7. Linhas de transmissão e integridade de sinal
Compatibilidade Eletromagnética
7. Linhas de transmissão e integridade de sinal
Compatibilidade Eletromagnética — Apostila de Curso
Tópicos: equações do telegrafista · parâmetros distribuídos · reflexões · integridade de sinal · perdas · terminações
7.1 Objetivos de aprendizagem
Ao concluir este capítulo, você deverá ser capaz de:
- decidir quando uma interconexão deve ser tratada como linha de transmissão;
- derivar e interpretar as equações do telegrafista;
- calcular velocidade, impedância característica, atraso e coeficientes de reflexão;
- construir diagramas de reflexões para excitação por degrau;
- analisar uma linha em regime senoidal;
- selecionar terminações e relacionar integridade de sinal a EMC;
- reconhecer os limites dos modelos sem perdas e concentrados.
7.2 Do circuito concentrado ao circuito distribuído
7.2.1 Conceito fundamental: quando um fio "vira" uma linha?
Em circuitos concentrados, supõe-se que tensão e corrente mudam instantaneamente em todo o elemento. Uma interconexão real armazena energia elétrica e magnética ao longo do comprimento; uma perturbação leva tempo para se propagar. Quando esse atraso é comparável ao tempo de variação do sinal, $V$ e $I$ dependem simultaneamente da posição $z$ e do tempo $t$.
Insight para Estudantes: Não é a frequência de clock que determina se você precisa tratar um fio como linha de transmissão, mas sim o tempo de subida ($t_r$) do sinal. Um clock de 10 MHz com tempo de subida de 100 ps se comporta como uma linha de transmissão, enquanto um clock de 100 MHz com tempo de subida de 10 ns pode ainda ser tratado como circuito concentrado.
7.2.2 O modelo distribuído
Para um trecho diferencial $\Delta z$, definem-se:
| Parâmetro por unidade de comprimento | Unidade | Fenômeno |
|---|---|---|
| $R$ | $\Omega/\text{m}$ | perda ôhmica nos condutores |
| $L$ | $\text{H}/\text{m}$ | energia magnética |
| $G$ | $\text{S}/\text{m}$ | perda no dielétrico |
| $C$ | $\text{F}/\text{m}$ | energia elétrica |
O modelo diferencial contém $R\Delta z$ e $L\Delta z$ em série, e $G\Delta z$ e $C\Delta z$ em paralelo, conforme ilustrado na Fig. 4.4 do Capítulo 4 de Paul.
Dedução Conceitual: Por que parâmetros distribuídos? Porque um fio não é apenas um caminho para corrente; ele é um capacitor entre os condutores e um indutor ao longo do caminho da corrente. Quando o sinal muda rapidamente, esses elementos armazenam e liberam energia, criando ondas que se propagam.
7.3 Equações do telegrafista
$$
\frac{\partial V}{\partial z}=-RI-L\frac{\partial I}{\partial t},
\qquad
\frac{\partial I}{\partial z}=-GV-C\frac{\partial V}{\partial t}.
$$
$$
V(z,t)-V(z+\Delta z,t)=R\Delta z\,I+L\Delta z\frac{\partial I}{\partial t}.
$$
Divida por $\Delta z$ e tome $\Delta z\to0$:
$$
\lim_{\Delta z\to0}\frac{V(z,t)-V(z+\Delta z,t)}{\Delta z}=\frac{\partial V}{\partial z}.
$$
Para a corrente, aplique a lei dos nós à corrente desviada por $G\Delta z$ e $C\Delta z$:
$$
I(z,t)-I(z+\Delta z,t)=G\Delta z\,V+C\Delta z\frac{\partial V}{\partial t}.
$$
O mesmo limite produz a segunda equação. $\square$
7.3.1 Equações de onda
Diferenciando a primeira equação em $z$ e substituindo a segunda, obtém-se
$$
\frac{\partial^2V}{\partial z^2}
=LC\frac{\partial^2V}{\partial t^2}
+(RC+LG)\frac{\partial V}{\partial t}+RGV.
$$
A corrente satisfaz uma equação análoga. Para uma linha sem perdas, $R=G=0$:
$$
\frac{\partial^2V}{\partial z^2}=LC\frac{\partial^2V}{\partial t^2}.
$$
$$
v_p=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}.
$$
Assim,
$$
V(z,t)=V^+\left(t-\frac{z}{v_p}\right)+V^-\left(t+\frac{z}{v_p}\right),
$$
$$
I(z,t)=\frac{1}{Z_0}\left[V^+\left(t-\frac{z}{v_p}\right)-V^-\left(t+\frac{z}{v_p}\right)\right].
$$
Insight de engenharia: $Z_0$ não é a resistência DC do fio. É a razão $V/I$ de uma onda viajante, determinada pelo armazenamento distribuído de energia elétrica e magnética.
7.4 Parâmetros por unidade de comprimento
Em modo TEM e meio homogêneo,
$$
LC=\mu\varepsilon,\qquad v_p=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}.
$$
Para dielétrico não magnético homogêneo,
$$
v_p\approx\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}.
$$
Microstrip é parcialmente preenchida por ar e parcialmente pelo substrato; usa-se uma permissividade efetiva $\varepsilon_{eff}$ entre 1 e $\varepsilon_r$.
7.4.1 Perdas e efeito pelicular
O efeito pelicular tem profundidade
$$
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}},
$$
fazendo $R(f)$ crescer aproximadamente como $\sqrt f$ quando a espessura do condutor é muito maior que $\delta$. Para dielétrico com tangente de perdas $\tan\delta_d$,
$$
G\approx\omega C\tan\delta_d.
$$
Esses efeitos atenuam mais as componentes de alta frequência, arredondam bordas e produzem interferência intersimbólica.
7.5 Reflexão e transmissão
Considere uma linha de impedância $Z_0$ terminada por $Z_L$. No ponto da carga,
$$
V_L=V^++V^-,\qquad I_L=\frac{V^+-V^-}{Z_0}.
$$
$$
\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}.
$$
$$
Z_L=Z_0\frac{V^++V^-}{V^+-V^-}.
$$
Dividindo por $V^+$ e isolando $V^-/V^+$, obtém-se o resultado. $\square$
Casos importantes:
| Carga | $\Gamma_L$ | Efeito |
|---|---|---|
| $Z_L=Z_0$ | 0 | absorção total |
| circuito aberto | $+1$ | tensão dobra, corrente zera |
| curto-circuito | $-1$ | tensão zera, corrente dobra em módulo |
| $Z_L>Z_0$ resistivo | $0<\Gamma_L<1$ | reflexão de mesma polaridade |
| $Z_L<Z_0$ resistivo | $-1<\Gamma_L<0$ | reflexão invertida |
O coeficiente de transmissão de tensão na carga é
$$
\tau_L=1+\Gamma_L=\frac{2Z_L}{Z_L+Z_0}.
$$
7.5.1 Exemplo resolvido: carga de 100 Ω em linha de 50 Ω
Dados $Z_0=50\ \Omega$ e $Z_L=100\ \Omega$:
$$
\Gamma_L=\frac{100-50}{100+50}=\frac13.
$$
Se a onda incidente tem 2 V, a refletida tem $2/3$ V e a tensão instantânea na carga após a chegada é
$$
V_L=2+\frac23=2{,}667\ \text{V}.
$$
A reflexão é positiva porque a carga exige menos corrente que a onda incidente transporta; a combinação com uma onda regressiva positiva reduz a corrente líquida.
7.6 Resposta no tempo e diagrama de reflexões
Uma fonte de degrau $V_S$ com resistência $R_S$ lança inicialmente
$$
V_0^+=V_S\frac{Z_0}{R_S+Z_0}.
$$
O atraso de ida é
$$
t_d=\frac{l}{v_p},
$$
e o coeficiente na fonte é
$$
\Gamma_S=\frac{R_S-Z_0}{R_S+Z_0}.
$$
Cada chegada a uma terminação gera nova onda igual à onda incidente multiplicada pelo $\Gamma$ local. O diagrama de reflexões registra amplitude, direção e instante de cada evento.
7.6.1 Exemplo resolvido: linha aberta
Uma fonte de 5 V e $R_S=50\ \Omega$ alimenta linha de $Z_0=50\ \Omega$, $t_d=4$ ns, aberta na carga.
- O degrau lançado é $V_0^+=5(50/100)=2{,}5$ V.
- Em $t=4$ ns, $\Gamma_L=+1$ e a carga passa a $2{,}5+2{,}5=5$ V.
- A reflexão de 2,5 V retorna à fonte em $t=8$ ns.
- Como $\Gamma_S=0$, ela é absorvida e o processo termina.
Esse exemplo explica por que a carga pode receber a tensão correta mesmo que a primeira onda tenha metade do valor final.
7.6.2 Diagrama de reflexões (ladder diagram)
Para múltiplas reflexões, constrói-se um diagrama de reflexões (ladder diagram) onde o eixo horizontal é o tempo e o eixo vertical é a amplitude. Cada segmento representa uma onda viajando na direção $+z$ ou $-z$. O método de reflexões sucessivas permite calcular a tensão em qualquer ponto e tempo como uma soma finita ou infinita de ondas.
7.7 Quando a interconexão "vira" linha?
O critério físico é comparar atraso e tempo de subida. Uma regra conservadora comum é tratar a interconexão como linha quando
$$
t_d\gtrsim\frac{t_r}{6},
\qquad
l\gtrsim\frac{v_pt_r}{6}.
$$
Não é a frequência de clock que decide, mas a rapidez da borda.
7.7.1 Exemplo resolvido
Para $t_r=1$ ns e $v_p=1{,}5\times10^8$ m/s:
$$
l_{crit}\approx\frac{1{,}5\times10^8\times10^{-9}}{6}=0{,}025\ \text{m}=2{,}5\ \text{cm}.
$$
Uma trilha de 8 cm precisa de análise distribuída mesmo que transporte um clock de apenas alguns megahertz.
7.8 Integridade de sinal
Integridade de sinal significa entregar ao receptor níveis e instantes válidos. Os mecanismos principais são:
- ringing, overshoot e undershoot: reflexões e ressonâncias;
- crosstalk: acoplamento a interconexões vizinhas;
- jitter: variação do instante de cruzamento do limiar;
- ISI: memória do canal por perdas e dispersão;
- ground bounce e ruído da alimentação: impedância comum no retorno e na PDN.
Uma margem de tensão grande não garante margem temporal: ringing perto do limiar pode criar múltiplos cruzamentos. Da mesma forma, um sinal visualmente limpo pode ter jitter excessivo.
7.9 Terminações
7.9.1 Série na fonte
Escolhe-se $R_S+R_T\approx Z_0$. A primeira onda geralmente tem amplitude reduzida; após refletir na carga de alta impedância, alcança o valor final. É eficiente para ligação ponto a ponto e consome pouca potência DC, mas a forma de onda no meio da linha tem patamar intermediário.
7.9.2 Paralela na carga
Coloca-se $R_T\approx Z_0$ junto à carga. A onda é absorvida imediatamente. A desvantagem é consumo DC e maior exigência do driver.
7.9.3 Thévenin e AC
A terminação Thévenin fornece equivalente resistivo ao nível de polarização. A terminação AC usa capacitor em série e elimina consumo DC, mas só casa durante transições e exige escolha de constante de tempo.
Insight de engenharia: a melhor terminação não é a que deixa a simulação mais bonita; é a que mantém margens em PVT, não sobrecarrega o driver e não cria retorno ou emissão indesejados.
7.10 Solução fasorial e impedância de entrada
Em regime senoidal,
$$
\frac{d\hat V}{dz}=-(R+j\omega L)\hat I,\qquad
\frac{d\hat I}{dz}=-(G+j\omega C)\hat V.
$$
Definem-se
$$
\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)},
$$
$$
Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}.
$$
As soluções são
$$
\hat V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^-e^{\gamma z},
$$
$$
\hat I(z)=\frac{V^+}{Z_0}e^{-\gamma z}-\frac{V^-}{Z_0}e^{\gamma z}.
$$
Para uma linha de comprimento $l$ terminada em $Z_L$, a impedância de entrada é
$$
Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+Z_0\tanh(\gamma l)}{Z_0+Z_L\tanh(\gamma l)}.
$$
$$
Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+Z_0\tanh(\gamma l)}{Z_0+Z_L\tanh(\gamma l)},
$$
onde $\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$ é a constante de propagação e $Z_0=\sqrt{(R+j\omega L)/(G+j\omega C)}$ é a impedância característica complexa.
$$
V_L=V^+e^{-\gamma l}+V^-e^{\gamma l},
$$
$$
I_L=\frac{V^+}{Z_0}e^{-\gamma l}-\frac{V^-}{Z_0}e^{\gamma l}.
$$
Dividindo a primeira pela segunda e impondo $V_L/I_L=Z_L$, obtém-se
$$
Z_L=Z_0\frac{V^+e^{-\gamma l}+V^-e^{\gamma l}}{V^+e^{-\gamma l}-V^-e^{\gamma l}}.
$$
Definindo $\Gamma_l=V^-e^{\gamma l}/(V^+e^{-\gamma l})=\Gamma_L e^{-2\gamma l}$, onde $\Gamma_L=(Z_L-Z_0)/(Z_L+Z_0)$, tem-se
$$
Z_L=Z_0\frac{1+\Gamma_l}{1-\Gamma_l}.
$$
Na entrada ($z=0$), $Z_{in}=\hat V(0)/\hat I(0)=Z_0(1+\Gamma_0)/(1-\Gamma_0)$, onde $\Gamma_0=V^-/V^+=\Gamma_l e^{-2\gamma l}=\Gamma_L e^{-4\gamma l}$. Usando a identidade $\tanh(x)=(e^{2x}-1)/(e^{2x}+1)$, resulta
$$
Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+Z_0\tanh(\gamma l)}{Z_0+Z_L\tanh(\gamma l)}.$\square
$$
Na linha sem perdas, $\gamma=j\beta$:
$$
Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta l)}{Z_0+jZ_L\tan(\beta l)}.
$$
$$
Z_{in}=\frac{Z_0^2}{Z_L}.
$$
$$
\lim_{\beta l\to\pi/2}Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta l)}{Z_0+jZ_L\tan(\beta l)}
=Z_0\lim_{x\to\infty}\frac{Z_L/x+jZ_0}{Z_0/x+jZ_L}
=Z_0\frac{jZ_0}{jZ_L}=\frac{Z_0^2}{Z_L}.
$$
$\square$
7.11 Ondas estacionárias e potência
O módulo de $V$ varia entre $|V^+|(1+|\Gamma|)$ e $|V^+|(1-|\Gamma|)$. A relação de onda estacionária é
$$
VSWR=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}.
$$
$$
VSWR=\frac{1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|}.
$$
$$
VSWR=\frac{|V|_{max}}{|V|_{min}}=\frac{1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|}.$\square$
A fração de potência refletida é $|\Gamma|^2$ para impedância característica real. Em carga puramente reativa, $|\Gamma|=1$: toda potência média é refletida.
## Modelo concentrado aproximado
Se o comprimento elétrico for pequeno, a linha pode ser aproximada por
$$
L_{tot}=Ll,\qquad C_{tot}=Cl,$$
em uma seção $\pi$ ou T. Uma única seção é adequada apenas quando a variação de fase ao longo do trecho é pequena. Dividir em mais seções melhora a aproximação até que o atraso distribuído ou as perdas dependentes de frequência exijam um modelo próprio de linha.
7.12 Armadilhas frequentes
- Usar frequência de clock, e não tempo de subida, como critério.
- Informar $Z_0$ sem stack-up, geometria e tolerância de fabricação.
- Terminar longe da carga ou da fonte correspondente.
- Ignorar vias, conectores e stubs como descontinuidades.
- Tratar plano de retorno interrompido como "terra ideal".
- Confundir atenuação com ausência de reflexão.
- Aplicar fórmulas de linha sem perdas onde $R(f)$ e $G(f)$ fecham o olho.
7.13 Lista de Exercícios Propostos
E.1 Derive as equações do telegrafista incluindo $R$, $L$, $G$ e $C$.
E.2 Para $L=250$ nH/m e $C=100$ pF/m, calcule $Z_0$, $v_p$ e o atraso de 2 m.
E.3 Uma linha de 75 Ω termina em 25 Ω. Calcule $\Gamma_L$, $\tau_L$ e VSWR.
E.4 Uma fonte de 3,3 V com 20 Ω dirige linha de 50 Ω aberta. Determine a primeira onda e a tensão na carga após $t_d$.
E.5 Construa as quatro primeiras reflexões para $R_S=100\ \Omega$, $Z_0=50\ \Omega$ e $Z_L=25\ \Omega$.
E.6 Determine o comprimento crítico para $t_r=200$ ps e atraso de 60 ps/cm.
E.7 Mostre que uma linha de meia onda repete a impedância da carga.
E.8 Um capacitor de entrada de 5 pF termina uma linha de 50 Ω. Explique qualitativamente como $\Gamma_L$ muda durante uma borda.
E.9 Compare terminação série e paralela quanto a potência, waveform intermediária e topologia.
E.10 Explique como perdas dependentes de frequência geram ISI.
7.14 Gabarito
E.2 Para $L=250$ nH/m e $C=100$ pF/m, calcule $Z_0$, $v_p$ e o atraso de 2 m.
$Z_0=\sqrt{L/C}=\sqrt{250\times10^{-9}/100\times10^{-12}}=\sqrt{2500}=50\ \Omega$.
$v_p=1/\sqrt{LC}=1/\sqrt{250\times10^{-9}\cdot100\times10^{-12}}=1/\sqrt{2.5\times10^{-17}}=2\times10^8$ m/s.
Atraso para 2 m: $t_d=l/v_p=2/(2\times10^8)=10$ ns.
E.3 Linha de 75 Ω termina em 25 Ω. Calcule $\Gamma_L$, $\tau_L$ e VSWR.
$\Gamma_L=(Z_L-Z_0)/(Z_L+Z_0)=(25-75)/(25+75)=-50/100=-0{,}5$.
$\tau_L=1+\Gamma_L=1-0{,}5=0{,}5$.
$VSWR=(1+|\Gamma_L|)/(1-|\Gamma_L|)=(1+0{,}5)/(1-0{,}5)=1{,}5/0{,}5=3$.
E.6 Comprimento crítico para $t_r=200$ ps e atraso de 60 ps/cm.
Tempo de atraso por metro: $60\text{ ps/cm}=6000\text{ ps/m}=6\text{ ns/m}$.
Comprimento crítico: $l_{crit}=v_p\cdot t_r/6$. Como $t_d=l\cdot(60\text{ ps/cm})$, temos $l_{crit}=t_r/6/(60\text{ ps/cm})=200\text{ ps}/6/(60\text{ ps/cm})=33{,}33/60=0{,}556$ cm.
Resposta: $l_{crit}\approx0{,}56$ cm.
E.7 Linha de meia onda repete impedância da carga.
Para linha sem perdas, $Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta l)}{Z_0+jZ_L\tan(\beta l)}$. Para meia onda, $l=\lambda/2$, logo $\beta l=2\pi l/\lambda=\pi$. Como $\tan(\pi)=0$, tem-se $Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+0}{Z_0+0}=Z_L$.
E.8 Capacitor de 5 pF termina linha de 50 Ω. Como $\Gamma_L$ muda durante uma borda.
Inicialmente, para frequências muito altas (borda rápida), o capacitor se comporta como curto-circuito ($Z_C\approx0$), logo $\Gamma_L\approx-1$. À medida que a borda avança e as componentes de baixa frequência se estabelecem, a impedância do capacitor aumenta ($Z_C=1/(j\omega C)$), e $\Gamma_L$ tende a $(Z_C-Z_0)/(Z_C+Z_0)$, que para $Z_C\gg Z_0$ tende a $+1$. Portanto, $\Gamma_L$ varia de $-1$ para $+1$ durante a borda.
E.10 Perdas dependentes de frequência geram ISI.
Perdas por efeito pelicular fazem $R(f)\propto\sqrt{f}$, e perdas no dielétrico fazem $G(f)\propto f$. Isso produz atenuação seletiva: componentes de alta frequência são mais atenuadas que as de baixa frequência. Bordas de sinal, que dependem de altas frequências, são arredondadas, e os símbolos anteriores se sobrepõem ao atual, causando interferência intersimbólica (ISI).
7.15 Exemplo numérico resolvido: linha de 3 m com carga reativa
Dados: $Z_0=50\ \Omega$, $l=3$ m, $v_p=2\times10^8$ m/s, $f=100$ MHz, $Z_L=25-j25\ \Omega$.
- Atraso de propagação: $t_d=l/v_p=3/(2\times10^8)=15$ ns.
- Comprimento de onda: $\lambda=v_p/f=2$ m.
- Fase: $\beta l=2\pi l/\lambda=2\pi(3/2)=3\pi$ rad.
- $\tan(\beta l)=\tan(3\pi)=0$.
- $Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta l)}{Z_0+jZ_L\tan(\beta l)}=Z_L=25-j25\ \Omega$.
Para meia onda ($l=\lambda/2=1$ m), $Z_{in}=Z_L$ independentemente de $Z_L$.
7.16 Código Python: Reflexão e VSWR
PYTHON
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parâmetros da linha
Z0 = 50.0 # Impedância característica (Ω)
# Varre carga de 0 a 100 Ω
ZL_real = np.linspace(0, 100, 500)
Gamma_real = (ZL_real - Z0) / (ZL_real + Z0)
den_vswr = 1 - np.abs(Gamma_real)
VSWR_real = np.divide(
1 + np.abs(Gamma_real), den_vswr,
out=np.full_like(Gamma_real, np.inf), where=den_vswr > 0
)
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(ZL_real, Gamma_real, 'b-', label='Γ_L')
plt.axhline(0, color='k', linestyle='--')
plt.axhline(1, color='r', linestyle='--')
plt.axhline(-1, color='r', linestyle='--')
plt.xlabel('Z_L (Ω)')
plt.ylabel('Γ_L')
plt.title('Coeficiente de Reflexão vs Carga Resistiva')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(ZL_real, VSWR_real, 'g-')
plt.xlabel('Z_L (Ω)')
plt.ylabel('VSWR')
plt.title('VSWR vs Carga Resistiva')
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
7.17 Código Python: Diagrama de reflexões no tempo
PYTHON
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parâmetros
VS = 5.0 # Tensão da fonte (V)
RS = 50.0 # Resistência da fonte (Ω)
Z0 = 50.0 # Impedância característica (Ω)
ZL = np.inf # Carga aberta (∞)
ld = 3.0 # Comprimento da linha (m)
vp = 2e8 # Velocidade de propagação (m/s)
tr = 0.1e-9 # Tempo de subida (100 ps)
t_sim = 100e-9 # Tempo total de simulação (100 ns)
td = ld / vp # Atraso de propagação (15 ns)
# Coeficientes de reflexão
Gamma_S = (RS - Z0) / (RS + Z0)
if np.isinf(ZL):
Gamma_L = 1.0
else:
Gamma_L = (ZL - Z0) / (ZL + Z0)
# Primeiro degrau lançado
V0 = VS * Z0 / (RS + Z0)
# Simulação do diagrama de reflexões
t = np.linspace(0, t_sim, 1000)
V_load = np.zeros_like(t)
# Calcula tensão na carga com reflexões sucessivas
n_reflections = 10
for n in range(n_reflections + 1):
# Tempo de chegada da n-ésima onda
t_arrive = n * 2 * td
if t_arrive <= t_sim:
# Amplitude da onda
if n == 0:
V_wave = V0
else:
V_wave = V0 * (Gamma_L * Gamma_S) ** ((n-1)//2 + (1 if n%2==1 else 0))
if n%2 == 0:
V_wave *= Gamma_L
# Aplica ao sinal
mask = t >= t_arrive
V_load[mask] += V_wave
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(t*1e9, V_load, 'b-', linewidth=2)
plt.axhline(VS, color='r', linestyle='--', label=f'Tensão final = {VS}V')
plt.xlabel('Tempo (ns)')
plt.ylabel('Tensão na Carga (V)')
plt.title('Resposta no Tempo: Linha Aberta')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
7.18 Exemplo numérico passo a passo: cálculo de parâmetros de linha
Problema: Uma trilha de microstrip tem $L=250$ nH/m e $C=100$ pF/m. Calcule $Z_0$, $v_p$, e o atraso para 2 m.
Solução passo a passo:
-
Impedância característica: $Z_0=\sqrt{L/C}=\sqrt{250\times10^{-9}/100\times10^{-12}}=\sqrt{2500}=50\ \Omega$.
-
Velocidade de propagação: $v_p=1/\sqrt{LC}=1/\sqrt{250\times10^{-9}\cdot100\times10^{-12}}=1/\sqrt{2.5\times10^{-17}}=1/(5\times10^{-9})=2\times10^8$ m/s.
-
Atraso para 2 m: $t_d=l/v_p=2/(2\times10^8)=10$ ns.
Insight para Estudantes: Note que $Z_0$ depende apenas da razão $L/C$, não dos valores absolutos. Isso significa que você pode mudar as dimensões físicas da trilha (que afetam $L$ e $C$ individualmente) mas manter $Z_0$ constante se a razão for preservada.
7.19 Comparação entre linha ideal e rede LC segmentada
Uma linha sem perdas de atraso $t_d$ pode ser aproximada por $N$ seções com $L'=Z_0/v_p$ e $C'=1/(Z_0v_p)$. Cada seção possui $L'L/N$ e $C'L/N$. A aproximação só é confiável abaixo de uma fração da frequência de corte artificial da escada.
$$
\frac{\partial}{\partial z}(vi)+
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac12Cv^2+\frac12Li^2\right)=0.
$$
O primeiro termo é divergência de potência; o segundo é a taxa de variação da energia elétrica e magnética por unidade de comprimento. Assim, uma linha ideal apenas transporta e armazena energia.
7.20 TDR: extração de impedância
Para um degrau lançado em uma linha de referência $Z_0$, a reflexão medida $\Gamma(t)$ fornece
$$
Z(t)=Z_0\frac{1+\Gamma(t)}{1-\Gamma(t)}.
$$
7.20.1 Exemplo
Um TDR de 50 Ω mede degrau incidente de 0,5 V e acréscimo refletido de 0,1 V. $\Gamma=0{,}2$ e $Z=75\,\Omega$. Se o evento aparece 4 ns após o plano de referência e $v_p=2\times10^8$ m/s, a descontinuidade está a $z=v_pt/2=0{,}40$ m; o fator dois representa ida e volta.
PYTHON
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 10e-9, 2000)
gamma = 0.2/(1 + np.exp(-(t-4e-9)/0.08e-9))
Z0 = 50
Z = Z0*(1+gamma)/(1-gamma)
plt.plot(t*1e9, Z); plt.xlabel('Tempo de ida e volta (ns)')
plt.ylabel('Impedância aparente (Ω)'); plt.grid(True, alpha=.3); plt.tight_layout()
7.21 Laboratório SPICE — reflexão e terminação
SPICE
Vstep src 0 PULSE(0 1 0 100p 100p 5n 10n)
Rsrc src in 10
Tline in 0 out 0 Z0=50 TD=2n
Rload out 0 100
.tran 5p 20n 0 20p
.print tran v(in) v(out)
.end
Output:
Circuit: generated from textbook spice code block
Doing analysis at TEMP = 27.000000 and TNOM = 27.000000
Using SPARSE 1.3 as Direct Linear Solver
Initial Transient Solution
--------------------------
Node Voltage
---- -------
src 0
in 0
out 0
vstep#branch 0
No. of Data Rows : 1086
generated from textbook spice code blockVer mais (1144 linhas)
Transient Analysis Tue Aug 11 11:11:03 2026 -------------------------------------------------------------------------------- Index time v(in) v(out) -------------------------------------------------------------------------------- 0 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 1 5.000000e-14 4.166667e-04 0.000000e+00 2 1.000000e-13 8.333333e-04 0.000000e+00 3 2.000000e-13 1.666667e-03 0.000000e+00 4 4.000000e-13 3.333333e-03 0.000000e+00 5 8.000000e-13 6.666667e-03 0.000000e+00 6 1.600000e-12 1.333333e-02 0.000000e+00 7 3.200000e-12 2.666667e-02 0.000000e+00 8 6.400000e-12 5.333333e-02 0.000000e+00 9 1.280000e-11 1.066667e-01 0.000000e+00 10 2.560000e-11 2.133333e-01 0.000000e+00 11 4.560000e-11 3.800000e-01 0.000000e+00 12 6.560000e-11 5.466667e-01 0.000000e+00 13 8.280000e-11 6.900000e-01 0.000000e+00 14 1.000000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 15 1.020000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 16 1.060000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 17 1.140000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 18 1.300000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 19 1.500000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 20 1.700000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 21 1.900000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 22 2.100000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 23 2.300000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 24 2.500000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 25 2.700000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 26 2.900000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 27 3.100000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 28 3.300000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 29 3.500000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 30 3.700000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 31 3.900000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 32 4.100000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 33 4.300000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 34 4.500000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 35 4.700000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 36 4.900000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 37 5.100000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 38 5.300000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 39 5.500000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 40 5.700000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 41 5.900000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 42 6.100000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 43 6.300000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 44 6.500000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 45 6.700000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 46 6.900000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 47 7.100000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 48 7.300000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 49 7.500000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 50 7.700000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 51 7.900000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 52 8.100000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 53 8.300000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 54 8.500000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 Index time v(in) v(out) -------------------------------------------------------------------------------- 55 8.700000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 56 8.900000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 57 9.100000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 58 9.300000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 59 9.500000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 60 9.700000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 61 9.900000e-10 8.333333e-01 0.000000e+00 62 1.010000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 63 1.030000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 64 1.050000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 65 1.070000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 66 1.090000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 67 1.110000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 68 1.130000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 69 1.150000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 70 1.170000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 71 1.190000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 72 1.210000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 73 1.230000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 74 1.250000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 75 1.270000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 76 1.290000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 77 1.310000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 78 1.330000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 79 1.350000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 80 1.370000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 81 1.390000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 82 1.410000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 83 1.430000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 84 1.450000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 85 1.470000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 86 1.490000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 87 1.510000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 88 1.530000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 89 1.550000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 90 1.570000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 91 1.590000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 92 1.610000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 93 1.630000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 94 1.650000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 95 1.670000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 96 1.690000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 97 1.710000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 98 1.730000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 99 1.750000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 100 1.770000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 101 1.790000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 102 1.810000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 103 1.830000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 104 1.850000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 105 1.870000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 106 1.890000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 107 1.910000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 108 1.930000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 109 1.950000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 110 1.970000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 111 1.990000e-09 8.333333e-01 0.000000e+00 112 2.010000e-09 8.333333e-01 1.111111e-01 Index time v(in) v(out) -------------------------------------------------------------------------------- 113 2.030000e-09 8.333333e-01 3.333333e-01 114 2.050000e-09 8.333333e-01 5.555556e-01 115 2.070000e-09 8.333333e-01 7.777778e-01 116 2.090000e-09 8.333333e-01 1.000000e+00 117 2.110000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 118 2.130000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 119 2.150000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 120 2.170000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 121 2.190000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 122 2.210000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 123 2.230000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 124 2.250000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 125 2.270000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 126 2.290000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 127 2.310000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 128 2.330000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 129 2.350000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 130 2.370000e-09 8.333333e-01 1.111111e+00 131 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-2.44204e-01 1082 1.995149e-08 -2.15922e-02 -2.44204e-01 1083 1.997149e-08 -2.15918e-02 -2.44163e-01 1084 1.998575e-08 -2.15898e-02 -2.43864e-01 1085 2.000000e-08 -2.15809e-02 -2.41721e-01
Plot:
Para $Z_L=100\,\Omega$, espere $\Gamma_L=1/3$. Repita com 50 Ω, circuito aberto e curto. Depois use $R_{src}=50\,\Omega$ e confirme que a reflexão que retorna à fonte é absorvida. O passo máximo deve resolver a borda e o atraso.
7.22 Referência principal
Síntese e desenvolvimento didático do Capítulo 4, "Transmission Lines and Signal Integrity", de C. R. Paul, Introduction to Electromagnetic Compatibility, 2ª ed., Wiley, 2006, pp. 177–297.