B}=\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})\equiv0$, assim como $\vec{E}=-\nabla V$ satisfaz automaticamente $\nabla\times\vec{E}=0$.
5.11.2 Liberdade de calibre (gauge) e escolha de Coulomb
$\vec{A}$ não é único: qualquer $\vec{A}' = \vec{A}+\nabla\chi$ (para função escalar arbitrária $\chi$) produz o mesmo $\vec{B}$, pois $\nabla\times(\nabla\chi)\equiv0$. Essa liberdade é chamada liberdade de calibre. Uma escolha conveniente em magnetostática é o calibre de Coulomb:
$$
\nabla\cdot\vec{A} = 0
$$
5.11.3 Dedução da equação para $\vec{A}$
Substituindo $\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$ na Lei de Ampère pontual $\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}$:
Usando a identidade vetorial $\nabla\times(\nabla\times\vec{A}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{A}) - \nabla^2\vec{A}$, e o calibre de Coulomb ($\nabla\cdot\vec{A}=0$):
$$
\boxed{\nabla^2\vec{A} = -\mu_0\vec{J}}
$$
Esta é uma equação de Poisson vetorial — cada componente cartesiana de $\vec{A}$ satisfaz uma equação de Poisson escalar independente, análoga à do potencial elétrico. Por analogia direta com a solução de Poisson eletrostática (arquivo 2), a solução é:
5.11.4 Recuperando Biot-Savart a partir de $\vec{A}$
Como verificação de consistência, aplicando $\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$ à expressão acima (o operador $\nabla$ atua sobre $\vec{r}$, não sobre $\vec{r}'$):
(usando a identidade $\nabla\times(f\vec{c}) = \nabla f\times\vec{c}$ para $\vec{c}$ constante em relação a $\vec{r}$, com $f=1/|\vec{r}-\vec{r}'|$ e $\nabla f = -(\vec{r}-\vec{r}')/|\vec{r}-\vec{r}'|^3$) — recuperando exatamente a Lei de Biot-Savart da Seção “Enunciado”. Isso confirma que $\vec{A}$ e Biot-Savart carregam a mesma informação física, sendo $\vec{A}$ a formulação preferida para tratar radiação e ondas eletromagnéticas (Parte 2 da apostila), onde o cálculo direto de $\vec{B}$ via Biot-Savart se torna muito mais complexo.
PYTHON
import numpy as npmu0=4*np.pi*1e-7defA_fio_finito(rho,z,L,I):"""Potencial vetor (componente z) de um segmento de fio finito ao longo de z, de -L/2 a L/2, calculado no ponto (rho, z) em coordenadas cilíndricas."""defintegrand(zp):return1/np.sqrt(rho**2+(z-zp)**2)from scipy.integrate importquadval,_=quad(integrand,-L/2,L/2)returnmu0*I/(4*np.pi)*val# A_z decai lentamente perto do fio e mais rápido longe delerho=0.5forzin[0,1,5]:Az=A_fio_finito(rho,z,L=10,I=1.0)print(f"z={z}: A_z = {Az:.4e} T·m")
Quando uma corrente cresce em um indutor $L$, a fem autoinduzida $\varepsilon = -L\,dI/dt$ se opõe ao aumento. A potência fornecida para vencer esta fem é $P = -\varepsilon I = LI\,(dI/dt)$. A energia total armazenada ao levar a corrente de $0$ a $I$:
$$
U = \int_0^I LI'\,dI' = \frac{1}{2}LI^2
$$
$$
\boxed{U = \frac{1}{2}LI^2}
$$
5.12.2 Densidade de energia magnética
Reescrevendo em termos do campo: para um solenoide ($L = \mu_0 n^2 A \ell$, $B = \mu_0 n I$):
$$
U = \frac{1}{2}\left(\mu_0 n^2 A \ell\right)I^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{B^2}{\mu_0}\cdot(A\ell)
$$
Como o volume do solenoide é $V_{vol} = A\ell$, a densidade de energia magnética é:
$$
\boxed{u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}}
$$
No vácuo, essa expressão é local e não depende de o campo ter sido produzido por um solenoide. Em meio material linear, não dispersivo e sem histerese:
Para relação constitutiva não linear e reversível, calcula-se a energia incremental por uma integral, por exemplo $u=\int_0^{\vec B}\vec H\cdot d\vec B'$. Com histerese, parte do trabalho é dissipada e uma função de estado simples pode não existir.
5.12.3 Energia total e comparação com o campo elétrico
Em uma onda plana progressiva no vácuo, as duas contribuições instantâneas são iguais ($u_E=u_B$), pois $E=cB$. Isso não vale ponto a ponto para uma onda estacionária ou para campos reativos próximos de fontes:
Este equilíbrio entre energia elétrica e magnética é fundamental para a propagação de ondas — veremos na Parte 2.
5.12.4 Indutância mútua e energia de acoplamento
Dois indutores acoplados com indutâncias $L_1$, $L_2$ e indutância mútua $M$ armazenam:
$$
U = \frac{1}{2}L_1 I_1^2 + \frac{1}{2}L_2 I_2^2 \pm M I_1 I_2
$$
(o sinal depende do sentido relativo das correntes — acoplamento direto vs. oposto).
O coeficiente de acoplamento $k = M/\sqrt{L_1 L_2}$ satisfaz $0 \le k \le 1$. Para transformadores ideais, $k\to1$.
5.13 Exercícios Resolvidos em Python
5.13.1 Roteiro computacional
Objetivo. Integrar Biot–Savart, comparar com soluções fechadas e verificar Ampère em geometrias simétricas.
Como executar. Requer numpy, scipy e matplotlib. Faça estudo de convergência no número de elementos de corrente e evite avaliar exatamente sobre o fio ideal.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltmu0=4*np.pi*1e-7# === Lei de Ampère vs Biot-Savart ===defB_fio_finito_biot_savart(s,L,I,n=2000):"""Integra Biot-Savart para um fio de comprimento L centrado na origem."""z=np.linspace(-L/2,L/2,n)dz=z[1]-z[0]r=np.sqrt(s**2+z**2)dB=mu0*I/(4*np.pi)*s*dz/r**3returnnp.sum(dB)defB_fio_infinito(s,I):returnmu0*I/(2*np.pi*s)s=0.1forLin[1,10,100,1000]:B_num=B_fio_finito_biot_savart(s,L,I=1.0)B_inf=B_fio_infinito(s,I=1.0)print(f"L={L:>5} m -> B_numérico={B_num:.6e} T, "f"B_infinito={B_inf:.6e} T, razão={B_num/B_inf:.4f}")# === Bobinas de Helmholtz ===defB_helmholtz(z,I,a):"""Campo no eixo de duas espiras separadas por d=a (Helmholtz)."""d=a# separação = raioB1=mu0*I*a**2/(2*((a/2)**2+(z+d/2)**2)**1.5)B2=mu0*I*a**2/(2*((a/2)**2+(z-d/2)**2)**1.5)returnB1+B2a=0.1# 10 cmz_vals=np.linspace(-0.05,0.05,100)B_helm=B_helmholtz(z_vals,I=1.0,a=a)B_centro=B_helmholtz(0,I=1.0,a=a)print(f"\nHelmholtz: B_centro = {B_centro:.6e} T")print(f"Variação máxima no centro: {np.max(B_helm)-B_centro:.6e} T (~{np.max(np.abs(B_helm-B_centro))/B_centro*100:.2f}%)")# === Força entre fios paralelos ===defforça_por_comprimento(I1,I2,d):returnmu0*I1*I2/(2*np.pi*d)I1,I2,d=100,100,0.1# 100A, 10cmF_l=força_por_comprimento(I1,I2,d)print(f"Força entre fios (100A, 10cm): {F_l:.4f} N/m")# === Gerador de Faraday disk ===deffem_disk(omega,B,R):return0.5*omega*B*R**2omega,B,R=360*2*np.pi/60,0.5,0.1# 360 rpmeps=fem_disk(omega,B,R)print(f"FEM do disco de Faraday (360 rpm): {eps*1e3:.3f} mV")# === Potencial vetor de espira no eixo ===defA_espira_eixo(z,I,a,n=500):"""Calcula A_z no eixo de uma espira por integração numérica de Biot-Savart."""phi=np.linspace(0,2*np.pi,n,endpoint=False)dphi=phi[1]-phi[0]Az=0.0forpinphi:xs,ys=a*np.cos(p),a*np.sin(p)dlx,dly=-a*np.sin(p)*dphi,a*np.cos(p)*dphirx,ry,rz=-xs,-ys,zr=np.sqrt(rx**2+ry**2+rz**2)Az+=(dlx*(-rx)+dly*(-ry))/r**3# (dl × r)/r³ · z-hatreturnmu0*I/(4*np.pi)*Az# A_z no centro da espiraAz_center=A_espira_eixo(0,I=1.0,a=0.1)# A_z longe da espira (decai como dipolo: A ~ 1/r²)Az_far=A_espira_eixo(1.0,I=1.0,a=0.1)print(f"\nA_z no centro: {Az_center:.6e} T·m")print(f"A_z a z=1m: {Az_far:.6e} T·m (decai como 1/z²)")# === Visualização: campo da espira ===phi_vals=np.linspace(0,2*np.pi,100)B_axis=B_helmholtz(z_vals,I=1.0,a=0.1)fig,ax=plt.subplots(figsize=(8,5))ax.plot(z_vals*100,B_axis/B_centro,'b',linewidth=2)ax.axhline(1,color='k',linestyle='--',alpha=0.5,label='B centro')ax.set_xlabel('z (cm)')ax.set_ylabel('B/B_centro')ax.set_title('Uniformidade do campo de Helmholtz')ax.legend()ax.grid(True,alpha=0.3)plt.tight_layout()
Output:
L= 1 m -> B_numérico=1.961199e-06 T, B_infinito=2.000000e-06 T, razão=0.9806
L= 10 m -> B_numérico=1.999601e-06 T, B_infinito=2.000000e-06 T, razão=0.9998
L= 100 m -> B_numérico=1.999932e-06 T, B_infinito=2.000000e-06 T, razão=1.0000
L= 1000 m -> B_numérico=5.442961e-07 T, B_infinito=2.000000e-06 T, razão=0.2721
Helmholtz: B_centro = 3.554306e-05 T
Variação máxima no centro: 1.932021e-05 T (~54.36%)
Força entre fios (100A, 10cm): 0.0200 N/m
FEM do disco de Faraday (360 rpm): 94.248 mV
A_z no centro: 7.940934e-24 T·m
A_z a z=1m: 7.823292e-27 T·m (decai como 1/z²)
Força de Lorentz: A parte magnética $q\vec{v}\times\vec{B}$ não realiza trabalho.
Lei de Biot-Savart: Campo de um elemento de corrente $I\,d\vec{\ell}$.
Lei de Ampère: Só é útil para calcular $\vec B$ diretamente quando há simetria adequada.
Potencial vetor magnético: $\vec B = \nabla\times\vec A$ — sempre existe porque $\nabla\cdot\vec B=0$.
Energia do campo magnético: $u_B = B^2/(2\mu_0)$ — energia armazenada no espaço.
5.15 Lista de Exercícios Propostos
5.15.1 Força de Lorentz
E1 Um próton ($m_p=1{,}673\times10^{-27}\,\text{kg}$, $q=1{,}602\times10^{-19}\,\text{C}$) entra em uma região de campo magnético uniforme $B=0{,}8\,\text{T}$, perpendicular à sua velocidade $v=2\times10^6\,\text{m/s}$. Determine (a) o raio da trajetória circular; (b) a frequência de cíclotron (em Hz e em MHz). O resultado da frequência depende de $v$?
E2 Um seletor de velocidades utiliza campos cruzados $\vec{E}$ e $\vec{B}$ perpendiculares entre si e à velocidade da partícula. Se $E=5\times10^4\,\text{V/m}$ e $B=0{,}02\,\text{T}$, qual velocidade atravessa o seletor sem deflexão? Justifique a condição de equilíbrio a partir da força de Lorentz.
E3 Um elétron realiza um movimento circular de raio $r=1{,}5\,\text{cm}$ em um campo $B=4\times10^{-3}\,\text{T}$. Calcule sua velocidade e sua energia cinética (em elétron-volts), assumindo velocidade não relativística.
5.15.2 Lei de Biot-Savart
E4 Um fio retilíneo finito, de comprimento total $2L=0{,}6\,\text{m}$, conduz corrente $I=15\,\text{A}$. Calcule o campo magnético em um ponto sobre a mediatriz do fio (perpendicular ao seu ponto médio), a distância $s=0{,}15\,\text{m}$. Compare com o resultado do fio infinito ($s$ igual) e expresse a razão entre os dois valores.
E5 Uma espira circular de raio $a=5\,\text{cm}$ conduz corrente $I=8\,\text{A}$. Determine o campo magnético (a) no centro da espira; (b) em um ponto do eixo a $z=5\,\text{cm}$ do centro. Compare as duas magnitudes.
E6 Duas bobinas de Helmholtz de raio $a=20\,\text{cm}$, com $N=1$ espira cada, são percorridas pela mesma corrente $I=10\,\text{A}$ no mesmo sentido, separadas pela distância ótima $d=a$. Calcule o campo no ponto médio entre as bobinas.
E7 Uma espira quadrada de lado $a=10\,\text{cm}$ conduz corrente $I=5\,\text{A}$. Usando a Lei de Biot-Savart aplicada a cada um dos quatro lados (segmentos retos finitos), calcule o campo magnético no centro da espira. Expresse o resultado em função de $\mu_0$, $I$ e $a$.
E8 (Desafio) Um fio infinito retilíneo ao longo do eixo $z$ é dobrado formando um quarto de círculo de raio $R$ no plano $xy$ (centrado na origem), continuando depois como fio reto radial até o infinito, conforme a figura de um "gancho". Considerando apenas o arco de $90°$ percorrido por corrente $I$, mostre que sua contribuição para o campo no centro do arco é $B=\mu_0 I/(8R)$ (um quarto do valor de uma espira completa). Explique por que os trechos retos, se estiverem ao longo de uma linha que passa pelo centro, não contribuem para o campo nesse ponto.
5.15.3 Teorema de Stokes
E9 Dado o campo vetorial $\vec{F}=x^2\hat{y}$ (em unidades SI arbitrárias) e o contorno retangular $C$ no plano $xy$ com vértices $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,3)$ e $(0,3)$, percorrido no sentido anti-horário: (a) calcule diretamente $\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{\ell}$; (b) calcule $\int_S(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A}$ sobre a superfície plana delimitada por $C$; (c) verifique que os dois resultados coincidem, confirmando o Teorema de Stokes.
E10 (Desafio) Verifique, para o campo magnético de um fio infinito $\vec{B}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi s}\hat{\phi}$ (coordenadas cilíndricas, $s\neq0$), que $\nabla\times\vec{B}=\vec{0}$ em qualquer ponto fora do fio, usando a expressão do rotacional em coordenadas cilíndricas. Em seguida, reconcilie esse resultado com a Lei de Ampère pontual $\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}$, sabendo que a corrente está concentrada em $s=0$ (dica: toda a "fonte" do rotacional está na singularidade do fio, análogo ao papel de $\delta(\vec{r})$ na eletrostática de uma carga puntiforme).
5.15.4 Lei Circuital de Ampère — Integral e Pontual
E11 Um solenoide ideal possui $n=2000$ espiras por metro e conduz corrente $I=3\,\text{A}$. Calcule o campo magnético no seu interior. Se o solenoide tem comprimento $\ell=0{,}5\,\text{m}$ e área de seção $A=4\,\text{cm}^2$, calcule também sua indutância $L$.
E12 (Desafio) Um toroide de seção reta circular tem raio médio $r=10\,\text{cm}$ e é enrolado com $N=500$ espiras, conduzindo corrente $I=2\,\text{A}$. Usando a Lei Circuital de Ampère com um caminho amperiano circular concêntrico ao toroide (de raio $r$, inteiramente dentro do núcleo), deduza a expressão para o campo magnético no interior do toroide (por analogia com a dedução do solenoide, Seção “Aplicações com simetria”) e calcule seu valor numérico. Mostre também que $B=0$ para um caminho amperiano fora do toroide (tanto para $s$ menor que o raio interno quanto maior que o raio externo do núcleo).
E13 Um cabo coaxial possui condutor interno maciço de raio $a=2\,\text{mm}$ conduzindo corrente $I=50\,\text{A}$ (densidade uniforme) e uma casca condutora externa entre $b=6\,\text{mm}$ e $c=8\,\text{mm}$, conduzindo a corrente de retorno $-I$ (densidade uniforme na casca). Usando a Lei de Ampère, determine $B(s)$ nas quatro regiões: $s<a$; $a<s<b$; $b<s<c$; $s>c$. Verifique a continuidade de $B(s)$ nas fronteiras $s=b$ e mostre que $B=0$ para $s>c$.
E14 Uma densidade de corrente $\vec{J}=J_0\hat{z}$ (uniforme) preenche um cilindro infinito de raio $R$. Usando a Lei de Ampère pontual (forma diferencial) em coordenadas cilíndricas, verifique que o campo $B_\phi(s)=\mu_0 J_0 s/2$ (para $s<R$) satisfaz $\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}$, calculando explicitamente $(\nabla\times\vec{B})_z = \dfrac{1}{s}\dfrac{\partial(sB_\phi)}{\partial s}$.
5.15.5 Força entre Fios Paralelos
E15 Dois fios paralelos infinitos, separados por $d=5\,\text{cm}$, conduzem correntes $I_1=I_2=30\,\text{A}$ no mesmo sentido. Calcule a força por unidade de comprimento entre eles e indique se é atrativa ou repulsiva.
E16 Três fios paralelos infinitos, igualmente espaçados por $d=4\,\text{cm}$ (dispostos em linha reta: fio 1 — fio 2 — fio 3), conduzem a mesma corrente $I=20\,\text{A}$, todas no mesmo sentido. Calcule a força resultante por unidade de comprimento sobre o fio central (fio 2), devido aos outros dois.
5.15.6 Potencial Vetorial Magnético
E17 Um fio retilíneo finito de comprimento $L=0{,}4\,\text{m}$, centrado na origem e alinhado com o eixo $z$, conduz corrente $I=20\,\text{A}$. Usando $\vec{A}(\vec{r})=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{I\,d\vec{\ell}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$, mostre que, em um ponto sobre a mediatriz do fio a distância $\rho=0{,}1\,\text{m}$, o potencial vetor tem apenas componente $A_z$ dada por
E18 (Desafio) Verifique explicitamente a identidade vetorial usada na Seção “Dedução da equação para $\vec{A}$”, $\nabla\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\nabla\cdot\vec{A})-\nabla^2\vec{A}$, para o campo particular $\vec{A}=x^2y\,\hat{z}$ (unidades arbitrárias): calcule ambos os lados separadamente (em coordenadas cartesianas) e mostre que coincidem.
5.15.7 Energia do Campo Magnético
E19 Um indutor de $L=0{,}2\,\text{H}$ conduz uma corrente $I=4\,\text{A}$. Calcule a energia armazenada. Em seguida, calcule a densidade de energia magnética em um ponto onde $B=1{,}2\,\text{T}$ (no vácuo).
E20 Dois indutores acoplados, com $L_1=0{,}5\,\text{H}$, $L_2=0{,}8\,\text{H}$ e coeficiente de acoplamento $k=0{,}6$ (acoplamento direto), conduzem correntes $I_1=2\,\text{A}$ e $I_2=3\,\text{A}$. Calcule a indutância mútua $M$ e a energia total armazenada no sistema.
5.16 Gabarito
E1 A força magnética fornece a força centrípeta: $qvB=mv^2/r\Rightarrow r=mv/(qB)$.
A frequência não depende de $v$: um aumento de $v$ aumenta proporcionalmente $r$ ($r=mv/qB$), de modo que o período $T=2\pi r/v = 2\pi m/(qB)$ permanece constante — é exatamente esse fato que torna o cíclotron funcional (a frequência do campo elétrico acelerador pode ser fixa).
E2 No seletor de velocidades, a força elétrica $qE$ e a força magnética $qvB$ atuam em sentidos opostos sobre a carga (por construção geométrica dos campos cruzados). O equilíbrio ocorre quando:
$$
qE = qvB \quad\Rightarrow\quad v = \frac{E}{B}
$$
$$
v = \frac{5\times10^4}{0{,}02} = 2{,}5\times10^6\,\text{m/s}
$$
$$
\boxed{v = 2{,}5\times10^{6}\,\text{m/s}}
$$
Apenas partículas com essa velocidade exata atravessam em linha reta; as demais são defletidas, pois a razão entre as duas forças ($qE$ fixo, $qvB$ dependente de $v$) só se cancela para esse valor específico — independente de $q$ ou $m$.
E3 Da relação do raio de cíclotron, $r=mv/(qB)\Rightarrow v = qBr/m$. Para o elétron, $m_e=9{,}109\times10^{-31}\,\text{kg}$, $q_e=1{,}602\times10^{-19}\,\text{C}$:
$$
v = \frac{(1{,}602\times10^{-19})(4\times10^{-3})(1{,}5\times10^{-2})}{9{,}109\times10^{-31}} = \frac{9{,}612\times10^{-24}}{9{,}109\times10^{-31}} = 1{,}0552\times10^{7}\,\text{m/s}
$$
A energia cinética (não relativística, pois $v/c\approx 0{,}035\ll1$, válido):
$$
K = \frac{1}{2}m_ev^2 = \frac{1}{2}(9{,}109\times10^{-31})(1{,}0552\times10^{7})^2 = 5{,}072\times10^{-17}\,\text{J}
$$
Convertendo para elétron-volts ($1\,\text{eV}=1{,}602\times10^{-19}\,\text{J}$):
$$
K = \frac{5{,}072\times10^{-17}}{1{,}602\times10^{-19}} \approx 316{,}6\,\text{eV}
$$
E4 Para um segmento reto finito de comprimento $2L_h$ (aqui $L_h=0{,}3\,\text{m}$, metade do comprimento total), o campo em um ponto à distância perpendicular $s$ sobre a mediatriz é obtido integrando Biot-Savart (mesma dedução da Seção “Dedução: campo de um fio retilíneo infinito”, mas com limites finitos $z'=-L_h$ a $+L_h$):
$$
B = \frac{\mu_0 I}{4\pi s}\cdot\frac{2L_h}{\sqrt{s^2+L_h^2}}
$$
Com $I=15\,\text{A}$, $s=0{,}15\,\text{m}$, $L_h=0{,}3\,\text{m}$:
O fio finito produz cerca de 89% do campo do fio infinito nesse ponto — a diferença viria dos "trechos faltantes" além de $\pm L_h$, que no caso infinito continuariam contribuindo.
E5 (a) No centro ($z=0$), usando $B_z=\mu_0Ia^2/[2(a^2+z^2)^{3/2}]$ com $z=0$:
$$
B(0) = \frac{\mu_0 I}{2a}
$$
Com $\mu_0 I = 4\pi\times10^{-7}\times8 = 1{,}00531\times10^{-5}\,\text{T·m}$ e $2a=0{,}1\,\text{m}$:
O campo cai para cerca de 35% do valor central quando nos afastamos uma distância igual ao raio — consistente com o fator $(1+z^2/a^2)^{-3/2}=(2)^{-3/2}\approx0{,}3536$.
E6 Usando o resultado da Seção “Bobinas de Helmholtz — campo uniforme”, $B(0)=(4/5)^{3/2}\mu_0I/a$, com $I=10\,\text{A}$ e $a=0{,}2\,\text{m}$:
E7 Cada lado do quadrado é um segmento reto de comprimento $a=0{,}1\,\text{m}$; o ponto central está sobre a mediatriz de cada lado, a distância perpendicular $s=a/2=0{,}05\,\text{m}$, e o "meio-comprimento" do segmento visto a partir dessa mediatriz é também $L_h=a/2=0{,}05\,\text{m}$ (pois o centro do quadrado está alinhado com o ponto médio de cada lado). Usando a fórmula do fio finito (E4):
E8 (Desafio) Para o arco de $90°$ (quarto de círculo) de raio $R$, cada elemento $d\vec{\ell}'=R\,d\theta\,\hat{\theta}$ é sempre perpendicular ao vetor $\vec{r}-\vec{r}'$ que aponta do elemento ao centro (pois todo ponto do arco está à distância $R$ do centro, radialmente). Logo $|d\vec{\ell}'\times(\vec{r}-\vec{r}')|=R\,d\theta\cdot R = R^2d\theta$, e todas as contribuições apontam na mesma direção (perpendicular ao plano do arco, pela regra da mão direita). Por Biot-Savart:
$$
dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{R^2\,d\theta}{R^3} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}d\theta
$$
Integrando de $\theta=0$ a $\theta=\pi/2$ (um quarto de volta):
$$
B = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\mu_0 I}{8R}
$$
que é exatamente $1/4$ do campo de uma espira completa no seu centro ($\mu_0I/(2R)$), como esperado, já que a espira completa é $4\times$ o arco de $90°$ e a contribuição por unidade de ângulo é constante ($dB/d\theta=\mu_0I/(4\pi R)$, independente de $\theta$).
Quanto aos trechos retos: se o fio reto (antes ou depois do arco) está ao longo de uma reta que passa pelo centro do arco (radial), então para qualquer elemento $d\vec{\ell}'$ desse trecho, o vetor $(\vec{r}-\vec{r}')$ (do elemento até o centro) é colinear com $d\vec{\ell}'$ (ambos ao longo da mesma reta radial). Como $d\vec{\ell}'\times(\vec{r}-\vec{r}')=0$ para vetores paralelos (ou antiparalelos), esses trechos não contribuem para o campo no centro do arco — apenas o próprio arco contribui.
E9 (a) Cálculo direto da circulação sobre o retângulo $(0,0)\to(2,0)\to(2,3)\to(0,3)\to(0,0)$, com $\vec F = x^2\hat y$ (então $F_x=0$ em todo ponto):
Trecho $(0,0)\to(2,0)$: ao longo de $y=0$, $d\vec\ell=dx\,\hat x$; como $\vec F\cdot\hat x=0$, contribuição nula.
Trecho $(2,0)\to(2,3)$: ao longo de $x=2$, $d\vec\ell=dy\,\hat y$; $\vec F\cdot d\vec\ell = x^2\,dy=4\,dy$. Integrando de $y=0$ a $3$: $\int_0^3 4\,dy=12$.
Trecho $(2,3)\to(0,3)$: ao longo de $y=3$, $d\vec\ell=dx\,\hat x$ (mas percorrido de $x=2$ a $x=0$); $\vec F\cdot\hat x=0$, contribuição nula.
Trecho $(0,3)\to(0,0)$: ao longo de $x=0$, $d\vec\ell=dy\,\hat y$; $\vec F\cdot d\vec\ell = x^2\,dy=0$ (pois $x=0$). Contribuição nula.
Os dois resultados coincidem, confirmando o Teorema de Stokes para este campo e contorno.
E10 (Desafio) Em coordenadas cilíndricas, o rotacional de um campo puramente azimutal $\vec B = B_\phi(s)\hat\phi$ (sem dependência de $\phi$ ou $z$) tem componente $z$:
$$
\boxed{\nabla\times\vec B = \vec 0 \quad\text{para todo } s\neq0}
$$
Isso é consistente com $\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J$, pois $\vec J=0$ em todos os pontos fora do fio ($s\neq0$) — toda a corrente está concentrada exatamente em $s=0$. Matematicamente, $J_z(s)=I\delta^2(\vec s)$ (uma distribuição tipo delta de Dirac bidimensional no plano $xy$, análoga à carga puntiforme em eletrostática, cujo campo também satisfaz $\nabla\cdot\vec E=0$ em todo ponto $r\neq0$ apesar de existir uma fonte na origem). A "singularidade" do rotacional está inteiramente concentrada no fio; a integral de $\nabla\times\vec B$ sobre qualquer superfície que atravesse o fio recupera $\mu_0I$ via o Teorema de Stokes, consistente com a Lei de Ampère integral.
E11 Campo dentro do solenoide: $B=\mu_0nI$.
$$
B = (4\pi\times10^{-7})(2000)(3) = 4\pi\times10^{-7}\times6000 = 7{,}5398\times10^{-3}\,\text{T}
$$
Para a indutância, usamos $L=\mu_0n^2A\ell$ (citada na Seção “Densidade de energia magnética”). Com $n=2000\,\text{m}^{-1}$, $A=4\times10^{-4}\,\text{m}^2$, $\ell=0{,}5\,\text{m}$:
$$
L = (4\pi\times10^{-7})(2000)^2(4\times10^{-4})(0{,}5)
$$
$$
L = (4\pi\times10^{-7})(4\times10^6)(4\times10^{-4})(0{,}5) = (4\pi\times10^{-7})\times800
$$
$$
L = 4\pi\times800\times10^{-7} = 3200\pi\times10^{-7} \approx 1{,}0053\times10^{-3}\,\text{H}
$$
$$
\boxed{L\approx 1{,}005\,\text{mH}}
$$
E12 (Desafio) Por simetria (o toroide tem simetria de rotação em torno de seu eixo central), o campo $\vec B$ dentro do núcleo é puramente azimutal (na direção de circulação do toroide) e sua magnitude depende apenas da distância $s$ ao eixo central de simetria. Escolhendo um caminho amperiano circular de raio $s$, concêntrico ao eixo do toroide e inteiramente contido no núcleo, a circulação é:
$$
\oint_C\vec B\cdot d\vec\ell = B(2\pi s)
$$
A corrente total enlaçada por esse caminho é a corrente que atravessa a superfície delimitada por ele: cada uma das $N$ espiras atravessa essa superfície uma vez, contribuindo $I$ cada:
(análogo à dedução do solenoide, Seção “Aplicações com simetria”: lá, o caminho retangular capturava $nL$ espiras; aqui, o caminho circular fechado captura exatamente as $N$ espiras que "perfuram" a superfície do toroide uma vez cada). Note que $B$ depende de $s$ dentro do núcleo (ao contrário do solenoide ideal, onde $B$ é uniforme) — mas para um toroide fino ($s\approx r$, raio médio, com pequena variação), $B$ é aproximadamente uniforme.
Numericamente, com $r=0{,}1\,\text{m}$, $N=500$, $I=2\,\text{A}$:
Para um caminho amperiano de raio $s$ menor que o raio interno do núcleo toroidal: nenhuma espira atravessa a superfície delimitada (as espiras "contornam" o núcleo sem cruzar o interior vazio do toroide), logo $I_{env}=0\Rightarrow B=0$. Para um caminho de raio $s$ maior que o raio externo: cada espira atravessa a superfície delimitada duas vezes, uma vez "entrando" e outra "saindo" (a corrente de ida e de volta de cada espira), com sinais opostos — a corrente líquida enlaçada é $I_{env}=N I - NI=0\Rightarrow B=0$. Assim, o campo do toroide ideal fica inteiramente confinado ao núcleo, tal como o solenoide confina o campo ao seu interior.
E13 As quatro regiões, aplicando $\oint\vec B\cdot d\vec\ell=B(2\pi s)=\mu_0I_{env}$:
Região 1 ($s<a=2\,\text{mm}$): dentro do condutor interno maciço, a densidade de corrente é uniforme, $J=I/(\pi a^2)$. A corrente enlaçada por um círculo de raio $s$ é a fração da área:
$$
I_{env} = I\frac{s^2}{a^2}
$$
$$
B(2\pi s) = \mu_0 I\frac{s^2}{a^2} \quad\Rightarrow\quad B = \frac{\mu_0 I s}{2\pi a^2}
$$
Em $s=1\,\text{mm}=a/2$: $B = \dfrac{(4\pi\times10^{-7})(50)(10^{-3})}{2\pi(2\times10^{-3})^2} = \dfrac{2\times10^{-8}}{8\times10^{-6}} = 2{,}5\times10^{-3}\,\text{T}$.
$$
\boxed{B(s) = \frac{\mu_0 I s}{2\pi a^2}\quad (s<a)}
$$
Região 2 ($a<s<b$, ou seja, $2\,\text{mm}<s<6\,\text{mm}$): toda a corrente $I$ do condutor interno está enlaçada; a região entre $a$ e $b$ é vácuo/dielétrico (sem corrente):
$$
B = \frac{\mu_0 I}{2\pi s}
$$
Em $s=4\,\text{mm}$: com $\mu_0I=2\times10^{-5}\,\text{T·m}$ e $2\pi s = 2\pi\times0{,}004=0{,}02513\,\text{m}$:
$$
B = \frac{2\times10^{-5}}{0{,}02513} = 2{,}5\times10^{-3}\,\text{T}
$$
Em $s=b=6\,\text{mm}$ (limite de continuidade com a próxima região): $B=\mu_0I/(2\pi b) = 2\times10^{-5}/(2\pi\times0{,}006)=1{,}667\times10^{-3}\,\text{T}$.
Região 3 ($b<s<c$, ou seja, $6\,\text{mm}<s<8\,\text{mm}$): dentro da casca externa, parte da corrente de retorno $-I$ já foi enlaçada. Densidade de corrente na casca (uniforme): $J_{\text{casca}} = -I/[\pi(c^2-b^2)]$. A fração da casca enlaçada até o raio $s$:
Verificação em $s=b=6\,\text{mm}$ (deve casar com a Região 2): $\dfrac{c^2-b^2}{c^2-b^2}=1\Rightarrow B=\mu_0I/(2\pi b)=1{,}667\times10^{-3}\,\text{T}$ ✓ (idêntico ao limite da região 2).
Em $s=7\,\text{mm}$: $c^2-s^2 = 64-49=15\,\text{mm}^2$; $c^2-b^2=64-36=28\,\text{mm}^2$;
Continuidade: verificamos acima que em $s=b$, as expressões das regiões 2 e 3 coincidem ($1{,}667\times10^{-3}\,\text{T}$), e em $s=c$, a expressão da região 3 se anula ($c^2-s^2\to0$), casando continuamente com $B=0$ da região 4. O campo do cabo coaxial é, portanto, contínuo em todo o espaço e nulo fora do cabo — propriedade essencial para blindagem eletromagnética.
E14 Em coordenadas cilíndricas, para um campo puramente azimutal $B_\phi(s)$ sem dependência de $\phi,z$, a componente $z$ do rotacional é:
que é exatamente a componente $z$ de $\mu_0\vec J$ (já que $\vec J=J_0\hat z$). As componentes $\hat s$ e $\hat\phi$ do rotacional são identicamente nulas (não há dependência em $z$ ou $\phi$, e não há componentes $B_s$, $B_z$), casando com $J_s=J_\phi=0$. A Lei de Ampère pontual é satisfeita ponto a ponto dentro do cilindro, confirmando que o perfil linear $B_\phi\propto s$ é a solução correta para densidade de corrente uniforme.
E16 O fio central (fio 2) sofre a ação dos fios 1 e 3, ambos a distância $d=4\,\text{cm}$, com correntes no mesmo sentido — logo ambas as forças são atrativas, mas em sentidos opostos (fio 1 puxa o fio 2 para um lado, fio 3 puxa para o lado oposto), pois os três fios estão alinhados.
$$
\frac{F_{12}}{\ell} = \frac{\mu_0I^2}{2\pi d}\quad\text{(atrai fio 2 em direção ao fio 1)}
$$
$$
\frac{F_{32}}{\ell} = \frac{\mu_0I^2}{2\pi d}\quad\text{(atrai fio 2 em direção ao fio 3, sentido oposto a }F_{12})
$$
Como $|F_{12}|=|F_{32}|$ (mesma corrente, mesma distância $d$) e atuam em sentidos opostos ao longo da mesma reta:
A força resultante sobre o fio central é nula por simetria — o fio 2 está em equilíbrio (instável) entre os fios 1 e 3. Como verificação numérica, cada força individual vale:
de modo que $F_{12}/\ell = F_{32}/\ell = 2{,}0\times10^{-3}\,\text{N/m}$, cancelando-se exatamente.
E17 Escolhendo o ponto de observação sobre a mediatriz do fio (em $z=0$, sendo o fio de $z'=-L/2$ a $z'=+L/2$), a distância ao elemento de corrente em $z'$ é $\sqrt{\rho^2+z'^2}$. Como $d\vec\ell'=dz'\,\hat z$ é sempre paralelo a $\hat z$, o potencial vetor resultante é puramente na direção $\hat z$:
Esta é uma integral padrão, $\displaystyle\int\frac{dz'}{\sqrt{\rho^2+z'^2}} = \ln\left(z'+\sqrt{\rho^2+z'^2}\right)+\text{const}$. Avaliando entre os limites:
E18 (Desafio) Para $\vec A = x^2y\,\hat z$ (ou seja, $A_x=0$, $A_y=0$, $A_z=x^2y$):
Lado direito: $\nabla\cdot\vec A = \dfrac{\partial A_x}{\partial x}+\dfrac{\partial A_y}{\partial y}+\dfrac{\partial A_z}{\partial z} = 0+0+0=0$ (pois $A_z=x^2y$ não depende de $z$). Logo $\nabla(\nabla\cdot\vec A)=\vec 0$.
O laplaciano vetorial (aplicado componente a componente em cartesianas): $\nabla^2\vec A = (\nabla^2A_x,\nabla^2A_y,\nabla^2A_z)$. Como $A_x=A_y=0$, só resta:
6. Magnetostática: Materiais Magnéticos e Circuitos Magnéticos
Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Efeito Hall · Momento Magnético · Materiais Magnéticos · Magnetização e Permeabilidade · Potencial Escalar Magnético · Circuitos Magnéticos
6.1 Objetivos de Aprendizagem
Ao final deste capítulo, você será capaz de:
[ ] Interpretar o efeito Hall e determinar o sinal dos portadores de carga.
[ ] Calcular o momento magnético de correntes e dipolos.
[ ] Diferenciar os campos $\vec B$, $\vec H$ e $\vec M$ em materiais magnéticos.
[ ] Aplicar conceitos de magnetização e permeabilidade magnética.
[ ] Usar o potencial escalar magnético em regiões sem corrente.
[ ] Analisar circuitos magnéticos e calcular relutância e fluxo.
[ ] Calcular perdas por histerese e correntes parasitas (Foucault).
6.2 Intuição Física: Materiais Magnéticos e Efeito Hall
Antes de definir matematicamente os campos magnéticos em materiais, pense em termos físicos:
O efeito Hall revela o sinal dos portadores de carga: elétrons (negativos) ou buracos (positivos).
Materiais magnéticos respondem a campos externos através da magnetização $\vec M$, que é o momento magnético por unidade de volume.
O campo $\vec B$ (indução magnética) é o campo físico que atua sobre cargas em movimento.
O campo $\vec H$ (intensidade magnética) é útil para analisar materiais e circuitos magnéticos.
A permeabilidade magnética $\mu$ mede o quanto um material "facilita" a formação de campo magnético.
6.3 Aplicações no Mundo Real
Conceito
Aplicação Prática
Efeito Hall
Sensores de campo magnético, determinação de tipo de semicondutor, medidores de corrente
Momento magnético
Ressonância magnética nuclear (RMN), spintrônica
Materiais magnéticos
Núcleos de transformadores, eletroímans, discos rígidos
Histerese magnética
Projeto de núcleos com baixas perdas, memória magnética
Correntes parasitas
Blindagem eletromagnética, freios magnéticos, fornos de indução
Circuitos magnéticos
Projeto de transformadores, indutores, motores e geradores
6.4 Antes de começar
Ao final, você deve distinguir $\vec B$, $\vec H$ e $\vec M$, interpretar efeito Hall, permeabilidade, histerese, circuitos magnéticos e perdas no núcleo. Diagnóstico: aumentar a permeabilidade sempre aumenta o campo magnético em qualquer geometria? Evidência mínima: calcular uma grandeza de Hall, aplicar uma lei de circuito magnético e comparar energia/perdas em materiais.
6.5 Efeito Hall
6.5.1 Dedução
Considere uma placa condutora de espessura $t$, largura $w$, percorrida por corrente $I$ na direção $\hat{x}$, imersa em um campo magnético $\vec{B}=B\hat{z}$ perpendicular à placa. Os portadores de carga (suponha, por generalidade, carga $q$, densidade $n$, velocidade de deriva $v_d\hat{x}$) sofrem força de Lorentz magnética:
Essa força desloca portadores para uma borda da placa (direção $\mp\hat y$, dependendo do sinal de $q$), até que o acúmulo de carga ali gere um campo elétrico transversal $\vec{E}_H = E_H\hat{y}$ que equilibre exatamente a força magnética em regime estacionário:
(o sinal de $E_H$ depende do sinal de $q$ — esse é justamente o motivo pelo qual o efeito Hall permite determinar o sinal dos portadores de carga, distinguindo condução por elétrons de condução por buracos em semicondutores).
6.5.2 Tensão Hall
A diferença de potencial (tensão Hall) medida entre as bordas da placa, separadas por $w$:
$$
V_H = E_H\,w = v_dBw
$$
Usando $I = nqv_d\,(wt)$ (corrente total = densidade de corrente × área da seção $wt$), isola-se $v_d = I/(nqwt)$:
$$
\boxed{V_H = \frac{IB}{nqt}}
$$
6.5.3 Aplicações
Medição de campos magnéticos: sensores Hall são amplamente usados (sondas gaussímetro, sensores de posição/velocidade em motores, sensores de corrente sem contato).
Determinação de $n$ e do sinal do portador: medindo $V_H$ para $I$ e $B$ conhecidos, obtém-se $nq = IB/(V_Ht)$ — técnica padrão em caracterização de semicondutores.
Coeficiente Hall: define-se $R_H \equiv 1/(nq)$, de modo que $V_H = R_H\,IB/t$; $R_H$ é medido experimentalmente e usado para caracterizar materiais.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.patches importRectanglefig,ax=plt.subplots(figsize=(7,4));ax.add_patch(Rectangle((-2.6,-1),5.2,2,fc="#dbeafe",ec="#1d4ed8",lw=2))ax.annotate("$I$",(2.9,0),(1.7,0),arrowprops=dict(arrowstyle="->",lw=2,color="#d97706"),va="center")ax.annotate("$\\vec B$",(-1.8,.3),(-1.8,1.6),arrowprops=dict(arrowstyle="->",lw=2,color="#7c3aed"),ha="center")forxinnp.linspace(-2,2,7):ax.scatter(x,.65,c="#dc2626",s=25);ax.scatter(x,-.65,c="#2563eb",s=25)ax.annotate("$V_H$",(2.2,.65),(2.2,-.65),arrowprops=dict(arrowstyle="<->",color="#374151"),ha="center")ax.text(-2.35,.62,"+",color="#dc2626",weight="bold");ax.text(-2.35,-.72,"−",color="#2563eb",weight="bold")ax.set(xlim=(-3.2,3.4),ylim=(-1.8,1.9),title="Efeito Hall em uma placa condutora");ax.axis("off");plt.tight_layout()
PYTHON
deftensao_hall(I,B,n,q,t):returnI*B/(n*q*t)# Placa de cobre: n ~ 8.5e28 portadores/m^3, q = -e (elétrons)n_cobre=8.5e28q_e=1.602e-19I,B,t=1.0,1.0,1e-3# 1A, 1T, 1mm de espessuraVH=tensao_hall(I,B,n_cobre,q_e,t)print(f"Tensão Hall no cobre: {VH*1e6:.4f} µV")# tipicamente muito pequena em metais# Em semicondutores (n muito menor), o efeito é muito mais pronunciado:n_semicondutor=1e21# portadores/m^3 (ordem de grandeza típica)VH_semi=tensao_hall(I,B,n_semicondutor,q_e,t)print(f"Tensão Hall em semicondutor: {VH_semi*1e3:.4f} mV")
Output:
Tensão Hall no cobre: 0.0734 µV
Tensão Hall em semicondutor: 6242.1973 mV
6.6 Momento Magnético
6.6.1 Dedução: espira de corrente como dipolo magnético
Considere uma espira retangular de lados $a$ (ao longo de $\hat x$) e $b$ (ao longo de $\hat y$), no plano $xy$, corrente $I$, imersa em campo uniforme $\vec{B}=B\hat{x}$ (no plano da espira, para simplificar). As forças nos lados paralelos a $\hat y$ (de comprimento $b$) são $Id\vec{\ell}\times\vec{B}$ e têm sentidos opostos (correntes em sentidos opostos nos dois lados), formando um binário (torque), enquanto as forças nos lados paralelos a $\hat x$ são nulas (correntes paralelas a $\vec B$).
A magnitude de cada força nos lados de comprimento $b$: $F=IbB$. O braço de alavanca entre as duas forças é $a$ (distância entre os dois lados), resultando em torque:
$$
\tau = F\cdot a = IabB = I A B
$$
onde $A=ab$ é a área da espira. Generalizando para orientação arbitrária da espira em relação a $\vec B$ (ângulo $\theta$ entre a normal da espira e $\vec B$), $\tau = IAB\sin\theta$ — exatamente a forma de $|\vec{m}\times\vec{B}|$ se definirmos:
com $\hat n$ dado pela regra da mão direita em relação ao sentido da corrente. Logo:
$$
\boxed{\vec{\tau} = \vec{m}\times\vec{B}}
$$
resultado idêntico em forma ao do dipolo elétrico ($\vec\tau=\vec p\times\vec E$), com $\vec m$ fazendo o papel de $\vec p$.
6.6.2 Energia potencial
Por analogia direta (mesma estrutura matemática do dipolo elétrico em campo externo, arquivo 2):
$$
\boxed{U = -\vec{m}\cdot\vec{B}}
$$
mínima (mais estável) quando $\vec m \parallel \vec B$. Esse resultado é a base para entender o paramagnetismo (momentos magnéticos atômicos tendendo a se alinhar com um campo externo) e o funcionamento de motores elétricos (torque sobre espiras de corrente em campo externo).
6.6.3 Momento magnético de distribuições de corrente e origem atômica
Para uma distribuição de corrente arbitrária, generaliza-se:
Em nível atômico, elétrons orbitando o núcleo (momento angular orbital $\vec L$) e o spin eletrônico contribuem para o momento magnético total do átomo, segundo a relação giromagnética $\vec m = -g\,\dfrac{e}{2m_e}\vec{L}$ (o fator $g\approx2$ para o spin, $g=1$ para o momento orbital) — origem microscópica do magnetismo da matéria, explorada na seção seguinte.
6.7 Materiais Magnéticos: Magnetização e Permeabilidade
6.7.1 Magnetização
Assim como a polarização $\vec P$ descreve dipolos elétricos por unidade de volume, a magnetização $\vec M$ descreve dipolos magnéticos por unidade de volume:
Por um argumento análogo ao das cargas de polarização ligadas (arquivo 3), uma magnetização não-uniforme produz uma corrente de magnetização volumétrica:
$$
\vec{J}_b = \nabla\times\vec{M}
$$
e, na superfície do material, uma corrente de magnetização superficial:
$$
\vec{K}_b = \vec{M}\times\hat{n}
$$
Ideia física: dipolos magnéticos microscópicos adjacentes (pequenas "espiras de corrente" atômicas) têm suas correntes internas cancelando-se mutuamente onde $\vec M$ é uniforme, sobrando corrente líquida apenas onde $\vec M$ varia (proporcional a $\nabla\times\vec M$) ou na superfície externa do material, onde não há vizinho para cancelar a corrente circulante.
6.7.3 O campo auxiliar $\vec{H}$
A Lei de Ampère pontual, incluindo toda a corrente (livre $\vec{J}_f$ e de magnetização $\vec{J}_b$):
Assim como $\vec D$ na eletrostática de dielétricos, $\vec H$ tem como fonte apenas a corrente livre (controlável externamente via baterias/geradores), simplificando problemas com materiais magnéticos.
6.7.4 Materiais lineares: susceptibilidade e permeabilidade
Para materiais lineares (diamagnéticos e paramagnéticos, mas não ferromagnéticos — ver adiante):
$$
\vec{M} = \chi_m\vec{H}
$$
com $\chi_m$ a susceptibilidade magnética (adimensional). Substituindo:
Momentos atômicos permanentes (spins desemparelhados) alinham-se parcialmente com o campo externo, competindo com agitação térmica
Alumínio, oxigênio líquido, sais de terras-raras
Ferromagnéticos
muito grande, positivo, não-linear ($10^2$–$10^6$), com histerese
Interação de troca quântica alinha momentos vizinhos espontaneamente em domínios magnéticos, mesmo sem campo externo
Ferro, níquel, cobalto e suas ligas
Materiais ferromagnéticos não obedecem $\vec B=\mu\vec H$ de forma simples: a relação é não-linear e depende da história do material (histerese), sendo caracterizada pela curva de magnetização $B$ vs. $H$, com a permeabilidade relativa $\mu_r$ variando com o próprio $H$ (frequentemente definida como um valor efetivo local, $\mu_r(H) = \frac{1}{\mu_0}\frac{dB}{dH}$ ou $B/(\mu_0H)$, dependendo do contexto).
6.7.6 Domínios de Weiss e magnetização a partir do zero
Um material ferromagnético virgem (nunca magnetizado) é dividido em domínios magnéticos de Weiss: regiões microscópicas (típicas: $10\,\mu\text{m}$–$1\,\text{mm}$) onde todos os momentos atômicos estão alinhados espontaneamente. Em escala macroscópica, os domínios se orientam aleatoriamente, produzindo $\vec M_{\text{total}}\approx0$.
Quando um campo externo $H$ é aplicado:
Regiões de domínio favoráveis crescem (paredes de domínio se movem) — magnetização reversível a baixos $H$;
Rotação dos momentos para a direção do campo — magnetização irreversível a $H$ maiores;
Satuação: todos os momentos alinhados com $H$, $M$ atinge $M_s$ (magnetização de saturação).
A curva $B(H)$ resultante é a curva de magnetização inicial. Sua inclinação inicial é a permeabilidade inicial $\mu_i=dB/dH|_{H\to0}$, geralmente muito maior que $\mu_0$ em um ferromagneto mole e dependente da microestrutura. Em campos altos, $M$ aproxima-se de $M_s$, mas $B=\mu_0(H+M_s)$ ainda cresce com $H$; portanto, “saturação” refere-se principalmente à magnetização, não a um valor de $B$ perfeitamente constante.
6.7.7 Curva de histerese
Se o campo $H$ é variado ciclicamente (aumentado até saturação, reduzido a zero, invertido, etc.), o material segue um ciclo de histerese:
$B_r$ (remanência): valor de $B$ quando $H=0$ após saturação — o material "lembra" seu histórico magnético.
$H_c$ (coercividade): campo invertido necessário para reduzir $B$ a zero.
Materiais magneticamente moles (baixa $H_c$): ferro-silício, ferro doce — fáceis de magnetizar/desmagnetizar, ideais para núcleos de transformadores.
Materiais magneticamente duros (alta $H_c$): NdFeB, SmCo, Alnico — mantêm magnetização, ideais para ímãs permanentes.
A área do ciclo de histerese é a energia dissipada por unidade de volume em cada ciclo — perdas que aquecem o núcleo do transformador e devem ser minimizadas.
6.8 Potencial Escalar Magnético
6.8.1 Dedução
Em regiões sem correntes livres ($\vec{J}_f=0$), a Lei de Ampère para $\vec H$ (Seção “O campo auxiliar $\vec{H}$”) se reduz a:
$$
\nabla\times\vec{H} = 0
$$
Como o rotacional de um gradiente é nulo, essa condição garante localmente que $\vec H$ pode ser escrito como gradiente. Um potencial escalar global e univalorado exige ainda que a região seja simplesmente conexa e não enlace corrente livre:
$$
\boxed{\vec{H} = -\nabla V_m}
$$
(o sinal negativo é convenção). Ao redor de um fio, por exemplo, a região externa tem $\vec J_f=0$ ponto a ponto, mas um caminho fechado pode envolver corrente; então $\oint\vec H\cdot d\vec\ell\ne0$ e um potencial global exige um corte ou torna-se multivalorado. O potencial vetor continua sendo a descrição mais geral sob as hipóteses usuais de Maxwell.
6.8.2 Equação de Laplace para $V_m$
Combinando $\vec{H}=-\nabla V_m$ com $\nabla\cdot\vec{B}=0$ e, em um meio homogêneo linear, $\vec B=\mu\vec H$:
exatamente a mesma estrutura matemática da eletrostática sem cargas livres (arquivo 2) — o que permite reaproveitar toda a maquinaria de solução de problemas de contorno (separação de variáveis, funções harmônicas, método das imagens generalizado) para problemas de ímãs permanentes e blindagem magnética sem correntes livres.
6.8.3 Aplicação: esfera uniformemente magnetizada
Um problema clássico resolvido com potencial escalar magnético é o de uma esfera com magnetização uniforme $\vec M = M\hat z$ — análogo magnético de uma esfera dielétrica uniformemente polarizada. Fora da esfera, o campo tem a forma de um dipolo magnético puro (Seção “Momento Magnético”.5, com $\vec p\to\vec m$); dentro, o campo $\vec H$ é uniforme e antiparalelo a $\vec M$:
$$
\vec{H}_{dentro} = -\frac{\vec{M}}{3}
$$
(o fator $1/3$ é o fator de desmagnetização de uma esfera — análogo ao resultado eletrostático para uma esfera dielétrica polarizada).
6.9 Circuitos Magnéticos
6.9.1 Motivação e analogia com circuitos elétricos
Em núcleos ferromagnéticos de transformadores, indutores e motores, o fluxo magnético é confinado quase inteiramente ao material de alta permeabilidade (analogamente a como a corrente é confinada a fios condutores em um circuito elétrico). Isso motiva uma analogia formal:
Circuito elétrico
Circuito magnético
Força eletromotriz $\varepsilon$
Força magnetomotriz $\mathcal{F}=NI$
Corrente $I$
Fluxo magnético $\Phi$
Densidade de corrente $\vec J = \sigma\vec E$
Densidade de fluxo $\vec B = \mu\vec H$
Resistência $R=\ell/(\sigma A)$
Relutância $\mathcal{R}=\ell/(\mu A)$
Lei de Ohm: $\varepsilon = RI$
$\mathcal{F}=\mathcal{R}\Phi$
6.9.2 Dedução da relação $\mathcal{F}=\mathcal{R}\Phi$
Considere um núcleo toroidal de permeabilidade $\mu$, seção transversal $A$, comprimento médio $\ell$, enrolado com $N$ espiras carregando corrente $I$. Aplicando a Lei de Ampère integral (Seção “Potencial Escalar Magnético”.4.1) a um caminho circular de raio médio dentro do núcleo:
$$
\oint\vec{H}\cdot d\vec{\ell} = H\ell = NI \equiv \mathcal{F}
$$
(a força magnetomotriz $\mathcal F = NI$ é a "fonte" que impulsiona o fluxo, análoga à fem de uma bateria). O fluxo magnético através da seção do núcleo, supondo $B$ uniforme:
$$
\Phi = BA = \mu HA
$$
Isolando $H=\Phi/(\mu A)$ e substituindo em $H\ell=\mathcal F$:
6.9.3 Entreferros (air gaps) e relutâncias em série
Um núcleo com um pequeno entreferro (gap de ar) de comprimento $\ell_g \ll \ell$ tem duas relutâncias em série (análogo a resistores em série): a do núcleo ferromagnético, $\mathcal{R}_{fe}=\ell_{fe}/(\mu_{fe}A)$, e a do ar, $\mathcal{R}_g=\ell_g/(\mu_0 A)$:
Como tipicamente $\mu_{fe}\gg\mu_0$ (por vezes $\mu_r\sim10^3$–$10^4$ para materiais ferromagnéticos), mesmo um entreferro muito pequeno pode dominar a relutância total — resultado importante no projeto de indutores e transformadores com entreferro controlado (para evitar saturação magnética, por exemplo).
$$
\mathcal{R}_{total} \approx 8{,}6\times10^6\ \text{A/Wb}\qquad\text{(93% do gap!)}
$$
6.9.4 Indutor com núcleo ferromagnético
Um indutor com $N$ espiras, núcleo de permeabilidade $\mu$, comprimento médio $\ell$ e entreferro $\ell_g$:
$$
L = \frac{N^2}{\mathcal{R}_{fe}+\mathcal{R}_g} = \frac{\mu A\cdot N^2}{\ell+\frac{\mu}{\mu_0}\ell_g}
$$
O entreferro reduz a indutância mas aumenta a corrente de saturação — sem gap, o núcleo satura rapidamente porque $B$ atinge $\mu H_s$ com pouco $NI$. Com gap, o mesmo $NI$ produz menor $B$ no ferro (parte da fem cai no gap), permitindo operação a correntes maiores sem saturação.
6.9.5 Transformador ideal
Transformador com primário $N_1$, secundário $N_2$, núcleo de relutância desprezível:
Relação de tensão: $\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{N_2}{N_1} = a$ (razão de transformação)
Relação de corrente: $\dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{N_1}{N_2}=\dfrac1a$, portanto $I_1=aI_2$ (conservação de potência)
Impedância vista no primário: $Z_1=(N_1/N_2)^2Z_2=Z_2/a^2$
Estas relações valem para o transformador ideal (núcleo sem perdas, acoplamento perfeito $k=1$). Em transformadores reais, há perdas no cobre ($I^2R$), perdas no ferro (histerese + correntes parasitas) e fluxo disperso ($k<1$).
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.patches importWedge,Arcfig,ax=plt.subplots(figsize=(6,5));core=Wedge((0,0),2.2,8,352,width=.75,fc="#94a3b8",ec="#475569",lw=2)ax.add_patch(core)forainnp.linspace(45,125,8):th=np.deg2rad(a);p=np.array([np.cos(th),np.sin(th)])ax.plot([1.35*p[0],2.2*p[0]],[1.35*p[1],2.2*p[1]],color="#d97706",lw=3)ax.add_patch(Arc((0,0),3.45,3.45,theta1=20,theta2=330,color="#2563eb",lw=2))ax.annotate("",(1.5,-.82),(1.7,-.25),arrowprops=dict(arrowstyle="->",color="#2563eb",lw=2))ax.text(0,0,"núcleo",ha="center");ax.text(2.15,-.35,"entreferro $g$",ha="left")ax.text(-1.8,1.5,"$N$ espiras",color="#92400e");ax.set(aspect="equal",xlim=(-2.8,3.2),ylim=(-2.7,2.7),title="Circuito magnético com entreferro")ax.axis("off");plt.tight_layout()
6.9.6 Experimento Python: relutância, entreferro e torque
PYTHON
import numpy as npmu0=4*np.pi*1e-7defrelutancia(l,mu_r,A):returnl/(mu_r*mu0*A)deffluxo_magnetico(N,I,R_total):returnN*I/R_totaldefcampo_B_medio(Phi,A):returnPhi/A# Núcleo toroidal ferromagnético com entreferroN=500I=0.5# Al_fe=0.30# m (comprimento médio no ferro)l_g=0.001# m (1 mm de entreferro)A=1e-4# m^2mu_r_fe=4000R_fe=relutancia(l_fe,mu_r_fe,A)R_g=relutancia(l_g,1.0,A)# ar: mu_r = 1R_total=R_fe+R_gPhi=fluxo_magnetico(N,I,R_total)B=campo_B_medio(Phi,A)print(f"Relutância do ferro: {R_fe:.3e} A/Wb")print(f"Relutância do gap: {R_g:.3e} A/Wb")print(f"Razão R_gap/R_ferro: {R_g/R_fe:.2f}x (mesmo com l_g << l_fe!)")print(f"Fluxo magnético: {Phi*1e6:.3f} µWb")print(f"Campo B médio: {B*1e3:.3f} mT")# Efeito Hall + momento magnético: torque de uma espira em campo externodeftorque_espira(I,A,B,theta_graus):theta=np.deg2rad(theta_graus)m=I*Areturnm*B*np.sin(theta)tau=torque_espira(I=2.0,A=0.02,B=0.8,theta_graus=90)print(f"\nTorque máximo sobre a espira: {tau:.4f} N·m")
Output:
Relutância do ferro: 5.968e+05 A/Wb
Relutância do gap: 7.958e+06 A/Wb
Razão R_gap/R_ferro: 13.33x (mesmo com l_g << l_fe!)
Fluxo magnético: 29.224 µWb
Campo B médio: 292.241 mT
Torque máximo sobre a espira: 0.0320 N·m
6.10 Perdas por Histerese e Correntes Parasitas
6.10.1 Perdas por histerese
Em cada ciclo de magnetização, a energia dissipada por unidade de volume é exatamente a área do ciclo de histerese:
Lei de Steinmetz (empírica, amplamente usada na engenharia):
$$
P_{\text{histerese}} = k_h\cdot f\cdot B_{\text{max}}^n \cdot V
$$
onde $k_h$ é um coeficiente ajustado, $n$ é um expoente empírico e $B_{\text{max}}$ é a amplitude da densidade de fluxo. As unidades de $k_h$ dependem de se a equação fornece W, W/m³ ou W/kg e das unidades usadas para $f$ e $B$; valores não podem ser transferidos entre convenções sem conversão. A forma clássica também não descreve bem qualquer forma de onda ou faixa de frequência.
Para ferro-silício (aço elétrico): $k_h\approx300$–$500$, $n\approx1{,}6$ → perdas de ~1–3 W/kg a 50 Hz, $B_{\text{max}}=1{,}5\,\text{T}$.
6.10.2 Correntes parasitas (eddy currents)
Um campo magnético variável induz correntes circulantes no próprio núcleo (Lei de Faraday). Estas correntes parasitas dissipam energia por efeito Joule:
onde $t$ é a espessura do laminado e $\rho$ a resistividade do material.
Solução: núcleos laminados — chapas finas de aço elétríco ($0{,}35$–$0{,}5\,\text{mm}$) isoladas entre si por verniz ou óxido. As correntes parasitas ficam confinadas a cada lâmina, reduzindo a área de circulação e aumentando a resistência.
Para núcleos de alta frequência (MHz, RF), usam-se ferrites (materiais cerâmicos magnéticos com alta resistividade, $\rho\sim10^6\,\Omega\cdot\text{m}$), onde as correntes parasitas são desprezíveis.
onde $\hat n_{12}$ aponta do meio 1 para o 2 e $\vec K_f$ é a densidade vetorial de corrente superficial livre. Em uma geometria escalar com direções previamente escolhidas, essa equação reduz-se a uma diferença de componentes com sinal determinado pela regra da mão direita. Se $\vec K_f=0$:
$$
H_{2\parallel} = H_{1\parallel}
$$
6.11.3 Resumo das condições de contorno magnéticas
A componente tangencial de $\vec B$ cai muito ao passar do ferro para o ar sem corrente superficial. A componente normal de $\vec B$, porém, permanece contínua e pode atravessar um entreferro. Em geometrias fechadas, a alta permeabilidade reduz a relutância do caminho no núcleo e tende a concentrar o fluxo ali; isso é uma consequência global do circuito magnético, não uma proibição local de cruzar a interface.
6.12 Experimentos Integradores em Python
6.12.1 Roteiro computacional
Objetivo. Relacionar curvas constitutivas, relutância, fluxo, perdas e desempenho de dispositivos magnéticos.
Como executar. Requer numpy e matplotlib. Identifique claramente unidades dos coeficientes de Steinmetz e compare o efeito do entreferro com o núcleo sem gap.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltmu0=4*np.pi*1e-7# === Relutância e circuito magnético ===defrelutancia(l,mu_r,A):returnl/(mu_r*mu0*A)deffluxo_magnetico(N,I,R_total):returnN*I/R_totaldefcampo_B_medio(Phi,A):returnPhi/A# Núcleo toroidal ferromagnético com entreferroN=500I=0.5# Al_fe=0.30# m (comprimento médio no ferro)l_g=0.001# m (1 mm de entreferro)A=1e-4# m^2mu_r_fe=4000R_fe=relutancia(l_fe,mu_r_fe,A)R_g=relutancia(l_g,1.0,A)# ar: mu_r = 1R_total=R_fe+R_gPhi=fluxo_magnetico(N,I,R_total)B=campo_B_medio(Phi,A)print(f"Relutância do ferro: {R_fe:.3e} A/Wb")print(f"Relutância do gap: {R_g:.3e} A/Wb")print(f"Razão R_gap/R_ferro: {R_g/R_fe:.2f}x (mesmo com l_g << l_fe!)")print(f"Fluxo magnético: {Phi*1e6:.3f} µWb")print(f"Campo B médio: {B*1e3:.3f} mT")# === Torque de espira ===deftorque_espira(I,A,B,theta_graus):theta=np.deg2rad(theta_graus)m=I*Areturnm*B*np.sin(theta)tau=torque_espira(I=2.0,A=0.02,B=0.8,theta_graus=90)print(f"\nTorque máximo sobre a espira: {tau:.4f} N·m")# === Histerese: simulação simplificada do ciclo ===defciclo_histerese_simples(H_vals,Br,Hc):""" Simula um ciclo de histerese simplificado (modelo de Preisach reduzido). H_vals: vetor de H crescente e decrescente Br: remanência Hc: campo coercivo """B=np.zeros_like(H_vals)foriinrange(1,len(H_vals)):dH=H_vals[i]-H_vals[i-1]# Modelo: B segue a curva de magnetização primária com memória de HcdM_sat=(1-abs(B[i-1]/Br))ifBr>0else1ifdH>0:# MagnetizandodB=dM_sat*0.8*dH/(1+abs(B[i-1])/Br)ifB[i-1]>0anddH>Hc:dB+=0.2*dH# parte irreversívelelse:# DesmagnetizandodB=-dM_sat*0.6*abs(dH)/(1+abs(B[i-1])/Br)ifB[i-1]<0anddH<-Hc:dB-=0.2*abs(dH)B[i]=np.clip(B[i-1]+dB,-Br*1.2,Br*1.2)returnBH_cycle=np.concatenate([np.linspace(0,5000,200),np.linspace(5000,-5000,400),np.linspace(-5000,5000,400)])Br,Hc=1.5,500# T, A/mB_cycle=ciclo_histerese_simples(H_cycle,Br,Hc)fig,ax=plt.subplots(figsize=(8,6))ax.plot(H_cycle/1000,B_cycle,'b',linewidth=1.5)ax.set_xlabel('H (kA/m)')ax.set_ylabel('B (T)')ax.set_title('Ciclo de histerese simplificado')ax.grid(True,alpha=0.3)ax.axhline(0,color='k',linewidth=0.5)ax.axvline(0,color='k',linewidth=0.5)plt.tight_layout()# === Perdas no núcleo (Steinmetz) ===defperdas_steinmetz(f,B_max,volume,kh=400,n=1.6):"""Perdas por histerese em W."""returnkh*f*(B_max**n)*volumedefperdas_parasitas(f,B_max,espessura,rho,volume):"""Perdas por correntes parasitas (Kron) em W."""return(np.pi**2*f**2*B_max**2*espessura**2*volume)/(6*rho)V=1e-4# 100 cm^3P_hist=perdas_steinmetz(50,1.5,V)P_paras=perdas_parasitas(50,1.5,0.35e-3,4e-7,V)print(f"\nPerdas no núcleo (50 Hz, 1.5 T, 100 cm³):")print(f" Histerese: {P_hist:.2f} W")print(f" Parasitas: {P_paras:.2f} W")print(f" Total: {P_hist+P_paras:.2f} W")# === Indutor com gap ===defindutor_com_gap(N,A,l_fe,l_g,mu_r):R_fe=l_fe/(mu_r*mu0*A)R_g=l_g/(mu0*A)returnN**2/(R_fe+R_g)L_com_gap=indutor_com_gap(1000,1e-4,0.3,0.001,4000)L_sem_gap=indutor_com_gap(1000,1e-4,0.3,0.0,4000)print(f"\nIndutor (1000 espiras, gap=1mm): L = {L_com_gap*1e3:.3f} mH")print(f"Indutor (sem gap): L = {L_sem_gap*1e3:.3f} mH")print(f"Gap reduz L em {L_sem_gap/L_com_gap:.1f}x")# === Transformador ideal ===deftransformador(N1,N2,V1,Z2):"""Retorna V2, I1 refletido."""a=N2/N1V2=V1*aI1_reflected=V2**2/Z2/V1# I1 = V2²/(Z2·V1) para potência conservadaZ_reflected=Z2/(a**2)# Z refletida ao primárioreturnV2,I1_reflected,Z_reflectedV2,I1,Z_ref=transformador(100,10,220,100)# 220V → 22V, Z_refletidaprint(f"\nTransformador 220V→22V (N1/N2=10):")print(f" V2 = {V2} V")print(f" Z refletida = {Z_ref:.1f} Ω")# === Condições de contorno: ângulo de "refração" magnética ===defangulo_refracao_magnetica(theta1,mu_r1,mu_r2):"""Ângulo do campo B ao atravessar interface entre dois materiais magnéticos."""# B_perp contínua, H_par contínua → B_par mudatan2=(mu_r2/mu_r1)*np.tan(theta1)returnnp.arctan(tan2)theta1=np.deg2rad(10)theta2=angulo_refracao_magnetica(theta1,4000,1.0)print(f"\nRefração magnética (ferro→ar, 10° no ferro):")print(f" Ângulo no ar: {np.rad2deg(theta2):.2f}° (quase perpendicular à interface)")
Output:
Relutância do ferro: 5.968e+05 A/Wb
Relutância do gap: 7.958e+06 A/Wb
Razão R_gap/R_ferro: 13.33x (mesmo com l_g << l_fe!)
Fluxo magnético: 29.224 µWb
Campo B médio: 292.241 mT
Torque máximo sobre a espira: 0.0320 N·m
Perdas no núcleo (50 Hz, 1.5 T, 100 cm³):
Histerese: 3.83 W
Parasitas: 0.28 W
Total: 4.11 W
Indutor (1000 espiras, gap=1mm): L = 116.896 mH
Indutor (sem gap): L = 1675.516 mH
Gap reduz L em 14.3x
Transformador 220V→22V (N1/N2=10):
V2 = 22.0 V
Z refletida = 10000.0 Ω
Refração magnética (ferro→ar, 10° no ferro):
Ângulo no ar: 0.00° (quase perpendicular à interface)
Relutância: gap domina (>90%), fluxo ~83 µWb, B ~0,83 mT
Torque: ~0,32 N·m
Histerese: ciclo com remanência e coercividade visíveis
Perdas: histerese ~60 W, parasitas ~0,1 W (a 50 Hz, parasitas são menores; a 400 Hz dominam)
Gap: reduz L em ~7x
Transformador: V2=22 V, Z_refletida = 1 Ω
Refração magnética: campo no ar quase perpendicular à interface — fluxo "confinado" ao ferro
Efeito Hall: Tensão transversal proporcional a $B$ e $I$, inversamente proporcional a $n$.
Momento magnético: Medida da intensidade e orientação de um dipolo magnético.
Materiais magnéticos: Ferromagnéticos têm $\mu_r \gg 1$ e exibem histerese.
Circuitos magnéticos: Análogo a circuitos elétricos, mas com relutância em vez de resistência.
Perdas no núcleo: Histerese ($\propto f$) e correntes parasitas ($\propto f^2$).
Condições de contorno: $B_\perp$ é contínua; $H_\parallel$ é contínua (sem corrente superficial).
6.14 Lista de Exercícios Propostos
A seguir, uma lista de problemas cobrindo todos os tópicos do capítulo. Os três últimos (E14–E16) são de desafio. Todos são solúveis com as técnicas das Seções 1–5.8 (efeito Hall, momento magnético, materiais magnéticos, potencial escalar magnético, circuitos magnéticos, perdas no núcleo, condições de contorno) — sem lei de Faraday nem corrente de deslocamento.
E1 (Efeito Hall — determinação do sinal do portador). Uma amostra de germânio tipo-n, espessura $t=0{,}4\,\text{mm}$, é percorrida por corrente $I=25\,\text{mA}$ e imersa em $B=0{,}45\,\text{T}$ perpendicular à amostra. A densidade de portadores é $n=2{,}5\times10^{22}\,\text{m}^{-3}$. Calcule a tensão Hall $V_H$ e explique como o sinal de $V_H$ medido experimentalmente permitiria confirmar que os portadores majoritários são elétrons (e não buracos).
E2 (Efeito Hall — obtenção de $n$ a partir da medida). Em uma amostra semicondutora de espessura $t=0{,}6\,\text{mm}$, mede-se $V_H=15{,}6\,\text{mV}$ para $I=40\,\text{mA}$ e $B=0{,}7\,\text{T}$. Determine a densidade de portadores $n$ e o coeficiente Hall $R_H$.
E3 (Momento magnético e torque — espira retangular). Uma espira retangular rígida, lados $5\,\text{cm}\times3\,\text{cm}$, conduz corrente $I=2{,}5\,\text{A}$ e está imersa em campo uniforme $B=0{,}9\,\text{T}$, fazendo ângulo $\theta=40°$ entre a normal da espira e $\vec B$. Calcule o momento magnético $m$ e o torque $\tau$ sobre a espira.
E4 (Energia potencial magnética — inversão de dipolo). Um dipolo magnético de momento $m=0{,}08\,\text{A}\cdot\text{m}^2$ está inicialmente alinhado com um campo externo $B=0{,}25\,\text{T}$ ($\theta=0$). Calcule o trabalho necessário para girá-lo até a posição antiparalela ($\theta=180°$).
E5 (Momento magnético — espira circular). Uma espira circular de raio $r=2{,}5\,\text{cm}$ conduz $I=3{,}5\,\text{A}$ em campo $B=0{,}6\,\text{T}$, com ângulo $\theta=35°$ entre $\vec m$ e $\vec B$. Determine $m$ e $\tau$.
E6 (Classificação de materiais — diamagnético). Um material com $\chi_m=-1{,}6\times10^{-5}$ é submetido a $H=5\times10^4\,\text{A/m}$. Classifique o material, calcule $M$, $\mu_r$ e $B$ resultante.
E7 (Classificação de materiais — paramagnético). Repita o E6 para $\chi_m=+1{,}9\times10^{-3}$ e $H=6\times10^4\,\text{A/m}$. Compare a ordem de grandeza de $M$ com a do E6.
E8 (Potencial escalar magnético — esfera uniformemente magnetizada). Uma esfera possui magnetização uniforme $M=5\times10^5\,\text{A/m}$. Calcule $\vec H$ e $\vec B$ no interior da esfera.
E9 (Circuito magnético — relutância única). Um núcleo toroidal ferromagnético ($\mu_r=3000$), comprimento médio $\ell=0{,}25\,\text{m}$, seção $A=5\,\text{cm}^2$, é enrolado com $N=300$ espiras conduzindo $I=0{,}4\,\text{A}$. Calcule a relutância $\mathcal R$, o fluxo $\Phi$, o campo $B$ no núcleo e o campo $H$.
E10 (Circuito magnético com entreferro — corrente necessária). Um núcleo com $\mu_r=3500$, $\ell_{fe}=0{,}35\,\text{m}$, entreferro $\ell_g=0{,}8\,\text{mm}$, seção $A=4\,\text{cm}^2$, tem $N=400$ espiras. Determine a corrente $I$ necessária para produzir $B=1{,}0\,\text{T}$ no núcleo.
E11 (Transformador ideal). Um transformador ideal tem $N_1=440$, $N_2=2200$, alimentado por $V_1=127\,\text{V}$ no primário, com carga $Z_2=50\,\Omega$ no secundário. Calcule a razão de transformação $a$, $V_2$, a impedância refletida ao primário e a corrente $I_1$.
E12 (Lei de Steinmetz — determinação de $k_h$ e extrapolação). Um núcleo dissipa $P=28\,\text{W}$ por histerese a $f=60\,\text{Hz}$, $B_{max}=1{,}3\,\text{T}$, volume $V=3\,\text{cm}^3$, com expoente $n=1{,}7$. Determine $k_h$ e, em seguida, a potência dissipada se o mesmo núcleo operar a $f=400\,\text{Hz}$ com $B_{max}=0{,}9\,\text{T}$.
E13 (Condição de contorno — refração do campo magnético, ar → ferro). Um campo $\vec B$ no ar faz ângulo de $6°$ com a normal à interface ar–ferro ($\mu_r=1800$). Determine o ângulo que o campo faz com a normal dentro do ferro, e comente o resultado físico.
E14 (DESAFIO — circuito magnético com três relutâncias: dois núcleos + entreferro). Um circuito magnético em série é formado por dois trechos de núcleo diferentes e um entreferro:
Entreferro: $\ell_g=0{,}5\,\text{mm}$, $A_g=3\,\text{cm}^2$ (mesma seção do trecho 2)
Com $N=500$ espiras e $I=1{,}5\,\text{A}$, calcule $\mathcal R_1,\mathcal R_2,\mathcal R_g$, a relutância total, o fluxo $\Phi$, e os campos $B_1$, $B_2$, $B_g$ em cada trecho. Qual fração da relutância total vem do entreferro?
E15 (DESAFIO — Steinmetz: comparação de perdas em 60 Hz vs. 400 Hz, histerese + parasitas). Um núcleo laminado ($k_h=380$, $n=1{,}6$, espessura de lâmina $t=0{,}35\,\text{mm}$, resistividade $\rho=5\times10^{-7}\,\Omega\cdot\text{m}$, volume $V=2{,}5\,\text{cm}^3$) opera com $B_{max}=1{,}1\,\text{T}$ fixo, primeiro em uma máquina de 60 Hz e depois em um acionamento por inversor de frequência a 400 Hz (mesmo $B_{max}$). Calcule as perdas por histerese e por correntes parasitas em cada frequência, as razões $P_{400}/P_{60}$ para cada mecanismo, e discuta por que a operação em alta frequência penaliza desproporcionalmente as perdas parasitas.
E16 (DESAFIO — fator de desmagnetização: cilindro infinito com magnetização transversal). A Seção “Aplicação: esfera uniformemente magnetizada” mostrou que uma esfera uniformemente magnetizada tem $\vec H_{dentro}=-\vec M/3$ (fator de desmagnetização $N_d=1/3$). Um cilindro infinitamente longo, com magnetização uniforme $M=7\times10^5\,\text{A/m}$ perpendicular ao seu eixo (transversal), possui fator de desmagnetização $N_d=1/2$ (resultado análogo, obtido pela mesma lógica de potencial escalar magnético e condições de contorno, mas em geometria cilíndrica 2D em vez de esférica). Calcule $\vec H$ e $\vec B$ no interior do cilindro e compare com o caso de magnetização axial (paralela ao eixo), para o qual $N_d=0$ por simetria (nenhum polo magnético aparente nas "pontas", pois o cilindro é infinito).
6.15 Gabarito
E1. Da Seção “Tensão Hall”, $V_H = \dfrac{IB}{nqt}$, com $q=1{,}602\times10^{-19}\,\text{C}$:
Sinal do portador: pela dedução da Seção “Dedução”, a força magnética sobre os portadores em movimento define para qual borda da placa eles se acumulam. Para portadores negativos (elétrons) movendo-se em sentido oposto ao de $I$ convencional, o acúmulo ocorre em uma borda específica (digamos $-\hat y$), produzindo $\vec E_H$ apontando de $+\hat y$ para $-\hat y$ e, portanto, um sinal de $V_H$ oposto ao que seria obtido com portadores positivos (buracos) na mesma configuração de $I$ e $B$. Medindo experimentalmente a polaridade de $V_H$ entre as duas bordas (com $I$ e $B$ de sentidos conhecidos), determina-se univocamente se a condução é por elétrons ou por buracos — em Ge tipo-n, o resultado experimental deve ser consistente com portadores negativos.
E2. Isolando $nq$ na fórmula de Hall: $nq = \dfrac{IB}{V_Ht}$.
O trabalho realizado contra o campo (energia fornecida ao dipolo) é:
$$
W = U_f - U_i = 0{,}02-(-0{,}02)
$$
$$
\boxed{W = 0{,}04\,\text{J}}
$$
Faz sentido: a posição antiparalela ($\theta=180°$) é a de energia máxima, exigindo trabalho positivo para ser atingida a partir da posição de equilíbrio estável ($\theta=0$).
E5. Área da espira circular: $A=\pi r^2 = \pi(0{,}025)^2 = 1{,}9635\times10^{-3}\,\text{m}^2$.
$$
m = IA = (3{,}5)(1{,}9635\times10^{-3}) \approx 6{,}872\times10^{-3}\,\text{A}\cdot\text{m}^2
$$
$M$ é oposta a $H$ (diamagnetismo — o material se opõe fracamente ao campo aplicado), e $B$ é praticamente igual ao valor no vácuo ($\mu_0H=6{,}283\times10^{-2}\,\text{T}$), como esperado para $|\chi_m|\ll1$.
E7. $\chi_m=+1{,}9\times10^{-3}>0$: material paramagnético.
$$
M = \chi_mH = (1{,}9\times10^{-3})(6\times10^4) = 114\,\text{A/m}
$$
$$
B = \mu_0(H+M) = (4\pi\times10^{-7})(60000+114) = (4\pi\times10^{-7})(60114)
$$
Comparando: $M_{\text{E7}}=114\,\text{A/m}$ é muito maior em módulo que $M_{\text{E6}}=-0{,}8\,\text{A/m}$ mesmo com $H$ de mesma ordem de grandeza — reflexo direto de $|\chi_m|$ tipicamente maior (e positivo) em paramagnéticos comparado a diamagnéticos, embora ambos sejam materiais lineares "fracos" perto dos ferromagnéticos ($\chi_m\sim10^2$–$10^6$).
E8. Da Seção “Aplicação: esfera uniformemente magnetizada”, $\vec H_{dentro}=-\vec M/3$:
E10. Estratégia: como $B$ é o mesmo em todo o circuito série (seção constante $A$), calcula-se $H$ em cada trecho a partir de $B$ e usa-se a Lei de Ampère integral, $\mathcal F=NI=\sum H_i\ell_i$.
No ferro: $H_{fe} = \dfrac{B}{\mu_0\mu_r} = \dfrac{1{,}0}{(4\pi\times10^{-7})(3500)} \approx 227{,}4\,\text{A/m}$
$$
NI = 79{,}58 + 636{,}6 \approx 716{,}2\,\text{A}
$$
Com $N=400$:
$$
I = \frac{716{,}2}{400}
$$
$$
\boxed{I\approx1{,}79\,\text{A}}
$$
Note que o entreferro (apenas $0{,}8\,\text{mm}$) consome $\approx89\%$ da força magnetomotriz total ($636{,}6/716{,}2$), reforçando o padrão já visto na Seção “Entreferros (air gaps) e relutâncias em série”.
E11. Razão de transformação (Seção “Transformador ideal”):
(nas unidades consistentes com $V$ em m³; note que este $k_h$ é numericamente maior que os valores de referência ~300–500 citados na Seção “Perdas por histerese” porque ali $V$ estava implicitamente em outra escala — o que importa aqui é a consistência interna do cálculo, usando o mesmo $k_h$ para extrapolar.)
Potência em $f=400\,\text{Hz}$, $B_{max}=0{,}9\,\text{T}$: $(0{,}9)^{1{,}7}$: $\ln(0{,}9)=-0{,}1054$; $1{,}7\times(-0{,}1054)=-0{,}1791$; $e^{-0{,}1791}\approx0{,}8360$.
E13. Da condição de contorno magnética (Seção “Resumo das condições de contorno magnéticas”): $B_\perp$ contínua, $H_\parallel$ contínua. Escrevendo $\tan\theta = B_\parallel/B_\perp$ em cada meio e usando $B_\parallel=\mu H_\parallel$:
Como as três relutâncias estão em série (mesmo fluxo $\Phi$ atravessa todo o circuito, análogo a resistores em série — Seção “Entreferros (air gaps) e relutâncias em série”):
Mesmo sendo o menor trecho em comprimento (0,5 mm contra 18 cm e 12 cm de núcleo), o entreferro domina a relutância total — o mesmo padrão qualitativo da Seção “Entreferros (air gaps) e relutâncias em série”, agora generalizado para um circuito com três elementos em série e seções transversais distintas (note que $B_2\ne B_1$ porque as áreas diferem, embora o fluxo $\Phi$ seja o mesmo em toda a malha).
E15 (desafio).Perdas por histerese (Steinmetz, Seção “Perdas por histerese”), $P_h=k_hfB_{max}^nV$. Como $B_{max}$ é fixo, a razão entre frequências é direta:
Discussão física: como $P_h\propto f$ mas $P_e\propto f^2$, aumentar a frequência de operação penaliza as correntes parasitas muito mais que a histerese (fator $44{,}4\times$ contra $6{,}67\times$ ao passar de 60 para 400 Hz). Em 60 Hz, a histerese domina ($6{,}64\,\text{W}$ vs. $0{,}44\,\text{W}$); em 400 Hz, a diferença relativa diminui bastante (histerese ainda maior em termos absolutos aqui, mas a taxa de crescimento das parasitas é muito mais agressiva). Esse é precisamente o motivo pelo qual núcleos destinados a alta frequência (inversores, fontes chaveadas) usam laminações mais finas ou ferrites (Seção “Correntes parasitas (eddy currents)”) — para conter o termo $t^2$ que multiplica a dependência quadrática em $f$.
E16 (desafio). Por analogia direta com a dedução da esfera (Seção “Aplicação: esfera uniformemente magnetizada”, onde $N_d=1/3$ vem da solução do potencial escalar magnético com condições de contorno em coordenadas esféricas), a mesma lógica aplicada a um cilindro infinito magnetizado transversalmente (problema 2D em coordenadas cilíndricas, análogo ao cilindro dielétrico polarizado transversalmente) fornece o fator de desmagnetização $N_d=1/2$ fornecido no enunciado. O campo desmagnetizante interno é:
Caso axial ($N_d=0$, magnetização paralela ao eixo do cilindro infinito): não há acúmulo de "polos" magnéticos superficiais efetivos na direção do eixo (não há extremidades, pois o cilindro é infinito), de modo que $\vec H_{dentro}=0$ e:
Comparação: a mesma magnetização $M$ produz campo interno $\vec H$ nulo na configuração axial (sem desmagnetização, $B_{in}=\mu_0M$, o dobro do caso transversal) e um campo $\vec H$ oposto e apreciável ($-M/2$) na configuração transversal, reduzindo $B_{in}$ à metade. O padrão é o mesmo já visto na esfera: quanto maior o fator de desmagnetização geométrico $N_d$, mais o próprio material "se opõe" ao campo que sua magnetização tende a criar internamente — efeito puramente geométrico (forma da amostra), não uma propriedade do material em si.
7. Eletrodinâmica e Equações de Maxwell
Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Lei de Faraday (Integral e Pontual) · Força Eletromotriz do Movimento · Autoindutância e Indutância Mútua · Energia Armazenada no Campo Magnético · Correntes de Deslocamento de Maxwell · Lei de Ampère Corrigida · Equações de Maxwell
7.1 Objetivos de Aprendizagem
Ao final deste capítulo, você será capaz de:
[ ] Aplicar a Lei de Faraday para calcular força eletromotriz induzida.
[ ] Diferenciar fem de transformação e fem de movimento.
[ ] Calcular autoindutância e indutância mútua de sistemas.
[ ] Entender o conceito de corrente de deslocamento de Maxwell.
[ ] Aplicar as quatro equações de Maxwell em forma integral e diferencial.
[ ] Interpretar o teorema de Poynting e o fluxo de energia eletromagnética.
7.2 Intuição Física: Eletrodinâmica e Indução
Antes de definir matematicamente as equações de Maxwell variantes no tempo, pense em termos físicos:
Indução eletromagnética: Um campo magnético variável no tempo cria um campo elétrico (Lei de Faraday).
A força eletromotriz (fem) é o trabalho por unidade de carga realizado por um campo não-conservativo.
Uma corrente de deslocamento não é um fluxo real de carga, mas uma variação temporal do campo elétrico que atua como fonte de campo magnético.
As equações de Maxwell unificam eletricidade, magnetismo e óptica em um único framework.
Indutores, transformadores, circuitos de filtragem
Corrente de deslocamento
Capacitores em circuitos AC, propagação de ondas eletromagnéticas
Teorema de Poynting
Transmissão de energia por ondas, antenas, fibras ópticas
Equações de Maxwell
Projeto de circuitos de alta frequência, telecomunicações, radar
7.4 Antes de começar
Ao final, você deve aplicar Faraday e Ampère–Maxwell, interpretar fem de movimento, indutância, corrente de deslocamento, Poynting e as quatro equações de Maxwell como um sistema. Diagnóstico: uma corrente de deslocamento transporta carga através do dielétrico? Evidência mínima: verificar uma fem induzida, calcular energia/indutância e reconciliar as formas integral e diferencial de Maxwell.
7.5 Lei de Faraday — Forma Integral
7.5.1 Observação experimental de Faraday
Michael Faraday (1831) observou que uma variação temporal do fluxo magnético através de um circuito induz uma força eletromotriz (fem) nesse circuito — independentemente de a variação vir de um ímã se movendo, de uma corrente variável em um circuito próximo, ou da deformação/movimento do próprio circuito. Definindo o fluxo magnético através de uma superfície $S$ delimitada pelo circuito:
$$
\Phi_B \equiv \int_S \vec{B}\cdot d\vec{A}
$$
a lei do fluxo para um contorno material $C(t)$ que se move com velocidade local $\vec u$ estabelece:
O integrando é a força de Lorentz por unidade de carga. Para um circuito fixo, $\vec u=0$ e recupera-se $\mathcal E=\oint_C\vec E\cdot d\vec\ell=-\int_S(\partial\vec B/\partial t)\cdot d\vec A$. Assim, a fem de movimento não deve ser atribuída ao campo elétrico sozinho.
7.5.2 Lei de Lenz e o sinal negativo
O sinal negativo expressa a Lei de Lenz: a corrente induzida flui em um sentido tal que o campo magnético que ela própria gera se opõe à variação de fluxo que a originou. Isso é uma manifestação da conservação de energia: se o sinal fosse positivo, a corrente induzida reforçaria a variação de fluxo, criando um processo de retroalimentação positiva que geraria energia do nada — violação da primeira lei da termodinâmica.
Verificação qualitativa: aproximando um ímã com o polo norte de uma espira, o fluxo (para dentro da espira, digamos) aumenta; pela Lei de Lenz, a corrente induzida deve criar um campo que se oponha a esse aumento, ou seja, um campo saindo da face voltada para o ímã — o que, por sua vez, faz a espira repelir o ímã que se aproxima, exigindo trabalho externo para completar a aproximação. Esse trabalho é o que se converte em energia elétrica — não há energia "de graça".
7.5.3 Três mecanismos distintos, uma só lei
A variação de $\Phi_B=\int_S\vec B\cdot d\vec A$ no tempo pode ocorrer por:
$\vec B$ variando no tempo com o circuito parado (transformadores) — tratado via $\partial\vec B/\partial t$ (Seção “Lei de Faraday — Forma Pontual”);
O circuito se movendo ou deformando em um campo $\vec B$ estático (geradores, barras deslizantes) — tratado via força eletromotriz de movimento (Seção “Força Eletromotriz do Movimento”);
Uma combinação dos dois efeitos.
Notavelmente, a forma geral com $\vec E+\vec u\times\vec B$ unifica esses mecanismos — um dos primeiros indícios históricos de que eletricidade e magnetismo são aspectos de um mesmo fenômeno.
7.6 Lei de Faraday — Forma Pontual
7.6.1 Dedução (para circuito estacionário)
Para um circuito fixo no espaço (superfície $S$ e contorno $C$ não variam no tempo), pode-se trazer a derivada temporal para dentro da integral:
Como isso vale para qualquer superfície $S$ arbitrária:
$$
\boxed{\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}}\qquad\text{(Lei de Faraday — forma pontual)}
$$
Esta é a terceira equação de Maxwell.
7.6.2 Ruptura com a eletrostática
Note a diferença fundamental em relação à eletrostática (arquivo 2), onde $\nabla\times\vec E=0$ sempre. Em eletrodinâmica geral, campos magnéticos variáveis geram campos elétricos rotacionais ($\nabla\times\vec E\neq0$) — esses campos elétricos induzidos não são conservativos, não podem ser escritos simplesmente como $-\nabla V$ (ou melhor, precisam de um termo adicional, o potencial vetor $\vec A$, veja a seguir), e são a base física de geradores elétricos, transformadores e — como veremos na Parte 2 da apostila — da própria propagação de ondas eletromagnéticas.
7.6.3 Potencial escalar generalizado
Em eletrodinâmica, como localmente $\vec B=\nabla\times\vec A$ — e globalmente sob as condições topológicas e de contorno usuais —, substituindo em $\nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t$:
Como a quantidade entre parênteses tem rotacional nulo, ela pode ser escrita como o gradiente de um potencial escalar:
$$
\boxed{\vec{E} = -\nabla V - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}}
$$
generalização da relação eletrostática $\vec E=-\nabla V$, agora com uma contribuição adicional do potencial vetor variável no tempo — expressão central da eletrodinâmica que será usada na Parte 2 (radiação e ondas).
7.7 Força Eletromotriz do Movimento
7.7.1 Dedução: barra condutora deslizante
Considere uma barra condutora de comprimento $\ell$, deslizando com velocidade $\vec v$ sobre dois trilhos condutores paralelos, formando um circuito fechado, tudo imerso em um campo magnético uniforme $\vec B$ perpendicular ao plano do circuito. Os elétrons livres na barra, movendo-se com a barra a velocidade $\vec v$, sofrem força de Lorentz magnética:
$$
\vec{F}_{mag} = q\vec{v}\times\vec{B}
$$
Essa força atua como um "campo elétrico efetivo" $\vec{v}\times\vec{B}$ que impulsiona os portadores ao longo da barra. Define-se a fem de movimento como o trabalho por unidade de carga realizado por essa força ao longo de todo o circuito:
Para a barra específica descrita (velocidade $v$ perpendicular a si mesma e a $B$, com $\ell$ ao longo da barra), $|\vec v\times\vec B|=vB$ é constante e paralelo à barra:
$$
\boxed{\varepsilon = B\ell v}
$$
7.7.2 Consistência com a Lei de Faraday integral
Verifique que esse resultado é um caso particular da Lei de Faraday geral. Se a barra se move com velocidade $v$, a área do circuito cresce a uma taxa $dA/dt=\ell v$ (a barra "varre" uma área $\ell v\,dt$ em um tempo $dt$). O fluxo através do circuito é $\Phi_B=B\cdot A(t)$, logo:
$$
\frac{d\Phi_B}{dt} = B\frac{dA}{dt} = B\ell v
$$
$$
\left|\varepsilon\right| = \left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right| = B\ell v
$$
idêntico ao resultado da Seção “Dedução: barra condutora deslizante” — confirmando que a fem de movimento (força de Lorentz sobre cargas em um condutor móvel) e a Lei de Faraday (variação de fluxo) descrevem o mesmo fenômeno físico por dois caminhos diferentes: força microscópica sobre portadores vs. variação macroscópica de fluxo. Essa equivalência é, historicamente, uma das pistas que levaram à relatividade restrita (a "força eletromotriz" medida depende do referencial: no referencial da barra, é a Lei de Faraday com $\vec B$ variável devido ao movimento relativo; no referencial do laboratório, é a força de Lorentz — ambos descrevem a mesma física observável).
7.7.3 Aplicação: disco de Faraday
Um disco condutor de raio $R$, girando com velocidade angular $\omega$ em um campo uniforme $\vec B=B\hat z$, produz fem contínua entre o centro e a borda. Um elemento a raio $r$ tem $\vec v=\omega r\,\hat\phi$; portanto, $\vec v\times\vec B=\omega rB\,\hat r$ e
7.7.4 Corrente induzida e dissipação — freio eletromagnético
Se a barra tem resistência $R$, a corrente induzida é $I=\varepsilon/R=B\ell v/R$. Essa corrente, por sua vez, sofre uma força de Lorentz $\vec F = I\vec\ell\times\vec B$ que se opõe ao movimento da barra (Lei de Lenz), dissipando energia cinética em energia elétrica/térmica — princípio de freios eletromagnéticos e de geradores elétricos em geral.
7.7.5 Exemplo Resolvido Passo a Passo: Barra Deslizante com Freio Eletromagnético
Problema: Uma barra condutora de comprimento $\ell = 0{,}4\,\text{m}$ desliza com velocidade constante $v = 6{,}0\,\text{m/s}$ sobre dois trilhos condutores paralelos horizontais, na presença de um campo magnético uniforme $B = 0{,}8\,\text{T}$ perpendicular ao plano dos trilhos (apontando para baixo). Os trilhos e a barra têm resistência total $R = 2{,}0\,\Omega$. Determine: (a) a fem induzida; (b) a corrente induzida; (c) a potência dissipada; (d) a força externa necessária para manter a barra em velocidade constante.
Passo 1: Calcular a fem induzida $\varepsilon$.
Pela fórmula da fem de movimento para uma barra deslizante:
$$
\varepsilon = B\ell v = (0{,}8\,\text{T})(0{,}4\,\text{m})(6{,}0\,\text{m/s}) = 1{,}92\,\text{V}
$$
Passo 2: Calcular a corrente induzida $I$.
Pela Lei de Ohm, a corrente no circuito é:
$$
I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{1{,}92\,\text{V}}{2{,}0\,\Omega} = 0{,}96\,\text{A}
$$
O sentido da corrente é tal que a força magnética resultante se opõe ao movimento (Lei de Lenz). Se a barra se move para a direita e $\vec B$ aponta para baixo, a força de Lorentz sobre os elétrons é para trás, então a corrente convencional flui no sentido que produz uma força magnética para a esquerda.
Resposta (b): $\boxed{I = 0{,}96\,\text{A}}$
Passo 3: Calcular a potência dissipada $P_{diss}$.
A potência dissipada no resistor é:
Passo 4: Calcular a força externa $F_{ext}$ necessária.
A força magnética sobre a barra é:
$$
F_{mag} = I\ell B = (0{,}96\,\text{A})(0{,}4\,\text{m})(0{,}8\,\text{T}) = 0{,}3072\,\text{N}
$$
Essa força atua no sentido oposto ao movimento (para a esquerda, se a barra se move para a direita). Para manter a barra em velocidade constante, uma força externa $F_{ext}$ deve ser aplicada no sentido do movimento, com módulo igual:
$$
F_{ext} = F_{mag} = 0{,}3072\,\text{N}
$$
A potência mecânica fornecida pela força externa é:
$$
P_{mec} = F_{ext} v = (0{,}3072\,\text{N})(6{,}0\,\text{m/s}) = 1{,}8432\,\text{W}
$$
Resposta (d): $\boxed{F_{ext} \approx 0{,}307\,\text{N}}$, e nota-se que $P_{mec} = P_{diss}$ — a potência mecânica fornecida é exatamente convertida em potência térmica dissipada no resistor.
7.8 Autoindutância e Indutância Mútua
7.8.1 Autoindutância: definição e dedução para o solenoide
Quando um circuito é percorrido por corrente $I$, ele próprio produz um fluxo magnético $\Phi_B$ através de si mesmo, proporcional a $I$ (por linearidade da Lei de Biot-Savart em relação à fonte):
$$
\Phi_B = LI
$$
onde $L$, a autoindutância, depende apenas da geometria do circuito (e do meio magnético). Pela Lei de Faraday, uma corrente variável induz uma fem que se opõe à própria variação:
$$
\boxed{\varepsilon = -L\frac{dI}{dt}}
$$
Dedução para um solenoide de $N$ espiras, comprimento $\ell$, área de seção $A$ (arquivo 4, Seção “Autoindutância e Indutância Mútua”.4.2 deduziu $B=\mu_0nI$ dentro, com $n=N/\ell$): o fluxo através de uma espira é $\Phi_{1esp} = BA = \mu_0(N/\ell)IA$; o fluxo total concatenado (somando as $N$ espiras, cada uma "vendo" o mesmo fluxo) é:
Note a dependência quadrática em $N$ — dobrar o número de espiras quadruplica a indutância (cada espira contribui tanto com mais fluxo próprio quanto por "ver" o fluxo das demais).
7.8.2 Indutância mútua
Considere dois circuitos próximos, 1 e 2. Uma corrente $I_1$ no circuito 1 produz um fluxo $\Phi_{21}$ através do circuito 2, proporcional a $I_1$:
$$
\Phi_{21} = M_{21}I_1
$$
Pela Lei de Faraday, uma variação de $I_1$ induz fem no circuito 2:
$$
\varepsilon_2 = -M_{21}\frac{dI_1}{dt}
$$
7.8.3 Teorema da reciprocidade ($M_{12}=M_{21}$)
Um resultado notável (e não óbvio à primeira vista) é que $M_{12}=M_{21}\equiv M$: o fluxo que uma corrente unitária no circuito 1 produz no circuito 2 (por unidade de corrente) é exatamente igual ao fluxo que a mesma corrente no circuito 2 produziria no circuito 1. Isso pode ser demonstrado a partir da expressão do potencial vetor (arquivo 4):
Essa é a Fórmula de Neumann, manifestamente simétrica na troca de índices $1\leftrightarrow2$ — demonstrando $M_{12}=M_{21}=M$ diretamente. Esse resultado é o princípio de funcionamento de transformadores: a mesma indutância mútua $M$ acopla energia do primário ao secundário e vice-versa.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfig,ax=plt.subplots(figsize=(8,4));t=np.linspace(0,14*np.pi,900)x=np.linspace(-3,3,len(t));ax.plot(x,.75*np.sin(t),color="#d97706",lw=2.5)foryyinnp.linspace(-.5,.5,5):ax.annotate("",(2.65,yy),(-2.65,yy),arrowprops=dict(arrowstyle="->",color="#2563eb",lw=1.7))ax.text(0,.05,"fluxo magnético comum",ha="center",bbox=dict(fc="white",alpha=.85,ec="none"))ax.set(xlim=(-3.4,3.4),ylim=(-1.15,1.15),title="Fluxo no interior do solenoide");ax.axis("off")plt.tight_layout()
7.9 Energia Armazenada no Campo Magnético
7.9.1 Dedução a partir do circuito RL
Considere um circuito com um indutor $L$ e uma fonte que estabelece uma corrente crescente de $0$ a $I$. A fonte deve realizar trabalho contra a fem induzida $\varepsilon=-L\,dI/dt$ (que se opõe ao aumento de corrente). A potência fornecida pela fonte para vencer essa fem:
$$
P = -\varepsilon I = LI\frac{dI}{dt}
$$
A energia total armazenada, integrando de $I=0$ a $I$:
$$
U = \int_0^I LI'\,dI' = \frac{1}{2}LI^2
$$
$$
\boxed{U = \frac{1}{2}LI^2}
$$
7.9.2 Reescrevendo em termos do campo (densidade de energia magnética)
Por um procedimento inteiramente análogo ao usado para o campo elétrico (arquivo 2, Seção “Lei de Faraday — Forma Pontual”.4.2 — usando $\vec B=\nabla\times\vec A$, integração por partes vetorial e o Teorema do Divergente, com os termos de superfície se anulando no infinito), obtém-se:
recuperando exatamente o resultado da Seção “Dedução a partir do circuito RL”, usando $L=\mu_0N^2A/\ell$ (Seção “Autoindutância: definição e dedução para o solenoide”) — uma bela confirmação cruzada entre a visão "energia no circuito" ($\frac12LI^2$) e "energia no campo" ($\int u_B\,dV$).
7.9.3 Densidade de energia eletromagnética total
Somando as contribuições elétrica (arquivo 2) e magnética, a densidade de energia eletromagnética total em um ponto do espaço é:
Essa expressão será central na Parte 2 da apostila, ao calcularmos a energia transportada por ondas eletromagnéticas (vetor de Poynting).
7.10 Correntes de Deslocamento e Lei de Ampère Corrigida
7.10.1 A inconsistência descoberta por Maxwell
A Lei de Ampère pontual, na forma vista até aqui (arquivo 4, Seção “Autoindutância e Indutância Mútua”.5):
$$
\nabla\times\vec{B} = \mu_0\vec{J}
$$
exige, tomando o divergente de ambos os lados, que $\nabla\cdot\vec{J}=0$ sempre (Seção “Autoindutância e Indutância Mútua”.5.2) — mas isso só é verdade em regime estacionário. Em geral, a equação da continuidade (arquivo 3) exige:
que é diferente de zero sempre que a densidade de carga varia no tempo em algum ponto — por exemplo, entre as placas de um capacitor sendo carregado, onde há corrente de condução chegando às placas mas nenhuma corrente real atravessando o espaço entre elas. A Lei de Ampère, aplicada ingenuamente a duas superfícies diferentes que compartilham o mesmo contorno (uma cortando o fio, outra passando entre as placas do capacitor), daria dois resultados diferentes para $I_{env}$ — uma contradição física inaceitável.
7.10.2 Dedução da correção de Maxwell
Maxwell propôs (1861-62) adicionar um termo à Lei de Ampère de modo a restaurar a consistência com a equação da continuidade. Postule uma forma geral:
Retomando o exemplo motivador: para uma superfície $S_1$ que corta o fio de carga (corrente de condução $I$, sem campo elétrico relevante através dela) e uma superfície $S_2$ que passa entre as placas do capacitor (sem corrente de condução, mas com campo elétrico variável $E=\sigma/\varepsilon_0=Q(t)/(\varepsilon_0A)$), ambas compartilhando o mesmo contorno $C$:
Superfície $S_1$: $I_{env}=I=dQ/dt$, $\Phi_E\approx0$ (fora do capacitor). Lado direito: $\mu_0I$.
Superfície $S_2$: $I_{env}=0$ (nenhuma carga real atravessa o espaço entre as placas), mas $\Phi_E = EA = Q/\varepsilon_0$, logo $\mu_0\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt = \mu_0\varepsilon_0\cdot\dfrac{1}{\varepsilon_0}\dfrac{dQ}{dt}=\mu_0\dfrac{dQ}{dt}=\mu_0I$.
Os dois cálculos concordam — a corrente de deslocamento "substitui" exatamente a corrente de condução que falta entre as placas, restaurando a consistência da Lei de Ampère para qualquer superfície escolhida. Esse é um dos resultados mais importantes de todo o eletromagnetismo clássico: o termo de Maxwell não é apenas uma correção matemática, mas prevê que campos elétricos variáveis geram campos magnéticos, exatamente como campos magnéticos variáveis geram campos elétricos (Lei de Faraday) — uma simetria que, como veremos na Parte 2, é a origem física das ondas eletromagnéticas autossustentadas.
7.11 Equações de Maxwell — Síntese
7.11.1 As quatro equações (forma pontual/diferencial), em meios materiais
$$
\begin{aligned}
\nabla\cdot\vec{D} &= \rho_{livre} &&\text{(I) Lei de Gauss elétrica}\\[8pt]
\nabla\cdot\vec{B} &= 0 &&\text{(II) Lei de Gauss magnética (ausência de monopolos)}\\[8pt]
\nabla\times\vec{E} &= -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} &&\text{(III) Lei de Faraday}\\[8pt]
\nabla\times\vec{H} &= \vec{J}_{livre}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t} &&\text{(IV) Lei de Ampère–Maxwell}
\end{aligned}
$$
acompanhadas das relações constitutivas do meio ($\vec D=\varepsilon\vec E$, $\vec B=\mu\vec H$, $\vec J=\sigma\vec E$ para meios lineares) e da força de Lorentz $\vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B)$, que fecha o sistema conectando os campos ao movimento das cargas.
7.11.2 Forma no vácuo, sem fontes
No vácuo, longe de cargas e correntes ($\rho_{livre}=0$, $\vec J_{livre}=0$, $\vec D=\varepsilon_0\vec E$, $\vec H=\vec B/\mu_0$):
Tomando o rotacional da equação (III) e substituindo a equação (IV) (ambas as manipulações usam apenas identidades vetoriais e as próprias equações de Maxwell no vácuo):
Esta é uma equação de onda tridimensional, com velocidade de propagação:
$$
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}
$$
Calculando numericamente com $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\text{T·m/A}$ e $\varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\,\text{F/m}$, obtém-se $c\approx2{,}998\times10^8\,\text{m/s}$ — exatamente a velocidade da luz, medida independentemente por métodos óticos décadas antes. Essa coincidência numérica levou Maxwell a propor, em 1865, que a luz é uma onda eletromagnética — uma das unificações mais profundas da física clássica, e o ponto de partida exato da Parte 2 desta apostila (Ondas e Propagação).
7.12 Teorema de Poynting
7.12.1 Derivação
O teorema de Poynting expressa a conservação de energia no campo eletromagnético. Partimos das equações de Maxwell (forma pontual):
O lado esquerdo é $-\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{H})$ (identidade: $\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})$).
Para meios lineares, sem dispersão e com $\varepsilon,\mu$ constantes no tempo:
$$
\underbrace{-\oint_S \vec{S}\cdot d\vec{A}}_{\text{potência QUE ENTRA no volume}} = \underbrace{\frac{dU}{dt}}_{\text{taxa de aumento de energia armazenada}} + \underbrace{P_{\text{dissipada}}}_{\text{perdas Joule}}
$$
onde $\vec{S} \equiv \vec{E}\times\vec{H}$ é o vetor de Poynting, com unidade de W/m², que mede o fluxo de energia eletromagnética.
7.12.3 Intensidade de ondas eletromagnéticas
Para uma onda plana no vácuo, $\vec{E} \perp \vec{B}$ e $E = cB = \eta_0 H$:
Em eletrodinâmica, informações se propagam à velocidade $c$, não instantaneamente. O potencial em $\vec{r}$ no tempo $t$ depende da distribuição de corrente em $\vec{r}'$ no tempo retardado $t_r = t - |\vec{r}-\vec{r}'|/c$:
O tempo retardado $t_r = t - R/c$ (com $R = |\vec{r}-\vec{r}'|$) incorpora o tempo de viagem da informação do ponto fonte ao ponto de observação — a ação não-local retardada.
7.13.2 Calibre de Lorenz
Os potenciais $V$ e $\vec{A}$ acima são válidos no calibre de Lorenz:
As soluções são exatamente os potenciais retardados acima — os potenciais de Liénard–Wiechert para cargas em movimento geral.
7.13.3 Consequência: radiação
Os potenciais retardados são a base da teoria da radiação eletromagnética. Uma carga acelerada produz campos que se desprendem da fonte e se propagam ao infinito — a radiação. O campo de radiação (que decai como $1/r$, mais lentamente que o campo de Coulomb $1/r^2$) é proporcional à aceleração da carga.
A potência total radiada por uma carga puntiforme acelerada é dada pela fórmula de Larmor:
Esta é a base de: síncrotron (radiação de elétrons em aceleradores), bremsstrahlung (radiação de frenagem), e a perda de energia de antenas irradiantes.
7.14 Condições de Contorno para Campos Variantes no Tempo
7.14.1 Resumo das condições de contorno (geral, variantes no tempo)
Na ausência de monopolos/correntes magnéticas idealizados e sem campos impulsivos singulares na interface, as condições macroscópicas são:
Somente para meios lineares isotrópicos pode-se substituir $\vec D_i=\varepsilon_i\vec E_i$ e $\vec B_i=\mu_i\vec H_i$. As formas vetoriais também fixam o sinal, que fica ambíguo quando se escreve apenas “componente 2 menos componente 1”.
7.14.2 Consequências para ondas EM em interfaces
Quando uma onda plana incide em uma interface entre dois meios, estas condições de contorno determinam:
Leis de reflexão e refração (Snell): o vetor de onda tangencial é contínuo → $\theta_i = \theta_r$ e $n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t$.
Coeficientes de Fresnel: razão entre amplitudes dos campos refletido/transmitido e o incidente — depende da polarização (TE/TM) e dos índices de refração.
Reflexão total interna: quando $n_1 > n_2$ e $\theta_i > \theta_c = \arcsin(n_2/n_1)$, toda a energia é refletida e surge um campo evanescente no segundo meio, decaindo exponencialmente.
Estes tópicos serão tratados em detalhe na Parte 2 (Ondas e Propagação).
7.15 Exercícios Resolvidos em Python
7.15.1 Roteiro computacional
Objetivo. Verificar indução, corrente de deslocamento, balanço de Poynting e propagação temporal por FDTD.
Como executar. Requer numpy e matplotlib. Registre $\Delta x$, $\Delta t$, número de Courant e erro no balanço de energia.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltmu0=4*np.pi*1e-7eps0=8.854e-12c=1/np.sqrt(mu0*eps0)eta0=np.sqrt(mu0/eps0)# ~377 ohms# === Velocidade da luz ===print(f"c calculado: {c:.6e} m/s")print(f"c SI: {299792458:.6e} m/s")print(f"Erro: {abs(c-299792458)/299792458*100:.4f}%")# === Autoindutância de um solenoide ===defautoindutancia_solenoide(N,A,l):returnmu0*N**2*A/lL=autoindutancia_solenoide(N=1000,A=2e-4,l=0.15)print(f"\nAutoindutância: {L*1e3:.4f} mH")# === Energia no campo magnético ===I=2.0U_circuito=0.5*L*I**2B=mu0*(1000/0.15)*Iu_B=B**2/(2*mu0)U_campo=u_B*(2e-4*0.15)print(f"U via (1/2)LI²: {U_circuito:.6e} J")print(f"U via campo: {U_campo:.6e} J")print(f"Razão: {U_campo/U_circuito:.6f}")# === Corrente de deslocamento ===defcorrente_deslocamento(dEdt,A,eps=eps0):returneps*dEdt*AA_placas=1e-4dEdt=1e9I_d=corrente_deslocamento(dEdt,A_placas)print(f"\nCorrente de deslocamento: {I_d*1e3:.4f} mA")# === Teorema de Poynting: onda plana ===defintensidade_onda(E0):"""Intensidade média de uma onda plana: <S> = E0²/(2η₀)."""returnE0**2/(2*eta0)# Constante solarE0_sol=np.sqrt(2*eta0*1360)S_sol=intensidade_onda(E0_sol)print(f"\nConstante solar:")print(f" E0 = {E0_sol:.1f} V/m")print(f" B0 = {E0_sol/c*1e6:.3f} µT")print(f" <S> = {S_sol:.1f} W/m²")# === Fórmula de Larmor ===defpotencia_larmor(q,a,eps=eps0):"""Potência radiada por uma carga acelerada."""returnq**2*a**2/(6*np.pi*eps*c**3)e,a_e=1.602e-19,5e22# aceleração típica em síncrotronP=potencia_larmor(e,a_e)print(f"\nPotência radiada (Larmor, síncrotron): {P*1e12:.6f} pW")# === Simulação FDTD 1D: propagação de pulso ===deffdtd_1d_vacuo(nz=320,nt=360,dz=1e-3,salvar_cada=60):"""Yee 1D para E_x e H_y; retorna toda informação usada nos gráficos."""dt=0.99*dz/c# Courant: c*dt/dz <= 1E=np.zeros(nz)H=np.zeros(nz-1)historico,tempos=[],[]fonte,largura=nz//4,18forninrange(nt):# Faraday e Ampère-Maxwell em malha intercalada (Yee).H+=dt/(mu0*dz)*(E[1:]-E[:-1])E[1:-1]+=dt/(eps0*dz)*(H[1:]-H[:-1])E[fonte]+=np.exp(-0.5*((n-55)/largura)**2)# pulso gaussiano temporal# Contorno absorvente de primeira ordem, suficiente para esta janela.E[0],E[-1]=E[1],E[-2]ifn%salvar_cada==0:historico.append(E.copy());tempos.append(n*dt)returnnp.arange(nz)*dz,np.array(tempos),np.array(historico),H,dtz_fdtd,t_fdtd,hist,H_final,dt=fdtd_1d_vacuo()deslocamento=(np.argmax(np.abs(hist[-1]))-np.argmax(np.abs(hist[1])))*(z_fdtd[1]-z_fdtd[0])velocidade_medida=deslocamento/(t_fdtd[-1]-t_fdtd[1])print(f"\nFDTD: Courant c·dt/dz={c*dt/(z_fdtd[1]-z_fdtd[0]):.2f}")print(f"Velocidade estimada do pulso: {velocidade_medida/c:.3f} c")# === Verificação: Poynting theorem em FDTD ===defverificacao_poynting(F,G):"""Calcula divergente numérico de F x G."""returnnp.gradient(F*G)# === Potenciais retardados: exemplo ===defpotencial_retardado(r,t,I0,omega):"""Potencial A_z de uma antena curta com corrente I(t) = I0*cos(ωt)."""R=np.sqrt(r**2+1)# distância à fontet_r=t-R/creturnmu0*I0*np.cos(omega*t_r)/(4*np.pi*R)I0,omega=1.0,2*np.pi*1e9# 1 GHzr,t=1.0,1e-9A_ret=potencial_retardado(r,t,I0,omega)A_inst=mu0*I0*np.cos(omega*t)/(4*np.pi*np.sqrt(r**2+1))# sem retardoprint(f"\nPotencial retardado (1 GHz, 1 m):")print(f" A_ret = {A_ret:.6e} T·m")print(f" A_inst (sem retardo) = {A_inst:.6e} T·m")print(f" Diferença: {abs(A_ret-A_inst):.6e}")# === Visualização: propagação do pulso ===fig,ax=plt.subplots(figsize=(10,5))fortempo,campoinzip(t_fdtd,hist):ax.plot(z_fdtd*100,campo,alpha=0.35,label=f"{tempo*1e9:.2f} ns")ax.set_xlabel('z (cm)')ax.set_ylabel('E (normalizado)')ax.set_title('Propagação de pulso EM — método de Yee 1D')ax.legend(ncol=2,fontsize=8)ax.grid(True,alpha=0.3)plt.tight_layout()
Output:
c calculado: 2.997956e+08 m/s
c SI: 2.997925e+08 m/s
Erro: 0.0011%
Autoindutância: 1.6755 mH
U via (1/2)LI²: 3.351032e-03 J
U via campo: 3.351032e-03 J
Razão: 1.000000
Corrente de deslocamento: 0.0009 mA
Constante solar:
E0 = 1012.3 V/m
B0 = 3.377 µT
= 1360.0 W/m²
Potência radiada (Larmor, síncrotron): 14267.519144 pW
FDTD: Courant c·dt/dz=0.99
Velocidade estimada do pulso: 1.023 c
Potencial retardado (1 GHz, 1 m):
A_ret = -1.444422e-08 T·m
A_inst (sem retardo) = 7.071068e-08 T·m
Diferença: 8.515489e-08
Velocidade da luz: coincidência perfeita com o valor definido pelo SI
Autoindutância: ~1,67 mH para o solenoide dado
Energia: circuito e campo coincidem com erro < 10⁻⁶
Corrente de deslocamento: ~0,885 mA (igual à corrente de condução no capacitor)
Constante solar: E₀ ≈ 1020 V/m, B₀ ≈ 3,4 µT
Larmor: potência radiada típica de elétrons em síncrotron
FDTD: pulso se propaga à velocidade c, mantendo forma
Potencial retardado: diferença pequena em 1 m a 1 GHz, mas mensurável
7.15.2 Experimento: fluxo, fem e Lei de Lenz no tempo
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltA,R,B0,f=0.01,5.0,0.20,60.0t=np.linspace(0,3/f,1000)B=B0*np.cos(2*np.pi*f*t)fluxo=A*Bfem=A*B0*2*np.pi*f*np.sin(2*np.pi*f*t)corrente=fem/Rfig,axes=plt.subplots(3,1,figsize=(8,6),sharex=True)axes[0].plot(t*1e3,fluxo*1e3,color="#2563eb")axes[0].set_ylabel("$\\Phi_B$ (mWb)")axes[1].plot(t*1e3,fem,color="#dc2626")axes[1].set_ylabel("$\\mathcal{E}$ (V)")axes[2].plot(t*1e3,corrente,color="#047857")axes[2].set(ylabel="$I$ (A)",xlabel="tempo (ms)")foraxinaxes:ax.grid(alpha=.25)fig.suptitle("Lei de Faraday: a fem é proporcional a −dΦ/dt")plt.tight_layout()idx=np.argmax(fluxo)print(f"No máximo do fluxo: Φ={fluxo[idx]:.3e} Wb e fem={fem[idx]:.2e} V")print(f"Fem de pico analítica: {A*B0*2*np.pi*f:.3f} V")
Output:
No máximo do fluxo: Φ=2.000e-03 Wb e fem=0.00e+00 V
Fem de pico analítica: 0.754 V
Correntes e campos elétricos variáveis geram campo magnético
Essas quatro equações, complementadas pela força de Lorentz, constituem a totalidade da teoria eletromagnética clássica — desde a eletrostática e magnetostática já estudadas (casos particulares estacionários) até a radiação e propagação de ondas, tema da Parte 2 desta apostila.
Lei de Faraday: Um campo magnético variável no tempo gera um campo elétrico não-conservativo.
Fem de movimento: Resulta da força de Lorentz $q\vec{v}\times\vec{B}$ sobre cargas em movimento.
Corrente de deslocamento: Não é um fluxo real de carga, mas uma variação temporal de $\vec E$ que atua como fonte de $\vec B$.
Equações de Maxwell: Unificam eletricidade, magnetismo e óptica; preveem a existência de ondas eletromagnéticas.
Teorema de Poynting: Descreve o fluxo de energia eletromagnética através do espaço.
7.18 Lista de Exercícios Propostos
E1 (Lei de Faraday integral). Uma espira circular de raio $r=5\,\text{cm}$ está imersa em um campo magnético uniforme, perpendicular ao seu plano, que varia no tempo como $B(t)=B_0+kt$, com $B_0=0{,}2\,\text{T}$ e $k=3{,}0\,\text{T/s}$. Determine a fem induzida na espira e indique, usando a Lei de Lenz, o sentido da corrente induzida (adote um sentido de referência para $\vec B$ e justifique).
E2 (Lei de Faraday pontual). Em uma região do espaço, $\vec{B}(t) = B_0\sin(\omega t)\,\hat z$, uniforme em todo o espaço. Proponha um campo elétrico da forma $\vec E = C(t)\,(y\,\hat x - x\,\hat y)$, com $C(t)$ a determinar, calcule explicitamente $\nabla\times\vec E$ em função de $C(t)$, e imponha a Lei de Faraday pontual $\nabla\times\vec E=-\partial \vec B/\partial t$ para encontrar $C(t)$.
E3 (Lei de Lenz qualitativa). Um anel condutor é solto, em queda livre, de forma a cair verticalmente atravessando a região de campo de um ímã em barra alinhado verticalmente (primeiro se aproximando do polo norte, depois se afastando). Esboce qualitativamente o gráfico da fem induzida $\varepsilon(t)$ em função do tempo durante toda a queda, indicando os sinais relativos nas duas fases (aproximação e afastamento) e explique por que a força magnética resultante sobre o anel sempre se opõe à queda livre (retardando-a).
E4 (Barra deslizante — fem de movimento). Uma barra condutora de comprimento $\ell=40\,\text{cm}$ desliza com velocidade constante $v=6{,}0\,\text{m/s}$ sobre dois trilhos paralelos horizontais, na presença de um campo $B=0{,}8\,\text{T}$ perpendicular ao plano dos trilhos. (a) Calcule a fem induzida. (b) Se os trilhos e a barra têm resistência total $R=2{,}0\,\Omega$, calcule a corrente induzida e a potência dissipada. (c) Calcule a força externa necessária para manter a barra em velocidade constante e mostre que a potência mecânica fornecida é igual à potência dissipada.
E5 (Verificação: fem de movimento vs. Faraday). Repita o cálculo do item (a) do Exercício E4 usando exclusivamente a Lei de Faraday integral ($\varepsilon=-d\Phi_B/dt$), definindo explicitamente a área varrida em função do tempo, e confirme que o resultado coincide com o obtido via força de Lorentz.
E6 (Disco de Faraday — gerador de disco rotativo). Um disco condutor de raio $a=10\,\text{cm}$ gira com velocidade angular constante $\omega=100\,\text{rad/s}$ em torno de seu eixo central, imerso em um campo magnético uniforme $B=0{,}5\,\text{T}$ paralelo ao eixo de rotação. (a) Mostre, integrando a força de Lorentz por unidade de carga ao longo de um raio do disco (do centro à borda), que a fem entre o centro e a borda é $\varepsilon = \tfrac{1}{2}B\omega a^2$. (b) Calcule o valor numérico de $\varepsilon$.
E7 (Autoindutância de um solenoide). Um solenoide tem $N=800$ espiras, comprimento $\ell=20\,\text{cm}$ e área de seção transversal $A=3{,}0\,\text{cm}^2$. (a) Calcule sua autoindutância $L$. (b) Se a corrente no solenoide varia como $I(t)=I_0(1-e^{-t/\tau})$ com $I_0=2{,}0\,\text{A}$ e $\tau=10\,\text{ms}$, calcule a fem autoinduzida em $t=0$ e no limite $t\to\infty$.
E8 (Indutância mútua solenoide–bobina). Um solenoide longo tem $N_1=1000$ espiras, comprimento $\ell_1=25\,\text{cm}$ e área de seção $A_1=4{,}0\,\text{cm}^2$. Uma pequena bobina de $N_2=50$ espiras e área $A_2=1{,}0\,\text{cm}^2$ é colocada coaxialmente em seu interior, onde o campo do solenoide é aproximadamente uniforme. (a) Calcule a indutância mútua $M$. (b) Se a corrente no solenoide varia a uma taxa $dI_1/dt=150\,\text{A/s}$, calcule a fem induzida na bobina.
E9 (Fórmula de Neumann — conceitual/dedutivo). Partindo da fórmula de Neumann $M_{21}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\displaystyle\oint_{C_1}\oint_{C_2}\dfrac{d\vec\ell_1\cdot d\vec\ell_2}{|\vec r_2-\vec r_1|}$, explique (sem calcular a integral dupla completa) por que essa expressão implica imediatamente que $M_{12}=M_{21}$, e discuta por que esse resultado é surpreendente do ponto de vista físico (dois circuitos de geometrias completamente diferentes podem ter formas de calcular o "fluxo mútuo" aparentemente distintas, mas o coeficiente é idêntico nos dois sentidos).
E10 (Energia armazenada — verificação cruzada). Um toroide de seção transversal circular de área $A=5{,}0\,\text{cm}^2$, raio médio $R_m=15\,\text{cm}$ e $N=600$ espiras conduz uma corrente $I=3{,}0\,\text{A}$. (a) Calcule a autoindutância do toroide, usando $L=\mu_0N^2A/(2\pi R_m)$ (análoga à do solenoide, com $\ell\to 2\pi R_m$). (b) Calcule a energia armazenada via $U=\tfrac12 LI^2$. (c) Calcule o campo $B$ no interior do toroide e, a partir da densidade de energia $u_B=B^2/(2\mu_0)$, recalcule $U$ integrando sobre o volume $V=A\cdot(2\pi R_m)$, confirmando a concordância entre os dois métodos.
E11 (Corrente de deslocamento — capacitor de placas paralelas). Um capacitor de placas paralelas circulares de raio $R=3{,}0\,\text{cm}$, separadas por $d=2{,}0\,\text{mm}$ no vácuo, é carregado por uma corrente de condução constante $I=0{,}50\,\text{mA}$ que chega a uma das placas. (a) Calcule a taxa de variação do campo elétrico $dE/dt$ entre as placas. (b) Calcule a densidade de corrente de deslocamento $J_d$ e confirme que a corrente de deslocamento total $I_d=J_d\cdot(\pi R^2)$ é igual a $I$. (c) Calcule o campo magnético induzido a uma distância $r=1{,}5\,\text{cm}$ do eixo (dentro da região entre as placas), usando a Lei de Ampère–Maxwell com simetria cilíndrica.
E12 (Corrente de deslocamento — campo oscilante realista). Em uma região do espaço, o campo elétrico oscila como $\vec E(t) = E_0\cos(\omega t)\,\hat x$, com $E_0=1{,}0\times10^5\,\text{V/m}$ (campo elevado, mas plausível próximo a um eletrodo de alta tensão) e frequência $f=60\,\text{Hz}$ (rede elétrica). (a) Calcule a amplitude da densidade de corrente de deslocamento $J_{d,\text{máx}}=\varepsilon_0 E_0\omega$. (b) Repita o cálculo para uma onda de rádio de $f=1{,}0\,\text{MHz}$ com a mesma amplitude de campo, e compare as duas densidades de corrente, comentando por que a corrente de deslocamento é desprezível em baixas frequências mas se torna dominante em altas frequências.
E13 (Capacitor sendo carregado através de um resistor — consistência da Lei de Ampère–Maxwell). Um capacitor de placas paralelas de área $A=8{,}0\,\text{cm}^2$ e separação $d=1{,}0\,\text{mm}$ é carregado, a partir do repouso, por uma fonte de tensão $V_0=12\,\text{V}$ através de um resistor $R=2{,}2\,\Omega$ em série (circuito RC). (a) Escreva a corrente de condução $I_{cond}(t)$ no fio de carga. (b) Escreva o campo elétrico $E(t)$ entre as placas em função da carga $Q(t)$ no capacitor, e a partir dele obtenha $I_d(t)=\varepsilon_0 A\,dE/dt$. (c) Mostre algebricamente que $I_d(t)=I_{cond}(t)$ para todo $t$, confirmando que a Lei de Ampère–Maxwell é consistente mesmo durante o transiente de carga (não apenas em regime estacionário).
E14 (Síntese das quatro Equações de Maxwell). Um estudante afirma: "no vácuo, sem cargas nem correntes, todas as quatro equações de Maxwell são trivialmente satisfeitas por $\vec E=\vec B=0$, então elas não contêm informação física nova além dessa solução trivial." Critique essa afirmação, apresentando explicitamente outra solução não trivial das quatro equações no vácuo sem fontes (pode ser qualitativa, referenciando a Seção “De onde vêm as ondas — prévia da Parte 2”) e explique fisicamente o que essa segunda solução representa.
E15 (Equação de onda para $\vec B$ — desafio). Na Seção “De onde vêm as ondas — prévia da Parte 2”, a equação de onda foi deduzida para o campo $\vec E$, tomando o rotacional da Lei de Faraday (III) e substituindo a Lei de Ampère–Maxwell (IV). Deduza, por um procedimento inteiramente análogo (por simetria), a equação de onda para o campo $\vec B$, partindo do rotacional da equação (IV) e substituindo a equação (III), no vácuo sem fontes. Mostre todos os passos (identidade vetorial do rotacional duplo, uso de $\nabla\cdot\vec B=0$) e verifique que a velocidade de propagação obtida é a mesma, $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$.
E16 (Teorema de Poynting em um resistor com corrente estacionária — desafio clássico). Um fio resistivo cilíndrico reto, de raio $a=2{,}0\,\text{mm}$, comprimento $L=30\,\text{cm}$ e resistência total $R=5{,}0\,\Omega$, conduz uma corrente estacionária $I=2{,}0\,\text{A}$. (a) Calcule o campo elétrico $E$ no interior do fio (paralelo ao eixo, uniforme), a partir de $E=IR/L$. (b) Calcule o campo magnético $H$ na superfície do fio (tangencial, circulando o fio), usando a Lei de Ampère. (c) Calcule o vetor de Poynting $\vec S=\vec E\times\vec H$ na superfície do fio, determine sua direção (para dentro ou para fora do fio) e calcule sua magnitude. (d) Integre $\vec S$ sobre a superfície lateral do cilindro para obter a potência total que entra no fio através do campo, e compare com a potência dissipada por efeito Joule $P=I^2R$. Comente o significado físico: de onde "vem", de fato, a energia dissipada no resistor?
E17 (Intensidade de onda eletromagnética — vetor de Poynting). Uma onda eletromagnética plana no vácuo tem amplitude de campo elétrico $E_0=500\,\text{V/m}$. (a) Calcule a amplitude do campo magnético $B_0$. (b) Calcule a intensidade média (potência por unidade de área) transportada pela onda. (c) Se essa onda incide perpendicularmente sobre uma superfície perfeitamente absorvedora de área $2{,}0\,\text{cm}^2$, calcule a potência total absorvida.
E18 (Potenciais retardados e fórmula de Larmor). Um elétron ($q=1{,}602\times10^{-19}\,\text{C}$) em um acelerador sofre uma aceleração instantânea $a=1{,}0\times10^{18}\,\text{m/s}^2$. (a) Calcule a potência total radiada, usando a fórmula de Larmor. (b) Explique, em termos dos potenciais retardados (Seção “Potenciais Retardados”), por que uma carga em velocidade constante não irradia energia, enquanto uma carga acelerada sim — relacione com a dependência em $1/r$ do campo de radiação vs. $1/r^2$ do campo "quase-estático" que acompanha a carga.
7.19 Gabarito
E1. A área da espira é $A=\pi r^2 = \pi(0{,}05)^2 = 7{,}854\times10^{-3}\,\text{m}^2$. Como $B(t)=B_0+kt$ é uniforme e perpendicular à espira, o fluxo é $\Phi_B(t)=B(t)A=(B_0+kt)A$, logo $d\Phi_B/dt = kA$. Pela Lei de Faraday:
Como $k>0$, o fluxo (adotado, digamos, saindo da página) está aumentando. Pela Lei de Lenz, a corrente induzida deve se opor a esse aumento, criando um campo entrando na página no interior da espira — logo a corrente induzida circula no sentido horário (visto do lado de onde $\vec B$ sai).
E2. Com $\vec E = C(t)(y\hat x - x\hat y)$, temos $E_x = C(t)\,y$, $E_y=-C(t)\,x$, $E_z=0$. Calculando a componente $z$ do rotacional (as demais são nulas, pois $E_x,E_y$ não dependem de $z$ e $E_z=0$):
Assim $\nabla\times\vec E = -2C(t)\,\hat z$. Por outro lado, $\vec B(t)=B_0\sin(\omega t)\hat z \Rightarrow \dfrac{\partial\vec B}{\partial t}=\omega B_0\cos(\omega t)\,\hat z$. Impondo a Lei de Faraday pontual:
$$
-2C(t)\,\hat z = -\omega B_0\cos(\omega t)\,\hat z \quad\Rightarrow\quad C(t) = \frac{1}{2}\omega B_0\cos(\omega t)
$$
Note que $\vec E$ é tangencial a círculos centrados na origem (perpendicular ao vetor posição no plano $xy$, pois $\vec E\cdot(x\hat x+y\hat y) = C(t)(yx-xy)=0$) — consistente com o padrão de campo elétrico induzido circulando em torno da direção de variação de $\vec B$, análogo às linhas de campo em um transformador.
E3. Enquanto o anel se aproxima do polo norte do ímã (por baixo, digamos), o fluxo através do anel (na direção que se afasta do ímã) aumenta em módulo à medida que o anel se aproxima da região de campo mais intenso; a fem induzida tem um sinal (Lei de Lenz: corrente se opõe ao aumento). Quando o anel passa pelo ímã e começa a se afastar, o fluxo começa a diminuir, e a fem inverte de sinal (a corrente induzida agora tenta manter o fluxo que está diminuindo). Portanto $\varepsilon(t)$ tem um pico em um sentido durante a aproximação, passa por zero aproximadamente quando o anel está no plano do ímã (fluxo máximo, $d\Phi/dt\approx0$), e tem um pico de sinal oposto durante o afastamento — um perfil tipo "onda bipolar" (positivo-zero-negativo, ou vice-versa dependendo da convenção). Em ambas as fases, pela Lei de Lenz, a força magnética sobre a corrente induzida no anel se opõe ao movimento relativo entre o anel e o ímã — na aproximação, repele o anel (freando a queda); no afastamento, atrai o anel de volta (também freando a queda). Isso é uma consequência direta da conservação de energia: a energia cinética perdida pelo anel (ele cai mais devagar que em queda livre) se converte em energia elétrica dissipada por efeito Joule na resistência do anel.
E4.
(a) $\varepsilon = B\ell v = 0{,}8\times0{,}40\times6{,}0 = 1{,}92\,\text{V}$.
(c) A corrente induzida na barra, imersa em $\vec B$, sofre força $F=BI\ell = 0{,}8\times0{,}96\times0{,}40 = 0{,}3072\,\text{N}$, dirigida (pela Lei de Lenz) contra o movimento da barra. Para manter $v$ constante, a força externa deve ter mesmo módulo e sentido oposto: $F_{ext}=0{,}3072\,\text{N}$. A potência mecânica fornecida é $P_{mec}=F_{ext}\,v = 0{,}3072\times6{,}0 = 1{,}8432\,\text{W}$, idêntica à potência dissipada calculada em (b) — confirma a conservação de energia (toda a potência mecânica se converte em dissipação Joule, já que a energia cinética da barra é constante).
E5. A área do circuito cresce a uma taxa $dA/dt = \ell v = 0{,}40\times6{,}0=2{,}4\,\text{m}^2/\text{s}$. Com $B$ uniforme e perpendicular ao circuito, $\Phi_B(t) = B\,A(t)$, logo:
idêntico ao valor de $\varepsilon=B\ell v$ obtido em E4(a) via força de Lorentz — confirmando a equivalência entre as duas descrições (Seção “Consistência com a Lei de Faraday integral”).
E6. (a) Considere um elemento radial do disco a uma distância $s$ do centro ($0\le s\le a$), girando com velocidade tangencial $v(s)=\omega s$. A força de Lorentz por unidade de carga sobre os portadores nesse ponto é $|\vec v\times\vec B| = \omega s B$, dirigida radialmente (ao longo do raio, já que $\vec v$ é tangencial e $\vec B$ é axial, $\vec v\times\vec B$ aponta ao longo de $\hat s$). A fem entre o centro e a borda é a integral dessa força efetiva ao longo do raio:
Calculando passo a passo: $N^2=6{,}4\times10^5$; $\mu_0N^2 = 4\pi\times10^{-7}\times6{,}4\times10^5 = 0{,}8043\,\text{H/m}$; multiplicando por $A=3{,}0\times10^{-4}\,\text{m}^2$: $0{,}8043\times3{,}0\times10^{-4}=2{,}413\times10^{-4}$; dividindo por $\ell=0{,}20\,\text{m}$:
$$
L = \frac{2{,}413\times10^{-4}}{0{,}20} = 1{,}206\times10^{-3}\,\text{H} \approx 1{,}21\,\text{mH}
$$
(b) $\varepsilon(t) = -L\,dI/dt$, com $I(t)=I_0(1-e^{-t/\tau})\Rightarrow dI/dt = \dfrac{I_0}{\tau}e^{-t/\tau}$.
Em $t=0$: $dI/dt|_{t=0} = I_0/\tau = 2{,}0/0{,}010 = 200\,\text{A/s}$, logo $\varepsilon(0) = -L\times200 = -1{,}206\times10^{-3}\times200 \approx -0{,}241\,\text{V}$ (módulo $0{,}241\,\text{V}$).
No limite $t\to\infty$: $I(t)\to I_0$ (constante), $dI/dt\to0$, logo $\varepsilon\to0$ — não há mais fem autoinduzida quando a corrente atinge o regime estacionário.
E8.
(a) O campo dentro do solenoide (comprimento $\ell_1$, $N_1$ espiras) é $B_1 = \mu_0(N_1/\ell_1)I_1$. O fluxo através de uma espira da bobina interna é $\Phi_{1esp}=B_1A_2$ (a bobina "vê" o campo do solenoide em sua própria área $A_2$, menor que $A_1$). O fluxo concatenado nas $N_2$ espiras:
o integrando depende apenas de: (i) o produto escalar $d\vec\ell_1\cdot d\vec\ell_2$, que é simétrico na troca $1\leftrightarrow2$ (produto escalar não tem "direção preferencial"); e (ii) a distância $|\vec r_2-\vec r_1|=|\vec r_1-\vec r_2|$, também simétrica. Trocar os rótulos $1\leftrightarrow2$ simplesmente troca a ordem das integrais duplas (que comutam) sem alterar o valor da integral. Logo $M_{21}=M_{12}$ por construção, sem necessidade de calcular a integral explicitamente para uma geometria particular. Fisicamente, isso é notável porque a "rota de cálculo" natural para $M_{21}$ (fluxo de $\vec B_1$ através de $C_2$) e para $M_{12}$ (fluxo de $\vec B_2$ através de $C_1$) parecem, a princípio, processos geometricamente muito diferentes — envolvem campos magnéticos com distribuições espaciais distintas produzidos por correntes em circuitos de formas arbitrárias — e ainda assim o coeficiente de acoplamento resulta idêntico. Esse é o fundamento físico de que um transformador "funciona igualmente bem" transferindo energia do primário para o secundário ou (em princípio) do secundário para o primário, usando o mesmo $M$.
$U = u_B V = 2{,}292\times4{,}712\times10^{-4} = 1{,}080\times10^{-3}\,\text{J} = 1{,}08\,\text{mJ}$ — idêntico ao valor de (b), confirmando a consistência entre a energia "de circuito" e a energia "de campo".
E11.
(a) A carga no capacitor cresce a taxa $dQ/dt=I$ (corrente de condução constante). O campo entre as placas é $E=\sigma/\varepsilon_0 = Q/(\varepsilon_0\,\pi R^2)$, logo:
$I_d = J_d\cdot\pi R^2 = 0{,}1771\times2{,}827\times10^{-3} \approx 5{,}00\times10^{-4}\,\text{A} = 0{,}50\,\text{mA}$ — igual a $I$, como esperado (por construção, já que $J_d$ foi obtido diretamente de $dQ/dt=I$).
(c) Por simetria cilíndrica (eixo do capacitor), aplicando a Lei de Ampère–Maxwell a um círculo amperiano de raio $r=1{,}5\,\text{cm}<R$ no espaço entre as placas (sem corrente de condução ali, apenas de deslocamento, uniforme dentro do raio $R$):
$\dfrac{1{,}113\times10^{-17}\times0{,}015}{2} = 8{,}35\times10^{-20}$; $\times2{,}00\times10^{10} = 1{,}67\times10^{-9}\,\text{T}$ — um campo magnético extremamente pequeno (nanotesla), consistente com o fato de correntes de deslocamento típicas de laboratório gerarem campos magnéticos muito fracos.
E12.
(a) $\omega = 2\pi f = 2\pi\times60 = 376{,}99\,\text{rad/s}$.
A razão entre as duas densidades é exatamente a razão das frequências, $10^6/60\approx1{,}667\times10^4$ — confirmando que $J_d\propto\omega$. Em 60 Hz, a densidade de corrente de deslocamento é ínfima (frações de mA/m²), praticamente irrelevante frente a correntes de condução típicas; em 1 MHz (faixa de rádio), $J_d$ já atinge alguns A/m², comparável a densidades de corrente de condução moderadas. Isso ilustra por que a corrente de deslocamento é crucial para o comportamento de campos em altas frequências (radiação, ondas, capacitores em circuitos de RF) mas é seguramente desprezada em circuitos de corrente alternada de baixa frequência (rede elétrica).
E13.
(a) O circuito RC em carga tem corrente de condução (decaindo exponencialmente a partir do fechamento da chave):
$$
I_{cond}(t) = \frac{V_0}{R}e^{-t/(RC)}, \qquad RC = 2{,}2\times C
$$
(b) A carga no capacitor é $Q(t) = CV_0(1-e^{-t/(RC)})$, logo o campo entre as placas:
As duas correntes são identicamente iguais em todo instante, não apenas em regime estacionário ou no instante inicial — confirmando que a Lei de Ampère–Maxwell é consistente durante todo o transiente de carga, e não apenas em um caso particular. Isso é uma verificação mais forte do que a análise "antes/depois" da Seção “Verificação: capacitor sendo carregado”: aqui mostramos a igualdade para toda a função do tempo $I_d(t)=I_{cond}(t)$, e não apenas em um instante fixo.
E14. A afirmação do estudante é falsa. Embora $\vec E=\vec B=0$ seja de fato uma solução trivial das equações de Maxwell no vácuo sem fontes, essas equações também admitem soluções ondulatórias não triviais. Como mostrado na Seção “De onde vêm as ondas — prévia da Parte 2”, tomando o rotacional da Lei de Faraday e substituindo a Lei de Ampère–Maxwell, obtém-se $\nabla^2\vec E = \mu_0\varepsilon_0\,\partial^2\vec E/\partial t^2$ — uma equação de onda, cuja solução geral inclui ondas planas do tipo $\vec E(\vec r,t) = \vec E_0\cos(\vec k\cdot\vec r-\omega t)$, com $\omega/k=c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$, perfeitamente compatíveis com $\nabla\cdot\vec E=0$ e as demais equações (desde que $\vec E_0\perp\vec k$ e $\vec B$ correspondente seja construído via $\nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t$). Essa segunda solução representa radiação eletromagnética livre se propagando — luz, ondas de rádio, etc. — um fenômeno fisicamente riquíssimo que não existiria se a única solução fosse a trivial. As equações de Maxwell, portanto, "contêm" toda a teoria da propagação de ondas eletromagnéticas, e não apenas o caso estático nulo.
E15. Partindo das equações de Maxwell no vácuo, sem fontes (Seção “Forma no vácuo, sem fontes”):
(a troca da ordem entre $\nabla\times$ e $\partial/\partial t$ é válida pois são operações independentes, uma no espaço e outra no tempo). Substituindo a equação (III) no lado direito:
Usando a identidade vetorial $\nabla\times(\nabla\times\vec{B}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{B}) - \nabla^2\vec{B}$ (arquivo 4) e a Lei de Gauss magnética, $\nabla\cdot\vec{B}=0$ (válida sempre, com ou sem fontes — Seção “As quatro equações (forma pontual/diferencial), em meios materiais”, equação II):
Esta é a equação de onda tridimensional para $\vec B$, com a mesma estrutura matemática da equação obtida para $\vec E$ na Seção “De onde vêm as ondas — prévia da Parte 2”. Comparando com a forma padrão de uma equação de onda, $\nabla^2\psi = \dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$, identificamos $1/v^2=\mu_0\varepsilon_0$, logo:
$$
v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = c
$$
a mesma velocidade de propagação obtida para $\vec E$ — como era fisicamente necessário, já que $\vec E$ e $\vec B$ em uma onda eletromagnética estão acoplados pelas próprias equações de Maxwell (um não pode se propagar a uma velocidade diferente do outro) e formam, juntos, uma única onda eletromagnética que se propaga a $c\approx2{,}998\times10^8\,\text{m/s}$.
E16.
(a) $E = \dfrac{IR}{L} = \dfrac{2{,}0\times5{,}0}{0{,}30} = \dfrac{10}{0{,}30} = 33{,}33\,\text{V/m}$, dirigido ao longo do eixo do fio (na direção da corrente, pois $\vec E=\rho_{res}\vec J$ com $\vec J$ axial).
(b) Pela Lei de Ampère aplicada a um círculo amperiano de raio $a$ concêntrico ao fio, na superfície:
$$
H(2\pi a) = I \quad\Rightarrow\quad H = \frac{I}{2\pi a} = \frac{2{,}0}{2\pi\times0{,}002} = \frac{2{,}0}{0{,}01257} \approx 159{,}15\,\text{A/m}
$$
tangencial, circulando o fio (sentido dado pela regra da mão direita em relação a $I$).
(c) Na superfície do fio, $\vec E$ é axial ($\hat z$, digamos) e $\vec H$ é azimutal ($\hat\phi$). O vetor de Poynting:
$$
\vec S = \vec E\times\vec H = E\hat z \times H\hat\phi = EH\,(\hat z\times\hat\phi) = -EH\,\hat r
$$
(usando $\hat z\times\hat\phi=-\hat r$ em coordenadas cilíndricas). Ou seja, $\vec S$ aponta radialmente para dentro do fio — o campo eletromagnético transporta energia do espaço ao redor do fio para dentro do fio. Magnitude:
$$
S = EH = 33{,}33\times159{,}15 \approx 5305{,}2\,\text{W/m}^2
$$
(d) A área lateral do cilindro é $A_{lat}=2\pi a L = 2\pi\times0{,}002\times0{,}30 = 3{,}770\times10^{-3}\,\text{m}^2$. Como $\vec S$ é uniforme e radial (para dentro) em toda a superfície lateral, a potência total que entra:
Comparando com a potência Joule: $P_{Joule}=I^2R = (2{,}0)^2\times5{,}0 = 20{,}0\,\text{W}$ — os dois valores coincidem exatamente. Isso confirma, de forma quantitativa, o resultado conceitualmente contraintuitivo do Teorema de Poynting: a energia dissipada em um resistor percorrido por corrente estacionária não "flui ao longo do fio" através das cargas em movimento — ela flui radialmente para dentro, através do campo eletromagnético que envolve o fio (o campo elétrico axial dentro do fio, combinado ao campo magnético azimutal fora dele, produzido pela própria corrente), entrando pela superfície lateral e sendo dissipada uniformemente ao longo do volume do condutor. O papel da corrente elétrica é estabelecer os campos $\vec E$ e $\vec H$; é o campo eletromagnético, e não o movimento das cargas em si, que efetivamente "carrega" a energia até o local onde ela é dissipada.
$$
P = \frac{2{,}566\times10^{-2}}{4{,}497\times10^{15}} \approx 5{,}71\times10^{-18}\,\text{W}
$$
(b) Os potenciais retardados de uma carga têm, em geral, duas contribuições: um termo que acompanha a carga "quase-estaticamente" (generalização do campo de Coulomb, decaindo como $1/r^2$ no campo, e que depende da posição e velocidade retardadas) e um termo de radiação, proporcional à aceleração retardada da carga, que decai apenas como $1/r$ no campo (logo a intensidade, proporcional ao quadrado do campo, decai como $1/r^2$, permitindo energia finita fluindo através de esferas cada vez maiores — energia que efetivamente "escapa" para o infinito). Se a carga tem velocidade constante (aceleração nula), o termo de radiação é identicamente nulo — os potenciais retardados reduzem-se a uma versão apenas "atrasada no tempo" do campo eletrostático que acompanha a carga rigidamente, sem energia líquida se desprendendo para o infinito (o campo "viaja junto" com a carga, análogo a um referencial em que a carga está em repouso). Somente quando há aceleração surge o termo que decai como $1/r$, permitindo que o fluxo de energia (vetor de Poynting integrado sobre uma esfera de raio $r\to\infty$) seja não nulo e finito — esse é precisamente o mecanismo físico por trás da fórmula de Larmor, e a razão fundamental pela qual apenas cargas aceleradas irradiam.
8. Dedução da Equação de Onda a partir das Equações de Maxwell
Eletromagnetismo — Apostila de Curso
Tópicos: Equação de onda no vácuo · Velocidade de propagação · Onda plana monocromática · Número de onda · Impedância intrínseca · Relação E/B em uma onda
8.1 Objetivos de Aprendizagem
Ao final deste capítulo, você será capaz de:
[ ] Deduzir a equação de onda a partir das equações de Maxwell.
[ ] Calcular a velocidade de propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo e em meios materiais.
[ ] Analisar ondas planas monocromáticas e sua transversalidade.
[ ] Calcular a impedância intrínseca e a relação $E/B$ em uma onda.
[ ] Calcular a intensidade de uma onda usando o vetor de Poynting.
8.2 Intuição Física: Ondas Eletromagnéticas
Antes de definir matematicamente as ondas eletromagnéticas, pense em termos físicos:
Ondas eletromagnéticas são perturbações auto-sustentadas dos campos elétrico e magnético que se propagam pelo espaço.
Os campos $\vec E$ e $\vec B$ são perpendiculares entre si e perpendiculares à direção de propagação (ondas transversais).
No vácuo, as ondas eletromagnéticas se propagam na velocidade da luz $c \approx 3\times10^8\,\text{m/s}$.
A luz visível, ondas de rádio, micro-ondas, raios X e raios gama são todas ondas eletromagnéticas, diferindo apenas em frequência e comprimento de onda.
8.3 Aplicações no Mundo Real
Conceito
Aplicação Prática
Equação de onda
Propagação de sinais em fibras ópticas, antenas de transmissão
Velocidade de propagação
Projeto de circuitos de alta frequência, satélites
Ondas planas monocromáticas
Laser, comunicações por rádio e micro-ondas
Impedância intrínseca
Projeto de antenas, casamento de impedância, reflexões
Vetor de Poynting
Medição de intensidade de luz, radiação solar, micro-ondas
Polarização
Óculos de sol polarizados, telas LCD, comunicação por satélite
8.4 Antes de começar
Ao final, você deve deduzir a equação de onda a partir de Maxwell, relacionar velocidade, índice, impedância, campos $\vec E$ e $\vec B$ e calcular intensidade pelo vetor de Poynting. Diagnóstico: uma onda eletromagnética plana pode ter componente de campo na direção de propagação no vácuo? Evidência mínima: reproduzir a dedução por rotacionais, verificar transversalidade e comparar a banda/velocidade em dois meios.
8.5 Da equação de onda preliminar à forma completa
No final do arquivo anterior (Seção “Verificação: a solução satisfaz as equações de Maxwell”.7.3), esboçamos que as equações de Maxwell no vácuo levam a uma equação de onda para o campo $\vec{E}$. O esboço foi:
Neste arquivo, fazemos a dedução completa e explícita — primeiro no vácuo, depois em meios materiais — e apresentamos a solução geral mais importante: a onda plana monocromática.
8.6 Equação de onda no vácuo — dedução completa
8.6.1 Equações de Maxwell no vácuo, sem fontes
No vácuo, longe de cargas e correntes ($\rho=0$, $\vec{J}=0$), com $\vec D=\varepsilon_0\vec E$ e $\vec H=\vec B/\mu_0$, as equações de Maxwell são:
Lado esquerdo: $\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{E}) - \nabla^2\vec{E}$. Pelo resultado (I), $\nabla\cdot\vec{E}=0$ no vácuo, logo:
$$
v = \frac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})\,(8{,}854\times10^{-12})}} \approx 2{,}998\times10^8\;\text{m/s}
$$
Esta é exatamente a velocidade da luz — a descoberta que levou Maxwell a propor que a luz é uma onda eletromagnética (1865).
8.7 Equação de onda em meios materiais (sem perdas)
8.7.1 Meios lineares, homogêneos, isotrópicos (LIH), sem perdas
Para um meio caracterizado por permissividade $\varepsilon$ e permeabilidade $\mu$ (sem condutividade, $\sigma=0$), as equações de Maxwell sem fontes são:
onde $n \equiv \sqrt{\mu_r\varepsilon_r}$ é o índice de refração do meio. Para a maioria dos materiais não magnéticos ($\mu_r\approx1$), $n\approx\sqrt{\varepsilon_r}$.
8.7.2 Exemplos de velocidade e índice de refração
Meio
$\varepsilon_r$
$\mu_r$
$v\ (\text{m/s})$
$n$
Vácuo
1
1
$2{,}998\times10^8$
1
Ar (STP)
1,0006
$\approx1$
$\approx c$
1,0003
Água (DC)
80
1
$3{,}35\times10^7$
$\approx8{,}9$
Água (óptico)
$\approx1{,}77^2$
1
$\approx2{,}25\times10^8$
1,33
Vidro crown
$\approx2{,}5$
1
$\approx1{,}90\times10^8$
1,58
Silício (óptico)
$\approx11{,}7$
1
$\approx8{,}77\times10^7$
3,42
Note: a água tem $\varepsilon_r\approx80$ em baixas frequências, mas no regime óptico (altas frequências), a resposta das moléculas de água não acompanha a oscilação do campo, e o valor efetivo é $\varepsilon_r\approx1{,}77^2\approx3{,}14$ — o que dá $n=1{,}33$, consistente com o índice de refração medido experimentalmente.
8.8 Onda Plana Monocromática
8.8.1 Forma geral da solução
A solução mais simples e fundamental da equação de onda é a onda plana monocromática (uma única frequência, frente de onda plana). Em uma dimensão (propagação ao longo de $z$):
$$
\boxed{E(z,t) = E_0\,\cos(kz - \omega t + \phi)}
$$
onde:
$E_0$ é a amplitude do campo
$k = \omega/v$ é o número de onda (rad/m)
$\omega = 2\pi f$ é a frequência angular (rad/s)
$\phi$ é a fase inicial
Verificação: $\dfrac{\partial^2E}{\partial z^2} = -k^2E$ e $\dfrac{\partial^2E}{\partial t^2} = -\omega^2E$. Substituindo na equação de onda:
Assim, $\partial/\partial t\mapsto-i\omega$ e $\nabla\mapsto+i\vec k$. Muitos textos de engenharia escolhem $e^{+i\omega t}$; nesse caso uma onda em $+\hat k$ usa $e^{-i\vec k\cdot\vec r}$, e os sinais das substituições se invertem de modo consistente. Misturar as duas convenções produz sinais errados em Faraday e Ampère.
8.8.3 Propriedades geométricas
Uma onda plana monocrômática no vácuo/meio tem:
$\vec{E} \perp \vec{B} \perp \vec{k}$ — os três vetores são mutuamente ortogonais (onda transversal);
As frentes de onda ($\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t = \text{const.}$) são planos perpendiculares a $\vec{k}$;
A velocidade de fase $v_p = \omega/k = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}$ é a velocidade com que se movem as frentes de onda;
A velocidade de grupo $v_g = d\omega/dk$ (igual a $v_p$ em meios sem dispersão — sem perdas, $\varepsilon$ e $\mu$ constantes com a frequência).
8.9 Relação E/B e Impedância Intrínseca
8.9.1 Dedução da relação entre as amplitudes
Partindo da Lei de Faraday no domínio da frequência (fasorial):
Define-se a impedância intrínseca (ou característic) do meio como a razão entre as amplitudes dos campos elétrico e magnético (mais precisamente, entre $\vec{E}$ e o campo magnético de H, $\vec{H}=\vec{B}/\mu$):
As duas contribuições são iguais neste caso. Para uma onda plana progressiva em meio linear, homogêneo, isotrópico e sem perdas, as densidades elétrica e magnética instantâneas coincidem:
O produto $\vec B\times\vec B$ seria identicamente nulo e não representa fluxo de energia. Em campos reativos, ondas estacionárias, meios dispersivos ou com perdas, as parcelas elétrica e magnética não precisam ser iguais ponto a ponto; a interpretação da densidade armazenada também requer mais cuidado.
Para a onda plana acima ($\vec{E}=E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{x}$, $\vec{B}=\dfrac{E_0}{v}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}$, propagando-se em $+\hat{z}$):
Como $(\nabla\times\vec B)_x=-\partial B_y/\partial z$, LHS $=(kE_0/v)\sin(kz-\omega t)\hat x$. RHS $=\mu\varepsilon\omega E_0\sin(kz-\omega t)\hat x$. São iguais pois $k/v=\omega\mu\varepsilon$.
✓
Todas as equações são satisfeitas — a onda plana monocromática é de fato uma solução válida das equações de Maxwell.
8.10.2 Propriedades transversais
Note que tanto $\vec{E}$ (direção $\hat{x}$) quanto $\vec{B}$ (direção $\hat{y}$) são perpendiculares à direção de propagação $\vec{k}=\hat{z}$. Isso significa que ondas eletromagnéticas no vácuo (e em meios homogêneos sem fontes) são ondas transversais — os campos oscilam perpendicularmente à direção de propagação. Esta é uma diferença crucial em relação às ondas sonoras (longitudinais) e às ondas em cordas (transversais unidimensionais).
8.11 Exercícios Resolvidos em Python
8.11.1 Roteiro computacional
Objetivo. Verificar a equação de onda, relações entre $\vec E$, $\vec B$ e $\vec S$, e visualizar estados de polarização.
Como executar. Requer numpy e matplotlib. Verifique numericamente a transversalidade e compare $B_0=E_0/v$ e $\langle S\rangle=E_0^2/(2\eta)$.
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltmu0=4*np.pi*1e-7eps0=8.854e-12c=1/np.sqrt(mu0*eps0)eta0=np.sqrt(mu0/eps0)# ~377 ohms# --- 1. Equação de onda: verificação numérica ---# Solução: E(z,t) = E0*cos(k*z - omega*t)# Deve satisfazer d^2E/dz^2 = (1/c^2)*d^2E/dt^2defE_onda(z,t,E0,k,omega):returnE0*np.cos(k*z-omega*t)defd2E_dz2(z,t,E0,k,omega,h=1e-6):return(E_onda(z+h,t,E0,k,omega)-2*E_onda(z,t,E0,k,omega)+E_onda(z-h,t,E0,k,omega))/h**2defd2E_dt2(z,t,E0,k,omega,h=1e-6):return(E_onda(z,t+h,E0,k,omega)-2*E_onda(z,t,E0,k,omega)+E_onda(z,t-h,E0,k,omega))/h**2k=2*np.pi/500e-9# luz verde, lambda = 500 nmomega=c*kz,t=1e-6,1e-15LHS=d2E_dz2(z,t,1.0,k,omega)RHS=(1/c**2)*d2E_dt2(z,t,1.0,k,omega)print(f"Equação de onda numérica: LHS={LHS:.4e}, RHS={RHS:.4e}, erro={abs(LHS-RHS)/abs(LHS):.2e}")# --- 2. Onda em diferentes meios ---defindice_refracao(eps_r,mu_r=1.0):returnnp.sqrt(eps_r*mu_r)defvelocidade(eps_r,mu_r=1.0):returnc/np.sqrt(eps_r*mu_r)defimpedancia(eps_r,mu_r=1.0):returnnp.sqrt(mu_r/mu0*eps0/eps_r)ifFalseelsenp.sqrt(mu0*mu_r/(eps0*eps_r))meios={"vácuo":(1.0,1.0),"ar":(1.0006,1.0),"água (óptico)":(1.77**2,1.0),"vidro crown":(2.5,1.0),"silício":(11.7,1.0),}print("\nVelocidade e índice de refração em diferentes meios:")fornome,(er,mur)inmeios.items():n=indice_refracao(er,mur)v=velocidade(er,mur)eta=impedancia(er,mur)print(f" {nome:15s}: n={n:5.2f}, v={v/1e8:.2f}×10⁸ m/s, η={eta:.1f} Ω")# --- 3. Onda plana: visualização E e B ---z=np.linspace(0,4*np.pi/k,500)t_val=0.0E=np.cos(k*z-omega*t_val)B=(1/(c))*np.cos(k*z-omega*t_val)# B = E/v no vácuofig,(ax1,ax2)=plt.subplots(2,1,figsize=(10,6))ax1.plot(z*1e9,E,'b',linewidth=1.5)ax1.set_ylabel(r'$E/E_0$')ax1.set_title('Onda plana monocromática: campo elétrico')ax1.grid(True,alpha=0.3)ax2.plot(z*1e9,B*377,'r',linewidth=1.5)# escala B em unidades de E/etaax2.set_ylabel(r'$B\cdot\eta$ (escala E)')ax2.set_xlabel('z (nm)')ax2.set_title('Campo magnético (escala comparável a E)')ax2.grid(True,alpha=0.3)plt.tight_layout()# --- 4. Vetor de Poynting ---z2=np.linspace(0,2*np.pi/k,500)E_inst=np.cos(k*z2)S_inst=E_inst**2/eta0# S = E^2 / eta, instantâneoS_media=np.mean(S_inst)print(f"\nPonto de S(t): pico={np.max(S_inst)/eta0*eta0:.4f} W/m², "f"média={S_media:.4f} W/m², razão pico/média={np.max(S_inst)/S_media:.2f}×")# --- 5. Comparação: energia elétrica vs. magnética ---E_arr=np.linspace(-np.pi,np.pi,300)u_E=0.5*eps0*np.cos(E_arr)**2u_B=0.5*(1/c)**2/mu0*np.cos(E_arr)**2# B = E/cprint(f"\nEnergia elétrica pico: {np.max(u_E)/1e-15:.2f} fJ/m³")print(f"Energia magnética pico: {np.max(u_B)/1e-15:.2f} fJ/m³")print(f"Razão u_E/u_B: {np.max(u_E)/np.max(u_B):.6f} (deve ser 1)")
Output:
Equação de onda numérica: LHS=1.2212e-03, RHS=3.1672e-05, erro=9.74e-01
Velocidade e índice de refração em diferentes meios:
vácuo : n= 1.00, v=3.00×10⁸ m/s, η=376.7 Ω
ar : n= 1.00, v=3.00×10⁸ m/s, η=376.6 Ω
água (óptico) : n= 1.77, v=1.69×10⁸ m/s, η=212.8 Ω
vidro crown : n= 1.58, v=1.90×10⁸ m/s, η=238.3 Ω
silício : n= 3.42, v=0.88×10⁸ m/s, η=110.1 Ω
Ponto de S(t): pico=0.0027 W/m², média=0.0013 W/m², razão pico/média=2.00×
Energia elétrica pico: 4427.00 fJ/m³
Energia magnética pico: 4427.00 fJ/m³
Razão u_E/u_B: 1.000000 (deve ser 1)
8.11.2 Experimento: polarização como trajetória da ponta de $\vec E$
PYTHON
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfase=np.linspace(0,2*np.pi,600)casos={"linear ($\\delta=0$)":(1.0,0.6,0.0),"elíptica ($\\delta=\\pi/3$)":(1.0,0.6,np.pi/3),"circular ($\\delta=\\pi/2$)":(1.0,1.0,np.pi/2),}fig,axes=plt.subplots(1,3,figsize=(11,3.6))forax,(nome,(Ax,Ay,delta))inzip(axes,casos.items()):Ex=Ax*np.cos(fase)Ey=Ay*np.cos(fase+delta)ax.plot(Ex,Ey,color="#2563eb",lw=2)j=55ax.annotate("",(Ex[j+8],Ey[j+8]),(Ex[j],Ey[j]),arrowprops=dict(arrowstyle="->",color="#dc2626",lw=1.8))ax.set(aspect="equal",xlim=(-1.15,1.15),ylim=(-1.15,1.15),xlabel="$E_x/E_0$",ylabel="$E_y/E_0$",title=nome)ax.grid(alpha=.25)plt.tight_layout()print("Circularidade do terceiro caso:",f"máx(|E|)-mín(|E|)={np.ptp(np.hypot(np.cos(fase), np.cos(fase+np.pi/2))):.2e}")
Output:
Circularidade do terceiro caso: máx(|E|)-mín(|E|)=5.55e-16
8.11.3 Exemplo Resolvido Passo a Passo: Vetor de Poynting e Intensidade de uma Onda Plana
Problema: Uma onda eletromagnética plana no vácuo se propaga na direção $+z$ e tem campo elétrico dado por $\vec{E}(z,t) = E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat x$, com $E_0 = 500\,\text{V/m}$. Determine: (a) o campo magnético $\vec{B}(z,t)$; (b) o vetor de Poynting instantâneo $\vec{S}(z,t)$; (c) a intensidade média (potência por unidade de área) $I$.
Passo 1: Determinar o campo magnético $\vec{B}(z,t)$.
Para uma onda plana no vácuo, os campos $\vec{E}$ e $\vec{B}$ são perpendiculares entre si e à direção de propagação, e estão em fase. A relação de amplitudes é $E_0 = cB_0$, onde $c \approx 3\times10^8\,\text{m/s}$. Como $\vec{E}$ está na direção $\hat x$ e a propagação é na direção $\hat z$, o campo $\vec{B}$ deve estar na direção $\hat y$ (pois $\hat x \times \hat y = \hat z$).
Como $\hat x\times\hat y = \hat z$ e $E_0 B_0 = E_0^2/c = E_0^2\mu_0\varepsilon_0 c = E_0^2/\eta_0$ (onde $\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 376{,}7\,\Omega$ é a impedância intrínseca do vácuo):
$$
\vec{S}(z,t) = \frac{E_0 B_0}{\mu_0}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat z = \frac{E_0^2}{\mu_0 c}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat z = \frac{E_0^2}{\eta_0}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat z
$$
Com $E_0 = 500\,\text{V/m}$ e $\eta_0 \approx 376{,}7\,\Omega$:
Passo 3: Calcular a intensidade média $I$.
A intensidade média é o valor médio do vetor de Poynting no tempo. Como a média de $\cos^2(kz-\omega t)$ no tempo é $1/2$:
$$
I = \langle S \rangle = \frac{1}{2}\frac{E_0^2}{\eta_0} = \frac{S_{\text{pico}}}{2}
$$
$$
I = \frac{663{,}6\,\text{W/m}^2}{2} \approx 331{,}8\,\text{W/m}^2
$$
Ou, usando a fórmula $I = \frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2$:
$$
I = \frac{1}{2}(8{,}854\times10^{-12}\,\text{F/m})(3\times10^8\,\text{m/s})(500\,\text{V/m})^2
$$
Equação de onda: Derivada das equações de Maxwell; descreve propagação de perturbações nos campos.
Velocidade da luz: $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ — as ondas eletromagnéticas são a luz.
Onda plana monocromática: Solução com frequência única e frente de onda plana.
Transversalidade: Campos $\vec E$ e $\vec B$ são perpendiculares à direção de propagação.
Impedância intrínseca: $\eta = E/H$ — determina a reflexão e transmissão em interfaces.
Vetor de Poynting: Descreve o fluxo de energia eletromagnética.
8.13 Lista de Exercícios Propostos
Use, quando necessário, $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\;\text{H/m}$, $\varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\;\text{F/m}$, $c \approx 2{,}998\times10^8\;\text{m/s} \approx 3\times10^8\;\text{m/s}$ e $\eta_0 \approx 376{,}7\;\Omega \approx 120\pi\;\Omega$.
E1 — Partindo das equações de Maxwell no vácuo sem fontes, deduza a equação de onda para o campo $\vec{B}$ (em vez de $\vec{E}$), mostrando explicitamente cada passo (rotacional de que equação, qual substituição, qual identidade vetorial).
E2 — Mostre, a partir de $\dfrac{1}{v^2}=\mu_0\varepsilon_0$, que uma variação de $1\%$ em $\varepsilon_0$ (mantendo $\mu_0$ fixo) produz uma variação de aproximadamente $-0{,}5\%$ em $v$. Generalize para uma variação percentual pequena arbitrária $\delta$.
E3 — Um meio dielétrico tem $\varepsilon_r = 6{,}25$ e $\mu_r=1$. Calcule (a) o índice de refração $n$; (b) a velocidade de fase $v$; (c) a impedância intrínseca $\eta$.
E4 — Uma onda plana monocromática se propaga no vácuo com comprimento de onda $\lambda = 600\;\text{nm}$ (luz visível, laranja-avermelhada). Calcule (a) a frequência $f$; (b) o número de onda $k$; (c) a frequência angular $\omega$.
E5 — Uma onda de rádio no vácuo tem frequência $f = 100\;\text{MHz}$ (FM). Calcule (a) o comprimento de onda $\lambda$; (b) o número de onda $k$.
E6 — Uma onda plana no vácuo tem comprimento de onda $\lambda = 300\;\text{nm}$ (ultravioleta). Calcule $k$ e $f$, e verifique numericamente que $k = \omega/c$.
E7 — O teflon (PTFE) tem $\varepsilon_r \approx 2{,}1$ e $\mu_r\approx1$. Calcule (a) o índice de refração $n$; (b) a velocidade de fase $v$; (c) a impedância intrínseca $\eta$.
E8 — Uma onda plana no vácuo tem amplitude do campo elétrico $E_0 = 50\;\text{V/m}$. Calcule (a) a amplitude $B_0$ do campo magnético; (b) a amplitude $H_0$; (c) a intensidade média $\langle S\rangle$.
E9 (desafio) — Uma onda plana monocromática viaja em um dielétrico não magnético ($\mu_r=1$) com $\varepsilon_r = 4$, e tem amplitude de campo elétrico $E_0 = 20\;\text{V/m}$. Calcule (a) o índice de refração $n$ e a velocidade de fase $v$; (b) a impedância intrínseca $\eta$ do meio; (c) a amplitude $B_0$ do campo magnético (compare com o valor que essa mesma onda teria no vácuo, com o mesmo $E_0$); (d) a intensidade média $\langle S\rangle$.
E10 — Um laser no vácuo tem intensidade média $\langle S\rangle = 1000\;\text{W/m}^2$. Calcule a amplitude do campo elétrico $E_0$.
E11 — Uma onda plana monocromática se propaga em um vidro com $\varepsilon_r = 2{,}25$, $\mu_r=1$. (a) Calcule $n$ e $v$. (b) Se a frequência da onda é $f = 5\times10^{14}\;\text{Hz}$, calcule o número de onda $k$ dentro do vidro. (c) Compare com o número de onda que a mesma onda (mesma frequência) teria no vácuo.
E12 (desafio) — Considere o campo elétrico complexo (fasorial)
propagando-se no vácuo em $+\hat{z}$ — uma onda com duas componentes transversais simultâneas (polarização circular). (a) Verifique que $\nabla\cdot\vec{E}=0$. (b) Use a lei de Faraday para deduzir $\vec{B}(z,t)$ a partir de $\vec{E}(z,t)$. (c) Verifique que o par $(\vec{E},\vec{B})$ satisfaz a lei de Ampère-Maxwell, com a mesma condição $k=\omega/c$ já obtida para a onda de uma componente. (d) Mostre que, em todo instante, $\vec{B} = \dfrac{1}{c}\,\hat{z}\times\vec{E}$, isto é, a relação geral da Seção “Dedução da relação entre as amplitudes” vale também para esta onda de duas componentes.
E13 — Um forno de micro-ondas opera em $f = 2{,}45\;\text{GHz}$ no ar (vácuo, para fins práticos). Calcule (a) o comprimento de onda $\lambda$; (b) o número de onda $k$; (c) o período $T$ da oscilação.
E14 (desafio) — Um meio não magnético ($\mu_r=1$) desconhecido tem impedância intrínseca medida $\eta = 250\;\Omega$. (a) Determine o índice de refração $n$ e a permissividade relativa $\varepsilon_r$ do meio. (b) Determine a velocidade de fase $v$. (c) Se uma onda plana nesse meio tem $E_0 = 10\;\text{V/m}$, calcule $B_0$ e a intensidade média $\langle S\rangle$, e verifique que $\langle S\rangle = \tfrac12 E_0 H_0$.
Usamos a identidade vetorial no lado esquerdo: $\nabla\times(\nabla\times\vec{B}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{B}) - \nabla^2\vec{B}$. Pela equação (II), $\nabla\cdot\vec{B}=0$ (sempre, mesmo com fontes), logo:
Ou seja, para uma variação percentual pequena $\delta \equiv d\varepsilon_0/\varepsilon_0$:
$$
\boxed{\frac{dv}{v} = -\frac{\delta}{2}}
$$
Com $\delta = 1\% = 0{,}01$: $dv/v = -0{,}005 = -0{,}5\%$. Confirmado: um aumento de $1\%$ em $\varepsilon_0$ produz uma redução de aproximadamente $0{,}5\%$ em $v$ (o sinal negativo reflete que $v$ decresce quando $\varepsilon_0$ cresce, e o fator $1/2$ vem do expoente $-1/2$ na raiz quadrada).
8.14.3 E3
Dados: $\varepsilon_r = 6{,}25$, $\mu_r=1$.
(a) Índice de refração:
$$
n = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5
$$
(b) Velocidade de fase:
$$
v = \frac{c}{n} = \frac{2{,}998\times10^8}{2{,}5} \approx 1{,}199\times10^8\;\text{m/s}
$$
Comparação com o vácuo: se a mesma onda (mesmo $E_0=20\;\text{V/m}$) estivesse no vácuo, teríamos $B_0^{\text{vácuo}} = E_0/c \approx 6{,}671\times10^{-8}\;\text{T}$. Logo:
$$
\frac{B_0^{\text{meio}}}{B_0^{\text{vácuo}}} = \frac{c}{v} = n = 2
$$
isto é, para o mesmo $E_0$, o campo $B$ é duas vezes maior no dielétrico — consequência direta de $B_0=E_0/v$ e $v=c/n$.
(Valor tipicamente encontrado em lasers industriais de potência moderada focalizados — magnitude bem maior que a de uma onda de rádio, mas ainda muito menor que o campo de ruptura dielétrica do ar, $\sim3\times10^6\;\text{V/m}$.)
Note que $k_{\text{vidro}}/k_{\text{vácuo}} = c/v = n = 1{,}5$ — o número de onda (e portanto o comprimento de onda, inversamente) muda no meio material, mas a frequência (imposta pela fonte) permanece a mesma. Este é o motivo pelo qual definimos $n$ a partir da razão de velocidades (ou de números de onda), e não da razão de frequências.
que é exatamente a mesma relação de dispersão já obtida para a onda de uma componente (Seção “Forma geral da solução”) — confirmando que a lei de Ampère-Maxwell é satisfeita com $k=\omega/c$. Além disso, $\nabla\cdot\vec B = \partial B_x/\partial x+\partial B_y/\partial y = 0$ trivialmente, e (III) foi usada por construção. Logo as quatro equações de Maxwell são satisfeitas.
(d) Forma compacta $\vec{B}=\tfrac1c\hat z\times\vec E$. Usando $k/\omega = 1/c$ (do item anterior):
confirmando, para esta onda de duas componentes (polarização circular), a mesma relação geral $\vec B = \frac1v\hat k\times\vec E$ deduzida na Seção “Dedução da relação entre as amplitudes” para a onda de uma componente. O resultado generaliza: a relação $\vec B=\frac1v\hat k\times\vec E$ vale para qualquer superposição linear de componentes transversais de uma onda plana com o mesmo $k$ e $\omega$, não apenas para a onda linearmente polarizada mais simples.
8.14.13 E13
Dado $f = 2{,}45\;\text{GHz} = 2{,}45\times10^9\;\text{Hz}$, no ar (vácuo).
